1、第第 2章章 平面力学平面力学本章内容本章内容 1 力在轴上的投影与力对点的矩力在轴上的投影与力对点的矩 2 力偶矩力偶矩 平面力偶系的简化平面力偶系的简化 3 平面力系的简化平面力系的简化4 平面力系的平衡条件与平衡方程式平面力系的平衡条件与平衡方程式5 平面力系平衡方程式的应用举例平面力系平衡方程式的应用举例6 物系的平衡物系的平衡 静定与超静定的概念静定与超静定的概念7 滑动摩擦及其平衡问题滑动摩擦及其平衡问题各力作用线共面的力系各力作用线不共面的力系本章将详细地讨论平面力系的简化和平衡问题。第一节第一节 力在轴上的投影与力对点力在轴上的投影与力对点的矩的矩如图2-1所示，已知力F F与
2、轴x，称力F F与轴x的单位向量i i的数量积为力F F在轴x上的投影，记为 。于是有xFcosxFF F i图 2-1从几何上看，是过力矢的起点A和终点B分别向轴x引垂线所得到的有向线段 的长度。xF图 2-1力在轴上的投影是一个代数量，其正负号可由力F F与轴x的正向夹角来反映。由式（2-1）知：当 时，/2/2 0 xF当 时，/23/20 xF通过几何上判断其正负号如图2-1所示。当有向线段 与x轴正向一致时，为正，反之为负。xF力在轴上的投影在两种情况下等于零：力等于零；力与轴垂直，即当 时，。/20 xF 为了计算上的方便，经常取力在平面直角坐标轴上的投影，如图2-2所示。此时有图
3、 2-2cosxFFsinyFF反表示力F的大小与方向，即之，若已知力F在一对直角坐标轴上的投影 与 ，就可由它们来F的大小与方向，即xFyF222222()()cos()()cos()()xyxxyyxyFFFFFFFFF式中：，分别表示力F与x轴和y轴的夹角。力在平面直角坐标轴上的投影与力沿这两个方向的分力的大小在数值上是相等的根据合矢量投影规则，可以得到一个重要的结论，即设一平面力系由 组成，其合力记为 。称 为该力系的主矢。12n，F FFRFR1nii FF力系的合力 与主矢 是有区别的RFRF证合力 的大小和方向与主矢 是相同的，故，与 在任一轴上的投影相等。RFRFRFRF根据合
4、力投影定理，可得RR1RR1nxxixinyyiyiFFFFFF（2-3）故22RR111221112211coscosnnixiyiinixinnixiyiiniyinnixiyiiFFFFFFFFFF（2-4）式中：，分别表示合力 与x轴和y轴的夹角。RF例例用扳手拧螺母时，螺母的转动效果除与力F F的大小和方向有关外，还与点O到力作用线的距离h有关。距离h越大，转动效果就越明显，反之亦然，如图2-3所示。图 2-3可以用力对点的矩这样一个物理量来描述力使物体转动的效果。力F F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线的距离h的乘积，并冠以适当的正、负号，记作()OMFhF其中，点O称为
5、矩心；h称为力臂；Fh表示力使物体绕点O转动效果的大小；是一个代数量。()OMF规定：使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。根据定义图2-3所示的力 对点O的矩为1F11 11()sinOMFhFh F由定义知：力对点的矩与矩心的位置有关，同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对力矩要指明矩心。在计算力系的合力对某点的矩时，常用到所谓合力矩定理，即平面力系的合力对某点O之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。设平面力系由 组成，该力系合力为 ，则有12n，F FFRFR1()()nOOiiMMFF例如果计算力F对点O的矩，如图2-5所示，由合力矩定理，有()()()OOxOyxyMMMyFxFF
6、FF图 2-5第二节第二节 力偶矩力偶矩 平面力偶系的简化平面力偶系的简化力偶力偶是由一对等值、反向、不共线的平行力组成的特殊力系。它对物体的作用效果是使物体转动。力偶中的两个力对其作用面内某点之矩的代数和，称为该力偶的力偶矩，记为 ，简记为M。()M，F F如图2-6所示：与 组成一个力偶，两力之间的距离d，称为力偶臂。FF在力偶作用面内任选一点O，设点O到力 的距离为a；按定义，该力偶的力偶距 为F()M，F F()()MF daFaFd，F F图 2-6力偶矩与矩心无关，这是力偶矩区别于力对点的矩的一个重要特性。正是由于这一点，写力偶矩时不必写出矩心，只记作 或M即可，有()M，F F(
7、)MMFd，F F力偶中两个力在任意轴上的投影的代数和都为零，这也是力偶所特有的性质力偶不能与单个力等效，也不能与单个力相平衡力和力偶是静力学中的两个基本要素。根据力偶的特性，可以得到一个重要的结论，即同平面内力偶的等效定理：同一平面内的两个力偶等效的唯一条件是其力偶矩相等。该定理等价于下列事实：（1）力偶矩是力偶作用的唯一量度。（2）在力偶矩不变的前提下，可以在作用面内任意移动和转动力偶。（3）在力偶矩不变的前提下，可以同时改变力偶中力的大小和力 偶臂的长短。讨论平面力偶系的简化问题设平面力偶系由n个力偶组成，其力偶矩分别为12nMMM，图2-7 平面力偶系的简化（1）保持各力偶矩不变，同时
8、调整其力与力偶臂，使其有共同的臂长d。由于 ，所以有iiipiMF dF d(1 2)ipiidFFind，（2）将各力偶在平面内移动和转动，使各对力的作用线分别共线。（3）求各共线力系的代数和，每个共线力系得一合力，而这两个合力 等值、反向，相距为d，构成一个合力偶，其力偶矩为R11nnpiiiiMF dF dM即平面力偶系可以用一个力偶等效代替，其力偶矩为原来各力偶矩的代数和。图 2-8第三节第三节 平面力系的简化平面力系的简化作用在刚体上A点处的力F F，可以平移到刚体内任一点B，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。这就是力线平移定理。FFF 证设刚体上A点作
9、用着一个力F F，在刚体内任选B点，现在把力F F平移到B点。根据加减平衡力系公理在B点处加上一对平衡力 ，使得FFFFF故点A处的力F F就由点B处的力 及附加力偶等效代替了，而且该力偶的力偶矩M等于原来的F对新作用点B的矩。FF在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。在实践上，应用力线平移定理，可以很方便地简化一个复杂的力系。例图 2-11（a）图 2-11（b）攻螺纹用的铰杠丝锥攻螺纹用的铰杠丝锥设刚体上作用着一个平面力系 ，如图2-12所示。12n，FFF图 2-12（1）在平面力系内任选一点O，称为。（2）将平面汇交力系中的各个力作矢量和，得到一个合力矢，称为原力系的主矢
10、，记为 。由简化过程知RFR11nniiiiFFF（3）附加的平面力偶系中各力偶的力偶矩由力线平移定理知()(1 2)iOiMMin，F其力偶矩记为 ，称为原力系的主矩，它等于各力偶矩的代数和，也等于原力系中各力对简化中心O点的矩的代数和，即OM11()nnOiOiiiMMMF综上所述，平面力系向作用面内任意一点简化，可以得到一个力和一个力偶；力称为原力系的主矢，它等于原力系中各力的矢量和；力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。选定直角坐标系xOy，计算出各力在两轴上的投影，再根据合力投影定理得到主矢在两轴上的投影 ，最后求得主矢即 ，即RxFRyFRF2
11、222RRR11()()nnxyixiyiiFFFFFRRRRc o sc o sxyFFFF式中：，分别是 与x轴和y轴的夹角它是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全固定，即不能移动也不能转动的一种约束形式。例（a）（b）图 2-13固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系。如图所示固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动，而平面铰链约束则只限制被约束体移动，并不限制其转动；从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样，用一对正交分力表示约束力的主矢之外，还必须加上一个约束力
12、偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。三、简化结果的进一步讨论三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明合力矩定理的证明对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，可能出现以下四种情况：R00OFM，R00OFM，R00OFM，R00OFM，（1）（2）（3）（4）情况（1），说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶，其力偶矩就等于力系的主矩。值得指出，当力系简化为一个力偶时，主矩与简化中心的选取无关。R00OFM，情况（2），说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力的作用线恰好通过简化中心（否则）。这个力就是原力系的合力。在这种情况下，记为 ，以将它与一般力系的主矢相区别。
13、R00OFM，RRFF 情况（3），这种情况还可以进一步简化：由力的平移定理知，与 可以由一个 等效代替。这个力，但作用线不通过简化中心O，若设合力作用线到简化中心的距离为d，则 。R00OFM，RFOMR|/|OdMF三、简化结果的进一步讨论三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明合力矩定理的证明其中 为合力 的作用点，ORF图 2-15（a）（b）（c）RRRFFFRR()OMM，FF另外，由图2-15（b）及证明过程知RR1()()nOOOiiMF dMMFF情况（4），表明该力系对刚体总的作用效果为零。根据牛顿惯性定律，此时物体将处于静止或匀速直线运动状态，即物体处于平衡状态。R00
14、OFM，三、简化结果的进一步讨论三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明合力矩定理的证明第四第四节节 平面力系的平衡条件与平衡平面力系的平衡条件与平衡方程式方程式平面力系平衡的充分和必要条件是力系的主矢及作用面内任意一点的主矩同时为零。证由主矢为零，即22R110nnixiyiiFFF 得1100nixiniyiFF而由主矩为零，有1()0nOOiiMMF综合以上两式，并采用简写记号：以 ，代表力在轴上的投影，以 表示力对点O的矩，xFyF得000 xyOFFM（2-182-18）方程式（2-18）就是平面力系平衡方程式的基本形式，它由两个投影式和一个力矩式组成，即平面力系平衡的充分和必要条
15、件是各力在作用面内一对正交坐标轴上的投影代数和以及各力对作用面内任意点O之矩的代数和同时为零。二矩式平衡方程为000ABxMMF式中，AB连线不得与x轴相垂直。（2-19）方程式（2-19）也完全表达了力系的平衡条件：由 知，该力系不能与力偶等效，只能简化为一个作用线过矩心A的合力，或者为平衡力系；0AM 由 知，若该力系有合力，则合力必通过A，B连线0BM 最后，由 知，若有合力，则它必垂直于x轴；而据限制条件，A，B连线不垂直于x轴，故该力系不可能简化为一个合力，从而所研究的力系必为平衡力系，如图2-16所示。0 xF 三矩式平衡方程为000ABCMMM其中，A，B，C三点不得共线。图 2
16、-16由 ，知，该力系只可能为作用线过A，B两点的合力或是平衡力系；0AM0BM由式 ，且C点不在AB连线上知，该力系无合力，为平衡力系，如图2-17所示。0CM 图 2-17应用方程式（2-19）或式（2-20）时，不得违背其限制条件，否则会得到不独立的方程式，仍然不能求得三个未知量。例例对于，即各力作用线共面且汇交于一点的力系，假定各力线汇交于点O，则取O点为简化中心，这时由于不必进行力线的平衡，也就不会产生附加的平面力偶系，从而只要主矢为零，该力系就平衡。其平衡方程为00 xyFF（2-21）图 2-18例例对于平面平行力系（各力作用线共面且平行的力系），该力系简化后其主矢必与各力平行从
17、而方向已知，这时可取两个投影轴分别与该力系平行和垂直，则与该力系垂直的轴上的投影方程总是自然满足的，故其平衡方程式为00yOFM（2-22）图 2-19对于平面力偶系，由于它简化后为一个合力偶，而力偶在任何轴上的投影都是零，因此，式（2-18）中的前两式自然满足。所以，平面力偶系的平衡方程为0OM第五节第五节 平面力系平衡方程式的应用举例平面力系平衡方程式的应用举例应用平衡方程式求解平衡问题的方法，称为解析法解题方法包含以下步骤1 1选取研究对象，进行受力分析选取研究对象，进行受力分析所谓研究对象研究对象，是指为了解决问题而选择的分析主体。选取研究对象的原则原则是：要使所取物体上既包括已知条件
18、，又包括待求的未知量。选取之后，要对它进行受力分析，画出其受力图。2 2建立平衡方程式建立平衡方程式三个小步骤：（1）选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、一般力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等）。（2）建立投影轴，列投影方程式。投影轴的选取，原则上是任意的，不一定非取水平或铅垂方向，应根据具体问题，从解题方便入手去考虑。（3）取矩心，列力矩方程。矩心的选取也要从解题方便的角度加以考虑。3 3解平衡方程式，求得其中所包含的未知量解平衡方程式，求得其中所包含的未知量由平衡方程式可知，一个静力学平衡问题经过上述力学分析之后，往往归结于求解一个线性方程组。从理论上说，只要建立的平衡方程
19、组具有完整的定解条件，如独立方程数与未知量数目相等，那么求解它是不困难的。但是如果所要解的方程组互相联立，则计算往往比较麻烦。例2-1，如图2-20（a）所示的结构，不计两杆自重。杆AB上作用有力偶，已知 ，求A点和C点处的约束力。5 kN mM 0.5 ml 解（1）取BC为研究对象。BC为二力杆，其受力分析如图2-20（b）所示。（a）（b）图 2-20（2）取AB为研究对象。其受力分析如图2-20（c）所示。列平衡方程 ：0AM cos453sin450BBFlFlM 从而可求得3.54kNBF 所以3.54kNACBFFF图 2-20（c）例2-2悬臂梁AB如图2-21所示。梁上作用均
20、布载荷（包括自重），载荷集度（单位长度梁上的载荷），梁自由端处受集中力集中力偶矩 ，梁长 ，求固定端A处的约束力。2kN/mq20kNF12kN mM3ml 图 2-21解（1）取梁为研究对象，作受力图。固定端的约束力用 ，三个分量表示。AxFAyFAM（2）列平衡方程。选用基本形式的平衡方程式（2-18），坐标系如图2-21所示。由000 xyAFFM得0002AxAyAFFFqllMMFlql其中，第三式中 是用合力矩定理求得的均布载荷q对A点之矩。2lql（3）由上面的方程组解得0AxF(20 2 3)kN 26kNAyFF ql 22112 20 32 3 kN m 81kN m22A
21、qlMM Fl 其中，是显然的。因为该结构所有外力都没有沿x方向的分量。0AxF例2-3 求图2-22所示结构中铰链A，B处的约束力。图 2-22解（1）取系统整体为研究对象。画受力如图2-22所示。固定铰链A处约束力用 ，表示。AxFAyF（2）列平衡方程，有由 ：0 xF cos0AxBFF由 ：0yF 12sin0AyBFFFF由 ：()0AMF122sin20BF lFlF l（3）解上述方程组，得12/2sinBFFF12/2tanAxFFF22AyFF，第六节第六节 物系的平衡物系的平衡 静定与超静定的概念静定与超静定的概念所谓物系，是指由若干个部件按一定方式组合而成的机构或结构。
22、这里构成物系的部件主要是刚体，因此也称为刚体系统。若物系中的每个物体和物系整体都处于平衡状态，则称研究物系平衡问题的主要要点包括：（1）求外界对物系整体的约束力。（2）求物系内各物体之间相互作用的内力。（3）求机构平衡时主动力与工作阻力之间的关系静定问题：静定问题：即所考察的问题中所包含的独立的平衡方程数目与未知量（主要是约束力）总数相等。超静定问题：超静定问题：即问题中包含的独立平衡方程数少于未知量数。例例如图2-23所示为由两根和三根绳索吊起一个重物。图2-23（a）为静定问题，图2-23（b）为超静定问题（a）（b）图 2-23例例图2-24（a）表示一个连续梁结构有三个独立的平衡方程，
23、而结构中包含了五个未知的约束力，故为二次超静定结构。该梁若没有中间两个活动铰支座，则为一个简支梁，属于静定问题，如图2-24（b）所示。把梁做成超静定的，主要是为了提高梁的强度与刚度性能，如图2-24（c）所示。（a）（b）（c）图 2-24例例2-42-4，AC，CD两段梁在C处由铰链连接。其支承和受力如图2-25（a）所示。若已知 ，不计梁重，求支座A，B，D处的约束力和铰链C处所受之力。10kN/mq40kN mM 分析可分别取每段梁为研究对象，先取CD段梁为研究对象，因为其中包含了三个未知量 ，可以由三个平衡方程求出它们，然后再取整体或AC段梁，由三个平衡方程求得余下的三个未知量。Cx
24、FC yFDF图 2-25（a）解解，（1）取CD段梁作研究对象，受力分析如图2-25（b）其中含 ，三个未知量。CxFCyFDF列方程0CM 24m(2m)02DqFM，0 xF 0CxF，0yF 2m0CyDFFq，解得2m402 10kN 15kN4m4DMqF 0CxF2m(2 10 15)kN5kNCyDFqF 图 2-25（b）（2）再取AC段梁为研究对象，受力分析如图2-25（c）所示。在数值上有 ，。CxCxFFCyCyFF由二矩式0 xF 0AxCxFF，0AM 4m2m2m 3m 0CyBFFq，0BM 2m2m 2m1m 0AyCyFFq，解得 0AxF 15kNAyF
25、40kNBF，图 2-25（c）例例2-5 2-5 如图2-26（a）所示结构，已知物体重 ，求A和B处的约束力以及杆BC所受的力。10 kNP 图 2-26（a）解（1）研究整体，其受力分析如图2-26（b）所示。列出平衡方程并求解：0 xF 0AxFP10kNAxF，0AM 4(1.5m)(2m)0BFPrPr 8.75kNBF，0yF 0AyBFFP1.25kNAyF，（2）以CE杆（带滑轮）为研究对象，其受力分析如图2-26（c）所示。图 2-26（c）列出平衡方程并求解：0DMsin1.5m(1.5m)0CBFPrP r 12.5kNCBF，例例2-62-6如图2-27（a）所示，A
26、B杆和BC杆在B点处铰接，C处为活动铰支座。已知 ，均布载荷 ，求A，C处的约束力。150NF400N mM 200N/mq解（1）受力分析：图2-27（b）分别为AB杆、BC杆及整体的受力图。（a）（b）图 2-27（2）以BC为研究对象：0BM 2m2m 1m 0CyFq 200NCyF，（3）以整体为研究对象：0 xF 0AxF，0yF 2m 0AyCyFFFq 350NAyF，0AM 1m2m 3m4m 0ACyMM FqF 950N mAM，例例2-72-7如图2-28（a）所示的曲轴冲床机构由圆盘O、连杆AB和冲头B组成。A，B两处为铰链连接。，。若不计各零件自重及摩擦，当OA在水
27、平位置，冲压力为F F时，求主动力偶矩M。OARABl解由几何法，作三角形，如图2-28（c）所示。/cosABFF，为压力。再取圆盘O为研究对象，受力分析如图2-28（d）所示。（b）（c）（d）图 2-28（a）由 0OM 得cos0ABFR McosABMFR FR例例2-82-8平面桁架受力分析如图2-29（a）所示。已知 ，试求其中4，5，7，10各杆内力。10kNCF 20kNEGFF图 2-29（a）分析桁架是由直杆铰接而成的结构。图示桁架中所有杆件都在一个平面内，故称为平面桁平面桁架。桁架中杆件的铰链接头处称为节点节点。是指每次取一个节点作为研究对象求A，B处的约束力，取整体为
28、研究对象。由000 xyAFFM得sin300AxGFFcos300AyBCEGFFFFF42cos3030BCEGFa F a Fa Fa可解出 10 kNAxF21.8kNAyF25.5 kNBF，取节点A为研究对象受力分析如图2-29（b）所示。图 2-29（b）0 xF 21cos450AxFFF，0yF 1sin450AyFF，解得12(221.8)kN30.83kNsin45AyAyFFF212cos4510 30.83kN31.8kN2AxFFF 再取节点D为研究对象，受力分析如图2-29（c）所示。与上面类似地求得321.8kNF 421.8kNF，又取节点C为研究对象，受力图
29、如图2-29（d）所示，可求得516.7kNF 643.6kNF，最后取节点E为研究对象，受力图如图2-29（e）所示，可求得720kNF 1043.6kNF，（c）（d）（e）图 2-29解法二解法二 所谓截面法所谓截面法假想地用一个截面将桁架中若干根杆截开，将桁架截成两个部分，取其中一部分为研究对象，求得截面处各杆的内力。受力分析如图2-29（f）所示，40AyFa F a421.8kNAyFF由 得0CM 由 得 0yF 5cos450AyCFFF516.7kNF 图 2-29（f）受力分析如图2-29（g）所示由 得0FM 102sin30cos300BGGFa F a Fa Fa 1
30、02sin30cos3043.6kNBGGFFFF关于 ，可由 求出，7F0yF 720kNBFF图 2-29（g）第七节第七节 滑动摩擦及其平衡问题滑动摩擦及其平衡问题两个相互接触的物体，当它们具有相对滑动趋势或已经滑动时，接触表面上将产生阻碍滑动的力。当物体之间只有滑动趋势而尚未滑动时，这种力称为，简称。而当物体之间已经产生相对滑动时，则称为力，简称。静摩擦力的性质静摩擦力的性质静摩擦力可以看作是接触面对具有滑动趋势的物体的切向约束力。图 2-30静摩擦力的取值范围是ffm0FF最大静摩擦力的取值满足如下定律：最大静摩擦力发生于物体的临界平衡状态，其大小与两物体间的法向约束力成正比，其方向
31、与物体的滑动趋势相反。上述定律为静摩擦定律，其数学表达式为fmNFfF式中f称为静摩擦因数，它是反映摩擦表面物理性质的一个比例常数。当物体已经滑动时，接触面上作用着阻碍相对滑动的动摩擦力，它与静摩擦力有相似的性质，在数值上也与接触面的法向约束力成正比，即fNFf F式中，是动摩擦因数f 接触表面对物体的法向约束力和切向约束力（即摩擦力）可以合成为一个合力 ,称为全约束力。RF如图2-31所示图 2-31全约束力与接触面法线的夹角为 ，其正切值 。fNtan/F F当静摩擦力由零增大到最大值时，也由零增大到最大值 ，且有mNfmmNNtanfFFfFF 称为摩擦角，它是全约束力与接触面法线夹角的
32、最大值。当物体处于临界平衡状态时，全约束力与法线方向的夹角即为摩擦角。m如图2-32所示为一可调角度的平板，上面放置重为P P的物体。若分别用待测静摩擦因数的两种材料制成平板和重物，并逐渐调整斜面倾角使物块进入临界平衡状态，则这时的斜面倾角 就是摩擦角 。于是有0m0mtantanf图 2-32二、滑动摩擦平衡问题举例二、滑动摩擦平衡问题举例摩擦平衡问题分为下列三种类型:（1）物体的平衡尚未达到临界平衡状态 此时静摩擦力也未达到最大值。（2）物体处于临界平衡状态 此时有最大静摩擦力 ,其方向要根据物体的运动趋势确定。fmNFfF（3）平衡范围问题 需根据摩擦力的取值范围来确定某些主动力或约束力
33、的取值范围。例2-9如图2-33（a）所示，物块A重 ,放在悬臂梁DB的粗糙平面下，两边分别用绳及弹簧拉住，绳绕过滑轮B吊一重为 的物块C，系统处于平衡状态。已知 ,，物块A与梁间摩擦因数 。问1P2P110 NP 2100NP 30 0.2f（1）欲保持物块A平衡，弹簧拉力应为多大？（2）当弹簧拉力 时，物块A与梁之间的摩擦力为多大？80NF 图 2-33（a）解解（1）这是平衡范围问题。设弹簧拉力的最小值为 ，此时物块A处于临界平衡状态，且有向右运动趋势。故摩擦力 ，且方向向左，如图2-33（b）所示。minFfNFfF由0 xF 2minNcos0PFfF，0yF 21Nsin0PP F
34、，解得min221cos(sin)FPf PP311000.210010N2278.6N图 2-33（b）设弹簧拉力取最大值 ，此时物体A也处于临界平衡状态但具有向左运动趋势。故摩擦力方向如图2-33（c）所示。maxF由0 xF 2Nmaxcos0PfFF，0yF 2N1sin0PFP，解得max221cos(sin)FPf PP311000.210010N22 94.6 N综合与知：当 时，物块A可以处于平衡状态。78.6 N94.6NF图 2-33（c）（2）依题意取物块A为研究对象，受力分析如图2-33（d）所示，此 时 方向可假设向右。fFf23cos80 100N6.6N2FF P
35、 0 xF 2cos0fFPF，其中，负号表示此时摩擦力实际方向与假设相反。图2-33（d）例2-10 凸轮推杆机构如图2-34（a）所示。已知推杆与滑道间的静摩擦因数为f，滑道宽度为b，推杆直径为d。问：为保证推杆不会被卡住，a应取多大？设凸轮与推杆间的摩擦不计。图2-34解法一取推杆刚能被卡住时的平衡状态，即临界平衡状态来研究，可以求得a的最大值，即 。maxa取推杆为研究对象，作受力图，如图2-34（b）所示。A，B处的摩擦力均向下，且为最大静摩擦力。图2-34（b）列方程0 xF NN0ABFF，0yF ff0ABFFF，0AM maxNf02BBdF aF bF d，fNAAFfFf
36、NBBFfF，联立上述方程，解得max2baf即只要 ，推杆就不会被卡住。max2baaf解法二 全约束力与接触面的法线夹角为摩擦角 。m受力分析如图2-34（c）所示。图2-34（c）由几何关系，设 ，交于点C,则有RAFRBFmmtantan22ddaabm2 tanba 因 ，故有mtanf2baaf例2-11 制动器的构造和主要尺寸如图2-35（a）所示。若制动块与鼓轮表面间摩擦因数为f，求制动鼓轮转动的最小力F。图2-35（a）解所谓最小力F F，应使鼓轮刚能停住，故为临界平衡状态问题。此时摩擦力 。fmNFfF先取鼓轮：受力分析如图2-35（b）所示。由 ，得10OM图2-35（b）Tfm0FrF RfmrFPR，其中TFPfmNFfF，NrFPRf再取杆，如图2-35（c）所示。图2-35（c）0OM Nfm0Fa F b F c，于是Nfm11()rbrcrbFF bF cPPc Paa RfRaRf即欲使鼓轮停住，至少应加力 。rbFc PaRfThank You!
