1、第七章第七章 方差分析方差分析 Analysis of Variance(ANOVA)一、单因素试验一、单因素试验 二、平方和的分解二、平方和的分解 四、假设检验问题的拒绝域四、假设检验问题的拒绝域 五、未知参数的估计五、未知参数的估计 六、小结六、小结 的统计特性的统计特性，三、三、EASS一、单因素试验一、单因素试验化工产品的化工产品的数量和质量数量和质量反应温度反应温度压力压力原料成分原料成分原料剂量原料剂量溶液浓度溶液浓度操作水平操作水平反应时间反应时间机器设备机器设备方差分析方差分析 根据试验的结果进行分析，根据试验的结果进行分析，有关因素对试验结果影响的有效方法有关因素对试验结果影
2、响的有效方法.鉴别鉴别各个各个 试验指标试验指标 试验中要考察的指标试验中要考察的指标.因素因素 影响试验指标的条件影响试验指标的条件.因素因素 可控因素可控因素 不可控因素不可控因素 水平水平 因素所处的状态因素所处的状态.单因素试验单因素试验 在一项试验中只有一个因素在一项试验中只有一个因素改变改变.多因素试验多因素试验在一项试验中有多个因素在在一项试验中有多个因素在改变改变.例例1表表7.1铝合金板的厚度铝合金板的厚度设有三台机器设有三台机器,板板.取样取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结果如下表所示得结果如下表所示.用来生产规格相同的铝合金薄用来
3、生产规格相同的铝合金薄机器机器机器机器机器机器0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262假定除机器这一因素外假定除机器这一因素外,试验目的试验目的:其他条件相同其他条件相同,属于属于单因素试验单因素试验.考察各台机器所生产的薄板的厚考察各台机器所生产的薄板的厚度有度有无显著的差异无显著的差异.即考察机器这一因素对即考察机器这一因素对厚度有厚度有无无显著的影响显著的影响.水平水平:不同的三台机器是因素的三个不同的水平不同的三台机器是因素的三个不同的水平.试验指标试验指标:因素因素:薄板的厚
4、度薄板的厚度机器机器结论结论:如果厚度有显著差异，如果厚度有显著差异，表明机器这一因素对厚度的影响是显著的表明机器这一因素对厚度的影响是显著的.下表列出了随机选取的、下表列出了随机选取的、例例2表表7.2 电路的响应时间电路的响应时间类型的电路的响应时间（以毫秒计）类型的电路的响应时间（以毫秒计）用于计算器的四种用于计算器的四种26181516 类型类型27181933202221221820 19类型类型类型类型类型类型154017试验目的试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无显著的影响考察电路类型这一因素对响应时间有无显著的影响.试验指标试验指标:因素因素:水平水平:电路的响应时间电
5、路的响应时间电路类型电路类型四种电路类型为因素的四个不同的水平四种电路类型为因素的四个不同的水平单因素试验单因素试验 一火箭用四种燃料一火箭用四种燃料,例例3表表7.3火箭的射程火箭的射程推进器推进器(B)B1B2B3燃料燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.4射程如下射程如下.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,三种推进器作射程试验三种推进器作射程试验.试验指标试验指标:
6、因素因素:水平水平:双因素试验双因素试验试验目的试验目的:燃料有燃料有4 4个个射程射程推进器和燃料推进器和燃料推进器有推进器有3个个,考察推进器和燃料两因素对射程有无显著的影响考察推进器和燃料两因素对射程有无显著的影响.关于例关于例1 1的讨论的讨论:0H检验假设检验假设,1 设总体均值分别为设总体均值分别为,2.3 1 2 ,3:1H,1,2.3不全相等不全相等 进一步假设各总体均为正态变量进一步假设各总体均为正态变量,问题问题解决方法解决方法且各总体的且各总体的方差相等方差相等,但参数均未知但参数均未知.检验同方差的多个正态总体均值是检验同方差的多个正态总体均值是否相等否相等.(一种统计
7、方法一种统计方法)方差分析法方差分析法数学模型数学模型,21sAAAsA个水平个水平有有设因素设因素,),2,1下下s.的结果的结果 jAj(在水平在水平,)2(次独立试验次独立试验进行进行 jjnn得到如下表得到如下表样本总和样本总和样本均值样本均值总体均值总体均值1A2AsA观察结果观察结果水平水平11X21X11nX1 T1 X1 12X22X22nX2 T2 X2 sX1sX2snsXsT sX s 表表7.4假设假设下的样本下的样本各个水平各个水平),2,1(.1sjAj),2,1(,2sjj 均值分别为均值分别为来自具有相同方差来自具有相同方差,),(2 jN的正态总体的正态总体;
8、2均未知均未知与与 jjnjjjXXX,21.2下的样本之间相互独立下的样本之间相互独立不同水平不同水平jA),(2 jijNX 因为因为).,0(2 NXjij所以所以,表示随机误差表示随机误差记记ijjijX 可写成可写成那么那么ijX 单因素试验方差分析单因素试验方差分析的数学模型的数学模型 ,ijjijX ,),0(2 Nij ,独立独立各各ij,2,1jni,2,1sj 均未知均未知与与.2 j需要解决的问题需要解决的问题:0H1.检验假设检验假设:1H,s 1 2 .不全相等不全相等s,1,2,.21 估计未知参数估计未知参数,2,s.2,数学模型的等价形式数学模型的等价形式,1
9、sjjnn记记总平均总平均,jjssnnn 2211.,平均的差异平均的差异平均值与总平均值与总下的总体下的总体表示水平表示水平应应的效的效水平水平jjAA.11 sjjjnn .,2,1sj .0 ,ijjijX ,),0(2 Nij ,独立独立各各ij,2,1jni,2,1sj 均未知均未知与与.2 j原数学模型原数学模型改写为改写为,ijjijX ,),0(2 Nij,独立独立各各ij,2,1jni,2,1sj .01 sjjjn 等价于等价于检验假设检验假设:1H:0H,1,2,.不全为零不全为零s 1 2 s ,0:0H原原检验假设检验假设:1H,s 1 2 .不全相等不全相等s,1
10、,2,X数据的总平均数据的总平均TS总偏差平方和（总变差）总偏差平方和（总变差）jX 下的样本平均值下的样本平均值水平水平jA二、平方和的分解 sjniijjXn111 sjniijjXX112)(jniijjXn11 TS sjnijjijjXXXX112)()(sjnijsjnijijjjXXXX112112)()(sjnijjijjXXXX11)(2 sjniijjXX112)(sjnijjijjXXXX11)(2 sjnijijjjXXXX11)()(2 sjnijjijjjXnXXX11)(20 其中其中，可分解为可分解为于是于是AETTSSSS AS212XnXnsjjj sjjj
11、XXn12)(sjnijjXX112)(ES.称为平方和分解式称为平方和分解式AETSSS sjnijijjXX112)(其中其中误差平方和误差平方和效应平方和效应平方和ES sjnijijjXX112)(其中其中误差平方和误差平方和jniijjijjjijjjijjijnXX。，XX11)(仅反映随机误差称为组内偏差AS sjnijjXX112)(效应平方和效应平方和jjjjjjXXj，XX个水平效应还反映了第除了反映随机误差外称为组间偏差由随机误差引起的数据间的差异可以用组内偏由随机误差引起的数据间的差异可以用组内偏差平方和表示，组内偏差仅反映随机误差，故差平方和表示，组内偏差仅反映随机误
12、差，故也把组内偏差平方和称为误差偏差平方和，记也把组内偏差平方和称为误差偏差平方和，记为为S Se e；由于组间偏差除了随机误差外，还反映；由于组间偏差除了随机误差外，还反映了效应间的差异，故由效应不同引起的数据差了效应间的差异，故由效应不同引起的数据差异可用组间偏差平方和表示，也称为因子异可用组间偏差平方和表示，也称为因子A A的偏的偏差平方和，记为差平方和，记为S SA A三、SE,SA 的统计特性ES,)()(1212111 snisisniiXXXX,1),()(212倍倍的样本方差的的样本方差的是是 jjnijijnNXXj ).1()(2212 jnijijnXXj sjnijij
13、jXX112)(,独立独立又由于各又由于各ijX2 ES 即即，分布的性质可以得到分布的性质可以得到根据根据2 的自由度为的自由度为ES)(ESE.1 sjjnn其中其中;sn 分布的可加性知分布的可加性知所以由所以由2,)1(12 sjjn),(2sn .)(2 sn 2 ESAS sjnijjXX112)(sjjjXXn12)(sjjjjXXnn1)(XnXsjniijj 11 sjjjXXn1)(0因为因为.1 sSA的自由度为的自由度为所以所以又因为又因为,111相互独立相互独立ijsjniijXXnXj ,11 sjjjnn 所以所以.,2 nN X)(ASE)()(212XnEXE
14、nsjjj 22122)(nnnnsjjjj212XnXnEsjjj 2122122)1(nnnnssjjjsjjj sjjjns122)1(,独立独立与与EASS,0为真时为真时H2 AS).1(2 s,0为真时为真时H 1sSEA,1为真时为真时H 1sSEA四、假设检验问题的拒绝域,2 ,012 sjjjn.112122 sjjjns:1H:0H,1,2,.不全为零不全为零s 1 2 s ,0检验假设检验假设;.1 分子和分母相互独立分子和分母相互独立;)(.22的数学期望始终是分母snSE,.30为真时为真时H,0不真时不真时H.取值有偏大的趋势取值有偏大的趋势分子分子.)()1(sn
15、SsSFEA F拒绝域的形式为拒绝域的形式为)()1(snSsSEA .k,2 分子的期望为分子的期望为,0是否为真是否为真不管不管 H.)(2的无偏估计的无偏估计都是都是 snSE.确定确定由预先给定的显著水平由预先给定的显著水平其中其中 k)()1(22snSsSEA )()1(snSsSEA 检验假设检验假设:0HF拒绝域为拒绝域为).,1(snsF :1H.,21不全为零不全为零s )()1(snSsSEA ).,1(snsF 1 2 s ,0,0为真时为真时因为因为H),(22snSE ),1(22 sSA 7.5 单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表方差来源方差来源平方和平方和
16、自由度自由度均方均方F 比比因素因素A误差误差总和总和ASESTS1 ssn 1 n1 sSSAAsnSSEE EASSF .1的均方的均方和和称为称为和和表中表中EAEEAASSsnSSsSS TSESAS,2112nTXsjniijj ,212nTnTsjjj 2112XnXsjniijj 212XnXnsjjj .ATSS ,1 jniijjXT记记,11 sjniijjXT,1sj：的简便计算公式的简便计算公式和和、EATSSS例例4表表7.1铝合金板的厚度铝合金板的厚度 设有三台机器设有三台机器,板板.取样取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结果
17、如下表所示得结果如下表所示.05.0）：）：（取取 检验假设检验假设 ,:3210 H用来生产规格相同的铝合金薄用来生产规格相同的铝合金薄 不全相等不全相等3211,:H机器机器机器机器机器机器0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262解解sTS1nn158.3963912.02 ,3 2n 3n ,515231512 TXjiij,33245001.0 15AS 3122jjjnTnT158.3)31.128.121.1(512222 ,00105333.0 ES ATSS .1920
18、00.0例例4 4的方差分析表的方差分析表005.0H下拒绝下拒绝在水平在水平各机器生产的薄板厚度有显著差异各机器生产的薄板厚度有显著差异.F 92.32)12,2(05.0F.89.3方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F 比比因素因素0.0010533320.0005266732.92误差误差0.000192120.000016总和总和0.0012453314)(XE)(jXE,X 故故j 五、未知参数的估计.,220的无偏估计的无偏估计是是是否为真是否为真不论不论 snSHE ，,j sj,2,1.的无偏估计的无偏估计和和分别是分别是jjjX ,jsj,2,1.的无偏估计的无
19、偏估计是是于是于是jjjXX ,0H若拒绝若拒绝不全为零，不全为零，意味着效应意味着效应s 21)(kjXXE )(kjXXD j.,2,1sj j jsjjn 1 ，j XXj sjjjXnXn1 0,kj ,112 kjnn,2独立独立与与snSXXEkj 由于由于)11()()(kjEkjkjnnSXX 于是于是)(11)()(2snSnnXXEkjkjkj 的的的置信水平为的置信水平为均值差均值差 1kjkj置信区间为置信区间为.)(snt.)11()(2 kjEkjnnSsntXX 例例5,4 2 中的未知参数中的未知参数求例求例解解2 1 1 2 3 2 3 的点的点)3,2,1(
20、jj.95.0的置信区间的置信区间平为平为估计及均值差的置信水估计及均值差的置信水 1 x ,242.0 2 x ,256.0 3 x .262.0 xx 1,011.0 x ,253.0 xx 2,003.0 xx 3.009.0因为因为)12(025.0t,1788.2)(025.0snt,j )(snSE ,000016.0)11()12(025.0kjEnnSt ,006.0的置信区间为的置信区间为的置信水平为的置信水平为所以所以95.021 )006.0256.0242.0(),008.0,020.0()006.0262.0242.0(的置信区间为的置信区间为的置信水平为的置信水平为
21、95.031 ),014.0,026.0(的置信区间为的置信区间为的置信水平为的置信水平为95.032 )006.0262.0256.0().0,012.0(例例605.0 解解记类型记类型分别以分别以4321,I、II、III、.体的平均值体的平均值四种电路响应时间的总四种电路响应时间的总 05.0 检验检验检验各类型电检验各类型电试取水平试取水平又设又设但参数均未知但参数均未知.且各总体的方差相同，且各总体的方差相同，为正态，为正态，设在例设在例2的四种类型电路的响应时间的总体均的四种类型电路的响应时间的总体均各样本相互独立，各样本相互独立，路的响应时间是否有显著差异路的响应时间是否有显著
22、差异.:0H:1H,4 1 2 3.4不全相等不全相等,1,2，3 TSAS1838689922 1838635992141945122222 ，98.318n ,18s ,41n 2n 3n ,54n 3 1824112 Txjniijj 44.714 412218jjjTnT ES，的自由度依次为的自由度依次为141317,EATSSS例例6 6的方差分析表的方差分析表 ，76.334.314305.0 F，下拒绝下拒绝故在水平故在水平005.0H认为各类型电路的响应时间有显著差异认为各类型电路的响应时间有显著差异.ATSS 46.395结果载于下表结果载于下表方差来源方差来源平方和平方和
23、自由度自由度均方均方F 比比因素因素318.983106.333.76误差误差395.461428.25总和总和714.4417六、小结1.随机试验随机试验:单因素试验单因素试验、多因素试验多因素试验2.单因素试验方差分析步骤单因素试验方差分析步骤(1)(1)建立数学模型建立数学模型;(2)(2)分解平方和分解平方和;(3)(3)研究统计特性研究统计特性;(4)(4)进行假设检验进行假设检验;(5)(5)估计未知参数估计未知参数.一、双因素等重复试验的方差分析一、双因素等重复试验的方差分析二、双因素无重复试验的方差分析二、双因素无重复试验的方差分析三、小结三、小结第二节双因素试验的方差分析.,
24、:21rAAAA因素因素.,:21sBBBB因素因素表表 7.8因素因素A因素因素B1A2ArA1B2BsBtXXX11112111,tXXX21212211,tXXX12122121,tXXX22222221,stssXXX12111,stssXXX22212,trrrXXX11211,trrrXXX22221,rstrsrsXXX,21一、双因素等重复试验的方差分析)1.2(式式 ),(2 ijijkNX 假设假设,独立独立各各ijkXijk,1r,1s.,1t.,2均为未知参数均为未知参数 ijijkX),0(2 Nijk,独立独立各各ijk;,2,1ri;,2,1sj .,2,1tk
25、引入记号引入记号 risjijrs111 ,ijkij 为总平均，为总平均，i j i j ,11 sjijs ri,1 ,11 riijr sj,1 ,iri,1 ,jsj,1 1 rii sjj1 ,0 .0的效应，的效应，为水平为水平iiA,的效应的效应为水平为水平jjB 显然显然ij ij )(jiijji jiij riij1 的交互效应，的交互效应，和水平和水平称为水平称为水平jiijBA ,0sj,1 ,ijji sjij1 ,0ri,1 则则其中其中)2.2(式式 ijkX ,ijkijji ),0(2 Nijk ,独立独立各各ijk;,2,1ri;,2,1sj,2,1tk,0
26、1 rii,01 sjj,01 riij(2.2式式)为双因素试验方差分析的数学模型为双因素试验方差分析的数学模型可改写如下：可改写如下：式式)1.2(,01 sjij.,2均为未知参数均为未知参数及及其中其中 ijji以上模型需检验以下三个假设：以上模型需检验以下三个假设：与单因素情况类似，与单因素情况类似，检验方法检验方法建立在平方和的分解上建立在平方和的分解上.,0:2101 rH .,:2111不全为零不全为零rH ,0:2102 sH .,:2112不全为零不全为零sH ,0:121103 rsH .,:121113不全为零不全为零rsH X ijX iX jXij,1111 ris
27、jtkijkXrst,11 tkijkXt;,2,1r,2,1s，sjtkijkXst111i;,2,1r ritkijkXrt111j,2,1s引入记号引入记号TS risjtkiijijkXXXX111)()(2)()(XXXXXXjiijj riirisjtkijijkXXstXX121112)()(sjjXXrt12)(risjtkijkXX1112)(引入总偏差平方和引入总偏差平方和(称为称为总变差总变差)risjjiijXXXXt112)(误差误差平方和平方和因素因素A 的的效应平方和效应平方和因素因素B 的的效应平方和效应平方和因素因素A,B的交的交互效应平方和互效应平方和ESA
28、S ,1112 risjtkijijkXX ,12 riiXXst可得平方和的分解式可得平方和的分解式其中其中BS ,12 sjjXXrtBAS risjjiijXXXXt112.TSESBS AS BAS 数学期望数学期望自由度自由度TSESASBSBAS 统计特性统计特性2)1(trs riistr122)1(rijrts122)1(risjijtsr1122)1)(1(1 rst)1(trs1 r1 s)1)(1(sr 1rSEA,1122 rstrii 1sSEB,1122 srtsjj )1)(1(srSEBA,)1)(1(1122 srtrisjij )1(trsSEE,2 且有且
29、有,0:2101为真时为真时当当 rH AF,取显著性水平为取显著性水平为AF)1()1(trsSrSEA).1(,1(trsrF的拒绝域为的拒绝域为得假设得假设01H)1()1(trsSrSEA).1(,1(trsrF 拒绝域情况拒绝域情况,取显著性水平为取显著性水平为BAF 的拒绝域为的拒绝域为得假设得假设03H)1()1)(1(trsSsrSEBA.)1(),1)(1(trssrF BF)1()1(trsSsSEB).1(,1(trssF ,类似地类似地,取显著性水平为取显著性水平为的拒绝域为的拒绝域为得假设得假设02H上述结果可汇总为方差分析表上述结果可汇总为方差分析表.方差来源方差来
30、源平方和平方和自由度自由度均方均方F 比比因素因素A因素因素B交互作用交互作用误差误差总和总和1 rSSAA1 sSSBB)1)(1(srSSBABA)1(trsSSEETSESASBSBAS 1 rst)1(trs1 r1 s)1)(1(srEAASSF EBBSSF EBABASSF 双因素试验的方差分析表双因素试验的方差分析表记记,111 risjtkijkXT,1 tkijkijXTij;,2,1r,2,1s,11 sjtkijkiXTi;,2,1r,11 ritkijkjXTj,2,1s的公式可改写为：的公式可改写为：和和、则各平方和则各平方和BABAETSSSSS 的公式：的公式：
31、和和、平方和平方和BABAETSSSSS,)(11122 risjtkijkTrstTXS,)()(1122 riiArstTTstS,)()(1122 sjjBrstTTrtS,)()(11122BArisjijBASSrstTTtS .BABATESSSSS 例例1,析模型所需的条件析模型所需的条件假设符合双因素方差分假设符合双因素方差分在水平在水平,05.0下下、因素因素检验不同燃料检验不同燃料)(A)(B因素因素不同推进器不同推进器?异异下的射程是否有显著差下的射程是否有显著差?交互作用是否显著交互作用是否显著接上一节例接上一节例3解解,10.9的计算见下表的计算见下表、jiijTTT
32、T,ijT表中括弧内的数字是表中括弧内的数字是.2,3,4 tsr现在现在1319.8396.1455.3468.4346.6342.4296.5334.3B1B2B3 iTA1A2A3A4 jT58.252.649.142.860.158.375.871.5)8.110()9.91()4.118()3.147()4.97(56.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.4)6.104()1.144()2.109()1.126()100()9.79()1.90(AB10.7表根据平方公式有根据平方公式有248.131
33、9)4.416.522.58(2222 TS,29833.2638 248.1319)6.3464.3425.2963.334(6122222 AS,67500.261 248.1319)1.3963.4554.468(812222 BS,98083.370 BABASSS 248.1319)1.909.918.110(212222,69250.1768 BABATESSSSS .95000.236 方差分析表见下页方差分析表见下页.232638.29833总和总和19.745812236.95000误差误差FAB=14.9294.782161768.69250交互作用交互作用(AB)FB=9
34、.39185.4902370.98083因素因素B(推进器推进器)FA=4.4287.22503261.67500因素因素A(燃料燃料)F 比比均方均方自由度自由度平方和平方和方差来源方差来源表表7.11 例例1的方差分析表的方差分析表49.3)12,3(05.0 F因为因为,AF 89.3)12,2(05.0 F,BF 下，下，所以在显著水平所以在显著水平05.0,0201HH、拒绝假设拒绝假设即燃料和推进器对射程的影响是显著的即燃料和推进器对射程的影响是显著的.00.3)12,6(05.0 F又因为又因为,BAF ,03H故拒绝假设故拒绝假设38.8)12,6(001.0 F注意到注意到,
35、BAF 故交互作用效应是高度显著的故交互作用效应是高度显著的.,030201HHH、需检验假设需检验假设例例2(取显著性水平为取显著性水平为 0.05)以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的时间时间分布且方差相同分布且方差相同.设各水平搭配下强度的总体服从正态设各水平搭配下强度的总体服从正态验重复两次验重复两次.在同一条件下每个实在同一条件下每个实测定结果测定结果(相对值相对值)如表所示如表所示.产品强度的产品强度的(因素因素B)与时间与时间(因素因素A)各取两个水平各取两个水平,对热处理温度对热处理温度在某种金属材料的生产过程中在某种金属材料的生
36、产过程中,各样本独立各样本独立.问热处理温度、问热处理温度、影响影响?BB1B2AA1A238.038.6(76.6)jT47.044.8(91.8)45.043.8(88.8)42.440.8(83.2)168.4172165.4175340.4 iT表表7.12解解做如下计算做如下计算84.340)6.380.38(222 TS ,82.71AS 84.340)1724.168(41222 ,62.1 BS 84.340)1754.165(41222 ,52.11 BAS 52.1162.102.1448424.14551 ,8.50 ES ,6.4 BABATSSSS 08.5452.1
37、162.182.71 ,030201HHH、需检验假设需检验假设,71.7)4,1(05.0 F因为因为所以认为时间对强度的影响不显著所以认为时间对强度的影响不显著,而温度的影而温度的影响显著响显著,且交互作用的影响显著且交互作用的影响显著.表表7.13 例例2 2的方差分析表的方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F 比比因素因素A因素因素B误差误差总和总和BAS 1.6211.5254.084.671.82111471.6211.5254.081.150.470.104.1 BABAFFF检验两个因素的交互效应检验两个因素的交互效应,如果已知不存在交互作用如果已知不存在
38、交互作用,对两个因素的每一组合只做一次试验对两个因素的每一组合只做一次试验,二、双因素无重复试验的方差分析组合至少要做两次试验组合至少要做两次试验.试验的指标影响很小试验的指标影响很小,或已知交互作用对或已知交互作用对的方差分析的方差分析.双因素无重复试验双因素无重复试验对各因素的效应进行分析对各因素的效应进行分析也可以也可以对两个因素的每一对两个因素的每一则可以不考虑交互作用则可以不考虑交互作用.表表7.14因素因素B因素因素A1ArA2A1B2BsB11X21X1rX12X22X2rXsX1sX2rsX假设假设),(2 ijijNX；ri,1 .,1sj)3.2(式式 ,由于不存在交互作用
39、由于不存在交互作用,独立独立各各ijX.,2均为未知参数均为未知参数 ij ijX ,ijij ;,2,1ri,2,1sj,独立独立各各ij),0(2 Nijij ,0ij .ji (2.3式式)可改写为下式可改写为下式 双因素无重复双因素无重复试验方差分析试验方差分析的数学模型的数学模型ijX ,ijji ),0(2 Nij,独立独立各各ij j,2,1si；r,2,1 rii1 sjj1 ,0 .0检验假设检验假设 :01H1 2 r ,0:11H.,21不全为零不全为零r 1:02H 2 s ,0:12H.,21不全为零不全为零s 方差来源方差来源 平方和平方和自由度自由度均方均方F 比
40、比因素因素A因素因素B误差误差总和总和1 rSSAA1 sSSBBTSESASBS1 rs1 r1 sEAASSF EBBSSF)1()1(sr)1)(1(srSSEE表表7.15双因素无重复试验的方差分析表双因素无重复试验的方差分析表,取显著性水平为取显著性水平为AF,取显著性水平为取显著性水平为BF的拒绝域为的拒绝域为得假设得假设01H EASS).1)(1(,1(srrF 的拒绝域为的拒绝域为得假设得假设02H EBSS).1)(1(,1(srsF 表表7.15中的平方和可按下式计算中的平方和可按下式计算:,)(1122 risjijTrsTXS,)()(1122 riiArsTTsS,
41、)()(1122 sjjBrsTTrS.BATESSSS 其中其中,11 risjijXT,1 sjijiXTi;,2,1r,1 riijjXTj,2,1s例例3因素因素B(地点地点)因因素素A(时间时间)1975年年10月月1976年年 1 月月1976年年 5 月月1996年年 8 月月2891234512752513082272007682686367695956819667645659545851704237331376290278jT iT中的颗粒状物中的颗粒状物(以以 mg/m3 计计)的含量的数据的含量的数据:不同时间空气不同时间空气下面给出了在某下面给出了在某 5 个不同地点、
42、个不同地点、设本题符合模型中的条件，试在显著性水平为设本题符合模型中的条件，试在显著性水平为0.050.05下检验：在不同时间下颗粒状物含量的均值下检验：在不同时间下颗粒状物含量的均值有无显著差异，在不同地点下颗粒状物含量的均有无显著差异，在不同地点下颗粒状物含量的均值有无显著差异。值有无显著差异。解解的值已的值已、按题意检验假设按题意检验假设jTT ,)26.2()26.2(i算出载于上表，算出载于上表，.5,4 sr现在现在得到得到由由)27.2(TS 2012753767762222 75.3571AS 201275)278290376331(5122222 95.1182BS 2012
43、75)200251289(412222 50.1947ES )50.194795.1182(75.3571 30.441,72.1049.3)12,3(05.0 F由于由于,24.1326.3)12,4(05.0 F,0201HH 及及故拒绝域故拒绝域即认即认表表7.16 例例3 3的方差分析表的方差分析表量的均值有显著差异，量的均值有显著差异，为不同时间下颗粒物含为不同时间下颗粒物含也也.异异物含量的均值有显著差物含量的均值有显著差认为不同地点下颗粒状认为不同地点下颗粒状方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F 比比因素因素A1.6211.6210.72因素因素B11.52111.5213.24误差误差4.641.15总和总和71.827三、小结1.双因素等重复试验的方差分析步骤双因素等重复试验的方差分析步骤2.双因素无重复试验的方差分析步骤双因素无重复试验的方差分析步骤(3)研究统计特性研究统计特性;(2)分解平方和分解平方和;(4)确定拒绝域确定拒绝域.(1)建立数学模型建立数学模型;(3)研究统计特性研究统计特性;(2)分解平方和分解平方和;(4)确定拒绝域确定拒绝域.(1)建立数学模型建立数学模型;
