1、一元二次方程的解法一元二次方程的解法及其根的判别式及其根的判别式回民中学付灵强回民中学付灵强（一）考试要求（一）考试要求1、了解一元二次方程的概念、了解一元二次方程的概念2、会用直接开平方法，配方法，公、会用直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程。式法，因式分解法解一元二次方程。3、理解一元二次方程根的、理解一元二次方程根的判别式，判别式，会运用判别式解决实际问题。会运用判别式解决实际问题。（二）考点导析（二）考点导析例例1:选择适当方法解一元二次方程。选择适当方法解一元二次方程。4322x0852x0322 xx04222xx0243922xx441222xxx解：解：432
2、2x432x232232xx或2125xx或21,2521xx 解解 0852x此方程无实根058522xx0322 xx1,3010301321xxxxxx或3,121212141322122xxxxxxxx或（用因式分解法）（用因式分解法）解：解：（用配方法）（用配方法）解：解：04222xx62262222416844222x （用公式法）（用公式法）解：解：（用配方法）（用配方法）解：解：6262626262222122xxxxxx62,6221xx 解解0243922xx（用因式分解法）（用因式分解法）513,50)5)(135(02233223321xxxxxxxx（用直接开方法）
3、（用直接开方法）513,522332233223324392122xxxxxxxxxx或 解解0243922xx解解 441222xxx（直接开平方法）（直接开平方法）31,32122122122122122xxxxxxxxxx或知识要点知识要点1：直接开平方法：由直接开平方法：由 得得baxbbax02配方法：配方法：二次项系数化为二次项系数化为1；配方配方；把方程转化为把方程转化为 型，再求解。型，再求解。02bbax公式法：公式法：得得aacbbxacbacbxax2404,00222因式分解法：方程一边为零。因式分解法：方程一边为零。例例2 已知已知 ，求证，求证 或或 。012722
4、yxyxyx 3yx 4证明：证明：yxyxyxyxyxyxyxyx430403043012722或或练习：练习：是什么数时，是什么数时，的值的值 和和 的值相等。的值相等。x8632 xx122x本题思路：代数式的值相等可列方程：本题思路：代数式的值相等可列方程：解得解得1286322xxx.71xx或例例3 解方程解方程 。01|22xx解：解：12,121221021222201201|2|)0(|2122xxxyyyyyxxyyx即原方程化为令例例4 某林场第一年造林某林场第一年造林200亩，从第一年亩，从第一年到第三年共造林到第三年共造林728亩，求后两年造林面积亩，求后两年造林面积
5、的平均年增长率。的平均年增长率。分析：设平均年增长率为分析：设平均年增长率为 x增长率增长率造林面积造林面积（亩）（亩）等量关系等量关系第一年第一年第二年第二年第三年第三年xx200 x120021200 x三年共三年共造林造林728亩亩解：设平均年增长率为解：设平均年增长率为 。x根据题意得舍去整理得516%,202.085722501675257281200120020021222xxxxxx答：平均年增长率为答：平均年增长率为20%。知识要点知识要点2：利用一元二次方程解决实际问题。利用一元二次方程解决实际问题。例例5 阅读理解阅读理解，分析下列方程解法是否正确。，分析下列方程解法是否正
6、确。解方程解方程 。)0(02acbxax解：解：aacbbxaacbabxaacbabxacababxabxacxabxa2444244222002222222222 答：上述方程解法不正确，解答：上述方程解法不正确，解方程时应该分情况讨论时应该分情况讨论：aacbbxaacbabxaacbacbabxaacbacb24442,044042,044,04222222222,时当此方程无解没有平方根时当理解一元二次方程理解一元二次方程 ，根的判别式根的判别式 原方程有两个不相等实根；原方程有两个不相等实根；原方程有两个相等实根；原方程有两个相等实根；原方程无实根。原方程无实根。)0(02acb
7、xaxacb42000知识要点知识要点3：例例6：一元二次方程一元二次方程 ，a与与c异号，则方程（异号，则方程（）（A）有两个不相等实根）有两个不相等实根（B）有两个相等实根）有两个相等实根（C）没有实根）没有实根（D）根的情况无法判定）根的情况无法判定)0(02acbxaxA例例7 关于关于x的一元二次方程的一元二次方程 有两个不相等有两个不相等实根，则实根，则m的取值范围是（的取值范围是（）0112222xmxm43)(mA43)(mB243)(mmC且243)(mmD且解：由题意得解：由题意得0241202222mmm243mm且C例例8 若方程若方程 没有实根没有实根 求证求证 试写
8、出上述命题的逆命题；试写出上述命题的逆命题；判断判断中逆命题是否正确，若中逆命题是否正确，若 正确，请加以证明；若不正确，正确，请加以证明；若不正确，举反例说明。举反例说明。),(022是实数qpqpxx41qp例例9证明：证明：4141)(22pppp由题意得由题意得414141)21(2qpppy 0ppqp044422222pqqpqpqp2解（解（2）逆命题：）逆命题：如果如果 ；那么方；那么方程程 没有实根。没有实根。),(022是实数qpqpxx41qp解（解（3）：不正确。例如，）：不正确。例如，而方程而方程 有实根有实根411,1qpqp时0122 xx121xx例例9 若若
9、是一个完全是一个完全平方式，则平方式，则k等于（等于（）（A）-1 (B)2 (C)1 (D)-2B221 2kxkx054)1(25=01222222.kkkkxkx解得有等根解：解：5是完全平方式51222kxkx例例10:已知关于已知关于x的二次三项式的二次三项式 在实数范围内不能分解因式，则方在实数范围内不能分解因式，则方程程的实根的个数为（的实根的个数为（）（A）0个个 （B）1个个 （C）2个个 （D）1个或个或2个个)5()2(22mxmmx0)2(2)5(2mxmxm16420416164)5(4222221mmmmmmmm0400164mmmm解：解：所以所以 m4.)49(
10、4163620416164204)2(4)5(4225222222mmmmmmmmmmmmm时当D.故选个个或原方程实根数为,210.2所以m4，因为:当当m=5时时,原方程有一个实根原方程有一个实根.例例11、实数实数k是什么值时，方程组是什么值时，方程组 有唯一一个实数解，并求此解。有唯一一个实数解，并求此解。1 20242kxyyxy 解：把解：把式代入式代入式，整理得：式，整理得：解原方程组只有一个实数时当241001)42(22yxkxkxk16164161644)42(02222kkkkkkk时当016161k0k1kk时，或当原方程组有唯一解代入原方得由31yx程组得：程组得：原方程组有原方程组有312yxy14x或唯一实数解知识要点知识要点4：不解方程，判定方程根的情况；不解方程，判定方程根的情况；用判别式，求未知系数的值；用判别式，求未知系数的值；与判别式有关的证明；与判别式有关的证明；判别式在方程组中的应用。判别式在方程组中的应用。
