1、动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件7.1阶跃响应阶跃响应7.7一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应7.2冲激响应冲激响应7.8一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应7.3一阶电路的全响应一阶电路的全响应7.4二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应7.6首首 页页第第7 7章章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路的时域分析的时域分析状态方程状态方程7.10含有动态元件电容和电感的电路叫做动态电含有动态元件电容和电感的电路叫做动态电路。路。也可以说，用微分（积分）方程（组）描述也可以说，用微分（积分）方程（组
2、）描述的电路叫做动态电路。的电路叫做动态电路。1 1.动态电路的概念和特点动态电路的概念和特点 7.1 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 当动态电路当动态电路状态发生改变状态发生改变时需要经历一个时需要经历一个过过渡过程渡过程。下 页上 页特点返 回稳态和瞬态的区别稳态和瞬态的区别稳态（稳态（steady state）瞬态（瞬态（transition,transient process）电路上施加恒定或周期性激励，并且从施加电路上施加恒定或周期性激励，并且从施加激励起又过了激励起又过了很长时间后电路所达到的状态。很长时间后电路所达到的状态。电路从一个稳态改变到另一个
3、稳态时所经历电路从一个稳态改变到另一个稳态时所经历的变化过程。（又称为过渡过程、暂态过程）的变化过程。（又称为过渡过程、暂态过程）无规则（非恒定、非周期）激励作用于电路无规则（非恒定、非周期）激励作用于电路时整个电路不存在稳态，可以认为这样的电路一时整个电路不存在稳态，可以认为这样的电路一直处于瞬态。直处于瞬态。下 页上 页返 回例例0ti2/RUiS)(21RRUiS电路过渡瞬电路过渡瞬间即可完成间即可完成电阻电路电阻电路下 页上 页+-usR1R2（t=0）i返 回i=0 ,uC=Usi=0 ,uC=0 k接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路，电容充电完毕，电路达到新的
4、稳态：达到新的稳态：k动作前动作前，电路处于稳态：，电路处于稳态：电容电路电容电路下 页上 页k+uCUsRCi(t=0)+-(t)+uCUsRCi+-前一个稳态前一个稳态过渡过程过渡过程新的稳态新的稳态t1USuct0?iRUS电压、电流都电压、电流都要经历过渡期要经历过渡期返 回uL=0,i=Us/Ri=0 ,uL=0 k接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电路达到新的稳态，电路达到新的稳态，电感视为短路：电感视为短路：k动作前动作前，电路处于稳态：，电路处于稳态：电感电路电感电路下 页上 页k+uLUsRi(t=0)+-L(t)+uLUsRi+-前一个稳态前一个稳态过渡过程过渡过程新的
5、稳态新的稳态t1US/Rit0?uLSU电压、电流都电压、电流都要经历过渡期要经历过渡期返 回下 页上 页假设假设k动作前动作前电路处于稳态：电路处于稳态：uL=0,i=Us/R若强行断开若强行断开k，则在断开瞬间：，则在断开瞬间：uL 工程中不允许在无任何保护措施的情况工程中不允许在无任何保护措施的情况下切断通电的电感性负载。下切断通电的电感性负载。注意k+uLUsRI0+-返 回过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L、C，电路换路后能，电路换路后能量分布需要发生变化，量分布需要发生变化，能量的储存和释放都需要一能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
6、，即能量不能跃变。相应地，电容定的时间来完成，即能量不能跃变。相应地，电容电压和电感电流都不能跃变。电压和电感电流都不能跃变。电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化换路换路(commutation)(commutation)支路接入或断开支路接入或断开电路参数变化电路参数变化下 页上 页返 回)(ddSCCtuutuRC应用应用KVL和电容的和电容的VCR得：得：若以电流为变量：若以电流为变量：)(d1StutiCRittuCitiRd)(dddS2 2.动态电路的方程动态电路的方程下 页上 页(t 0)+uCUsRCi+-)(SCtuuRituCiddC例例RC电路电路返 回)(SLt
7、uuRi)(ddStutiLRi应用应用KVL和电感的和电感的VCR得得：tiLuddL若以电感电压为变量：若以电感电压为变量：)(dSLLtuutuLRttutuuLRd)(dddSLL下 页上 页(t 0)+uLUsRi+-RL电路电路返 回有源有源 电阻电阻 电路电路 一个动一个动态元件态元件一阶一阶电路电路下 页上 页结论含有一个动态元件电容或电感的线性电路，含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常系数微分方程，称一阶其电路方程为一阶线性常系数微分方程，称一阶线性电路。线性电路。结合戴维宁定理和诺顿定理，所有的一阶电结合戴维宁定理和诺顿定理，所有的一阶电路都可化成四
8、种基本电路之一。路都可化成四种基本电路之一。返 回)(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC)(SCtuuuRiL二阶电路二阶电路tuCiddC2C2ddddtuLCtiLuL下 页上 页(t 0)+uLUsRi+-CuCRLC电路电路应用应用KVL和元件的和元件的VCR得得：含有二个独立动态元件的线性电路，其电路方含有二个独立动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常系数微分方程，称二阶线性电路。程为二阶线性常系数微分方程，称二阶线性电路。返 回一阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件一阶电路中只有一个动态元件,描述电描述电路的方程是一阶线性微分方程。路的方程是一阶线性微分方程。0)(
9、dd01ttexatxa0)(dddd01222ttexatxatxa二阶电路二阶电路二阶电路中有二个动态元件二阶电路中有二个动态元件,描述电路描述电路的方程是二阶线性微分方程。的方程是二阶线性微分方程。下 页上 页结论返 回高阶电路高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。方程是高阶微分方程。0)(dddddd01111ttexatxatxatxannnnnn动态电路的分析方法动态电路的分析方法下 页上 页返 回电阻电路分析中所讲的求解电路的目标和基础电阻电路分析中所讲的求解电路的目标和基础依然适用于求解动态电路。只是在时域内获得到方依然适用
10、于求解动态电路。只是在时域内获得到方程不再是线性代数方程组，而变成了程不再是线性代数方程组，而变成了线性微分（积线性微分（积分）方程（组）分）方程（组）。求解微分求解微分微分方程（组）时，需要用到电路亦微分方程（组）时，需要用到电路亦即方程的初始条件。即方程的初始条件。对阶数较高的电路，工程上需要借助计算机求对阶数较高的电路，工程上需要借助计算机求解。（计算机辅助分析，求得的是数值解）解。（计算机辅助分析，求得的是数值解）t=0与与t=0的概念的概念换路发生在在换路发生在在t=0时刻时刻0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间3.3.电路的初始条件电路的初始条件)(lim)0
11、(00tfftt)(lim)0(00tfftt初始条件为初始条件为 t=0时时u，i 及其各阶导数及其各阶导数的值。的值。下 页上 页注意0f(t)0()0(ff00)0()0(fft返 回d)(1)(tCiCtud)(1d)(100tiCiCd)(1)0(0tCiCut=0+时刻时刻d)(1)0()0(00iCuuCCiucC+-电容电压的初始条件电容电压的初始条件0下 页上 页返 回当当i()为为有限值时有限值时q(0+)=q(0)uC(0+)=uC(0)若若换路瞬间电容电流为有限值，换路瞬间电容电流为有限值，则电容电压则电容电压（或电荷）在换路前后保持不变。（或电荷）在换路前后保持不变。
12、q=C uC下 页上 页结论返 回d)(1)(tLuLtid)(1d)(100tuLuLd)(1)0()0(00uLiiLL电感电流的初始条件电感电流的初始条件t=0+时刻时刻0d)(1)0(0tLuLi下 页上 页iLuL+-返 回当当u()为为有限值时有限值时L(0)=L(0)iL(0)=iL(0)LLi 若若换路瞬间电感电压为有限值，则电感电流换路瞬间电感电压为有限值，则电感电流（或磁链）在换路前后保持不变。（或磁链）在换路前后保持不变。下 页上 页结论返 回L(0+)=L(0)iL(0+)=iL(0)qc(0+)=qc(0)uC(0+)=uC(0)换路定律换路定律电容电流和电感电压为有
13、限值是换路定电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件；律成立的条件；换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。下 页上 页注意返 回当电容电流为有限值时：当电容电流为有限值时：当电感电压为有限值时：当电感电压为有限值时：其它电路变量的初始值其它电路变量的初始值(2)由换路定律由换路定律 uC(0+)=uC(0)=8VmA2.010810)0(Ci(1)由由0电路求电路求 uC(0)uC(0)=8V(3)由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)例例1电路原已处于稳态，电路原已处于稳态，开关开关S在在t=0时打开，时打开，求求 iC(0+)。下 页
14、上 页+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路等效电路+-10ViiC10k注意返 回)0()0(LLuuiL(0+)=iL(0)=2AV842)0(Lu例例 2电路原已处于稳态，电路原已处于稳态，t=0时闭合开关时闭合开关S,求求 uL(0+)。先求先求A24110)0(Li应用换路定律应用换路定律:)0(Li解解下 页上 页iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-由由0+等效电路求等效电路求 uL(0+)2A+uL-10V14+-注意返 回V24122)0()0(CCuuA124/48)0()0(LLii例例3电路原已处于稳态，电路原
15、已处于稳态，t=0时闭合开关时闭合开关S。求闭合求闭合后瞬间的各支路电流和电感电压。后瞬间的各支路电流和电感电压。解解A83/)2448()0(CiA20812)0(iV2412248)0(Lu下 页上 页由由0+等效电路得等效电路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+uC返 回12A24V+-48V32+-iiC+-uL求初始值的步骤求初始值的步骤:由换路前的由换路前的稳态稳态电路求出电路求出uC(0)和和iL(0)；由换路定律得由换路定律得 uC(0+)和和 iL(0+)；画出画出0+等效电路：等效电路：由由0+等效电路求所需各变量在等效电路求所需各变量在0+时刻的值
16、。时刻的值。a.a.换路后的电路换路后的电路b.b.电容（感）用电压（流）源替代电容（感）用电压（流）源替代（电源分别取（电源分别取0+时刻时刻电容电压、电感电流电容电压、电感电流的的值，方向与原方向相同）值，方向与原方向相同）下 页上 页小结返 回7.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后电路无外加激励，仅由动态元件初始储换路后电路无外加激励，仅由动态元件初始储能所产生的响应。能所产生的响应。1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC(0)=U00CRuu零输入响应零输入响应下 页上 页iS(t=0)+uRC+uCR返 回tuCiCdd uR=Ri0)0(
17、0ddUuutuRCCCCRCp1 特征根特征根特征方程特征方程RCp+1=0tRC eA1 ptCeAu 则则下 页上 页代入初始值代入初始值 uC(0+)=uC(0)=U0A=U0iS(t=0)+uRC+uCR返 回0 0teUuRCtc下 页上 页由由返 回CuiR或或d dCuiCt 可得：可得：000ttRCRCUieI etR电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数：电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数：讨论tU0uC0I0ti0连续函数连续函数发生跃变发生跃变 =RC下 页上 页返 回称为一阶电路的时间常数称为一阶电路的时间常数响应衰减的快慢与响应衰减的快慢与RC有关有关
18、：000ttRCRCUieI etR0 0teUuRCtc 00tcuU et00tiI et 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短U0tuc0 小 大有明确的物理含义有明确的物理含义 电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间；所需的时间；工程上认为工程上认为,经过经过 35,过渡过程结束。过渡过程结束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0 2 3 5t ceUu 0U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 下 页上 页注意返 回放电过程中的能量关系：放电过程中的能量关系：tRiWRd
19、02设设uC(0+)=U0，则放电结束后电容总共放出的能量为则放电结束后电容总共放出的能量为 ；2021CU电阻吸收（消耗）的总能量：电阻吸收（消耗）的总能量：tReRURCtd)(2 002021CUteRURCtd2 02002 20|)2(RCteRCRU下 页上 页返 回电容放出的能量全部被电阻吸收电容放出的能量全部被电阻吸收例例1图示电路中的电容原有图示电路中的电容原有24V电压，电压，t=0t=0时时S闭合，闭合，求求S S闭合后的电容电压和各支路电流。闭合后的电容电压和各支路电流。解解+uC45Fi1t 0等效电路等效电路0 0CteUuRCt下 页上 页i3S3+uC265Fi
20、2i1024 V 5 420 sURC 返 回 2024 V (0)tcuet 20146 AtCiue分流得：分流得：202124 A3tiie 203112 A3tiie2.2.RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LRp特征根特征根 代入初始值代入初始值A=iL(0+)=I001)0()0(IRRUiiSLL00ddLLtRitiLptAeti)(Lt 0下 页上 页iLS(t=0)USL+uLRR1+-iL+uLR返 回0)(/0teItiRLtL/0()0tL RLu tRI ettI0iL0连续函数连续函数发生跃变发生跃变电压、电流是随时间按同一指数规律
21、衰减的函数：电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数：响应衰减快慢与响应衰减快慢与L/R有关：有关：下 页上 页讨论-RI0uLt0返 回 =L/R放电过程中的能量关系：放电过程中的能量关系：tRiWRd 02电感释放的能量全部被电阻吸收电感释放的能量全部被电阻吸收电阻吸收（消耗）的能量：电阻吸收（消耗）的能量：tReIRLt d2/00)(2021LI teRIRLt d/2020 0220|)2/(RCt eRLRI下 页上 页返 回iL(0+)=iL(0)=1 AuV(0+)=10000V，此高此高电压足电压足以损坏电压表。以损坏电压表。例例1电路原已处于稳态，电路原已处于稳态，t=0
22、时时打开开关打开开关S，求电压表求电压表两端电压两端电压uV。（。（电压表量程为电压表量程为50V）0/t eit L444 1010010sVLRR 0100002500 teiRutLVV解解下 页上 页iLS+L=4HR=10VRV=10k10ViLLR10V+-返 回续流二极管续流二极管例例2电路原已处于稳态，电路原已处于稳态，t=0时时开关开关S由由12，求开求开关动作之后的关动作之后的电感电压和电流。电感电压和电流。s 166RL解解A26366/32424)0()0(LLii66/)42(3 R下 页上 页i+uL66Ht 0iLS+24V6H3446+uL212返 回 2 A
23、12 V 0ttLLLiieuLett dd一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数：都是由初始值衰减为零的指数衰减函数：衰减快慢取决于时间常数；衰减快慢取决于时间常数；同一电路中所有响应具有相同的时间常数；同一电路中所有响应具有相同的时间常数；在任意给定时刻在任意给定时刻t t0 0，一阶电路零输入响应的取值和初，一阶电路零输入响应的取值和初始值成正比。始值成正比。teyty )0()(下 页上 页小结返 回动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0电电路中外加激励作用所产生的响应。路中外
24、加激励作用所产生的响应。SCCddUutuRC方程：方程：7.3 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 解答形式为：解答形式为：CCCuuu 1.1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应非齐次方程特解非齐次方程特解齐次齐次方程方程通解通解下 页上 页iS(t=0)US+uRC+uCRuC(0)=0+非齐次线性常系数微分方程非齐次线性常系数微分方程返 回与输入激励的变化规律有关，是电路的稳态解；与输入激励的变化规律有关，是电路的稳态解；RCtAeu C变化规律由电路参数和结构决定。变化规律由电路参数和结构决定。的通解的通解0ddCCutuRCSCUu 通解（自由分
25、量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu 特解（强制分量特解（强制分量，稳态分量）稳态分量）CuSCCddUutuRC的特解的特解下 页上 页返 回全解全解uC(0+)=A+US=0 A=US由初始条件由初始条件 uC(0+)=0 定积分常数定积分常数 ARCtAeUuutu SCCC)(下 页上 页)0()1(S SSCteUeUUuRCtRCt从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：RCteRUtuCiSCdd返 回-USuC”uCUStuC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数。电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数。电容电压由两部分构成：电容电压由两部分构成：连续函数连续
26、函数tiRUS0发生跃变发生跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）下 页上 页表明+返 回响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定；在任意给定时刻在任意给定时刻t t0 0，响应取值与外加激励成正比；，响应取值与外加激励成正比；能量关系：能量关系：2S21CU电源提供能量：电源提供能量：电阻消耗能量：电阻消耗能量：电容储存能量：电容储存能量：2SS0SdCUqUtiU2S21CUtRRUtRiRCted)(d20S02电源提供的能量一半消耗在电阻上，电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。一半转换
27、成电场能量储存在电容中。下 页上 页表明RC+-US返 回例例t=0时时开关开关S闭合，已知闭合，已知 uC(0)=0，求求(1)电容电压电容电压和电流；和电流；(2)使使uC达到达到80V时所用的充电时间时所用的充电时间。解解(1)(1)0(V)1(100)1(200 SCt-eeUut-RCts1051050035RCA2.0d200SCtRCteeRUtuCid(2)(2)设经过设经过t1秒秒uC达到达到80V，则，则120080100(1)-t-e下 页上 页50010F+-100VS+uCi返 回18 045 ms t.2.2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应SLLUiRtiLd
28、d)1(SLtLReRUi已知已知iL(0)=0，电路方程为：，电路方程为：LLLiii tiLRUS0RUiSLA0)0(tLRAeRUS下 页上 页iLS(t=0)US+uRL+uLR+返 回)1(SLtLReRUitLReUtiLuSLLdduLUSt0下 页上 页iLS(t=0)US+uRL+uLR+返 回例例电路原已处于稳态，电路原已处于稳态，t=0开关开关k打开，求打开，求t 0后后iL、uL及及电压电压u。解解这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：eq101020 RV201020Us1.020/2/eqRL下 页上 页iL+uL2H
29、UoReq+t 0A1/)(eq0RUiLA)1()(10tLetiV20)(10100ttLeeUtu)V1020(10510StLLeuiIu返 回iLK+uL2H102A105+u7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。SddUutuRCCC以以RC电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：1.1.全响应全响应全响应全响应下 页上 页iS(t=0)US+uRC+uCR解答为：解答为：uC(t)=uC+uC返 回uC =US非齐次方程特解非齐次方程特
30、解（=RC）齐次方程通解齐次方程通解tCAeu uC(0)=U0uC(0+)=A+US=U0 A=U0-US由初始值定由初始值定A下 页上 页0)(0 teUUUAeUutSStSC强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)返 回2.2.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0全响应全响应 =强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)着眼于电路的工作状态着眼于电路的工作状态下 页上 页返 回全响应全响应 =零状态响应零状态响应 +零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUut
31、tSC着眼于因果关系着眼于因果关系下 页上 页零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应S(t=0)USC+RuC(0)=U0+S(t=0)USC+RuC(0)=U0S(t=0)USC+RuC(0)=0返 回)0()1(0 teUeUuttSC零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0下 页上 页返 回例例电路原已达稳态，电路原已达稳态，t=0 时时S打开，求打开，求t 0后的后的iL、uL。解解RL电路全响应问题：电路全响应问题：0.61 s1220LR24(0)(0)6 A4LLii(1)20()6AtLite零输入响应：零输
32、入响应：(2)2024()(1)A12tLite零状态响应：零状态响应：A42)1(26)(202020tttLeeeti全响应：全响应：下 页上 页iLS(t=0)+24V0.6H4+uL8返 回3.3.三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：()(t)Atf tfe特令令 t=0+0(0)(t)Aff特(0)(0)Aff特cbftfadd其解答一般形式为：其解答一般形式为：下 页上 页特特解解返 回()(t)(0)(0)tf tfffe特特分析一阶电路问题由此转为求解电路的三个要素分析一阶电路问题由此转为求解电路的
33、三个要素的问题，该方法称为三要素法。的问题，该方法称为三要素法。用用t的稳态的稳态电路求解电路求解用用0+等效电路求解等效电路求解用用R Reqeq和和C C（或（或L L）的值求解）的值求解下 页上 页直流激励时：直流激励时：()()(0)()ftfff特特 返 回稳态稳态解解初始值初始值时间常数时间常数()(0)ffteffftf )()0()()(V2)0()0(CCuuV667.01)1/2()(Cus2332eqCR033.1667.0)667.02(667.05.05.0 t eeuttC例例1已知：已知：电路原已处于稳态电路原已处于稳态，t=0 时时开关开关合上，求换合上，求换路
34、后的路后的uC(t)。解解tuc2(V)0.6670tCeuuutu)()0()()(CCC下 页上 页1A213F+-uC返 回例例2电路原已处于稳态，电路原已处于稳态，t=0时时开关闭合，求开关闭合，求t 0后的后的iL、i1、i2。解法解法1/0.5/(5/5)1/5sL RA25/10)0()0(LLiiA65/205/10)(Li下 页上 页iL+20V0.5H55+10Vi2i1代入三要素法公式，得代入三要素法公式，得046)62(6)(55 t eetittLV10)5()4(5.0)(55ttLLeetiLtuddA225/)10()(51tLeutiA245/)20()(52
35、tLeuti返 回其它未知量可根据其它未知量可根据KCLKCL、KVLKVL、VCRVCR写出：写出：三个变量都用三要素法：三个变量都用三要素法：s5/1)5/5/(6.0/RLA25/10)0()0(LLiiA65/205/10)(Li046)62(6)(55 t eetittLA22)20(2)(551tteetiA24)42(4)(552tteetiA0110)2010()0(1iA2110)1020()0(2iA25/10)(1iA45/20)(2i下 页上 页0等效电路等效电路返 回+20V2A55+10Vi2i1解法解法2下 页上 页例例3电路原已处于稳态，电路原已处于稳态，t=0
36、时开关闭合，求换路后时开关闭合，求换路后的电流的电流i(t)。+1H0.25F52S10Vi解解u uc c的三要素为：的三要素为：V10)0()0(CCuu0)(Cus5.025.02eq1CR返 回i iL L的三要素为：的三要素为：0)0()0(LLiiA25/10)(Lis2.05/1/2eqRLV10)()0()()(2CCCCtteeuuutuA)1(2)()0()()(5ttLLLLeeiiiti)A5)1(2(2)()()(25ttCLeetutiti下 页上 页+1H0.25F52S10Vi返 回含有受控源的一阶电路也可以使用三要素法求解，含有受控源的一阶电路也可以使用三要素
37、法求解，请参阅教材例题。请参阅教材例题。注意7.5 7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0 i(0+)=002CCCutuRCtuLCdddd已知：已知：1.1.二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：以电容电压为变量：电路方程：电路方程：0CLuuRitiLutuCiLCdddd 以电感电流为变量：以电感电流为变量：02itiRCtiLCdddd下 页上 页RLC+-iuc返 回210LCpRCp 特征方程：特征方程：电路方程：电路方程：02CCCutuRCtuLCdddd以电容电压为变量时的以电容电压为变量时的初始条件：初始条件：uC(0+)=
38、U0i(0+)=0 00tCtudd以电感电流为变量时的以电感电流为变量时的初始条件：初始条件：i(0+)=0uC(0+)=U0)0()0(00UtiLuutLCddLUtit 00dd下 页上 页返 回方程求解（以电容电压方程为例）：方程求解（以电容电压方程为例）：2.2.特征根分布的三种情况特征根分布的三种情况2LRC2LRC2LRC224/1()222RRL CRRpLLLLC 特征根：特征根：下 页上 页返 回两个不相等的负实根两个不相等的负实根两个相等的负实根两个相等的负实根两个位于复平面左半平面的共轭复根两个位于复平面左半平面的共轭复根211()22RRpLLLC 221()22R
39、RpLLLC (1)2 LRC 2121CttppeAeAu0210C)0(UAAUu1122(0)0Cup Ap Atdd2102112021pAUpppAUpp1202121()ttCUppup ep epp下 页上 页返 回通过初始条件确定常数：通过初始条件确定常数：方程的解：方程的解：120C2121()p tp tUup ep eppU0tuc12021p tp Uepp21021p tpUepp注意到注意到|p2|p1|下 页上 页0电容电压波形电容电压波形返 回正值（绝对正值（绝对值较大）值较大）衰减慢衰减慢负值负值（绝对值较小）（绝对值较小）衰减快衰减快1212021()p t
40、p tcup p UiCCeetpp dd过渡过程中过渡过程中i始终大于零始终大于零120C2121()p tp tUup ep epp下 页上 页电容电流（电感电流）波形电容电流（电感电流）波形返 回正值正值衰减慢衰减慢衰减快衰减快 2112ppppntm1122()21mmmp tpptp tpeepe再令再令d di/dt=0dt=0，即，即12120p tp tp ep e若若tm是上式的解，则是上式的解，则i在在tm终时刻取得最大值终时刻取得最大值解得：解得：由于由于故故下 页上 页返 回tmituc0结合结合i的起始值、终了值，可绘出其波形：的起始值、终了值，可绘出其波形：U0下
41、页上 页返 回电感电压波形电感电压波形1201221()p tp tLUiuLp ep etpp ddu uL L可写为可写为 1212021()p tp tp p UiCeepp 由于由于121201221()p tp tLp p UiuLLCp ep etpp dd故故121p pLC210LCpRCp 考虑到考虑到 即即t=2 tm时时 uL 取极值取极值。下 页上 页返 回再令再令 duL/dt=0，则，则1222120p tp tp ep e211222mpnpttpp1201221()p tp tLUiuLp ep etpp dd解之得解之得显然，显然，t=tm时时 uL 等于零等
42、于零；2tmuL下 页上 页t返 回tmituc0结合结合uL的起始值、终了值，可绘出其波形：的起始值、终了值，可绘出其波形：U0能量转换关系能量转换关系0 t tm uC减小减小，i 减小减小。下 页上 页RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLi0返 回下 页上 页返 回上述结果和波形（比如上述结果和波形（比如u uC C单调下降，单调下降，i i取正值，取正值，u uL L的从正到负过零等）是在题目所做假设的条件下的从正到负过零等）是在题目所做假设的条件下得出的，不具备普遍意义；得出的，不具备普遍意义；具有普遍意义的是每个变量均可写为以下形式：具有普遍意义的是每个变量均可写为以下形式
43、：基于上述表达式的结论是，换路后每个变量的波基于上述表达式的结论是，换路后每个变量的波形至多过零一次，即符号至多改变一次；形至多过零一次，即符号至多改变一次；相应地，相应地，L L或或C C的储能也不会发生多次振荡的储能也不会发生多次振荡(功率发功率发出或吸收至多经历三个阶段且总以发出收尾出或吸收至多经历三个阶段且总以发出收尾)。小结1212ttppc ec e下 页上 页返 回仿真波形举例：仿真波形举例：u uC C(0+)=100V,i(0+)=100V,iL L(0+)=0(0+)=0uL i ucpc(发出)pRpL下 页上 页返 回仿真波形举例：仿真波形举例：u uC C(0+)=1
44、00V,i(0+)=100V,iL L(0+)=100A(0+)=100AuL i ucpc(发出)pRpL下 页上 页返 回仿真波形举例：仿真波形举例：u uC C(0+)=100V,i(0+)=100V,iL L(0+)=-100A(0+)=-100AuL i ucpc(发出)pRpL下 页上 页返 回仿真波形举例：仿真波形举例：u uC C(0+)=0,i(0+)=0,iL L(0+)=-100A(0+)=-100AuL i ucpc(发出)pRpL 2 )2(CLR 21,21()22RRpLLLC 022021 RLLC下 页上 页返 回221,20(180)00jjpjjee 其中
45、其中：衰减系数衰减系数谐振角频率谐振角频率固有震荡频率固有震荡频率p p1 1、p p2 2向量与负实轴的夹角向量与负实轴的夹角tan下 页上 页返 回2110202121 ppAUAUpppp应用欧拉公式得：应用欧拉公式得：初始条件初始条件两个系数：两个系数：uc 的解答形式：的解答形式：121212 ()p tp ttj tj tCuAeA eeAeA e120212100000122p tp tcjtjtjjjtjttUup ep eppUeeeejeeU ej 00sin()tcuU et00(0)sin(0)0()sincos0CCuUAUduAAdt000sintanUAU0下 页
46、上 页)sin(tAeutc 00 sin()tCUuet返 回或者，直接设：或者，直接设：由初始条件得：由初始条件得：两种方法所得结果完全一致。两种方法所得结果完全一致。)sin(00teUutC00tU e uc (0)=U0;uC过零时对应过零时对应t=-，2-，n-t-2-20U0uCteU00teU00下 页上 页返 回u uC C波形是以波形是以 为包络为包络线的衰减正弦振荡。线的衰减正弦振荡。电容电压波形电容电压波形t-2-20U0uCi 0sintCuUiCettL ddi=0过零时对应过零时对应t=0，2，n下 页上 页返 回电容电流（电感电流）波形电容电流（电感电流）波形
47、i(0)=0;uC的极值点就是的极值点就是i的过零点的过零点；)sin(00teUtiLutLdduL过零时对应过零时对应t=，+，2+，.，n+i 的极值点就是的极值点就是 uL 的过零点的过零点；下 页上 页返 回电感电压波形电感电压波形t-2-20U0uC i+uL (0)=U0；下 页上 页返 回-0uL i uc00C 发出发出的功率的功率L 吸收吸收的功率的功率下 页上 页返 回-0uL i uc0 t t -t 0+为零输入响应（为零输入响应（RC放电）放电）iCRC+uCCu1)0(C01 CteCuRCt01 CCteRCRuiRCt下 页上 页返 回uCt0C1)(1)()
48、(1 C CteRCtiteCuRCtRCtiCt1RC10下 页上 页返 回)(ddttiLRiLL例例2求单位冲激电压求单位冲激电压激励下的激励下的RL电路的零状态响应。电路的零状态响应。分二个时间段考虑冲激响应分二个时间段考虑冲激响应解解L+-iLR)(t+-uL0)0(LiiL不是冲激函数不是冲激函数 ,否则否则KVL不成立。不成立。注意1d)(dd000000tttdtdiLtRiLL0(0)-(0)=1-+LLL ii)0(1)0(LLiLi下 页上 页返 回(1)t 在在 0 0+间间方程为方程为电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。)0(1)0
49、(LLiLi结论(2)t 0+RL放电放电LiLR+-uLRLLiL1)0(01 teLitL0 teLRRiutLL下 页上 页返 回)(1 teLitL)()(teLRtutLiLt0L1uLt1RL0下 页上 页返 回零状态零状态R(t)(te3.3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位阶跃响应单位冲激响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激单位冲激(t)单位阶跃单位阶跃(t)tttd)(d)()(dd)(tstth激励激励响应响应下 页上 页返 回电路电路 变换变换零状态零状态R(t)(te4 4*.动态电路中的动态电路中的“线性线性”激励激励响
50、应响应下 页上 页返 回零状态零状态R(s)()E s激励激励响应响应在在复频域复频域内（亦即采用在运算电路后），激励和内（亦即采用在运算电路后），激励和响应之间的关系又变为代数关系：所列出的方程形式响应之间的关系又变为代数关系：所列出的方程形式为为“响应的线性组合响应的线性组合=激励的线性组合激励的线性组合”，解方程所得，解方程所得结果的形式为结果的形式为“响应响应=激励的线性组合激励的线性组合”。时域时域复频域复频域拉普拉斯拉普拉斯变换变换拉普拉斯拉普拉斯变换变换下 页上 页返 回在在复频域复频域内，若只存在单个激励，则响应可写为传内，若只存在单个激励，则响应可写为传递函数与激励的乘积：递
