1、学习目标与要求学习目标与要求：(1)了解正弦稳态响应概念，了解正弦稳态响应概念，正弦量的三要素正弦量的三要素 及及相位差特点；相位差特点；(2)熟练掌握正弦量的相量表示方法，元件伏安方程和基熟练掌握正弦量的相量表示方法，元件伏安方程和基 尔霍夫定律的的相量形式；尔霍夫定律的的相量形式；(3)熟练掌握复阻抗、复导纳的计算；熟练掌握复阻抗、复导纳的计算；(4)熟练掌握用相量法分析正弦稳态电路的方法；熟练掌握用相量法分析正弦稳态电路的方法；(5)掌握正弦交流电路中的功率分析。掌握正弦交流电路中的功率分析。第三章第三章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析.正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析 我们熟悉和常用
2、的家用电器都是交流电供电，如我们熟悉和常用的家用电器都是交流电供电，如电视、电脑、照明灯、冰箱、空调等家用电器。电视、电脑、照明灯、冰箱、空调等家用电器。上页 下页目录返回 正弦稳态电路和正弦稳态响应的概念 分析一个正弦激励电路.3.1 3.1 正弦稳态响应正弦稳态响应Smsin(),SSuUt设开关在计时起点 t =0时闭合，研究开关闭合后电容电压uC(t)的解。设各元件的电压与电流为关联参考方向，i LLCSdRiLuudtCLduCidti LLdLudtsin()t2CCCSmS2dud uRCLCuUdtdt 2CCCS2dud uRCLCuudtdt可列出方程为电压源应用电路元件特
3、性和基尔霍夫定律,式（3-4）所示微分方程的解在高等数学课程中讨论过，可直接使用其结论，方程的通解为sin()t2CCCSmS2dud uRCLCuUdtdt研究方程的解（3-4）12m12()sin()ees ts tCCututKK h()Cutp()Cut非齐次微分方程的一个特解，应是与激励uS 同频率的正弦函数.齐次微分方程的通解.当一个稳定电路的响应不随时间改变或随时间周期性改变时，称电路达到了稳定状态，这时电路的响应称为稳态响应。正弦稳态响应若s1、s2都具有负实部，则称电路是稳定的.uCh(t)经过足够长的时间后衰减到零.由上面的分析可知，正弦激励下电路的响应经过足够长的时间后是
4、与激励同频率的正弦函数，是式（3-4）微分方程的非齐次特解，称为电路的正弦稳态响应.pm()()sin()CCCutututmsin()CuUtSmsin()SSuUtmsin()iIt一个线性时不变电路在正弦激励作用下，若其响应是与激励同频率的正弦函数，则称此电路处于正弦稳态，称此时电路为正弦稳态电路，电路中的响应称为正弦稳态响应。正弦稳态电路和正弦稳态响应还分别称为正弦交流电路和正弦交流响应。正弦稳态响应正弦稳态电路正弦稳态响应正弦激励本章主要研究正弦稳态电路的分析方法。msin()CuUtSmsin()SSuUtmsin()iItSmmLmCmsin()=sin()+sin()+sin(
5、)SiLCUtRItUtUt 正弦量的加减运算能否采用复数计算的方法?如前面所述，正弦稳态电路中的响应都是正弦函数，可通过正弦函数运算进行稳态分析.由于正弦函数运算的复杂性(需要对正弦量求导数,积分,加减乘除,方程组联立求解等)，通常采用一种数学变换的方法进行正弦稳态电路的分析与计算，称为相量法。上页 下页目录返回.2.1上页 下页目录返回正弦量：正弦量：.2.t ii上页 下页目录返回3.2.1.1 正弦量的三要素正弦量的三要素 tIi sinmit O 2 I Im m T上页 下页目录返回Tf1fT22t O上页 下页目录返回3.2.1.2 正弦量的相位差正弦量的相位差it )sin(m
6、tIiOt表示正弦量在表示正弦量在 t t=0=0时的相角。时的相角。0)(tt上页 下页目录返回两同频率的正弦量之间的初相位之差。两同频率的正弦量之间的初相位之差。)sin(1mtUu如如：)sin(2mtIi)()(21 tt21 若若021电压超前电压超前电流电流 uiu i tO上页 下页目录返回0180 021uitui O 9021 90uitui90O021uituiO18021tuiuiO上页 下页目录返回 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时起点的选择无关。与计时起点的选择无关。ti2i1iO 不同频率的正弦量比较不同频率的正弦量比较
7、相位差相位差无意义。无意义。上页 下页目录返回3.2.1.3 正弦量的有效值正弦量的有效值有效值：有效值：如果一个周期电流如果一个周期电流 i 通过电阻通过电阻 R,在一个周在一个周期期 T 内消耗的热能等于直流电流内消耗的热能等于直流电流 I 在同样时间内通在同样时间内通过该电阻过该电阻 R 消耗的能量消耗的能量 ,则定义则定义I 为为 i 的有效值。的有效值。dtRiT20RTI2则有效值为则有效值为 TtiTI02d10 22msindT1IIt tT2mI 上页 下页目录返回正弦量的有正弦量的有效值为效值为同理：同理：mm707.02UUU mm707.02EEE 上页 下页目录返回波
8、形图波形图ut O瞬时值表达式瞬时值表达式2 sin()uUt+考虑复数形式考虑复数形式UU 上页 下页目录返回一个电路中的各响应是同频率的正弦量一个电路中的各响应是同频率的正弦量,只有只有2个要素个要素.研究相量表示研究相量表示,先复习复数先复习复数.3.2.2.1 复数复数 复数表示形式复数表示形式设设A A为复数为复数:A=a+jbo+1+jAab式中式中:racosrbsinabarctan22bar复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角r上页 下页目录返回由欧拉公式由欧拉公式:2jeesinjj ,2eecosjj sinjcosej 可得可得:rAje rA rrrjrbaA jes
9、incosj )sinj(cossinjcosrr rA上页 下页目录返回 复数运算复数运算(1)(1)加减运算加减运算用代数型或三角型表示形式用代数型或三角型表示形式若若 A1=a1+j b1，A2=a2+jb2则则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)加减法也可用图解法。加减法也可用图解法。A1A2+1+jOA1+A2A1-A2-A2上页 下页目录返回(2)(2)乘除运算乘除运算用极坐标型或指数型形式用极坐标型或指数型形式若若 A1=|A1|1 ，A2=|A2|2121212jjAAA eAe乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。111222|FFFF上页 下页目录返回除法：模相除
10、，角相减。除法：模相除，角相减。12()21212jA A eAA112jj()11j 222|e|e|eFFFF1122|FF例例?2510475 )226.4063.9()657.341.3(2510475jj 569.047.12j 61.248.12 解解:?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 例例 解：上式解：上式2.126j2.180 04.1462.203.56211.79.2724.19 16.70728.62.126j2.180 329.6j238.22.126j2.180 365.2255.132j5.182 上页 下页目录返回(1)正弦量与复指数函数正弦量与
11、复指数函数3.2.2.2 3.2.2.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示一个复指数函数一个复指数函数j()()2 etA tI 若对若对A(t)取虚部：取虚部：复指数函数的虚部复指数函数的虚部是一个正弦量是一个正弦量.)sin(2)(ImttA 对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：的复指数函数：A(t)还可以写成还可以写成)(2)()sin(2 tjIetAtIi复常数复常数tItA jee2)(j Imaginary(取虚部)2 cos()j 2 sin()ItIt IIeIj2 sin()iIt称称 为正弦量为正弦
12、量 i(t)的相量的相量(表示表示)。II 相量包含了正弦量的二个要素相量包含了正弦量的二个要素 I I m,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：)sin(2)(UUtUtu (2)相量相量(Phasor)jj2 sin()()2 eetiItA tI 对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复数对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复数.相量相量:表示正弦量的复数称相量表示正弦量的复数称相量)(sinmtUu设正弦量设正弦量:UUeU j上页 下页目录返回 UeUUmjmm 或或：相量只是表示正弦量，而不等于正弦量相量只是表示正弦
13、量，而不等于正弦量。)(sinmtIiIeImjm？=只有正弦量才能用相量表示，只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。上页 下页目录返回 相量的两种表示形式相量的两种表示形式)jsincos(ejUUUU 相量式相量式:相量图相量图:把相量表示在复平面的图形把相量表示在复平面的图形V202201 UV451102 U+1+j1U 202U 451U2U超前超前落后落后？2U1U 落后于落后于上页 下页目录返回(3)用相量代替同频率正弦量的加减运算1112sin()iIt 2222sin()iIt 12iii112sin()It 222sin()It 1212
14、Im 2Im 2jjj tj tI eeI ee 12Im2Im2jtjtI eI e 12Im 2()j tIIe Im 2j tI e 2 sin()It 计算j()()2 etA tI2 cos()j 2 sin()ItIt已知电流把三角函数的相加转化为复数相加，简化了计算.Im 2jj tIe e 以后进行同频率正弦量相加减的计算时，不必进行上以后进行同频率正弦量相加减的计算时，不必进行上述推导，可将正弦量直接写成相量，然后进行相量的述推导，可将正弦量直接写成相量，然后进行相量的计算，最后将相量形式的计算结果反变换成正弦量计算，最后将相量形式的计算结果反变换成正弦量。tisin282)
15、30sin(241ti AI08214 30IA 设 二个正弦量的相量形式分别为124 308 0III 2 11.63sin(10)itA 根据求得的电流相量，写出正弦量 i，即 12iii4cos304sin308cos08sin0jj3144802 38222jjj计算解:3.468211.46211.63 10jjA设正弦量设正弦量:)(sinmtUu mUut OxyO若若:有向线段长度有向线段长度 =mU有向线段与横轴夹角有向线段与横轴夹角 =初相位初相位 有向线段以速度有向线段以速度 按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转u01t1u上页 下页目录返回 旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投
16、影即表旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。示相应时刻正弦量的瞬时值。演示演示上页 下页目录返回上页 下页目录返回 sin()t2CCCSmS2dud uRCLCuUdtdtSmsin()SSuUtmsin()CuUtSmsin()SSuUtmsin()iIt正弦稳态电路正弦稳态响应Smmsin()=sin()SiUtRIt SRLCUUUU能否直接列出相能否直接列出相量形式的方程量形式的方程?正弦动态电路LmCm+sin()+sin()LCUtUt正弦量写成相量正弦量写成相量列出正弦形式的方程列出正弦形式的方程上页 下页目录返回相量形式：相量形式：iRuIIURI
17、相量模型相量模型)sin(2)(itIti 已已知知)sin(2)()(iRtRItRitu 则则uR(t)i(t)R+-有效值关系：有效值关系：UR=RI相位关系相位关系 u=i (u,i同相同相)R+-RU IUR u相量伏安关系：相量伏安关系：IRUR UR=RI u=i上页 下页目录返回时域伏安关系：时域伏安关系：时域模型时域模型()()RutRi t瞬时功率瞬时功率：iupRR 波形图及相量图：波形图及相量图：i tOuRpRRUI u=iURI瞬时功率以瞬时功率以2 2 交变。但始终大于零，交变。但始终大于零，表明电阻始终是吸收（消耗）功率。表明电阻始终是吸收（消耗）功率。)(si
18、n222iRtIU )2cos(1 iRtIU 上页 下页目录返回TTtiuTtpTP00d1d1UIttUITT 0)dcos2(11IUP 2RI RU2单位单位:瓦瓦（W）上页 下页目录返回)90(sin2 tLI U=I L 90iu相位差相位差ddiuLt设：设：tIisin2d(2 sin)dItuLt)90(sin2tU90utu iiOiu+-L时域模型时域模型)(jjLXILIUUI相量图相量图90IU超前超前)90(sin2tLIutIisin2根据：根据：0II 9090LIUU相量模型相量模型LfLXL2LXIU 或或 电感电感L具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用f=
19、0,XL=0，电感，电感L视为视为短路短路LfLXL2 fLXL2 L IUfXLILXI,fOLX感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；U=XL I=LI=2 fLI(2)感抗和频率成正比；感抗和频率成正比；XL相量表达式相量表达式:XL=L=2 fL，称为感抗，单位为，称为感抗，单位为 (欧姆欧姆)BL=1/L=1/2 fL，感纳，单位为感纳，单位为 S(同电导同电导)感抗和感纳感抗和感纳:,ILjIjXUL ;,;,0 ),(0开路开路短路短路直流直流 LLXXULjULjUjBIL 11上页 下页目录返回时域形式：时域形式：()2 sin()uu
20、 tIt 2sin()2uC It相量：相量：相量关系：相量关系：iC(t)u(t)C+-2 uCuCUIUU 有效值关系：有效值关系：IC=CU相位关系：相位关系：i=u+90 (i 超前超前 u 90)ICjUCjUUCjI 11 UCI +-Cj1UCI u上页 下页目录返回时域模型时域模型相量模型相量模型若若d()()2cos()dCuu titCL Utt则则令令 B B C=C，称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S ，XC 0,0,对高频短路对高频短路(旁路作用旁路作用)容抗与容纳：容抗与容纳：CXC1CX,If)(2CfUI O上页 下页目录返回容抗与频率成反比容抗与频率成反比有
21、效值关系：有效值关系：IC=CUC令令 XC=1/C，称为容抗，单位为称为容抗，单位为 0，XC ,对直流开路对直流开路(隔直隔直)3.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式上页 下页目录返回 基尔霍夫电流定律的相量形式基尔霍夫电流定律的相量形式对于电路中任一结点，对于电路中任一结点，0i0 Ii1i2i3i4I1I2I3I4对图中电路，有对图中电路，有 04321 IIII连接在电路任一节点的各支路电流的相量的代数和为零连接在电路任一节点的各支路电流的相量的代数和为零上页 下页目录返回 基尔霍夫电压定律的相量形式基尔霍夫电压定律的相量形式对于电路中任一回路，对于电路中任一回路，0u
22、0 U任一回路的各支路电压的相量的代数和为零任一回路的各支路电压的相量的代数和为零时域方程：时域方程：04321 uuuu相量方程：相量方程：04321 UUUU上页 下页目录返回例例。和和，求电压，求电压，已知：有效值已知：有效值bdadSuuFCHLRsradAI 113/105 3 LCR+uL-uCa+-i iS S+uR-bcdR+-a+-+-bcdSI RU LU CU Lj Cj 1AIS 05设VIRUSR 015VILjUSL 905000 VICjUSC 9050001 上页 下页目录返回R+-a+-+-bcdSI RU LU CU Lj Cj 1VIRUSR 015VIL
23、jUSL 905000 VICjUSC 9050001 0 CLbdUUUVUUUbdRad 015Vtuuadbd)10sin(21503 上页 下页目录返回 例例 图示正弦稳态电路，电流表图示正弦稳态电路，电流表A1的读数为的读数为5A，A2的的读数读数 20A，A3的读数为的读数为25A，求电流表求电流表A和和A4的读数。的读数。+-AA1A3A2A4SU I1 I2 I3 I4 ILj Cj 1R 0SSUU设设AI 051AjI2090202 AjI2590253 AjIII 9055324AjIII 4507.755411 I2 I3 I4 I ISU o上页 下页目录返回 3.5
24、 阻抗与导纳阻抗与导纳上页 下页目录返回正弦激励下正弦激励下IZU+-线性线性无源无源IU+-UI|Z|阻抗三角形阻抗三角形iu 单位：单位：IUZ 阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角 3.5.1 阻抗阻抗上页 下页目录返回阻抗Z|ZRLC串联电路串联电路用相量法分析用相量法分析R R、L L、C C 串联电路的阻抗。串联电路的阻抗。由由KVL：.RLCUUUU1()RjLICIjXR)(CLRuuuu 其相量关系为其相量关系为LCRuuLuCi+-+-+-+-uR.Ij LR+-+-+-.ULU.CU.Cj1+-RU.上页 下页目录返回 UZRjXI1.RIj LIjIC()LCRj XXIZ阻抗；阻
25、抗；R电阻（阻抗的实部）；电阻（阻抗的实部）；X电抗（阻抗的虚部）；电抗（阻抗的虚部）；|Z|阻抗的模；阻抗的模；阻抗角。阻抗角。关系：关系：或或R=|Z|cos X=|Z|sin|Z|RX 阻抗三角形阻抗三角形上页 下页目录返回电路为感性，电压超前电流；电路为感性，电压超前电流；电路为容性，电压落后电流；电路为容性，电压落后电流；电路为电阻性，电压与电流同相。电路为电阻性，电压与电流同相。ZCLjRZ)1(CL 1 0,0 XCL 1 0,0 XCL 1 0,0 X上页 下页目录返回画相量图：画相量图：选电流为参考向量选电流为参考向量三角形三角形UR、UX、U 称为电压三角形，它和称为电压三
26、角形，它和阻抗三角形相似。即阻抗三角形相似。即CUIRULUU 22XRUUU )0(i.XCLUUU 上页 下页目录返回.1.ICjILjIRUUUUCLR CL 1 设例例已知已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2 F,Hz103 ),60cos(254 ftu 求求 i,uR,uL,uC.解解其相量模型为其相量模型为V 605U)1(CLjRZ 5.56103.0103234jjLj 5.26102.010321164jjCj 5.265.5615jj o4.6354.33LCRuuLuCi+-+-+-+-uR.Ij LR+-+-+-.ULU.CU.Cj1+-RU.上页 下页目录返回
27、1)ZRj LjCUIZ串联串联 A4.3149.04.6354.33605ooo ZUI则则 A)4.3(sin2149.0o tiUL=8.42 U=5，电感电压大于外加电压。，电感电压大于外加电压。ULUCUIRU-3.4相量图相量图V 4.3235.24.3149.015oo IRURV 4.8642.84.3149.0905.56ooo ILjUL V 4.9395.34.3149.0905.26C1ooo IjUC V)4.3sin(2235.2o tuRV)6.86sin(242.8o tuLV)4.93sin(295.3o tuC上页 下页目录返回（1）R：RRIRU （2）L
28、：（3）C：LLILjU CCUCjI 3.5.2 导纳导纳上页 下页目录返回1LLIUj LRRIGU1CCUIj C导纳导纳YIYU|Y|GB 导纳三角形导纳三角形单位：单位：SUIY|ui 上页 下页目录返回3.5.2 导纳导纳线性线性无源无源IU+-IYU+-|GjBYRLC并联电路并联电路由由KCL：CLRIIII iLCRuiLiC+-iL.Ij L.ULI.CI.Cj 1R+-RI.1UUGUj LjC UCjLjG)1()LCGj BBU UjBG)(上页 下页目录返回Y 复导纳复导纳；G电导（导纳的实部）电导（导纳的实部）；B电纳（导纳的虚部）电纳（导纳的虚部）；|Y|复导纳
29、的模复导纳的模；导纳角导纳角。关系关系：或或G=|Y|cos B=|Y|sin|Y|GB 导纳三角形导纳三角形|YjBG上页 下页目录返回画相量图画相量图：选电压为参考相量：选电压为参考相量2222)(CLRBRIIIIII URI.LI.I CI.0 u CLRIIII .Ij L.ULI.CI.Cj1R+-RI.LC 1 上页 下页目录返回3.5.3 阻抗和导纳的等效互换阻抗和导纳的等效互换ZRjXGjBY|ZjXRZ|YjBGY 11YZR jX22 ,GRRXBXGR1,1 一般情况下，一般情况下，若若Z为感性，为感性，X 0，则，则B0，即即Y 为感性为感性上页 下页目录返回22Gj
30、BRjXRX22 BXRX同样同样，若由若由Y 变为变为 Z，11ZYGjBZRjXGjBY上页 下页目录返回则有，22GjBGB2222 ,RXGBGBGBRjX同直流电路相似：同直流电路相似：ZZ1Z2+-U1 U2 U I ,:UZZUZZkkkk串联 21UUU21ZZIUZ IZIZ21 IZZ)(21 UZZIZU1113.5.4 阻抗（导纳）的串联和并联阻抗（导纳）的串联和并联 上页 下页目录返回同直流电路相似：同直流电路相似：IY+-UY1Y21 I2 I ,:IYYIYYkkkk并联 IZZZIZZZZZ2121212121 III IYYUYI111 UYUY21 UYY)
31、(2121YYUIY 上页 下页目录返回例例 已知已知 Z1=10+j6.28,Z2=20-j31.9 ,Z3=15+j15.7 。ZZZZZZZZ321213abZ1Z2Z3ab求求 Zab。9.312028.610)9.3120)(28.610(2121jjjjZZZZZ ooo 5.4045.3961.5765.3713.3281.1186.289.10 j 6.359.3156188925 86.289.107.1515o3ab .j.jjZZZ上页 下页目录返回。，1021/3141001010005.010 UsradVUFCRHLRS求各支路电流和电压 例已知R2R1+-+-Lj
32、 Cj 1SU I1 I2 I10 U 0100SU设：设：10001021RRZZ，157jLjZL 5.3181jCjZC 121/ZRj LRjC5.3181000)5.318(100015710jjj 132102j 3.52167ZUIS 3.521670100 3.526.0上页 下页目录返回。，1021/3141001010005.010 UsradVUFCRHLRS求各支路电流和电压例 已知R2R1+-+-Lj Cj 1SU I1 I2 I10 U2120.57 701RIIRjC 3.526.0I210.18220III 201822210IZUR上页 下页目录返回3.6 正弦稳态电路的计算正弦稳态电路的计算上页 下页目录返回3-3,3-4,3-6，3-7,3-8，3-11,3-13，3-16，3-17，3-19，3-21，3-23.上页 下页目录返回
