1、 中考数学3.4二次函数考点一二次函数的图象与性质1.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为()A.y=(x-4)2+7B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2-25答案答案By=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故选B.2.(2019甘肃兰州,11,4分)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是()A.2y1y2B.2y2y1C.y1y22D.y2y12答案答案A由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,
2、y的最大值为2,在对称轴右侧,y随x的增大而减小,又1y1y2,故选A.3.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是()A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)D.y的最小值为-9答案答案D图象的对称轴为直线x=-=-1,在y轴的左侧,故A错;当x=0时,y=-8,图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错;y=x2+2x-8=(x+4)(x-2),图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错;y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)20,(x+1)2-9-9,y
3、的最小值为-9,故D正确.22中考复习二次函数教学课件中考复习二次函数教学课件4.(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m1)沿y轴向下平移3个单位,则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案D解法一:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3=+,平移后得到的抛物线的顶点坐标为.m1,0,-m2+6m-13=-(m-3)2-40,即1,=b2-4ac=-(m-1)2-4(m-3)=(m-3)2+40.m1,0,对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口
4、向上,顶点在第四象限.故选D.2-1-2mx2-6-134mm2-1-6-13,24mmm-12m2-6-134mm-12m中考复习二次函数教学课件中考复习二次函数教学课件5.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称,则符合条件的m、n的值分别为()A.,-B.5,-6C.-1,6D.1,-257187答案答案D若两条抛物线关于y轴对称,则两条抛物线的对称轴关于y轴对称,两条抛物线与y轴交于同一点,由解得故选D.2-13-0,222-4,mmnnm1,-2,mn中考复习二次函数教学课件中考复习二次函
5、数教学课件6.(2020四川南充,9,4分)如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与正方形有公共点,则实数a的取值范围是()A.a3B.a1C.a3D.a119191313答案答案A当抛物线经过点(1,3)时,a=3;当抛物线经过点(3,1)时,a=,由图象可知a3,故选A.1919中考复习二次函数教学课件中考复习二次函数教学课件7.(2020江西,22,9分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:x-2-1012ym0-3n-3(1)根据以上信息,可知抛物线开口向,对称轴为;
6、(2)求抛物线的表达式及m,n的值;(3)请在图中画出所求的抛物线.设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P,描出相应的点P,再把相应的点P用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线;(4)设直线y=m(m-2)与抛物线及(3)中的点P所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A1,A2,A3,A4,请根据图象直接写出线段A1A2,A3A4之间的数量关系:.中考复习二次函数教学课件中考复习二次函数教学课件解析解析(1)上;直线x=1.详解:由x=-1,y=0;x=0,y=-3;x=2,y=-3,可知抛物线开口向上.由题表可知:x=0,y=-3;x=2,y=-3,根据二次函数图象的对称性可知抛物线的
7、对称轴为直线x=1.(2)由题表可知抛物线过点(0,-3).y=ax2+bx-3.将(-1,0),(2,-3)代入,得解得y=x2-2x-3.当x=-2时,m=(-2)2-2(-2)-3=5;当x=1时,n=12-21-3=-4.(3)如图1所示,点P所在曲线是抛物线.详解:设P(x,y),P(x,y),P是OP的中点,x=2x,y=2y,代入点P所在图象的表达式可得2y=(2x)2-22x-3,即022-30,42-3-3.a bab1,-2.ab中考复习二次函数教学课件中考复习二次函数教学课件y=2x2-2x-,为点P所在曲线的表达式,点P所在曲线是抛物线.(4)A3A4-A1A2=1.详
8、解:如图2.设点A1,A2,A3,A4对应的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,A1A2=x2-x1,A3A4=x4-x3,A3A4-A1A2=x4-x3-(x2-x1)=x4+x1-(x3+x2),令y=x2-2x-3=m,可得x2-2x-3-m=0,它对应的两个根应为x1,x4,x1+x4=2,令y=2x2-2x-=m,可得2x2-2x-m=0,它对应的两个根应为x2,x3,x2+x3=1,A3A4-A1A2=2-1=1.323232中考复习二次函数教学课件中考复习二次函数教学课件8.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x
9、轴有两个交点.(1)求k的值;(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.解析解析(1)抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,-=0,即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.(2分)当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去.当k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意.k=-3.(4分)(2)点P到y轴的距离为2,点P的横坐标为-2或2.又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且由(1)知k=-3,当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-
10、5.(6分)点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).(8分)2-62kk中考复习二次函数教学课件中考复习二次函数教学课件易错警示易错警示(1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-.(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,二者容易混淆,从而导致失分.2ba考点二系数a、b、c的作用1.(2020云南昆明,13,4分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与y轴交于点B(0,-2),点A(-1,m)在抛物线上,则下列结论中错误的是()A.ab时,y10,根据对称轴在y轴右侧可知-0,b0,所以ab0,A选项结论正确;根据题图可知,
11、一元二次方程ax2+bx+c=0的负实数根在-1和0之间,根据图象的对称性可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间,B选项结论正确;易知x=-=1,所以b=-2a,又抛物线经过点(0,-2),故函数解析式为y=ax2-2ax-2,把点(-1,m)代入得,a+2a-2=m,即a=,C选项结论正确;易证当t=时,y1=y2;当ty2,当t时,点P2距离对称轴较远,y10.抛物线的对称轴x=-在y轴右侧,-0,而a0,b0.当a0,b0时,反比例函数y=的图象经过第一、三象限,故选D.2ba2bacx3.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,
12、a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:x-2-1012y=ax2+bx+ctm-2-2n且当x=-时,与其对应的函数值y0.有下列结论:abc0;-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;0m+n0,b0,c0,正确.根据二次函数图象的对称性可知(-2,t)关于对称轴x=的对称点为(3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t(a0)的两个根,正确.对称轴为直线x=,-=,b=-a,当x=-时,y0,a-b-20,即a+a-20,a.对称轴为直线x=,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象过点(-1,m),(2,n),m=n,又当x=-1时,m=a-b+c=a+
13、a-2=2a-2,m+n=4a-4,a,4a-4,错误.故选C.0121212122ba121214121412831283203考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2020内蒙古呼和浩特,6,3分)已知二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1,当x取互为相反数的任意两个实数值时,对应的函数值y总相等,则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0的两根之积为()A.0B.-1C.-D.-1214答案答案D依题意得,该二次函数图象的对称轴为y轴.-(a+2)=0,解得a=-2.方程可化为-4x2+1=0,设方程两根分别为x1,x2,x1x2=-,故选D.14解题关键解题
14、关键明确该抛物线的对称轴为y轴是解题关键.2.(2020贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0n0)有两个根,其中一个根是3,当y=-m时,关于x的方程ax2+bx+c=-m(m0)有两个根,其中一个根是3.则函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,设直线y=-m(m0)与函数y=ax2+bx+c的图象交于A,B两点,点B的横坐标是3,由对称性得点A的横坐标是-5,如图所示.设直线y=-n(0nm)与函数y=ax2+bx+c的图
15、象交于C、D,点C的横坐标为x1,点D的横坐标为x2,a0,-5x1-3,1x23,关于x的方程ax2+bx+c=-n(0nm)有两个整数根,这两个整数根是-4或2,故选B.3.(2019贵州贵阳,10,3分)在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y=x+上,若抛物线y=ax2-x+1(a0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是()A.a-2B.aC.1a或a-2D.-2a0,解得a.若抛物线与线段AB有两个不同的交点,则当a0时,解得a1,1a.综上所述,1a或a-2,故选C.1212321223-212981 10,-1 1 1,aa 1 10,-1 1
16、1,aa 98984.(2019辽宁大连,10,3分)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线上,且CDAB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,与抛物线交于P,Q两点,则线段PQ的长为()A.3B.1+C.4D.2141255答案答案D在y=-x2+x+2中,令x=0,则y=2,C(0,2);令y=0,则-x2+x+2=0,解得x=-2或4,A(-2,0).CDAB,点D的纵坐标和点C的纵坐标相同,为2,令y=2,则-x2+x+2=2,解得x=0或2,D(2,2).设直线AD的解析式为y=kx+b(k0),将(-2,0),(2,2)代
17、入y=kx+b中,得解得直线AD的解析式为y=x+1,令y=x+1中的x=0,则y=1,E(0,1).令-x2+x+2=1,即x2-2x-4=0,解得x=1,所以PQ=(1+)-(1-)=2,故选D.141214121412-20,22,kbkb1,21,kb121214125555思路分析思路分析根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴的交点A,与y轴的交点C的坐标,因为CDAB,所以点D的纵坐标和点C的纵坐标相同,将点D的纵坐标代入抛物线解析式中,从而求出点D的坐标.利用待定系数法求直线AD的解析式,并进一步求出点E的坐标,将点E的纵坐标代入抛物线的解析式中,求出点P、Q的横坐标,进而可求出PQ
18、的长.5.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:抛物线经过点(1,0);方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;-3a+b0.a0.把(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3.-3a+b3.n的最小值为4.7.(2020宁夏,10,3分)若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是.答案答案k-1解析解析若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则=4+4k0,解得k-1.8
19、.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是.答案答案x1=-2,x2=5解析解析解法一:将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函数y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象与x轴交点的横坐标,而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象可以看作由函数y=ax2+bx+c的图象向右平移一个单位长度得到,所以将函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点也向右平移一个单位长度,为(-2,0)和(5,0).所以方程的解为x1=-2,x2=5.解法二:依题意,得解得所以关
20、于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可化为a(x-1)2-12a=-a+ax,即(x-1)2-12=-1+x,化简得x2-3x-10=0,解得x1=-2,x2=5.9-30,1640,a bcabc-,-12.baca考点一二次函数的图象与性质教师专用题组1.(2019浙江温州,9,4分)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1x3的取值范围内,下列说法正确的是()A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2答案答案Dy=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1x3).由图象可知当x=2时,y取得最小值-2,
21、当x=-1时,y取得最大值7.故选D.2.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案C当x=1时,y=a+2a-1+a-30,解得a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-=-0,=0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.2ba2-12aa24-4ac ba24(-3)-(2-1)4a aaa-8-14aa3.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2答案答案Dy=x2-
22、2x+1=(x-1)2,当a1时,在axa+1时,y随x的增大而增大,函数的最小值为a2-2a+1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,在axa+1时,y随x的增大而减小,函数的最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);当0a1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最小值为0,不合题意.综上,a的值为-1或2,故选D.4.(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为()A.y=3(x-3)2-3B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3D.y=3x2-6
23、答案答案A直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可.选A.5.(2020四川南充,10,4分)关于二次函数y=ax2-4ax-5(a0)的三个结论:对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等;若3x4,对应的y的整数值有4个,则-a-1或1a;若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB6,则a0,当3x4时,-3a-5y-5,当3x4时,对应的y的整数值有4个,-9-3a-5-8,1a.若a0,当3x4时,-5y-3a-5,当3x4时,对应的y的整数值有4个,-2-3a-5-1,-0,由抛物线与x轴交于不同两点A,B,得=16a2+20a0,即a(4a+
24、5)0,可得a0.AB6,抛物线对称轴为直线x=2,当x=5时,y=25a-20a-5=5a-50,a1.若a0,即a(4a+5)0,可得a-.AB6,抛物线对称轴为直线x=2,当x=5时,y=25a-20a-5=5a-50,解得a1.a-.综上所述,当a0和a0.然后根据AB6,可得当x=5时函数值y满足的条件,得出a的取值范围,进而可知正确.-42aa6.(2020内蒙古呼和浩特,7,3分)关于二次函数y=x2-6x+a+27,下列说法错误的是()A.若将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=-5B.当x=12时,y有最小值a-9C.x=2对应的函数值比最小值大
25、7D.当a0时,图象与x轴有两个不同的交点14答案答案Cy=x2-6x+a+27=(x-12)2+a-9,将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后,所得图象对应的二次函数解析式为y=(x-10)2+a+1,当x=4,y=5时,5=(4-10)2+a+1,解得a=-5,故A中说法正确.当x=12时,ymin=a-9,故B中说法正确.当x=2时,y=(2-12)2+a-9=a+16,a+16-(a-9)=25,故C中说法错误.=(-6)2-4(a+27)=36-a-27=9-a,当a0,图象与x轴有两个不同的交点,故D中说法正确.故选C.1414141414147.(2020江西,6,3分)
26、在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,连接AB,将RtOAB向右上方平移,得到RtOAB,且点O,A落在抛物线的对称轴上,点B落在抛物线上,则直线AB的表达式为()A.y=xB.y=x+1C.y=x+D.y=x+212答案答案B令x=0,则y=-3,故A(0,-3).令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,故B(3,0),易得直线AB的表达式为y=x-3.将RtOAB向右上方平移得到RtOAB,且点O、A落在抛物线的对称轴x=1上,点B的横坐标为4,代入抛物线表达式可得B(4,5).ABAB,可设直线AB的表达式为y
27、=x+b,将点B(4,5)代入可得b=1,直线AB的表达式为y=x+1,故选B.思路分析思路分析首先求出点A、B的坐标,然后由待定系数法求出直线AB的表达式.因为点O、B在x轴上,所以向右上方平移后OBx轴,ABAB,又点O、A落在抛物线的对称轴x=1上,可推出点B的横坐标为4,从而可求点B的坐标,将点B的坐标代入所设的直线AB的表达式中即可得解.8.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是.答案答案a1或a-1解析解析解法一:函数y=x2-
28、2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y轴的交点为(0,1-a).分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1.综上,实数a的取值范围是a1或a-1.解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且P,Q都在x轴的下方,令y=x-a+10,解得xa-1.令y=x2-2ax0时,解得0 x2a;当a0时,解得2ax0时,若有解,则a-10,解得a1;当a0时,若有解,则2aa-1,解得a1或a-1.-1,02xaxa-1,20 xaax难点突破难点突破根据二
29、次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破口.9.(2019浙江温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y0时x的取值范围;(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m0,n0,求m,n的值.12解析解析(1)令y=0,则-x2+2x+6=0,x1=-2,x2=6,A(-2,0),B(6,0).由函数图象得,当y0时,-2x6.(2)由题意
30、得B1(6,m),B2(6-n,m),B3(-n,m),函数图象的对称轴为直线x=2.点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,=2,n=1,m=-(-1)2+2(-1)+6=,m,n的值分别为,1.12-2626-(-)2nn127272考点二系数a、b、c的作用1.(2020天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0,c1)经过点(2,0),其对称轴是直线x=.有下列结论:abc0;关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根;a-.其中,正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.31212答案答案C抛物线的对称轴是直线x=,即-=,-=1,a+b=0,
31、ab0.ab1,abc0,方程有两个不等的实数根,正确;c1,c=-2a1,a0;b2-4ac0;8a+c0,正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案答案B根据抛物线开口方向及与y轴的交点位置可得a0.又抛物线的对称轴是直线x=-=1,b=-2a0,abc0,故正确.观察题图发现当x=-2时,y=4a-2b+c0.又b=-2a,8a+c0,当x=-1时,y=a-b+c0,两式相加,得5a+b+2c0,故正确.故选B.2ba3.(2020山东青岛,8,3分)已知在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=的图象如图所示,则一次函数y=x-b的图象可能是()cxca答案答案
32、B由二次函数的图象可知a0,由反比例函数的图象可知c0,0,-b0,一次函数y=x-b的图象与y轴负半轴相交且y随x的增大而减小.故选B.caca4.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是()A.c0B.b2-4ac0C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选D.1525.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
33、,下列说法正确的是()A.abc0B.abc0,b2-4ac0C.abc0,b2-4ac0,b2-4ac0,又对称轴在y轴右侧,所以-0,所以b0,因为抛物线与y轴交于负半轴,所以c0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0,故选B.2ba思路分析思路分析本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴,以及与y轴的交点位置来判断a,b,c的符号,由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号.6.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.
34、(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解析解析(1)将x=0代入y=4x+4,得y=4,B(0,4).将点B向右平移5个单位长度得到点C,C(5,4).(2)将y=0代入y=4x+4,得x=-1,A(-1,0).将(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,抛物线的对称轴为直线x=-=-=1.(3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的对称点(3,0).由(2)得y=ax2-2ax-3a.a0时,如图1.2ba-22
35、aa图1将x=5代入抛物线的解析式得y=12a,12a4,a.a4,a-.若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.43图3将(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a,a=-1.综上所述,a或a-或a=-1.1343考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2020广东广州,9,3分)直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是()A.0个B.1个C.2个D.1个或2个答案答案D直线y=x+a不经过第二象限,a0.当a=0时,方程为2x+1=0,只有一个实数解;当a0,方程有两个解.故方程有1个解或2个解.故选D.易错警示易错警示本题易
36、将a=0的情况漏掉,从而错选C.2.(2019山东潍坊,12,3分)抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.2t11B.t2C.6t11D.2t6答案答案A抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,b=-2,y=x2-2x+3,一元二次方程x2+2x+3-t=0有实数根可以看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,对于y=x2-2x+3,当x=-1时,y=6,当x=4时,y=11,函数y=x2-2x+3在x=1时取最小值2,2t11.故选A.思路分析思路分析根据所给的抛物
37、线的对称轴求出函数解析式为y=x2-2x+3,将一元二次方程x2+2x+3-t=0有实数根看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,再由-1x0.一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0 x3)沿y轴向上平移c个单位形成的,一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2沿y轴向下平移c个单位形成的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0 x3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c(即l2)经过原点时,0+2-c=0,c=2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,3+
38、2-c=0,c=5,根据图象可得当28B.b-8C.b8D.b-8答案答案D由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.将代入得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以=(-8)2-4(8-b)=4b+320,所以b-8,故选D.2(-3)-1,2,yxyxb5.(2020湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过A(2,0),B(-4,0)两点.下列四个结论:一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4;若点C(-5,y1),D(,y2)在该抛物线上,则y10)的根为整数,则p的值只有两个.其中正确
39、的结论是(填写序号).答案答案解析解析点A、B是抛物线与x轴的交点,ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4,故对;由A、B两点可知抛物线的对称轴方程是x=-1,则(-5,y1)关于抛物线的对称轴的对称点为(3,y1),a-1时,y随x增大而减小,3,y20,所以直线l与该抛物线总有两个交点.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交点为C,则C点的坐标为(0,1),易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1,所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2,所以OAB的面积S=OC|x1-x2|=12=.21212228.(2019北京,26,6分)在平
40、面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.1a11,-2a解析解析(1)抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,点A的坐标为.将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B的坐标为.(2)点B在抛物线上,4a+2b-=-,即b=-2a.抛物线的对称轴为直线x=1.(3)点A,B,P.1a10,-a12,-a12,-a1a1a10,-a12,-a11,-2a当a0时,-0
41、,如图1.图1设抛物线上的点C.当x1时,y随x的增大而减小,yC1).当x1时,y随x的增大而增大,xD2.1a1,2Cy1a结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.当a0时,(i)当-a2,如图2.图2设抛物线上的点C.当x-.121a1,2Cy1a设抛物线上的点D(xD,2)(xD1).当x1时,y随着x的增大而减小,xD2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.(ii)当a=-时,A(0,2),B(2,2),P,Q(2,2),如图3.图3结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,2).121,22(iii)当a-时,0-2,如图4.图4设抛物线上的点C.当x
42、-.设抛物线上的点D(xD,yD),121a1,2Cy1a11,-DDxya当x1时,y随x的增大而减小,xD2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点.综上所述,a的取值范围为a-.12解题关键解题关键解决本题的关键是分情况讨论后精准画图,要在探究的过程中发现点P与点A,B纵坐标相等的关系,进而关注点Q与抛物线的位置关系.9.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.(1)求k,a,c的值;(2)过点A(0,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两
43、点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.解析解析(1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1,2)也在二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2.(6分)(2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(-x0,m),故
44、BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4的图象上,所以-2+4=m,即=2-,从而BC2=4=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4),所以m=1时,W取最小值7.(12分)解法二:由(1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=,x2=-.所以BC=2,又OA=m,从而W=OA2+BC2=m2+=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4).所以m=1时,W取最小值7.(12分)20 x20 x2m
45、20 x2-2m2-2m2-2m22 2-2mA组20182020年模拟基础题组时间:45分钟分值:55分一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2020广西崇左江州一模,10)若A(-4,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x-m的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y2y1y3C.y3y1y2D.y1y3y2答案答案B由y=x2+4x-m=(x+2)2-m-4可得抛物线开口向上,对称轴为直线x=-2,A(-4,y1),B(-3,y2)在对称轴的左侧,y随x的增大而减小.-4-3,y2y1.故y3y1y2.故选B.2.(20
46、20海南琼海一模,7)抛物线y=(x-1)2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是()A.y=-(x-1)2+3B.y=(x+1)2+3C.y=(x-1)2-3D.y=-(x-1)2-3答案答案D抛物线y=(x-1)2+3的顶点坐标为(1,3),此抛物线关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为(1,-3),且开口向下,所求抛物线解析式为y=-(x-1)2-3.故选D.3.(2020湖北荆州4月模拟,9)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+ac的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案D由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得a0,-0,b0,ac0
47、.一次函数y=bx+ac的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,故选D.2ba4.(2019四川绵阳涪城二诊,6)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是()A.m9B.m9C.m-9D.m-9答案答案A抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,=b2-4ac0,即(-6)2-41m9,m的取值范围是m9.故选A.二、填空题二、填空题(每小题3分,共12分)5.(2020上海长宁二模,11)如果抛物线y=(a-1)x2-1(a为常数)不经过第二象限,那么a的取值范围是.答案答案a1解析解析抛物线y=(a-1)x2-1(a为常数)不经过第二象限,且该抛物线交y轴于负半轴,a-
48、10,解得a0的解集;(3)设D为抛物线上一点,E为对称轴上一点,若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为.解析解析(1)AB=2,抛物线的对称轴为直线x=2,点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(3,0).把A、B两点的坐标代入抛物线解析式得解得抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.(2)不等式x2+bx+c0即y0,由题图及(1)得x3.故不等式x2+bx+c0的解集为x3.(3)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,顶点坐标为(2,-1).易知点D,E不可能都在x轴下方.当点E,D均在x轴的上方时,由题意得DEAB,AD=AB=BE=DE=2,由抛物线的对称性,不妨设点
49、D在对称轴左侧,设对称轴与x轴的交点为G,则EG=,E(2,).由DE=2得D的坐标为(0,).当x=0时,y=02-40+3=3,故此时点D不在抛物线上,不合题意.10,930,bcbc-4,3,bc222-13333当点D,E位于x轴两侧时,如图,根据“菱形的对角线互相垂直平分,抛物线的对称性”得点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点,即D(2,-1),故答案是(2,-1).B组20182020年模拟提升题组时间:45分钟分值:50分一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2020江西南昌一模,6)对于二次函数y=ax2+(1-2a)x(a0),下列说法错误的是()A.该二次函数图
50、象的对称轴可以是y轴B.该二次函数图象的对称轴不可能是直线x=1C.当x2时,y随x的增大而增大D.该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧答案答案D二次函数图象的对称轴为直线x=-,当a=时,x=0,此时对称轴是y轴,故选项A中说法正确;a0,x=-=1-2时,y随x的增大而增大,故选项B、C中说法正确;当a=时,x=-=-1,此时对称轴在y轴左侧,故选项D中说法错误.故选D.1-22aa121-22aa12a141-22aa2.(2018湖北黄石模拟,8)若a0,c0,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象为()答案答案Ba0,抛物线的开口向下,故C项错误;c0,抛物线与y轴的交点在y轴的
