1、现代测量平差与半参数估计现代测量平差与半参数估计陶本藻教授武汉大学测绘学院地球空间环境与大地测量教育部重点实验室 函数模型是描述观测量与待求参数间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描述平差问题中的随机量（如观测量）及其相互间统计相关性质的模型。1、测量平差数学模型 经典平差模型R（A）=U R（Q）=n X为非随机参数 1 1 1 nununXAL 12020PQD min)()(LXAPLXAPVVTT 经典平差公式 QVLL)AX-L()(20201XXo11XXXTTTTQDunPVVNXAVPANPAPAAXR（A）=tu d=u-t R(Q)=n X非
2、随机秩亏自由网平差minX minTXPVVT QD )(Q XX20X20XX-tnPVVARnPVVXAVNPANXTTTmR（Q）=gt ut X非随机QXALun2011D min)(VAUAQVTT陶本藻、刘大杰5（51990）从奇异正态分布的密度函数)()(21exp),()2(),(21212lTlgglDlxlfminVDVTminVQVTTUUTUTAUAQQLQAAQAX)(fPVVT203、平差系统的模型误差 模型误差分为函数模型误差和随机模型误差两类 最小二乘平差参数X的估值具有最优无偏性，单位权方差的估值具有无偏性和渐进最优性。这些良好的统计性质都是基于模型误差不显著
3、的情况。但在实际平差系统中，由于种种原因的建模近似，例如非线性观测方程的线性化；未顾及或近似考虑某种系统误差影响；观测值的先验协方差阵不尽合理等原因都会造成函数模型和随机模型产生误差。模型近似在回归拟合模型中则更为突出。4、测量中的半参数回归模型及估计方法、测量中的半参数回归模型及估计方法4.1、测量中的半参数回归模型和平差估计准则、测量中的半参数回归模型和平差估计准则（补偿最小二乘原理）（补偿最小二乘原理）半参数回归模型半参数回归模型：1111nnttnnSXBLTnsssS,21LSx BV平差估计准则：平差估计准则：minSRSPVVTT是一个适当给定的矩阵，称为正规化矩阵；是一个适当给
4、定的矩阵，称为正规化矩阵；是一个给定的纯量因子，在极小化过程中对是一个给定的纯量因子，在极小化过程中对 和和起平衡作用，称为平滑因子起平衡作用，称为平滑因子。RVS4.2、正规化矩阵正定时半参数模型的估计、正规化矩阵正定时半参数模型的估计LSx BVminSRSPVVTT由拉格朗日乘数法，构造函数由拉格朗日乘数法，构造函数)(2VLSxBKSRSPVVTTT 参数估计：参数估计：SPBNPLBNxTT11非参数估计：非参数估计：LPBPBNPMST)(11PBBNTRPBPBNPMT14.34.3、最小二乘核估计与附加系统参数平差、最小二乘核估计与附加系统参数平差附加系统参数估计 VBXHR
5、lminTV V TTTB BXB HRB lTTTH BXH HRR l1()()TTXB BB lHR11()()THR H H HHl BX核估计（偏核光滑估计）VBXSl()minTVIS VminTTV VV SV1()()TTSXBIS BBIS l()SSSHRS lBX1()TTSH H HH4.44.4、最小二乘配置与补偿最小二乘、最小二乘配置与补偿最小二乘半参数：SBXLminSSTSTVPVVPV配置：SBXLminRSSPVVTT111RPS4.5、正规化矩阵的一个选择、正规化矩阵的一个选择如果观测值是在时刻如果观测值是在时刻 得到的一个时间序列，得到的一个时间序列，若
6、假设相邻时刻的模型若假设相邻时刻的模型 误差与误差与 的差别不应太大。的差别不应太大。因此可令因此可令：nttt,21is1ismin)(1121niiiss1121min)(niTiiSRSss11122112111nnRTTRT111111,1nnTnnRrank1)(4.6、确定、确定 的周江文方法的周江文方法时间序列系统误差模型设为时间序列系统误差模型设为()sR1iiie 2(0,)ieN(,)0 ijE e eij21211iiiikki ki kiieeeeee()0iE 22242()(1)1iE22(,)(,)1kiikikiEE2322223211111例如例如 的协方差阵
7、为的协方差阵为1234()T 2322223211111 22121001001001R5、半参数估计的自然样条函数法、半参数估计的自然样条函数法5.1半参数回归模型中的自然样条插值函数半参数回归模型中的自然样条插值函数SBxLTnsssS,21设设 为区间为区间 上的自然样条插值函数，上的自然样条插值函数，为节点，且为节点，且 ，满足插值条件：满足插值条件：)(ts,1ntt),2,1(nitintt1)(ts iists)(ni,1 满足上述条件的插值函数中，自然样条函数是最光滑的。满足上述条件的插值函数中，自然样条函数是最光滑的。(Green,Silverman 1987)5.25.2补
8、偿最小二乘原理及其解补偿最小二乘原理及其解 inmdttstsBxLsumnttniiii 1212)()(SFFGSdttsTTttn121)()()2(ijnnfF)()2()2(ijnngG)1,1(niiiitth1)1,1(ni(Fessler,1991)(Fessler,1991)其他210)(111111jijijihhhhfjjjjij其他3,1,12,2,11,2,06161)(3111njjinjjinjjihhhhgiiiiijninj,1,2,1G G矩阵为严格的对角占优矩阵，即正定矩阵矩阵为严格的对角占优矩阵，即正定矩阵。TFFGK1设：设：，是半正定矩阵，是半正定矩
9、阵补偿最小二乘准则项表示为：补偿最小二乘准则项表示为：minSKSPVVTT按照求条件极值的拉格朗日乘数法，构造函数按照求条件极值的拉格朗日乘数法，构造函数)(2VLSxBKSKSPVVTrTT得到法方程为得到法方程为：PLPLBSxKPPBPBPBBTTT法方程系数阵满足：法方程系数阵满足：时可逆。时可逆。tBFrankT)()()(1LMIPBBMIPBxTT)()(1xPBPLKPSPKPM1)(SxBLLMIPBBMIPBBMIMTT)()()(1LJL)(5.3平滑参数平滑参数 的确定（交叉核实法）的确定（交叉核实法）去除去除 时刻的观测值时刻的观测值 ，也就是，也就是 以作为观以作
10、为观测值，对于给定的平滑参数测值，对于给定的平滑参数 得到观测值得到观测值估计和系统误差估估计和系统误差估计计 。通过三次样条函数，可以内插出。通过三次样条函数，可以内插出 时刻的系统误时刻的系统误差估计，记为差估计，记为 ，从而得到，从而得到 时刻的观测值估计时刻的观测值估计 如果平滑参数选取的比较合适的话，那么如果平滑参数选取的比较合适的话，那么itiL),(111niiLLLLiiSL,);()(iitsniiiiitLLPnCV121),()(),(iitLitit若选取的若选取的 值，使值，使 min),()(121niiiiitLLPnCV(Green.Silverman 1994
11、)(Green.Silverman 1994)等价模型等价模型 6 6、半参数模型假设检验、半参数模型假设检验min()TTSVAX S lV PVS RSRP minSSTTSSSVAXS lVS lV PV V PV (0)0SSSVlA IXlVlIS (1)假设检验假设检验 (2)SPVAXlPP1()TTXA PAA PlTVPV 0:0HS(0 )0XHXIS（1 1）、（）、（2 2）联合平差）联合平差 拒绝域拒绝域 HR 111()()TTTSSRHXHN HHXS Q SRR fFf(,)RFFff7 7、时间序列分析与残差分析、时间序列分析与残差分析 7.1、AR（P）模型
12、 XY式中 TpNNppNppTNppTpTNppxxxxxxxxxXaaaxxxY211111212121,),(,),(,),(求解：求解：用最小二乘法，由已知的观测数据Ntxt,2,1（）出发，选择未知参数的估计值 使目标函数（残差平方和）达到极小，即 min12VVaJTNPtt平差求解可得平差求解可得记 S1为（低阶）模型)(pAR的残差平方和，S0为（高阶）模型)1(pAR的残差平方和，而两个模型参数个数之差 为 1。F分布检验统计量),1()(101pNFSpNSSFF检验定阶检验定阶 给定显著性水平（例如0.05，0.01），查F分布表可得临界值 若 ，则 是合适的（检验不显著
13、）；若 ，则 是不合适的（检验显著）；FF)1(pARFaF)1(pAR7.27.2、半参数模型、半参数模型模型：Y=X +S+A 式中，TNPPXXXY,.21,A=TNppaaa,21TpNsss121,S=TpNNppNppxxxxxxxxx,212111X=，Tp,21=7.37.3、两模型的比较、两模型的比较 分别用AR(p)模型和半参数模型对香河台东西向长约700米的短水准 观测数据进行计算比较。9.011.1111T31731831932032132214710131619222528AR(p)模型求得的平差值图半参数模型求得的平差值图分别用AR(p)模型和半参数模型求得的平差值比较图上面的图中虚线表示用AR(p)模型求得的平差值，实线表示半参数模型求得的平差值从图中可以看出用AR(p)模型求得的平差值的变化较大，而且快，曲线也不光滑；而用半参数模型求得的平差值的变化小，而且慢，曲线也非常光滑；由此可以看出当观测值中存在粗差或模型中存在模型误差时得出来的结果是不精确的或是错误的；而引入半参数后，就可以检查出一般模型不能检查出的系统误差或模型误差，从而提高结果的精度。谢谢 谢谢！
