1、2021届全国新高考数学备考复习空间向量的应用考法2 证明垂直考法1 证明平行 考法3 线面角 专题综合考法训练考法4 二面角 u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 n 专题综合 考法训练考法1 证明平行1利用向量证明线面平行，主要有两条途径：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)利用向量平行的条件证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量是平行向量2利用向量证明面面平行，主要有两条途径：(1)证明两个平面的法向量互相平行；(2)转化为线线平行、线面平行问题u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 辽宁沈阳2019模拟如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂
2、直，BECF，BCF90，AD ，BE3，CF4，EF2.求证：AE平面DCF.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 【证明】平面ABCD平面BEFC，DC平面ABCD，且DCBC，DC平面BEFC.以点C为坐标原点，以CB，CF，CD所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.设ABa，则C(0，0，0)，A(，0，a)，B(，0，0)，E(，3，0)，F(0，4，0)，D(0，0，a)，又CDCFC，CB平面CDF.CBAE.又AE 平面CDF，AE平面DCF.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 广西南市2019模拟如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC
3、A1B1C1中，ACBC，AC1，BC2，AA14，M为侧面AA1C1C的对角线的交点，D，E分别为棱AB，BC的中点求证：平面MDE平面A1BC1.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 【证明】根据题意以C为坐标原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则C(0，0，0)，A1(1，0，4)，B(0，2，0)，C1(0，0，4)，E(0，1，0)，u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 1黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2019期中如图，在四棱锥SABCD中，侧棱SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABAD，且SAABBC2，
4、AD1，M是棱SB的中点求证：AM平面SCD.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 【证明】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，S(0，0，2)，M(0，1，1)，(1，2，0)设平面SCD的法向量为n n(x，y，z)，得n n(2，1，1)，n n0，即 n n.AM 平面SCD，AM平面SCD.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 2四川攀枝花2019第二次统考如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BAD90，ABCD，ADCD2AB，E，F分别为PC，CD的中点证明：平面A
5、PD平面BEF.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 【证明】以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设AB1，PA2t(t0)，则B(1，0，0)，E(1，1，t)，F(1，2，0)，设平面BEF的法向量为n n(x，y，z)，取x2，可得n n(2，0，0)又平面APD的一个法向量为m m(1，0，0)，m mn n，平面APD平面BEF.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 考法2 证明垂直1证明线线垂直首先找出两条直线的方向向量，然后利用向量垂直的充要条件证明2证明直线与平面垂直(1)根据线面垂直的判定定理证明直线与平面内的两条相交直
6、线垂直；(2)转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线3证明平面与平面垂直(1)根据面面垂直的判定定理证明一个平面内的一条直线的方向向量与另一个平面的法向量平行；(2)转化为证明这两个平面的法向量互相垂直u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 江西南昌外国语学校2019适应性考试如图，已知长方形ABCD中，AB2，AD1，M为DC的中点将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM.求证：ADBM.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 【证明】取AM的中点O，AB的中点N，则ON，OA，OD两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系根据已知条件，得u 专题专题4 4空
7、间向量的应用空间向量的应用 安徽芜湖2019模拟如图，已知圆柱OO1，底面半径为1，高为2，ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其路径最短时在侧面留下的曲线记为.将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转(00)，则A(0，0，0)，B(2t，0，0)，C(2t，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，N(t，1，1)设n n(x1，y1，z1)为平面PCD的法向量，则取y11，则n n(0，1，1)设m m(x2，y2，z2)为平面ANB的法向量，则取y21，则m m(0，1，1)，所以m mn n0，所以平面ANB平面PCD.u 专题专题4 4空间向量的应
8、用空间向量的应用 考法3 线面角利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 江西九江2019模拟如图，已知四棱锥PABCD的底面是边长为 的菱形，BAD60，点E是棱BC的中点，DEACO，点P在平面ABCD上的射影为O，F为棱PA上一点(1)求证：平面PED平面BCF；(2)若F为棱PA的中点，PO2，求直线CF与平面PAB所成角的正弦值u 专题专题4 4空间向量的应用空
9、间向量的应用 (1)【证明】PO平面ABCD，BC平面ABCD，POBC.连接BD，依题意得BCD为等边三角形，又E为棱BC的中点，BCDE.又PODEO，PO，DE平面PED，BC平面PED.又BC平面BCF，平面PED平面BCF.(2)【解】设ACBDQ，以Q为坐标原点，QB，QC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0，3，0)，B(，0，0)，C(0，3，0)，P(0，1，2)，设平面PAB的一个法向量为m m(x，y，z)，令z2，得m m(，1，2)故直线CF与平面PAB所成角的正弦值为 .u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 湖南常德2019检测如图，在直三棱
10、柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C12，CC12 ，BAC120，O为线段B1C1的中点，P为线段CC1上一动点(异于点C，C1)，Q为线段BC上一动点，且QPOP.(1)求证：平面A1PQ平面A1OP；(2)若BOPQ，求直线OP与平面A1PQ所成角的正弦值u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (1)【证明】A1B1A1C12，O为线段B1C1的中点，A1OB1C1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，易知CC1平面A1B1C1，A1OCC1，而CC1B1C1C1，A1O平面CBB1C1，QPA1O.又QPOP，A1OOPO，QP平面A1OP.又QP平面A1PQ，平面A1PQ平面A
11、1OP.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (2)【解】过点O作O1OC1C交BC于O1，以O为坐标原点，A1O，OC1，O1O所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，BAC120，OB1OC1 ，则O(0，0，0)，C1(0，0)，B1(0，0)，B(0，2 )，A1(1，0，0)，u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 5河北衡水2019联考如图，三棱锥ABCD中，E是AD的中点，ABD为等边三角形，DB2，DC1，BC ，平面ABD平面BCD.(1)求证：DCBE；(2)求直线BE与平面ABC所成
12、角的正弦值u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (1)【证明】DB2，DC1，BC ，DB2DC2BC2，BDDC.平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，DC平面ABD.又BE平面ABD.DCBE.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (2)【解】取BD中点F，连接AF，ABD为等边三角形，AFBD.平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，AF平面BCD.由BD2，知AF .过F点作FHCD，则FHBD，FH平面ABD.分别以FB，FH，FA所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz，则F(0，0，0)，B(1，0，0)，D(1，0，0
13、)，A(0，0，)，C(1，1，0)设平面ABC的法向量为n n(x，y，z)，设直线BE与平面ABC所成角为，u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 6江西吉安2019模拟如图，棱长为a的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的点，且BEBF ，将AED，DCF沿DE，DF折起，使得A，C两点重合于P，设EF与BD交于M点，过点P作POBD于O点(1)求证：PO平面BFDE；(2)求直线MD与平面PDF所成角的正弦值u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (1)【证明】在正方形ABCD中，BEBF，DEDF，B，D在EF的垂直平分线上，EFBD.PDPF，PDPE，P
14、EPFP，PD平面PEF，EFPD.又EFBD，PDBDD，EF平面PBD，EFPO.又POBD，EFBDM，PO平面BFDE.(2)【解】连接PM，由题可知M为EF的中点，PEPF，PMEF.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 如图所示，过点O作与EF平行的直线为x轴，BD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 记直线MD与平面PDF所成角为，则u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 考法4 二面角利用向量法计算二面角的大小(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的
15、夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 湖南永州2019三模在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1底面ABC，ABC90，且侧面ABB1A1为菱形(1)证明：A1B平面AB1C1；(2)若A1AB60，AB2，直线AC1与底面ABC所成角的正弦值为 ，求二面角A1AC1B1的余弦值u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (1)【证明】四边形ABB1A1是菱形，A1BAB1.平面ABB
16、1A1平面ABC，平面ABB1A1平面ABCAB，BCAB，BC平面ABB1A1，BCA1B.BCB1C1，A1BB1C1.又AB1B1C1B1，A1B平面AB1C1.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (2)【解】取A1B1的中点M，连接BM，易证BM平面ABC，且ABBC，以BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BM所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设BCt，则A(2，0，0)，A1(1，0，)，C(0，t，0)u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 设平面AA1C1的法向量为n n1 1(x1，y1，z1)，u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用
17、四川2019第二次质量检测如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BCC1B1，ACAB1.(1)求证：平面ABC1平面AB1C；(2)若ABBC2，BCC160，求二面角BAC1B1的余弦值u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (1)【证明】如图，设BC1B1CG，连接AG.因为三棱柱的侧面BCC1B1为平行四边形，所以G为B1C的中点，因为ACAB1，所以AB1C为等腰三角形，所以B1CAG.又因为AB侧面BCC1B1，且B1C平面BCC1B1，所以ABB1C.又因为ABAGA，所以B1C平面ABC1，又因为B1C平面AB1C，所以平面ABC1平面AB1C.u 专题专题4 4
18、空间向量的应用空间向量的应用 (2)【解】由(1)知B1C平面ABC1，所以B1CBC1.以G为坐标原点，以 的方向为x轴正方向，以 的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由B1CBC1易知四边形BCC1B1为菱形，因为ABBC2，BCC160，所以GBGC11，GCB1G .则可得G(0，0，0)，C1(1，0，0)，B1(0，0)，A(1，0，2)，u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 7吉林长春2019质量检测如图所示，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E为CD的中点，AE与BD交于点O，将ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P 平面
19、ABCE)(1)证明：平面POB平面ABCE；(2)若直线PB与平面ABCE所成的角为 ，求二面角APEC的余弦值u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (1)【证明】在等腰梯形ABCD中，易知DAE为等边三角形，ODAE，OBAE，即在PAE中，OPAE，AE平面POB.又AE平面ABCE，平面POB平面ABCE.u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (2)在平面POB内作PQOB，PQ平面ABCE.直线PB与平面ABCE的夹角为PBQ .OPOB，易知OPOB，即O，Q两点重合，OP平面ABCE.以O为原点，OE所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立
20、空间直角坐标系，则 设平面PCE的法向量为n n1 1(x，y，z)，由题意得平面PAE的法向量为n n2 2(0，1，0)，设二面角APEC的大小为，则由图可知为钝角，u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 8安徽六校2020届联考已知三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA1，侧面ABB1A1底面ABC，D是BC的中点，B1BA60，B1DAB.(1)求证：ABC为直角三角形；(2)求二面角C1ADB的余弦值u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (1)【证明】取AB的中点O，连接OD，B1O，AB1.在ABB1中，ABB1B，B1BA60，ABB1是等边三角形又O为AB的中点，B1OAB.又B1DAB，B1OB1DB1，且B1O，B1D平面B1OD，AB平面B1OD.OD平面B1OD，ABOD.又ODAC，ABAC，ABC为直角三角形u 专题专题4 4空间向量的应用空间向量的应用 (2)【解】由(1)可知，OB，OD，OB1两两垂直，故以O为坐标原点，OB，OD，OB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系令ABACAA12，则C(1，2，0)，A(1，0，0)，D(0，1，0)，B(1，0，0)，B1(0，0，)，二面角C1ADB为钝二面角，二面角C1ADB的余弦值为 .
