1、3.2导数与函数的单调性导数与函数的单调性第三章导数及其应用新高考数学复习考点知识讲义课件考试要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式 函数一般不超过三次).函数函数的单调性与导数的关系的单调性与导数的关系知识知识梳理梳理条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)上_f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的什么条件？微思考提示若f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0，所以“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分
2、不必要条件.2.若函数f(x)在区间(a，b)上存在递增区间，则在区间(a，b)上，f(x)应满足什么条件？提示若f(x)在(a，b)上存在递增区间，则当x(a，b)时，f(x)0有解.题组一思考题组一思考辨析辨析基础自测基础自测1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(2)在(a，b)内f(x)0且f(x)0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.()(3)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增.()(4)函数f(x)xsin x在R上是增函数.()题组二
3、教材题组二教材改编改编2.如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下列判断正确的是A.在区间(2,1)上f(x)单调递增B.在区间(1,3)上f(x)单调递减C.在区间(4,5)上f(x)单调递增D.在区间(3,5)上f(x)单调递增解析在(4,5)上f(x)0恒成立，f(x)在区间(4,5)上单调递增.3.函数yxcos xsin x在下面哪个区间上单调递增解析yxsin x，经验证，4个选项中只有在(，2)内y0恒成立，yxcos xsin x在(，2)上单调递增.4.函数f(x)(x2)ex的单调递增区间为 .(1，)解析f(x)的定义域为R，f(x)(x1)ex，令f(x)0，
4、得x1，当x(1，)时，f(x)0；当x(，1)时，f(x)0)在2，)上单调递增，则a的取值范围是 .(0,2函数在2，)上单调递增，2，)a，)，a2.又a0，00，0a2.TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破题型突破 核心探究核心探究题型一题型一不含参的函数的单调性自主演练1.函数f(x)x22ln x的单调递减区间是A.(0,1)B.(1，)C.(，1)D.(1,1)令f(x)0，得x1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增.2.函数f(x)x2 的单调递增区间是A.(0,1)B.(，1)C.(，0)D.(0，)解析f(x)的定义域为(，1，令f(x)0，得
5、x0.当0 x1时，f(x)0.当x0.f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0,1).3.已知定义在区间(0，)上的函数f(x)x2cos x，则f(x)的单调递增区间为 .解析f(x)12sin x，x(0，).4.函数f(x)(x1)exx2的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .解析f(x)的定义域为R，f(x)xex2xx(ex2)，令f(x)0，得x0或xln 2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表，(，0)，(ln 2，)(0，ln 2)x(，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增f(x)的单调递增区间为(，
6、0)，(ln 2，)，单调递减区间为(0，ln 2).思维升华确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调的步骤即可，但应注意一是不能遗忘求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.题型二题型二含参的函数的单调性师生共研例1 1已知函数f(x)ax2(a1)xln x，a0，试讨论函数yf(x)的单调性.解函数的定义域为(0，)，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，函数f(x)在(0，)上单调递增；引申探究若将本例中参数a的范围改为aR，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？解当a0时，讨论同上；当a0时，ax10；x(1，)时，
7、f(x)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，x(0，a)时，f(x)0，综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增.(2)g(x)(xa1)ex(xa)2.解g(x)的定义域为R，g(x)(xa)ex2(xa)(xa)(ex2)，令g(x)0，得xa或xln 2，当aln 2时，x(，ln 2)(a，)时，f(x)0，x(ln 2，a)时，f(x)0，当aln 2时，f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递增，当a0，x(a，ln 2)时，f(x)ln 2时，f(x)在(，ln 2)，(a，)上单调递增，
8、在(ln 2，a)上单调递减；当aln 2时，f(x)在R上单调递增；当a1的解集为 .解析f(x)exex2x1，定义域为R，当且仅当x0时取“”，f(x)在R上单调递增，又f(0)1，原不等式可化为f(2x3)f(0)，命题点2 2根据函数的单调性求参数的值(范围)例3 3已知函数f(x)ln x ax22x(a0)在1,4上单调递减，则a的取值范围是 .解析因为f(x)在1,4上单调递减，引申探究本例中，若f(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围.解因为f(x)在1,4上存在单调递减区间，则f(x)1，又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，).根据函数单调性求参数的一般
9、思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0(f(x)0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.思维升华跟踪训练2 2(1)已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(2)5，对任意的x都有f(x)，则f(x)x4的解集是 .(2，)F(x)为R上的减函数，又F(2)f(2)14，即F(x)2.(2)(2020深圳调研)设函数f(x)x29ln x
10、在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是 .(1,2因为函数f(x)在区间a1，a1上单调递减，构造函数解不等式构造函数解不等式拓展视野以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)g(x)，f(x)g(x)，”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题.一、构造yf(x)g(x)型可导函数例1 1设f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)cos x0，则不等式f(x)sin
11、x的解集为 .(0，)解析令(x)f(x)sin x，当x0时，(x)f(x)cos x0，(x)在0，)上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，(x)为R上的奇函数，(x)在(，0上单调递减，故(x)在R上单调递减且(0)0，不等式f(x)sin x可化为f(x)sin x0，即(x)0，即(x)0，原不等式的解集为(0，).二、利用f(x)与x构造可导型函数例2 2设f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0的解集为 .思路点拨出现“”法形式，优先构造F(x)xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.(，4)(0,4)解析构造F(x)xf(x)，则F(x)
12、f(x)xf(x)，当x0时，f(x)xf(x)0，可以推出当x0时，F(x)0的解集为(，4)(0,4).例例3 3(八省联考)已知a5且ae55ea，b4且be44eb，c3且ce33ec，则A.cba B.bcaC.acb D.abc思路点拨出现“”法形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.解析方法一所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(3)f(4)f(5)，f(c)f(b)f(a)，所以abc.a，b，c依次为方程的根，结合图象，方程的根可以看作两个图象的交点的横坐标，由图可知ab0时，2f(x)xf(x)，则使得f(x)0成
13、立的x的取值范围是 .思路点拨满足“xf(x)nf(x)”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.(1,0)(0,1)当x0时，xf(x)2f(x)0时，F(x)0的解集为(1,0)(0,1).(1)出现nf(x)xf(x)形式，构造函数F(x)xnf(x)；(2)出现xf(x)nf(x)形式，构造函数F(x).思维升华三、利用f(x)与ex构造可导型函数例5 5已知f(x)是定义在(，)上的函数，导函数f(x)满足f(x)e2f(0)，f(2 021)e2 021f(0)B.f(2)e2 021f(0)C.f(2)e2f(0)，f(2 021)e2 021f(
14、0)D.f(2)e2f(0)，f(2 021)e2 021f(0)思路点拨满足“f(x)f(x)0”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.导函数f(x)满足f(x)f(x)，则F(x)0，且f(0)1，则不等式f(x)的解集为 .(0，)解析构造F(x)f(x)e2x，F(x)f(x)e2xf(x)2e2xe2xf(x)2f(x)0，F(x)在R上单调递增，且F(0)f(0)e01，即F(x)F(0)，x0原不等式的解集为(0，).(1)出现f(x)nf(x)形式，构造函数F(x)enxf(x)；(2)出现f(x)nf(x)形式，构造函数F(x).思维
15、升华四、利用f(x)与sin x，cos x构造可导型函数思路点拨满足“f(x)cos xf(x)sin x0”形式，优先构造F(x)，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.导函数f(x)满足f(x)cos xf(x)sin x0，把选项转化后可知选A.f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)f(x)sin x，F(x)f(x)sin xf(x)cos x；思维升华KESHIJINGLIAN3课时精练课时精练1.函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是12345678910 11 12 13 14 15 16
16、基础保分练解析利用导数与函数的单调性进行验证.f(x)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0时，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增.2.下列函数中，在(0，)上单调递增的是A.f(x)sin 2x B.g(x)x3xC.h(x)xex D.m(x)xln x12345678910 11 12 13 14 15 163.(2020甘肃静宁一中模拟)已知函数f(x)x2，若函数f(x)在2，)上单调递增，则实数a的取值范围为A.(，8)B.(，16C.(，8)(8，)D.(，1616，)即a2x3恒成立，x2，(2x3)min16，故a16.12345678910 11 12 13 14
17、 15 164.已知函数f(x)sin xcos x2x，af()，bf(2e)，cf(ln 2)，则a，b，c的大小关系是A.acb B.abcC.bac D.cba12345678910 11 12 13 14 15 16解析f(x)的定义域为R，f(x)在R上单调递减，又2e1,0ln 21，ln 2f(ln 2)f(2e)，即acb.12345678910 11 12 13 14 15 165.(多选)若函数f(x)ax33x2x1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是A.3 B.1 C.0 D.2解析依题意知，f(x)3ax26x1有两个不相等的零点，解得a3且a0.故选BD.12
18、345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)若函数g(x)exf(x)(e2.718，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数不具有M性质的为A.f(x)B.f(x)x21C.f(x)sin x D.f(x)x12345678910 11 12 13 14 15 16当x1且x0时，g(x)1时，g(x)0，g(x)在(，0)，(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；对于B，f(x)x21，则g(x)exf(x)ex(x21)，g(x)ex(x21)2xexex(x1)20在实数集R上恒成立，g(x)exf(x)在定义域R
19、上是增函数；12345678910 11 12 13 14 15 16对于D，f(x)x，则g(x)xex，则g(x)(x1)ex.当x1时，g(x)0，ex1，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，又f(x1)f(1)，0 x11，即1x2，原不等式的解集为(1,2.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.(2020济南质检)若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是 .12345678910
20、 11 12 13 14 15 16解析f(x)的定义域为(0，)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1611.函数f(x)(x2axb)ex，若f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为6xy50.(1)求a，b的值；12345678910 11 12 13 14 15 16解f(x)(2xa)ex(x2axb)exx2(2a)xabex，f(0)ab，又f(0)b，f(x)在(0，f(0)处的切线方程为yb(ab)x，即(ab)xyb0，12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求函数f(x)
21、的单调区间.解f(x)(x2x5)ex，xR，f(x)(x2x6)ex(x2)(x3)ex，当x3时，f(x)0；当2x0，故f(x)的单调递增区间是(2,3)，单调递减区间是(，2)，(3，).12345678910 11 12 13 14 15 1612.讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性.12345678910 11 12 13 14 15 16解f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；12345678910 11 12 13 14 15 16综上，当a1时，f(x)在(0，)上
22、单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；12345678910 11 12 13 14 15 16技能提升练13.(多选)若0 x1x2x2ln x1 B.x1ln x2D.12exx21exx12exx21exx12345678910 11 12 13 14 15 16解析令f(x)xln x，当0 x1时，f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递减.0 x1x21，f(x2)f(x1)，即x2ln x2x2ln x1.12345678910 11 12 13 14 15 16当0 x1时，g(x)0，即g(x)在(0,1)上单调递减，0 x1x21，g(x2)g(x1)，即 ，故
23、选AC.12exx21exx12345678910 11 12 13 14 15 16x|x112345678910 11 12 13 14 15 16即函数F(x)在R上单调递减.F(x2)1，即不等式的解集为x|x1.12345678910 11 12 13 14 15 16拓展冲刺练15.已知函数f(x)xsin xcos xx2，则不等式f(ln x)f 2f(1)的解集为 .12345678910 11 12 13 14 15 16解析f(x)xsin xcos xx2是偶函数，则原不等式可变形为f(ln x)f(1)f(|ln x|)0，得当x0时，f(x)0.所以f(x)在(0，
24、)上单调递增.12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知函数f(x)aln xax3(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；当a0时，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，)；当a0时，f(x)的递增区间为(1，)，递减区间为(0,1)；当a0时，f(x)为常函数，无单调区间.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2 在区间(t,3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围.12345678910 11 12 13 14 15 16g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)在区间(t,3)上有变号零点.12345678910 11 12 13 14 15 16当g(t)0时，即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m9，
