1、 小应变理论是研究非连续体运动的。该理论一般小应变理论是研究非连续体运动的。该理论一般认为位移认为位移u对坐标对坐标x 或或X的导数是很小的。在该理论中的导数是很小的。在该理论中通常假设位移本身和位移梯度都是很小的。通常假设位移本身和位移梯度都是很小的。小变形下的应变张量的意义是相对应变，它是从小变形下的应变张量的意义是相对应变，它是从位移导数张量中扣除刚性转动张量以后剩下的变形项。位移导数张量中扣除刚性转动张量以后剩下的变形项。虽有其局限性。但在运用塑性增量理论求解大变形问虽有其局限性。但在运用塑性增量理论求解大变形问题时题时,它仍然是适用的。它仍然是适用的。对小应变理论对小应变理论,一般认
2、为点的坐标用点的初始坐标一般认为点的坐标用点的初始坐标来表示，但记法上用来表示，但记法上用x而不用而不用X。4.1.1 几何方程（几何方程（geometry equation）zuyuxuzzzzyyyyxxxx,)(2121xuyuyxxyyxxy)(2121zuyuyzyzzyyz)(2121zuxuxzxzxzzx一般小应变理论可表示为一般小应变理论可表示为:其中其中 ,且为一个对称张量且为一个对称张量.所以若已知所以若已知ui,由几何方程由几何方程,通过求导可得出通过求导可得出 ,但若已知但若已知 却不能通过积分求出却不能通过积分求出ui.因为因为ui中包括刚体平动中包括刚体平动uip
3、和转动和转动而而332322131211333231232221121211212121ij)3,2,1,(ji)(21ikkiikxuxuijijik0iipxu00021)(21322331132112ikkiikxuxuq讨论：讨论：1.物理意义：表示位移物理意义：表示位移(displacement)与与 应变应变(strain)之间的关系；之间的关系；2.位移包含变形体内质点的相对位移位移包含变形体内质点的相对位移 （产生应变）和变形体的刚性位移（产生应变）和变形体的刚性位移 （平动和转动）；（平动和转动）；3.工程剪应变工程剪应变 理论剪应变理论剪应变 4.应变符号规定：应变符号规定
4、：正应变或线应变正应变或线应变()：伸长为正，缩短为负；：伸长为正，缩短为负；剪应变或切应变（剪应变或切应变（）：夹角减小为正，增大为负；）：夹角减小为正，增大为负；5.推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。)(2121xuyuyxxyyxxy,xxx ,xyyzzxxuyutgtgyxxy4.1.2 一点的应变状态一点的应变状态 指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间夹角指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间夹角的变化情况。的变化情况。可表示为张量形式：可表示为张量形式：应变张量（应变张量（strain tensor）
5、也可进行与应力张量类似的）也可进行与应力张量类似的分析。分析。zyzxzyxyxij.(i,j=x,y,z)4.1.3 应变协调（连续）方程应变协调（连续）方程 xzzxzyyzyxxyxzxzyzzyxyyx222222222222222,)(2)(2)(2222zyxzyxzyxyxzzyxxzyxyxzyzzxyxzyzyxyxzyzxq讨论：讨论：1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系；物理意义：表示各应变分量之间的相互关系；“连续连续 协调协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中应变协调方程说明
6、：同一平面上的三个应变分量中 有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可定，则正应变分量也就可 以确定；以确定；3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分 量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应 变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。4.1.4 应力应变分析的相似性与差异性应力应变分析的相似性与差异性相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似相似性：张量
7、表示、张量分析、张量关系相似 mijijIIIzyxji,),(88max321321mijijJJJzyxji,),(88max321321 差异性差异性：v概念：应力概念：应力 研究面元研究面元ds 上力的集度上力的集度 应变应变 研究线元研究线元dl 的变化情况的变化情况v内部关系：应力内部关系：应力应力平衡微分方程应力平衡微分方程 应变应变应变连续（协调）方程应变连续（协调）方程 弹性变形：相容方程弹性变形：相容方程 塑性变形：体积不变条件塑性变形：体积不变条件 等效关系：v等效应力等效应力弹性变形和塑性变形表达式相同弹性变形和塑性变形表达式相同v等效应变等效应变弹性变形和塑性变形表达
8、式不相同弹性变形和塑性变形表达式不相同对于弹性变形：对于弹性变形：（泊松比）泊松比）对于塑性变形：对于塑性变形：真实应力和真实应变含义：真实应力和真实应变含义：213232221)()()()1(22e213232221)()()(32e)()(tAtptr表示某瞬时的应力值表示某瞬时的应力值)ln(0llttr表示对某瞬时之前的应变的积分表示对某瞬时之前的应变的积分主应力、主应变图示：主应力、主应变图示：主应力主应力9种；种；主应变主应变3种种 但只有但只有23种可能的应力应变组合（塑性变形力学种可能的应力应变组合（塑性变形力学图），为什么？图），为什么？大应变理论又叫有限应变理论。大应变理
9、论又叫有限应变理论。应变分有限的（大变形）和无限小的（小变形）应变分有限的（大变形）和无限小的（小变形）两种情况。一般小应变用增量理论（两种情况。一般小应变用增量理论（d d)研究。而金属研究。而金属压力加工经常是大变形，因此在处理工程问题时，增压力加工经常是大变形，因此在处理工程问题时，增量理论就有其局限性，这时应使用对数应变来表示有量理论就有其局限性，这时应使用对数应变来表示有限应变。限应变。研究连续体的运动有两种方法研究连续体的运动有两种方法:第一种是拉格朗日第一种是拉格朗日(Lagrange)方法，它立足于质方法，它立足于质点本身，即研究与某质点相关的某个标量、向量或张点本身，即研究与
10、某质点相关的某个标量、向量或张量的变化规律；量的变化规律；第二种是欧拉第二种是欧拉(Euler)方法，这种方法着眼于观察方法，这种方法着眼于观察者空间变化的质点，所考察的物理量是空间点的坐标者空间变化的质点，所考察的物理量是空间点的坐标和时间的函数。和时间的函数。假设两个无限接近假设两个无限接近的点的点M和和N在由区域在由区域D变换到区域变换到区域E时，分别时，分别占据空间点占据空间点m和和n，如，如图所示。在固定坐标图所示。在固定坐标系系ox1x2x3(随动坐标与随动坐标与t有关有关)中，用径向来表中，用径向来表示点的坐标，则有示点的坐标，则有M（X），），N（X+dX），），向量向量MN是
11、是X的微分的微分dX。又有又有m（x），），n(x+dx)，向量向量mn是是x的微分的微分dx。如果如果M点的位移用点的位移用u表示，而位移又是坐标的连续函数，则表示，而位移又是坐标的连续函数，则N点的位移可表示为点的位移可表示为u+du。这里。这里u并不为很小的量，即时间间并不为很小的量，即时间间隔隔t并不是很小的量。并不是很小的量。另外另外,向量向量dX的自乘是其模的自乘是其模MN的平方，所以有的平方，所以有 (，p，k=1，2，3)即即:同样有：同样有：2322212)(000)(000)()(dXdXdXMNppdxdxxdxdmn2)()3,2,1(pkiikppdXdXdXdXXd
12、XdMN2)(（标量）（标量）（张量）（张量）（向量）（向量）由于已知由于已知 对坐标的微分为对坐标的微分为:或或),(tXxx xXxXdxdkkppdXXxdxkikpipppdXdXXxXxdxdxmn2)(用线元的模的平方差反映线元长度的变化用线元的模的平方差反映线元长度的变化:线元长度的变化用相对值表示线元长度的变化用相对值表示:于是拉格朗日有限应变张量为于是拉格朗日有限应变张量为:kiikkpipdXdXXxXxMNmn)()()(22)(21)(2)()(222ikkpipXxXxMNMNmnikkpipikXxXxL21)3,2,1,(pki证明：证明：Lik是应变张量是应变张
13、量?因为因为:在三角形在三角形OmM中有中有所以所以pppuXxipikipXuXx)3,2,1,(pkiikikkikpippkipipkpkpipkpipikkpikipkpipXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXxXx)()(广义上来说，位移对坐标的导数统称为应变。广义上来说，位移对坐标的导数统称为应变。Lik为应变张量为应变张量.将其显示展开，则有将其显示展开，则有:将该公式与将该公式与 比较。比较。ikkikpipikXuXuXuXuL2121321221111111121321221111)()()(21)()()(21XuXuXuXuXuXuXuXuXuL1111Xu同理同
14、理:而而比较柯西应变和拉格朗日应变比较柯西应变和拉格朗日应变:柯西应变柯西应变:参照系固定参照系固定 拉格朗日应变拉格朗日应变:参照系参照系 是运动的是运动的再比较线应变再比较线应变:)()()(2123132212211112XuXuXuXuXuXuL12211221xuxuX222)(2)()(MNMNmnLik%10000lll 用这种方法描写介质的运动时，无法测得质点的位用这种方法描写介质的运动时，无法测得质点的位置随时间变化的情况，但能测得每一空间点处所流过的置随时间变化的情况，但能测得每一空间点处所流过的质点的速度。质点的速度。向量向量dX的模的平方可记为的模的平方可记为:向量向量
15、dx的模的平方可写成的模的平方可写成:kikpipikppdxdxxXxXdXdXXdXdMN2)(kiikppdxdxdxdxxdxdmn2)(kikpipikdxdxxXxXMNmn22)()(令令 称称Eik为欧拉有限应变张量为欧拉有限应变张量 它是一个二阶对称张量。同样也可以证明它是一个二阶对称张量。同样也可以证明Eik为应变张量为应变张量.用位移表示用位移表示Eik就是就是它的展开式写法和它的展开式写法和Lik的展开式写法类似的展开式写法类似.222)(2)()(21mnMNmnxXxXEkpipikik)(21kpipikkiikxuxuxuxuE(1)Lik是以变形前的坐标轴是以
16、变形前的坐标轴X为基准为基准;Eik是以变形后的坐标轴是以变形后的坐标轴x为基准；为基准；ik是以固定坐标轴为基准。是以固定坐标轴为基准。(2)对于单向应变中对于单向应变中%10022020211lllL%100222211lllEo%1000011lll（瞬时值）例如例如:如果变形体内某质点的运动可以用下列线性变换来描述如果变形体内某质点的运动可以用下列线性变换来描述:求求Eik和和Lik.解解:333322221111XabxXabxXabx111aXx222aXx333aXx0.1221XxXx同样：同样：即即:可看出可看出bi未进入应变张量未进入应变张量,说明说明bi反映变形体的刚性位
17、移反映变形体的刚性位移.10001000121232221aaaLik1111axX2221axX3331axXkikiaxXiki.0.123222111000110001121aaaEik1.实验应用实验应用(experimental simulation)(1)网格法网格法 (2)云纹法云纹法(莫尔法莫尔法)2.数值分析数值分析(numerical simulation)主要是将主要是将Deform 2D/3D用于体积成形用于体积成形(massive deformation).主要采用主要采用Lagrange方法。方法。MSC.SuperForge软件使用软件使用Eulerian网格。网
18、格。L-E方法方法稳态变形。稳态变形。1.L和和 E是有限应变张量，如何证明？是有限应变张量，如何证明？特点：二阶张量中的特点：二阶张量中的9个分量是否对称个分量是否对称,如何证明？如何证明？2.小应变增量小应变增量d ij，当积分路线已知时，通过积分可求，当积分路线已知时，通过积分可求出应变量出应变量 ij；那么如果积分路线不可知呢，应该如；那么如果积分路线不可知呢，应该如何求解？何求解？3.对数应变对数应变 (1)在稳态变形过程中，应变主轴（在稳态变形过程中，应变主轴（1，2，3）在变）在变形过程中不变（位移分量是坐标的一次函数）；形过程中不变（位移分量是坐标的一次函数）；(2)对于非稳态
19、变形（例如单向拉伸时出现的颈缩现对于非稳态变形（例如单向拉伸时出现的颈缩现象），应变的计算采用对数应变（真应变）。象），应变的计算采用对数应变（真应变）。在单向拉伸中在单向拉伸中:则则 在工程应变中在工程应变中:单向压缩时单向压缩时:同理同理:但对于多向拉伸或压缩时但对于多向拉伸或压缩时,应该如何求解呢应该如何求解呢?另外另外,对数应变对数应变是不是张量呢是不是张量呢?(注注:汪家才认为对数应变是张量汪家才认为对数应变是张量.)还有还有,一般在大变形时采用对数应变计算一般在大变形时采用对数应变计算,且在计算过程中且在计算过程中不考虑积分路线不考虑积分路线,为什么为什么?（提示（提示:对数应变是
20、可以叠加的对数应变是可以叠加的,但工程应变不可叠加但工程应变不可叠加.）ldldl00lnllldlfflll%10000lllhdhdc0lnhhc（负值）（负值）小应变张量小应变张量(柯西方程柯西方程)为为在正交曲线坐标下的位移场为在正交曲线坐标下的位移场为:(其中上标其中上标-表示在曲线坐标下的分量表示在曲线坐标下的分量.)表示位移表示位移 沿每一点的局部坐标基沿每一点的局部坐标基 方向的投影方向的投影.各量的下标都是对局部坐标基而言的各量的下标都是对局部坐标基而言的.)(21ijjiijxuxu),.(zyxji),(321uuuuu iuuibiibuu通过推导通过推导,可求出可求出:以上两式经下标轮换后可得其它四个分量以上两式经下标轮换后可得其它四个分量.下面给出柱坐标和球坐标下面给出柱坐标和球坐标.对于柱坐标对于柱坐标,令令 ,有有:331132212111111111uuHHuuHHuH)()(112212211212HuHHHuHHruzuzuzuurruurruruurruzrzrzzzzzrrrrrr2121121,1321HrHH对于球坐标对于球坐标,令令 ,有有:ruuurruururruruurruruurruurrurrrrrrrrsin12cot1sin1212cotsin11sin,1321rHrHH
