1、第第6章章 塑性本构方程塑性本构方程Chapter 6 Constitutive Equations of Plastic Deformation6.1 塑性变形的力学特点塑性变形的力学特点(回顾回顾)6.1.1 变形力学特点变形力学特点(与弹性变形相比与弹性变形相比)1.（弹塑性共存）（弹塑性共存）线性函数线性函数 非线性函数非线性函数 2.塑性变形阶段塑性变形阶段 加载阶段加载阶段 非线性变形阶段非线性变形阶段 卸载阶段卸载阶段 线性变形阶段线性变形阶段）（ppefE/E/）（pf0d）（pf0deE0.20.2对应于对应于0.2%的永久应变时的应力，作的永久应变时的应力，作为条件屈服限。
2、为条件屈服限。3.存在加工硬化（硬化指数存在加工硬化（硬化指数n），组织劣化，组织劣化加工硬化加工硬化 （变形抗力变形抗力）4.塑性变形的应力塑性变形的应力应变关系与加载历史有关应变关系与加载历史有关 5.使变形材料的组织与性能发生变化使变形材料的组织与性能发生变化 defects,dislocation,texture,phases,matrix 6.变形机理：滑移，孪生，晶界机制，扩散机制变形机理：滑移，孪生，晶界机制，扩散机制 弹性变形的本质是弹性变形的本质是 原子间距的变化。原子间距的变化。psTT6.1.2 本构方程本构方程 材料在外力作用下的材料在外力作用下的 或或 的关系方程，反
3、映变形的关系方程，反映变形体的物理本质。体的物理本质。1.各向同性弹性体的广义虎克定律：各向同性弹性体的广义虎克定律：轮换）（）（）（xzyxGEEExyxyyxzzxzyyzyxx(1111E（单向受力状态）（单向受力状态）也即也即各向同性材料（各向同性材料（isotropic materials）Eelastic modulus Possons ratio 反过来，反过来，柔度矩阵柔度矩阵 刚度矩阵刚度矩阵且有：且有：zxyzxyzyxzxyzxyzyxmnijmnijEEEEEEEEES）（）（）（120120012000100010001mnijmnijCSCG=E/2（1+）1CS
4、2.各向异性弹性体的广义虎克定律各向异性弹性体的广义虎克定律在线性弹性体中，物体的应力与应变关系服从广义虎克定律。根据在线性弹性体中，物体的应力与应变关系服从广义虎克定律。根据这个定律，在物体的任何一点上，这个定律，在物体的任何一点上，6个应力量中的每一个分量都个应力量中的每一个分量都可以表示成可以表示成6个应变分量的线性函数，即个应变分量的线性函数，即 zxyzxyxxxzxyzxyzyxbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb6665646362615655545352514645444342413635343332312625242322211615141
5、31211式中式中 为材料的弹性常数。为材料的弹性常数。6)2,1,(，jibij应该指出：由于弹性体存在变形能，弹性常数应满足对称性，应该指出：由于弹性体存在变形能，弹性常数应满足对称性，所以物体即使是在各向异性的最一般情况下，独立的弹性常数所以物体即使是在各向异性的最一般情况下，独立的弹性常数只有只有21个。个。3.正交各向异性弹性体的广义虎克定律正交各向异性弹性体的广义虎克定律 正交各向异性弹性体的柔度矩阵为正交各向异性弹性体的柔度矩阵为123123322311333221123312211100000010000001000000100010001GGGEEvEvEvEEvEvEvEs
6、ij其中其中 依次为依次为2-3，3-1，1-2平面的剪切模量。平面的剪切模量。分别为分别为1，2，3方向上的弹性模量。方向上的弹性模量。为应力在为应力在 i 方向作用时方向作用时 j 方向的横向应变的泊松比，方向的横向应变的泊松比，即即 321,EEEijvijijv123123,GGG对于正交各向异性材料，只有对于正交各向异性材料，只有9个独立常数，因为个独立常数，因为jiijSS 4.塑性变形塑性变形：（后面详述）（后面详述）5.塑性变形本构关系：塑性变形本构关系：应变速度敏感指数应变速度敏感指数 此即此即Backfon公式，主要应用于超塑性变形。公式，主要应用于超塑性变形。mijiji
7、jpeEG2121mnijmnpijpmnijmnijpSC或），（zyxji），（zyxnmjimkm（适合热变形的公式）冷变形，加工硬化模型（等效）（单向拉伸）mnnmeemkkkk(111n6.1.3 基本假设与材料模型基本假设与材料模型 1.基本假设基本假设 a.变形材料均质、连续、各向同性；变形材料均质、连续、各向同性；b.静水压力不影响材料静水压力不影响材料 的大小；的大小；c.拉伸与压缩的拉伸与压缩的 相同（即不计包辛格效应）相同（即不计包辛格效应）2.材料变形模型材料变形模型ss理想弹塑性材料理想弹塑性材料（例如热轧）（例如热轧）理想刚塑性材料理想刚塑性材料 （例如热挤压）（例
8、如热挤压）线性硬化弹塑性线性硬化弹塑性材料材料（例如冷变形）（例如冷变形）线性硬化刚塑性线性硬化刚塑性材料材料）（bTkmnexp0一般硬化材料一般硬化材料0粘塑性材料粘塑性材料粘性系数6.2 屈服条件屈服条件(塑性条件塑性条件)n定义定义:材料从弹性变形状态进入塑性变形状态，并使塑性变形继材料从弹性变形状态进入塑性变形状态，并使塑性变形继续进行的力学条件。续进行的力学条件。例如例如:单向拉伸：单向拉伸：时材料开始屈服。时材料开始屈服。多向变形：多向变形：(i,j=1,2,3)更一般的更一般的 屈服函数，在应力空间构成一个屈服面。屈服函数，在应力空间构成一个屈服面。描述这个屈服面的数学表达式称
9、为屈服函数或屈服条件。描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或屈服条件。建立建立 ，有两种方法：，有两种方法：数理逻辑推理（预测数理逻辑推理（预测实验验证）实验验证）实验研究（理论原理实验研究（理论原理揭示实质揭示实质获得经验公式）获得经验公式）1s()ifc()ijf()ijfc()ijfc(i,j=x,y,z)n实验研究方法：实验研究方法：Tresca屈服准则屈服准则 1864年法国工程师年法国工程师Tresca在研究单向拉伸时发现金属表面出现吕在研究单向拉伸时发现金属表面出现吕德斯带（与拉伸方向成德斯带（与拉伸方向成45o），其后在压缩、剪切、挤压（挤铅管），其后在压缩、剪切、挤压（挤铅
10、管）等实验中也出现类似现象。于是作了一系列的挤压实验来研究屈等实验中也出现类似现象。于是作了一系列的挤压实验来研究屈服条件，发现从金属变形上来看，可以在变形表面看到很细的痕服条件，发现从金属变形上来看，可以在变形表面看到很细的痕迹，而这些痕纹的方向很接近由最大剪切应力所引起的晶体网格迹，而这些痕纹的方向很接近由最大剪切应力所引起的晶体网格的滑移线。于是的滑移线。于是Tresca认为，当最大剪切应力达到某一极限值时，认为，当最大剪切应力达到某一极限值时，材料即进入塑性状态。这个条件可以写成如下公式：材料即进入塑性状态。这个条件可以写成如下公式：这就是这就是Tresca屈服准则（最大剪应力准则，第
11、屈服准则（最大剪应力准则，第3强度理论）强度理论）132k123()13max13(2)22sskk或写成或写成n数理逻辑推理：数理逻辑推理：Mises屈服准则屈服准则 1913年，年，Mises曾指出，在曾指出，在 的平面（的平面（平面）平面）上上Tresca六边形的六个顶点是由实验得到的，但是连接六个点的六边形的六个顶点是由实验得到的，但是连接六个点的直线却是假设的。这种假设是否合理尚需证明。他认为，如果用直线却是假设的。这种假设是否合理尚需证明。他认为，如果用一个圆来连接这六个点可能更合理，而且又可以避免由于曲线不一个圆来连接这六个点可能更合理，而且又可以避免由于曲线不光滑而产生数学上的
12、困难。他认为光滑而产生数学上的困难。他认为Tresca条件是个准确的条件，条件是个准确的条件，而他的条件却是个近似的条件。而他的条件却是个近似的条件。Mises条件是一个垂直于条件是一个垂直于平面的平面的圆柱面，在圆柱面，在 平面上则是个椭圆。平面上则是个椭圆。Mises屈服准则的提出：屈服准则的提出：单项拉伸：单项拉伸：得到得到1230301(),()ijijffcs1 多向变形：多向变形：，有有6个独立分量。个独立分量。由于不计包申格效应，故由于不计包申格效应，故 应为偶函数（拉伸和压缩时应为偶函数（拉伸和压缩时s相同）相同）。()ijfcij123231(,)(,)(0)f I IIcf
13、 IIc I()ijf(),(1,2,3)ifc i()ijfc123(,)fc （应力偏量影响形状改变和塑性变形相关）（应力偏量影响形状改变和塑性变形相关）123(,)fc 123(,)f I IIc(I1，I2，I3 是点的应力状态改变的确定判据）是点的应力状态改变的确定判据）3123ijI =而而（奇函数）（奇函数）MCIf)(2将单向拉伸屈服条件代入，则有将单向拉伸屈服条件代入，则有 既既Misese屈服条件（歪形能定理，第四强度理论）屈服条件（歪形能定理，第四强度理论）sessMMsssIfCCI21213232221221323222122221323222122121323222
14、12321)()()(2131)()()(61)(313)()()(21:3131)()()(61)0(即：于是可得：所以即n两种准则的比较两种准则的比较 1.区别区别 表达式不同：表达式不同：物理含义不同：物理含义不同：Tresca最大剪切应力到某极限最大剪切应力到某极限 Mises形状变形能到某极限形状变形能到某极限 对中间主应力的考虑不同：对中间主应力的考虑不同：Trseca只有最大和最小主应力对屈服有只有最大和最小主应力对屈服有 影响影响 Mises 三个主应力对屈服都有影响三个主应力对屈服都有影响 几何表达不同几何表达不同maxTresca:Mises:esk 2.联系联系几何上：内
15、接关系，两种准则有六个点重合。几何上：内接关系，两种准则有六个点重合。表达式上：表达式上：（为中间应力影响系数，为中间应力影响系数，为为lode参数参数）1322()3s1321312=11.154n应变硬化材料的屈服准则应变硬化材料的屈服准则 随着随着的提高，的提高，T T也提高。也提高。等强硬化准则：等强硬化准则：同心圆同心圆等强强化。等强强化。（后继加载曲面）（后继加载曲面）移动强化（复杂）移动强化（复杂）略略()peTen双剪应力屈服准则双剪应力屈服准则（有意可参考（有意可参考双剪理论双剪理论俞茂宏著，俞茂宏著，52.55）或或 回顾：主剪切应力在主应力空间是（回顾：主剪切应力在主应力
16、空间是（110）面族。）面族。如果：如果：(1)()2Tbc12313231222222max131313121223()()ijfbc材料屈服材料屈服13232312()()ijfbc材料屈服材料屈服 当当b=0时：时：（Tresca准则）准则）当当b=1时：时：或或 即当两个较大的主剪切应力之和达到某一极限时材料屈服即当两个较大的主剪切应力之和达到某一极限时材料屈服 110,1,213b 13()ijfc13121223()()ijfc13232312()()ijfc132312111231113222233()22mc 即即 时，材料屈服。时，材料屈服。或或 时材料屈服时材料屈服nHil
17、l准则（后节详述）准则（后节详述）1c 13232()ijfcc 6.3 塑性本构方程塑性本构方程 引言引言 回顾：回顾：1）塑性变形过程的特点）塑性变形过程的特点 2）塑性变形过程与加载历史（路径）的关系）塑性变形过程与加载历史（路径）的关系 增量理论增量理论1Levy-Mises增量理论增量理论 Levy-Mises增量理论包括以下假设：增量理论包括以下假设：（1）材料是刚塑性体。）材料是刚塑性体。（2）材料符合）材料符合Mises塑性条件。塑性条件。（3）塑性变形时体积不变，即）塑性变形时体积不变，即 。（4）应变增量主轴与偏应力主轴相重合。）应变增量主轴与偏应力主轴相重合。（5）式中式
18、中d为瞬时非负比例系数，它在加载过程中是变化的。经数学为瞬时非负比例系数，它在加载过程中是变化的。经数学推导和整理，可得：推导和整理，可得：ddijpijeped23d0pzpypxddd于是可得出类似广义于是可得出类似广义Hooke定律的塑性本构方程：定律的塑性本构方程：式中，式中，类似于弹性模量与剪切模量。类似于弹性模量与剪切模量。zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxGGGEEE21d21d21d)(21(1d)(21(1d)(21(1deeeeGEd31,d 应当指出的是，应当指出的是，Levy-Mises增量理论对于理想增量理论对于理想材料而言，若已知材料而言，若已知ij只
19、能求出只能求出dij之间的比值，之间的比值，而无法求出它们的值。若已知而无法求出它们的值。若已知dij，只能求出，只能求出 ，而无法求出而无法求出ij，这是该理论的主要缺陷。，这是该理论的主要缺陷。对于强化材料（应力与应变一一对应）而言，对于强化材料（应力与应变一一对应）而言，若已知若已知ij，要求出，要求出dij之间的比值，则必须给出之间的比值，则必须给出d ij;若已知若已知dij，在给出了，在给出了ij的条件下，也只的条件下，也只能求出能求出 。ijij2Saint-Venant塑性流动理论（应力应变速率关系方程）塑性流动理论（应力应变速率关系方程）假设条件几乎同前，有：假设条件几乎同前
20、，有：其中其中 同样也可写成广义同样也可写成广义Hooke定律形式。由于上式和粘性流体的牛定律形式。由于上式和粘性流体的牛顿公式相似，故称为塑性流动方程。顿公式相似，故称为塑性流动方程。Levy-Mises方程实际上是塑性方程实际上是塑性流动方程的增量形式。若不考虑应变速度对材料性能的影响，二者流动方程的增量形式。若不考虑应变速度对材料性能的影响，二者是一致的。是一致的。ijij ee233Prandtl-Reuss增量理论增量理论 在在Levy-Mises增量理论基础上考虑了弹性变形的影响，得出了增量理论基础上考虑了弹性变形的影响，得出了Prandtl-Reuss增量理论，其中弹性部分同弹性
21、广义增量理论，其中弹性部分同弹性广义Hooke定律。定律。式中式中G、E分别为弹性剪切模量和弹性模量。分别为弹性剪切模量和弹性模量。分析上式可知，若已知分析上式可知，若已知 和和 ，不论材料是理想还是，不论材料是理想还是强化的，强化的，均可以确定。反过来，若已知均可以确定。反过来，若已知 ，对理想材料，对理想材料而言，仍不能求出而言，仍不能求出 。对硬化材料而言，则可给出。对硬化材料而言，则可给出 。ijemeijPijeijPijijddddddijmijijEGd21d21dijijdijijijdijd全量理论（形变理论）全量理论（形变理论）若已知应变变化历史，即知道了加载路径，则沿这若
22、已知应变变化历史，即知道了加载路径，则沿这个路径可以积分得出应力与应变全量之间的关系，建立全个路径可以积分得出应力与应变全量之间的关系，建立全量理论或形变理论，尤其是在简单加载条件下，把增量理量理论或形变理论，尤其是在简单加载条件下，把增量理论中的增量符号论中的增量符号“d”取消即可。取消即可。用用Prandtl-Reuss增量理论的积分形式表达即为：增量理论的积分形式表达即为：上式称为上式称为Hencky全量理论方程，只适用于小塑性变全量理论方程，只适用于小塑性变形或简单加载的大塑性变形。形或简单加载的大塑性变形。epemmijijEG2321,)21(式中全量理论（形变理论）全量理论（形变
23、理论）在简单加载条件不成立的情况下全量理论照理是不能使用的。在简单加载条件不成立的情况下全量理论照理是不能使用的。但由于全量理论解题的方便与直观，在简单加载条件不成立的情况但由于全量理论解题的方便与直观，在简单加载条件不成立的情况下，也经常使用全量理论求解。最令人奇怪的是象板材的塑性失稳下，也经常使用全量理论求解。最令人奇怪的是象板材的塑性失稳问题，在失稳时刻，应力分量之间的比例变化激烈，而实验结果却问题，在失稳时刻，应力分量之间的比例变化激烈，而实验结果却更接近于全量理论的计算结果。这就使人们估计全量理论的适应范更接近于全量理论的计算结果。这就使人们估计全量理论的适应范围比简单加载宽得多，因
24、此提出了所谓围比简单加载宽得多，因此提出了所谓偏离简单加载问题偏离简单加载问题，探讨应，探讨应力路径可以偏离简单加载路径多远而仍能应用全量理论的问题。至力路径可以偏离简单加载路径多远而仍能应用全量理论的问题。至于为什么在失稳问题中全量理论计算结果比增量理论好，目前仍未于为什么在失稳问题中全量理论计算结果比增量理论好，目前仍未得到很好的解释，还在继续研究之中。得到很好的解释，还在继续研究之中。6.4 塑性势塑性势6.4.1 弹性应变能与弹性势弹性应变能与弹性势（形状）体积UUUEDEVE)(2121621IGIE)(6)()()(61216212222222zxyzxyxzzyyxGzyxE）（
25、ijEijEijijEdddU),()(zyxjiUEijijijE代入并整理得到：将)1(2EG)(21)()(21222222zxyzxyzxzyyxzyxEGEEU弹性势即：)(ijEEUU加载加载储能储能Ue卸载卸载释放释放Ue6.4.2塑性势塑性势 1938年年Melon类比弹性势提出塑性势类比弹性势提出塑性势 塑性势概念：塑性势概念：g（）塑性势函数塑性势函数 性质：数量函数性质：数量函数 物理意义：应该具有能量内涵物理意义：应该具有能量内涵ij与形状变形能相关)(ijg数）屈服函数（即塑性势函其中可以证明Misesijfijfijg)()()()(6)()()(61)()(222
26、2222zxyzxyxzzyyxijIff)(ijijijf而)(31)(26610)1)(20)(261)(xzyxxzyxxxzyxxijf例如：321321:()(pppijijijpijdddMisesLevyddfd增量理论）321)(:)(:)(ijijijfff屈服函数：为如果塑性势函数塑性本构关系。则通过塑性势可以求出若已知塑性屈服条件，的一般关系。与屈服准则的关系（本构方程）的意义：建立了塑性变形Trescafcfdijijijpij)()(31)(ijf的影响）（未考虑中间主应力23211:0:1:pppddd:)(为双剪应力准则如果塑性势函数ijf)1()()(12132
27、313bffijij或1:1:2:2:1:1:321321ppppppdddddd或总有：6.4.3塑性势的应用塑性势的应用例1：应用于各向异性材料的屈服准则与流动法则应用于各向异性材料的屈服准则与流动法则(本构关系本构关系)正交各向异性材料的正交各向异性材料的Hill屈服准则屈服准则,即是即是Mises屈服准则的推广屈服准则的推广数都是材料的各向异性参，其中隐函数NMLHGFNMLHGFfxyzxyzyxxzzyij)(01222)()()()(2222222等，还可以屈服准则。时就是上述更一般的表达：5.05.1201222)()()(mHillmNMLHGFmxymzxmyzmyxmxz
28、mzy6个各向异性参数可以通过试验确定个各向异性参数可以通过试验确定即在即在6个不同方向取个不同方向取6组样品组样品,进行单拉试验进行单拉试验,可以得到可以得到6个方程；联合求解个方程；联合求解,这样就这样就可以求得可以求得6个各向异性参数。然后利用塑性势求解该材料的本构方程（应力个各向异性参数。然后利用塑性势求解该材料的本构方程（应力应变关系）及等效应力与等效应变。应变关系）及等效应力与等效应变。dNdddMdddLddFGddHFddGHddddfxypxypxyzxpzxpzxyzpyzpyzyzxzpzxyzypyzxyxpxpijijij424242)()()()()()()()(6
29、)()()(21222222zxyzxyxzzyyxe等效应力：本构关系改变推论：屈服条件改变塑性势epeijpeijddfHFGHFGHGFdHGFf 1)(321)(223设设:轧制方向为轧制方向为x方向方向,宽为宽为y方向方向,原向为原向为z方向方向 例例2:深冲板成形性能深冲板成形性能Al合金深冲板合金深冲板:1.制罐料制罐料 3004；2.汽车深冲汽车深冲.r-厚向异性系数厚向异性系数,塑性比塑性比冷轧薄板冷轧薄板:平面各向异性平面各向异性(R与与T各向异性各向异性)深冲时深冲时,材料处于平面应力状态材料处于平面应力状态0yzzxz12)(2)()(244412)(22222xyyy
30、xxijxyyyxxNHFHHGfNHFHHGHill可写出屈服函数：个参数，伸实验来确定个方向取样，做单向拉个各向异性参数，则在）（准则为：平面各向异性材料的0)(21)(2)()(pzpypxpzpzpyxyijpyyxxijpxddddddrHFHfdHHGfd可以利用体积不变来求板材深冲性能指标塑性应变比易撕裂，深冲性不好。材料在深冲时易变薄，表示。，不易撕裂，深冲性好材料在深冲时不易变薄表示表示各向同性。厚向应变平面应变角度试样与板材轧制方向的pzpypzpypzpypzpxypypxddrddrrddGFHGFNHddddr111cossincossin)42(sincos2cos
31、sin2222226.5 Drucker公设与最大塑性消耗原理公设与最大塑性消耗原理1951年年,Drucker提出了关于材料变形稳定性的判据提出了关于材料变形稳定性的判据例如例如:单向拉伸单向拉伸一般条件写为：稳定的。材料是强化型，变形是表示外力做正功且00)(pdda表示变形稳定）强化（对于压缩也适合表示加载0,0dd0,00,0000,00)(ddddddddddb压缩）：一般条件写为（含单向（蠕变）特例：）（对于压缩过程也适用材料不稳定即：而或而）思考是否稳定？还不确定!(0,0dd)(0,0)(AACBAdddc应力循环过程（这种情况不可能存在,0变形稳定dd.0变形不稳定dd是不确
32、定的是不稳定的是稳定的是稳定的AAACCBBA;Add0dd。没有新的塑性变形发生卸载，只有弹性恢复，）（02eed无新的塑性变形发生。变形分量的变化，中性变载荷，只有弹性）（03eed有关推论有关推论:加载曲线是外凸的加载曲线是外凸的,与最大功耗原理等价的循环路径与最大功耗原理等价的循环路径.应力与应变增量主轴重合时才符合增量理论应力与应变增量主轴重合时才符合增量理论.量理论。三个主轴重合时符合增，pijijijd或功率）最大。应力状态所耗塑性功（以符合增量理论关系的件的应力状态中，量，在所有满足屈服条对于一定的塑性应变增最大塑性功耗原理即：最大功耗原理。三个主轴不重合时符合，pijijij
33、dDrucker将这种情况推广到一般应力状态将这种情况推广到一般应力状态:发生加载，有新的塑性变形）（pijeedd01思考思考:塑性塑性(plasticity)是材料的属性还是材料的状态是材料的属性还是材料的状态?材料在不同状态下表现出不同的力学行为材料在不同状态下表现出不同的力学行为(塑变方式塑变方式,大小大小),屈服条件的改变屈服条件的改变,引起引起塑性本构关系的改变；变形条件（如应力状态）的改变不仅会引起变形状态的塑性本构关系的改变；变形条件（如应力状态）的改变不仅会引起变形状态的改变，还将引起材料性能的变化。改变，还将引起材料性能的变化。改变会引起塑性改变的改变；的改变mpijijd的关系改变的改变也能引起。ijpijddT,塑性塑性是表征材料在不同条件下发生塑性变形是表征材料在不同条件下发生塑性变形(永久的不可恢复的变形永久的不可恢复的变形)而不开裂的能力而不开裂的能力,区别于区别于塑性变形塑性变形。参考参考:金属塑性成形原理金属塑性成形原理 王祖唐王祖唐 75/WZT类似的问题同样可以针对材料的超塑性、硬度、强度、刚度、韧性、热类似的问题同样可以针对材料的超塑性、硬度、强度、刚度、韧性、热膨胀系数、导电率等提出。膨胀系数、导电率等提出。
