1、12023-2-15第9章 电路的频率响应 v 9.1 9.1 正弦激励下稳态电路的响应正弦激励下稳态电路的响应v 9.2 9.2 正弦稳态的网络函数正弦稳态的网络函数v 9.3 9.3 RLCRLC电路的频率响应电路的频率响应 v 9.4 9.4 谐振谐振v 9.5 9.5 非正弦周期函数激励下稳态电路的响应非正弦周期函数激励下稳态电路的响应v 9.6 9.6 波特图波特图v 9.7 9.7 滤波器滤波器22023-2-15图图9-1 含有多个独立源的电路含有多个独立源的电路一种情况是各正弦电源的频率都相同；一种情况是各正弦电源的频率都相同；另一种是各正弦电源的频率不相同的情况。另一种是各正
2、弦电源的频率不相同的情况。9.1 9.1 正弦激励下稳态电路的响应正弦激励下稳态电路的响应含有多个正弦电源激励的线含有多个正弦电源激励的线性非时变电路，可以运用叠性非时变电路，可以运用叠加定理进行分析。但在运用加定理进行分析。但在运用叠加定理时，需要根据不同叠加定理时，需要根据不同的情况分别进行考虑。的情况分别进行考虑。32023-2-159.1.1 同频率正弦激励下稳态电路的响应同频率正弦激励下稳态电路的响应v 当正弦稳态电路中各个正弦电源的频率都相同时，电路的当正弦稳态电路中各个正弦电源的频率都相同时，电路的响应还是同频率的正弦量，这与本教材第响应还是同频率的正弦量，这与本教材第7 7章讨
3、论的正弦章讨论的正弦稳态电路情况是完全相同的，因此第稳态电路情况是完全相同的，因此第7 7章所述的网孔分析章所述的网孔分析法、节点分析法、叠加定理以及戴维南定理等都可以用来法、节点分析法、叠加定理以及戴维南定理等都可以用来分析同频率正弦激励下稳态电路的响应，此处不再详述。分析同频率正弦激励下稳态电路的响应，此处不再详述。42023-2-159.1.2 不同频率正弦激励下稳态电路的响应不同频率正弦激励下稳态电路的响应 当同一电路中各个正弦电源的频率不相同时，可用线当同一电路中各个正弦电源的频率不相同时，可用线性电路的性电路的叠加定理叠加定理对电路进行分析。对电路进行分析。在运用叠加定理时，由于各
4、不同频率正弦量激励下电在运用叠加定理时，由于各不同频率正弦量激励下电路的响应分量是不同频率的正弦量，不同频率的正弦量之路的响应分量是不同频率的正弦量，不同频率的正弦量之和不再是正弦量，这表明，在不同频率正弦量激励下，电和不再是正弦量，这表明，在不同频率正弦量激励下，电路的响应不再按正弦规律变化。因此在用线性电路的叠加路的响应不再按正弦规律变化。因此在用线性电路的叠加定理分析时，需要首先求解出各响应分量的时域表示式，定理分析时，需要首先求解出各响应分量的时域表示式，这些时域表示式为一些不同频率正弦量，再把这些不同频这些时域表示式为一些不同频率正弦量，再把这些不同频率正弦量相加就是所求电路的响应。
5、这里需要注意的是，率正弦量相加就是所求电路的响应。这里需要注意的是，不同频率正弦量的时域表示式可以相加，但它们的相量形不同频率正弦量的时域表示式可以相加，但它们的相量形式是不能相加的，因为相加是无意义的。式是不能相加的，因为相加是无意义的。52023-2-15 图图9-29-2所示电路各个电源的频率不同时，若要求某支路所示电路各个电源的频率不同时，若要求某支路电流电流ik（t），），仍可用相量法求各响应分量的相量形式：仍可用相量法求各响应分量的相量形式：,21kkII、图图9-2 9-2 不同频率独立源分别作用时的相量模型不同频率独立源分别作用时的相量模型9.1.2 不同频率正弦激励下稳态电路
6、的响应不同频率正弦激励下稳态电路的响应62023-2-15求解时，需要根据各自相应的相量模型分别求解求解时，需要根据各自相应的相量模型分别求解，再写出，再写出各响应分量相应的时域表示式各响应分量相应的时域表示式ik1（t）、）、ik2（t），），最后最后运用叠加定理将运用叠加定理将各响应分量相应的时域表示式进行叠加。各响应分量相应的时域表示式进行叠加。)()()(21tititikkk)cos()(11112tItikk其中其中)cos()(22222tItikk72023-2-15图图 不同频率独立源分别作用时相量模型不同频率独立源分别作用时相量模型 82023-2-15例例9-1 如图（如
7、图（a）所示电路，已知）所示电路，已知 tVtuS2cos24)(tAtiS4cos24)(求求uC(t)。解解（1）uS(t)单独作用时相量模型如图（单独作用时相量模型如图（b b）示）示212jjLj5.01211jjCjVjjjjUC146/11.162.092.0)5.0(5.0210/4VttuC)1462cos(211.1)(92023-2-15（2）iS(t)单独作用时相量模型如图所示单独作用时相量模型如图所示414jjLj25.01411jjCjVjjjjUC 165/26.0067.025.0)25.0(25.0410/4VttuC)1654cos(226.0)(102023
8、-2-15（3 3）由叠加定理）由叠加定理得得V)1654cos(226.0)1462cos(211.1)()()(CC tttututuC图图9-4 9-4 两个不同频率正弦量的叠加两个不同频率正弦量的叠加112023-2-15设有两个不同频率的正弦量设有两个不同频率的正弦量 、，其周期分别为，其周期分别为T T1 1 、T T2 2，则则 ，。)(tik1)(tik2111 Tf 221 Tf)1(21rrffr为无理数时，则响应是非周期性的。为无理数时，则响应是非周期性的。)1(21rrff21nTmTTCm、n为恰当的正整数，且为恰当的正整数，且 m=rn 两个正弦量叠加后得到的就是一
9、个以两个正弦量叠加后得到的就是一个以TC为周期的非正弦量。为周期的非正弦量。若若r为有理数，则一定存在一个公周期为有理数，则一定存在一个公周期TC，在每一个公周期内，在每一个公周期内包含着整数个包含着整数个T1和和T2，即，即122023-2-159.2 正弦稳态的网络函数正弦稳态的网络函数当电路中包含储能元件时，由于储能元件的阻抗是频率的函当电路中包含储能元件时，由于储能元件的阻抗是频率的函数，这就使同一电路对不同频率的激励信号会产生不同的响数，这就使同一电路对不同频率的激励信号会产生不同的响应，这种应，这种同一电路的响应随频率的改变而发生变化的现象是同一电路的响应随频率的改变而发生变化的现
10、象是用电路的频率特性用电路的频率特性来描述的；在电路分析中，频率特性则又来描述的；在电路分析中，频率特性则又是通过正弦稳态电路的网络函数来讨论的。是通过正弦稳态电路的网络函数来讨论的。132023-2-15 其中其中 是输入正弦激励的相量形式，可以是电压是输入正弦激励的相量形式，可以是电压源或电流源的相量，源或电流源的相量，为响应相量，是要研究的某条为响应相量，是要研究的某条支路的电压或流过某条支路的电流的相量形式，由于激支路的电压或流过某条支路的电流的相量形式，由于激励和响应都是频率的函数，所以网络函数又称为励和响应都是频率的函数，所以网络函数又称为频率响频率响应函数，简称频响。应函数，简称
11、频响。E)(jREjRjH)()(激励相量响应相量 1.1.网络函数的定义网络函数的定义 对单输入单输出电路来说，正弦稳态对单输入单输出电路来说，正弦稳态网络函数网络函数指的是响应指的是响应（输出）相量与激励（输入）相量之比，记作（输出）相量与激励（输入）相量之比，记作H(j)，即，即 142023-2-152.2.网络函数的分类：网络函数的分类：根据响应和激励的不同，网络函数分为根据响应和激励的不同，网络函数分为策动点函数和转移函数。策动点函数和转移函数。当响应和激励属于电路的同一端口时，该网络函数称为当响应和激励属于电路的同一端口时，该网络函数称为策动点策动点函数或驱动点函数函数或驱动点函
12、数。当响应和激励属于电路的不同端口时，则该网络函数称为当响应和激励属于电路的不同端口时，则该网络函数称为转移转移函数函数。策动点函数分类：策动点函数分类：根据输入、输出的不同，策动点函数又分为以下两种：策动点根据输入、输出的不同，策动点函数又分为以下两种：策动点阻抗函数和策动点导纳函数。策动点阻抗函数的输入是电流源，阻抗函数和策动点导纳函数。策动点阻抗函数的输入是电流源，输出是电压；策动点导纳函数的输入是电压源，输出是电流。输出是电压；策动点导纳函数的输入是电压源，输出是电流。152023-2-15策动点阻抗函数的输入是电流源，输出是电压；策动点导策动点阻抗函数的输入是电流源，输出是电压；策动
13、点导纳函数的输入是电压源，输出是电流。如下图所示。纳函数的输入是电压源，输出是电流。如下图所示。（a a）策动点阻抗函数）策动点阻抗函数 （b b）策动点导纳函数）策动点导纳函数 1111IUZ1111UIY162023-2-15当响应和激励属于电路的不同端口时，则该网络函数称为当响应和激励属于电路的不同端口时，则该网络函数称为转转移函数移函数。根据输入、输出的不同，转移函数分为以下四种：根据输入、输出的不同，转移函数分为以下四种：电压转移电压转移函数函数、电流转移函数电流转移函数、转移阻抗函数转移阻抗函数和和转移导纳函数转移导纳函数。电压。电压转移函数的输入、输出为两个不同端口的电压；电流转
14、移函转移函数的输入、输出为两个不同端口的电压；电流转移函数的输入、输出为两个不同端口的电流；转移阻抗函数的输数的输入、输出为两个不同端口的电流；转移阻抗函数的输入是电流，输出为电压；转移导纳函数的输入是电压，输出入是电流，输出为电压；转移导纳函数的输入是电压，输出为电流。为电流。172023-2-15 e e）转移阻抗函数）转移阻抗函数 f f）转移导纳函数）转移导纳函数 12UUHu12IIHi1221IUZ1221UIYc c）电压转移函数）电压转移函数 d d）电流转移函数）电流转移函数182023-2-15 网络函数网络函数H(j)是频率是频率的复值函数，表征了在单一的复值函数，表征了
15、在单一正弦激励作用下，响应相量随频率正弦激励作用下，响应相量随频率变化的情况，写作变化的情况，写作 )()()()()(jHejHjHj 其中其中|H(j)|是是H(j)的模，它是的模，它是的实函数，的实函数，反映了响应反映了响应与激励的幅值之比（或有效值之比）随与激励的幅值之比（或有效值之比）随变化的规律，称作电变化的规律，称作电路的幅频特性路的幅频特性。以。以为横轴，为横轴，H(j)为纵轴，绘出为纵轴，绘出|H(j)|随随的变化曲线称为的变化曲线称为幅频特性曲线幅频特性曲线。192023-2-15 （）是是H(j)的辐角，它也是的辐角，它也是的实函数，的实函数，反映了响应反映了响应与激励的
16、相位差随与激励的相位差随变化的规律。变化的规律。以以为横轴，为横轴，（）为纵为纵轴，绘出轴，绘出（）随）随变化的曲线称为变化的曲线称为相频特性曲线相频特性曲线。根据幅频特性曲线和相频特性曲线可以直观看出电路对不同根据幅频特性曲线和相频特性曲线可以直观看出电路对不同频率激励所呈现出的不同特性。频率激励所呈现出的不同特性。分析电路的频率特性，就是分析电路的幅频特性和相频特性，分析电路的频率特性，就是分析电路的幅频特性和相频特性，这些都需要根据网络函数来确定。这些都需要根据网络函数来确定。202023-2-153.3.网络函数的求解方法网络函数的求解方法网络函数是由电路的结构和参数来决定的，与电路的
17、输入网络函数是由电路的结构和参数来决定的，与电路的输入无关。在电路的结构和参数已知的条件下，求解电路的网无关。在电路的结构和参数已知的条件下，求解电路的网络函数可以用络函数可以用外施电源法外施电源法。另外，求解策动点阻抗或导纳。另外，求解策动点阻抗或导纳时，如果只有阻抗或导纳的串并联组合，则直接用阻抗的时，如果只有阻抗或导纳的串并联组合，则直接用阻抗的串并联公式或串并联公式或Y Y的等效变换计算即可。求解转移函数的等效变换计算即可。求解转移函数时，可以用分压、分流公式直接进行计算。时，可以用分压、分流公式直接进行计算。212023-2-15 实际电路的网络函数还可用实验的方法来确定，如果电路实
18、际电路的网络函数还可用实验的方法来确定，如果电路的内部结构及元件参数不太清楚，但输入、输出端钮可以触及的内部结构及元件参数不太清楚，但输入、输出端钮可以触及时，可以将一个正弦信号发生器接到被测电路的输入端，用示时，可以将一个正弦信号发生器接到被测电路的输入端，用示波器观测输入、输出波形，在信号发生器频率改变时，测得不波器观测输入、输出波形，在信号发生器频率改变时，测得不同频率下的输出与输入幅度之比，即可求得同频率下的输出与输入幅度之比，即可求得|H(j)|，再从输，再从输出和输入的相位差可进一步确定出和输入的相位差可进一步确定（）。222023-2-15例例9-2 9-2 求图（求图（a a）
19、所示电路在负载端开路时的策动点阻抗）所示电路在负载端开路时的策动点阻抗 /和转移阻抗和转移阻抗 /。1I2U1I1U232023-2-15解解 求解策动点阻抗时，可以直接利用阻抗的串并联公式求解策动点阻抗时，可以直接利用阻抗的串并联公式211114)2)(1(111)1(11jjjjjjIUZ)(2224442j242023-2-15求转移阻抗时，可外加电流源求转移阻抗时，可外加电流源 ，则，则1211242211111IjIjjIU1I221221442jIUZ可见，所求的策动点阻抗和转移阻抗皆是频率的函数，随着可见，所求的策动点阻抗和转移阻抗皆是频率的函数，随着频率的改变，相应的阻抗也会发
20、生变化。频率的改变，相应的阻抗也会发生变化。252023-2-159.3 RLC电路的频率响应电路的频率响应 当正弦激励的频率变化时，当正弦激励的频率变化时，RLC电路的响应也会发生相电路的响应也会发生相应的变化，应的变化，RLC电路的响应随频率变化的这种关系，称为电路的响应随频率变化的这种关系，称为RLC电路的频率响应电路的频率响应。262023-2-15 如图所示如图所示RLC串联电路，当串联电路，当=0时，电容开路，电感时，电容开路，电感短路，短路，uR（t）=0；当；当时，电容短路，电感开路，时，电容短路，电感开路，uR（t）=0。当。当在在0之间变化时，电容和电感均有有限之间变化时，
21、电容和电感均有有限的阻抗，电路电流不再为零，的阻抗，电路电流不再为零，R上会有一定的输出电压。上会有一定的输出电压。272023-2-15电路的电压转移函数为电路的电压转移函数为CRjLCCRjCjLCjCRjRCjLjRRUUjHSR2211)(1)(LCCRarctgCRLCCR22221901)()(282023-2-15222)()1()(CRLCCRjHLCCRarctg2190图图9-8 RLC串联电路的幅频特性曲线和相频特性曲线串联电路的幅频特性曲线和相频特性曲线292023-2-15当当 1-2LC=0=0时，即时，即LC10222)()1()(CRLCCRjH=0或或=|H(
22、j)|=0|H(j)|=1为最大值为最大值当当高于或低于高于或低于0 0时时，|H(j)|均将下降，并最终趋于零。均将下降，并最终趋于零。可见该电路具有带通滤波的特性，其中的可见该电路具有带通滤波的特性，其中的0 0称为中心频率。称为中心频率。302023-2-15RLCRLC串联电路的幅频特性曲线串联电路的幅频特性曲线1 1:上半功率频率上半功率频率 2 2:下半功率频率下半功率频率LC10?H(j)?10.707O 2 0 1 0:中心频率中心频率312023-2-15 为了表明为了表明RLCRLC电路对不同频率信号的选择性，通常将电路对不同频率信号的选择性，通常将 所对应的频率范围定义为
23、所对应的频率范围定义为通频带通频带，在，在 时，电路所损耗的功率恰好为时，电路所损耗的功率恰好为 时时的一半，因此转移函数的一半，因此转移函数 时所对应的两个频时所对应的两个频率点率点1 1、2 2分别称为分别称为上半功率频率和下半功率频率上半功率频率和下半功率频率，前者，前者高于中心频率也称为高于中心频率也称为上截止频率上截止频率，后者低于中心频率也称，后者低于中心频率也称为为下截止频率下截止频率。21)(jH21)(jH1)(jH21)(jH322023-2-1521)(jHCRLC21012CRLCLCLCCRCR242)(因为因为应始终为正值，所以上式开方项前均取正号，则得应始终为正值
24、，所以上式开方项前均取正号，则得两个截止频率为两个截止频率为 LCLRLRLCLRLR1221222221)()(332023-2-150 0与与1 1、2 2的关系为的关系为 210可见可见0 0 并不是位于并不是位于 1 1与与2 2之间的中心位置。之间的中心位置。上截止频率和下截止频率的差值就是上截止频率和下截止频率的差值就是通频带通频带，通频带的宽，通频带的宽度即度即带宽带宽为为LRBW21LCLRLRLCLRLR1221222221)()(LC10342023-2-15（a）（b）图图9-9 9-9 RLC并联电路并联电路图示图示RLCRLC并联组成的单口网络的等效导纳为并联组成的单
25、口网络的等效导纳为Y，则，则LjCjRY11RLCRLC并联电路的频率响应并联电路的频率响应352023-2-15若输出取自电流若输出取自电流 RI，则电流转移函数为，则电流转移函数为 LGjLCLGjLjCjRRUYURIIjHR211111)(222)()1()(LGLCLGjHLCLGarctg2190362023-2-1521)(jH时，两个截止频率分别为时，两个截止频率分别为 LCCGCGLCCGCG1)2(21)2(22221因此因此RLCRLC并联电路的带宽为并联电路的带宽为CGBW21372023-2-15对于对于RLC电路来说，可以用品质因数来衡量其幅频特性曲线电路来说，可以
26、用品质因数来衡量其幅频特性曲线的陡峭程度，所谓的陡峭程度，所谓品质因数指的是中心频率对带宽的比值品质因数指的是中心频率对带宽的比值，通常用通常用Q来表示，即来表示，即210Q在中心频率一定时，带宽在中心频率一定时，带宽BW与品质因数与品质因数Q成反比，成反比，Q越大，越大，BW越小，通频带越窄，曲线越尖锐，电路对偏离中心频率越小，通频带越窄，曲线越尖锐，电路对偏离中心频率信号的抑制能力越强，对信号的选择性越好；反之，信号的抑制能力越强，对信号的选择性越好；反之，Q越小，越小，带宽带宽BW越大，通频带越宽，曲线越平坦，电路对信号的选越大，通频带越宽，曲线越平坦，电路对信号的选择性越差。所以品质因
27、数择性越差。所以品质因数Q是描述电路频率选择性优劣的物是描述电路频率选择性优劣的物理量。理量。382023-2-15图图9-10 9-10 RLC串联电路对不同串联电路对不同Q值的的幅频特性曲线值的的幅频特性曲线392023-2-15对对RLCRLC并联电路来说，其品质因数并联电路来说，其品质因数Q Q为为GCQ0对对RLCRLC串联电路来说，其品质因数串联电路来说，其品质因数Q为为 RLQ0402023-2-159.4.1 9.4.1 串联谐振串联谐振端口端口a a、b b等效阻抗为等效阻抗为)()()1(1jZCLjRCjLjRZ22)1()(CLRjZRCLarctg1)(9.4 9.4
28、 谐振谐振当等效阻抗的虚部为零时，端口电压和当等效阻抗的虚部为零时，端口电压和电流将是同相的，且在端口外施一定的电流将是同相的，且在端口外施一定的电压时，端口电流将达到最大值，此时，电压时，端口电流将达到最大值，此时，称电路达到了谐振状态。称电路达到了谐振状态。谐振时，电路的等效阻抗是一个纯电阻，谐振时，电路的等效阻抗是一个纯电阻，且阻抗的模达到最小值。且阻抗的模达到最小值。412023-2-15根据谐振条件，即根据谐振条件，即 此时此时01CLLC10串联谐振时流过单口网络端口的电流为串联谐振时流过单口网络端口的电流为RUZUI1LC则称则称为谐振频率为谐振频率可见谐振频率恰好等于带通滤波电
29、路的中心频率可见谐振频率恰好等于带通滤波电路的中心频率 0，因此，因此前面所说的中心频率其实就是带通滤波电路的谐振频率，前面所说的中心频率其实就是带通滤波电路的谐振频率，今后都用今后都用 0表示谐振频率。表示谐振频率。422023-2-1501CLLC10RUZUI电阻元件两端电压为电阻元件两端电压为UIRURURCjCjIUC001RULjILjUL00RLRC001又由又由RCLUUUU可得可得0CLUU即串联谐振时，电容电压和电感电压大小相等方向相反，即串联谐振时，电容电压和电感电压大小相等方向相反，且两者电压分别为且两者电压分别为可见可见432023-2-15RCRLQ001可见，串联
30、谐振时电容和电感串联组合的等效阻抗等于可见，串联谐振时电容和电感串联组合的等效阻抗等于零，电容和电感串联组合的支路相当于短路，电路等效零，电容和电感串联组合的支路相当于短路，电路等效为纯电阻，电阻两端的电压与端口电压相等，但电感和为纯电阻，电阻两端的电压与端口电压相等，但电感和电容电压却为端口电压的电容电压却为端口电压的Q倍，所以串联谐振又称为倍，所以串联谐振又称为电电压谐振压谐振。则串联谐振时的品质因数可进一步表示为则串联谐振时的品质因数可进一步表示为此时此时UjQUCUjQUL0100CjL442023-2-15 图图9-12 9-12 串联谐振时的相量图串联谐振时的相量图452023-2
31、-15例例9-3 9-3 图示电路，已知图示电路，已知US=10V，L=50mH，C=1F，R=10，求电路的谐振频率、品质因数求电路的谐振频率、品质因数Q，谐振时电路中的谐振时电路中的电流电流I以及电感和电容上的电压以及电感和电容上的电压UL、UC。例例9-39-3图图解解 谐振频率为谐振频率为 4472101105011630LC22101050447230RLQARUIS11010UL=UC=QUS=22.3610=223.6V462023-2-159.4 9.4 谐振谐振9.4.2 9.4.2 并联谐振并联谐振RLC并联电路从端口并联电路从端口a、b看进去的等效导纳为看进去的等效导纳为
32、)(LCjGLjCjRY111472023-2-15如果在端口外接一个电流源，在电流源的电流一定时，端口如果在端口外接一个电流源，在电流源的电流一定时，端口两端电压为两端电压为)(LCjGIYIU1482023-2-1501LC)(LCjGIYIU1此时等效导纳的虚部为零，此时等效导纳的虚部为零，单口网络端口两端的电压将单口网络端口两端的电压将达到最大值，而且电压与电流同相，此时称电路达到了达到最大值，而且电压与电流同相，此时称电路达到了谐振状态谐振状态。谐振时，单口网络的等效导纳谐振时，单口网络的等效导纳Y=G的模达到最小值，而的模达到最小值，而等效阻抗等效阻抗Z=1/G=R的模则达到最大值
33、。的模则达到最大值。492023-2-15根据根据ImY=0得得LCLC101)(LCjGIYIU1502023-2-15谐振时，单口网络端口两端电压为谐振时，单口网络端口两端电压为IRGIYIU谐振时各元件上流过的电流分别为谐振时各元件上流过的电流分别为IUGIGILRjLjUIL00ICRjUCjIC00512023-2-15谐振时各元件上流过的电流分别为谐振时各元件上流过的电流分别为IUGIGILRjLjUIL00ICRjUCjIC000CLII0100LjCj电容和电感的导纳和等于零，电容和电感并联的支路相当于电容和电感的导纳和等于零，电容和电感并联的支路相当于开路，单口网络等效为纯电
34、导，流过电导的电流与外施电流开路，单口网络等效为纯电导，流过电导的电流与外施电流源电流相等。源电流相等。LCLC0000101522023-2-15谐振时的品质因数谐振时的品质因数LCRLRRCGCQ000将品质因数将品质因数Q代入代入ILRjLjUIL00ICRjUCjIC00IjQILRjIL0IjQICRjIC0SCLQIII可见可见所以并联谐振又称为所以并联谐振又称为电流谐振电流谐振。532023-2-15谐振时电路的相量图谐振时电路的相量图图图 GCL并联电路谐振时的相量图并联电路谐振时的相量图542023-2-159.5 9.5 非正弦周期非正弦周期激励下稳态电路的响应 外施激励为
35、一个或多个按正弦规律变化的正弦稳态电路外施激励为一个或多个按正弦规律变化的正弦稳态电路的响应已做了分析，但在实际中，还会出现大量的非正弦量。的响应已做了分析，但在实际中，还会出现大量的非正弦量。非正弦周期量：非正弦周期量：按非正弦规律变化的电压或电流，如果按非正弦规律变化的电压或电流，如果能按一定规律周而复始地变动，就称为能按一定规律周而复始地变动，就称为非正弦周期量非正弦周期量。非正弦周期激励下稳态电路的响应，可以应用非正弦周期激励下稳态电路的响应，可以应用叠加定理叠加定理进进行计算。分析时首先应用行计算。分析时首先应用傅立叶级数傅立叶级数把非正弦周期信号分解为把非正弦周期信号分解为许多不同
36、频率的正弦量之和，然后分别计算各种频率正弦量作许多不同频率的正弦量之和，然后分别计算各种频率正弦量作用下的响应，再将这些响应分量的瞬时表示式相加就可求得所用下的响应，再将这些响应分量的瞬时表示式相加就可求得所需结果。需结果。其实质是把非正弦周期电路的计算转化为一系列正弦其实质是把非正弦周期电路的计算转化为一系列正弦电路的计算，这样仍可利用相量法进行分析。电路的计算，这样仍可利用相量法进行分析。552023-2-15 应用傅立叶级数，可以把非正弦周期信号分解为一个直应用傅立叶级数，可以把非正弦周期信号分解为一个直流分量和一系列频率成整数倍的正弦成分之和，其中频率与流分量和一系列频率成整数倍的正弦
37、成分之和，其中频率与非正弦周期信号频率相同的分量称为非正弦周期信号频率相同的分量称为基波或一次谐波分量基波或一次谐波分量，其他各项统称为高次谐波，即其他各项统称为高次谐波，即2 2次、次、3 3次、次、4 4次、次、n n次谐次谐波、波、。562023-2-15矩形波矩形波)sinsinsin(sin)(tkktttAtf15513314k为奇数为奇数等腰三角波等腰三角波)sin)(sinsin(sin)(tkktttAtfk2212152513918k为奇数为奇数锯齿波锯齿波)sinsinsin(sin)(tkktttAAtf13312212(a)(b)(c)572023-2-15例例 图（
38、图（a a）所示）所示RLC电路，已知电路，已知R=10，L=10，1/C=20，求电路中的电流求电路中的电流i（t）。其中外施电压源为其中外施电压源为V)303cos(25cos21010)(tttuS解解 （1 1）直流分量）直流分量US1=10V单独作用时的等效电路如图（单独作用时的等效电路如图（b b）所示，由图可得所示，由图可得 Ati0)(1582023-2-15AjjjUIS45/707.010100/1020101022V)303cos(25cos21010)(tttuS（2 2）基波分量作用时的相量模型如图（）基波分量作用时的相量模型如图（c c）V0/102SU 10jLj
39、201jCjAtti)45cos(2707.0)(2592023-2-15（3 3）3 3次谐波分量作用时的相量模型如图次谐波分量作用时的相量模型如图（d d）所示，其中）所示，其中 303jLj67632031.jjCjVUS30/53A8.36/197.033.231030/567.6301033jjjUISA)8.363cos(2197.0)(3tti602023-2-15（4 4）由叠加定理得，电路中的电流为）由叠加定理得，电路中的电流为A)8.363cos(2197.0)45cos(2707.0)()()()(321tttitititi可以看出，在非正弦周期激励下，稳态电路的响应仍为
40、一个可以看出，在非正弦周期激励下，稳态电路的响应仍为一个非正弦周期量，其周期与一次谐波分量相同。非正弦周期量，其周期与一次谐波分量相同。612023-2-15下面来分析非正弦周期量的有效值。下面来分析非正弦周期量的有效值。设非正弦周期电压为设非正弦周期电压为)cos()(kkkmtkUUtu10则该电压的有效值为则该电压的有效值为 TdttuTU021)(2102)cos()(kkkmtkUUtu)cos()(coskkkmkkkmtkUUtkUU10212202)cos()cos(nnmkknknkmtnUtkU112622023-2-152102)cos()(kkkmtkUUtu)cos(
41、2)(cos1021220kkkmkkkmtkUUtkUU)cos()cos(nnmkknknkmtnUtkU112 22221201220122021NkkkkmUUUUUUUUU非正弦周期电压的有效值等于各次谐波有效值平方和的平非正弦周期电压的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根方根 TdttuTU021)(632023-2-15)(2cos2121)(2cos1 21)(cos121212212kkkmkkmkkkmkkkmtkUUtkUtkU642023-2-15同理非正弦周期电流的有效值同理非正弦周期电流的有效值I 为为 222212002NkkIIIIII总结：总结：非正弦周期量
42、的有效值等于各次谐波有效值平方和非正弦周期量的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根的平方根 。652023-2-15 非正弦周期电路中平均功率非正弦周期电路中平均功率的计算问题的计算问题设图示二端网络设图示二端网络N的端口电压、电流是的端口电压、电流是非正弦周期量，即非正弦周期量，即)cos()(ukkkmtkUUtu10)cos()(ikkkmtkIIti10dttkIItkUUTdtt ituTPikkkmukkkmTT)cos()cos()()(10100011662023-2-15dttkIItkUUTdtt ituTPikkkmukkkmTT)cos()cos()()(101000
43、11其中电压和电流的乘积展开后为四项：其中电压和电流的乘积展开后为四项：U0I0；)cos(ikkkmtkIU10)cos(ukkkmtkUI10以及以及 )cos()cos(ikkkmukkmtkItkU1)cos()cos(iqqqmupppmtqItpU11qp672023-2-150)sin(1()cos()cos(010010010TikkkmTikkkmTikkkmtkkIUdttkIUdttkIU0)cos(100dttkUIukkkmT同理同理682023-2-15)cos()cos()2(cos(21)cos()2(cos(21)cos()cos(10010101ikukkk
44、kTikukTikukkkmkmikukTikukkkmkmTikkkmukkmIUdtdttkIUdttkIUdttkItkU 692023-2-15qpdttqpdttqpIUdttqItpUiqupTiqupTqqmppmTiqqqmupppm0)(cos(21)(cos(21)cos()cos(0011011702023-2-15kkkkikukkkkTikkkmukkmIUIUdttkItkUTcos)cos()cos()cos(11101 以上四项对时间以上四项对时间t在周期在周期T内积分可得内积分可得000001IUdtIUTT其余两项的积分结果为零。其余两项的积分结果为零。71
45、2023-2-15这样可以得到网络所吸收的平均功率为这样可以得到网络所吸收的平均功率为010100kkkkkkkkPPPIUIUPcos上式表明，非正弦周期电路的平均功率等于直流分量与各次上式表明，非正弦周期电路的平均功率等于直流分量与各次谐波产生的平均功率之和。谐波产生的平均功率之和。在非正弦周期电路中，叠加定理在非正弦周期电路中，叠加定理对平均功率是适用的。对平均功率是适用的。722023-2-15W10110000IUP例例9-5 9-5 试求二端网络吸收的平均功率。其中该二端试求二端网络吸收的平均功率。其中该二端网络端口电压、电流分别为网络端口电压、电流分别为ttttu32210510
46、coscoscos)()cos()cos()(4531060101ttti33322211103100coscoscoscosIUIUIUPIUIUPkkkk512602102511111.cos)cos(iuIUP P2=0 W077452102233333.cos)cos(iuIUPP=P0+P1+P2+P3=10+12.5+0+7.07=29.57W732023-2-159.6 波特图波特图1210log10dBPP如果两个功率相等如果两个功率相等（P2=P1），），则则dB=0；如果如果P2P1，则则dB0；如果如果P2P1，则则dB0。波特图法是一种可以快速得到幅度和相位随频率变化近
47、似曲波特图法是一种可以快速得到幅度和相位随频率变化近似曲线的新方法。线的新方法。分贝（分贝（dBdB）是用来量度两个功率的比值的，其定义式为：是用来量度两个功率的比值的，其定义式为：742023-2-15如果如果P2、P1为相等值的电阻所吸收，则为相等值的电阻所吸收，则 RIRIRURUPP2122102122101210log10log10log10dB121012102020IIUUloglog可见，分贝只是用来表示功率比或是相等电阻的电压比或电可见，分贝只是用来表示功率比或是相等电阻的电压比或电流比，不过目前分贝已用于表示电压比或电流比而不论有关流比，不过目前分贝已用于表示电压比或电流比
48、而不论有关的电阻是否相等的电阻是否相等。752023-2-15电压比或电流比电压比或电流比A与分贝数的关系与分贝数的关系 12310201001000069.520264060当当A变化变化1倍时，分贝数将变化倍时，分贝数将变化6 dB。当。当A变化变化10倍时，倍时，分贝数将变化分贝数将变化20 dB。例如，当。例如，当A从从1增加到增加到10时，分贝时，分贝数将增加数将增加20 dB。比值比值A20log10A(dB)762023-2-15正是因为分贝数可以用来表示电压比和电流比，所以也可以正是因为分贝数可以用来表示电压比和电流比，所以也可以用分贝数来表示电路的网络函数。设网络函数为用分贝
49、数来表示电路的网络函数。设网络函数为)()()(jejHjHlog)(log)(log)(101010jejHjHejjH1010log)()(log772023-2-15log)(log)(log)(101010jejHjHejjH1010log)()(log当网络函数是电压比或者电流比时，上式的实部乘以当网络函数是电压比或者电流比时，上式的实部乘以2020就可就可以用分贝为单位，这样如果用以用分贝为单位，这样如果用M()表示以分贝为单位的幅表示以分贝为单位的幅频特性时，则频特性时，则 )(log20)(10jHM上式的虚部为网络函数的辐角乘以系数上式的虚部为网络函数的辐角乘以系数log10
50、 e，如果对虚部，如果对虚部取自然对数，则虚部恰好为网络函数的辐角。取自然对数，则虚部恰好为网络函数的辐角。782023-2-15对网络函数取自然对数，可得对网络函数取自然对数，可得)()(lnln)(ln)(ln)(jjHejHjHj上式的虚部恰好为网络函数的辐角，当网络函数为电压比或上式的虚部恰好为网络函数的辐角，当网络函数为电压比或电流比时，电流比时，的单位为的单位为奈培奈培（Neper），奈培和分贝换），奈培和分贝换算关系为算关系为)(lnjH1Np8.68dB分贝数分贝数8.688.68奈培数奈培数 如果坐标系的横轴和纵轴都采用对数坐标来绘制幅频特性如果坐标系的横轴和纵轴都采用对数坐
