1、第十章 交流动态电路 10-1 10-1 周期电压和电流周期电压和电流10-2 10-2 正弦电压和电流正弦电压和电流10-3 10-3 正弦正弦RCRC电路分析电路分析10-4 10-4 复数的复习复数的复习10-5 10-5 复数四则运算的复习复数四则运算的复习10-6 10-6 相量相量10-7 10-7 用相量法求微分方程的特解用相量法求微分方程的特解10-8 10-8 正弦稳态响应正弦稳态响应一、什么是正弦交流电路？二、为什么要介绍正弦交流电路？1.正弦交流电路是电力供电系统的主要工作方式2.在众多的通信系统和控制系统中，信号虽然不是 正弦的，但任意波形，特别是周期性信号的波形 可以
2、看作是正弦信号之和。电源是按正弦规律变化的交流电路。引言10-1 周期电压和电流OTtuab(a)OtuabT(b)一、时变电压和电流：随时间变化的电压和电流。二、周期电压、电流瞬时值 u(t)、i(t)u(t)=u(t+k T)T周期 单位：秒 S 频率 单位：赫兹 HzT1f uabTtO(c)OtTuab(d)三、交变电压、电流：1）大小、方向随时间变化。2）在一个周期内平均值为零。10-2 正弦电压和电流一、瞬时值表达式)tcos(Uum)t(相位(角)二、正弦波的三要素：OtT)tcos(U1mtcosUm)tcos(U2m21Umtu 1.振幅 Um：最大值 2.角频率 角速度f2
3、T2 单位：弧度/秒 rad/s 3.初相角：与计时起点有关。三、两个同频率正弦波的比较：1.振幅比:2.相位差:若：0，u1 超前 u2 角；或 u2 滞后 u1 角；若：0，u2 超前 u1 角；或 u1 滞后 u2 角。)tcos(Uu11m1)tcos(Uu22m2tOu1u2122121)t()t(tututu 3.几种特殊情况：0 同相反相2正交 =，i1 超前 i2 角 2-=,i1 滞后 i2 角230230130130t15023013080O280i1i2例1：2）两正弦波必须同频率；计算相位差注意：3）两正弦波必须同用余弦表示；4）两正弦波表达式必须同符号；5）相位差与参
4、考方向有关。1）工程规定：相位差通常在-之间。若 ，用（2-）表示相位差，此时 需将超前与滞后交换。例2：)80tcos(Iim11，求 i2 与 i1 的相位差，已知)50tcos(Iim22)110tcos(Iim22)120tcos(Iim22)120tsin(Iim22)150tcos(Iim221)2)3)4)5)10-3 正弦RC电路的完全响应一、)tcos(IiiSmS已知:uC(0)=0 求:uC(t),t 0例+_RCuCSi解：一阶非齐次微分方程SCCiuR1dtduCCpChCuu)t(uucmCptcosUu全解：齐次微分方程通解非齐次微分方程特解RCtChKeu CR
5、ArctgR/1cIUiu222smcm 两个常数：ucmCcosUK0)0(u0ttcosUecosU)t(uucmRCtucmCtucpuchucucO0ttcosUecosU)t(uucmRCtucmC0ttcosUecosU)t(uucmRCtucmC1.解答第一项为暂态响应：随着时间增长衰减；第二项为稳态响应：与激励同频率正弦。2.K=0时，电路无暂态响应，立即进入正弦稳态。二、说明：过渡状态全响应=暂态响应+稳态响应 稳定状态全响应=稳态响应零状态时，电路立即进入正弦稳态条件：2u3.正弦电源激励下求电路微分方程特解很困难。10-4 复数的复习一、复数的定义:21jaaA其中：1j
6、二、复数的几何意义在复平面上的一个点O+1+ja2a1A直角坐标形式亦称代数形式三、复数的极坐标形式jaeA其中：a 复数的模复数的幅角四、复数的另一种几何意义 在复平面上的一个有向线段O+1+ja2a1Aa工程上简写形式 aA 极坐标形式亦称指数形式五、复数的两种形式的关系：欧拉公式：sinjcosejjaeA)sinj(cosasinjacosa21jaa sinaacosaa211.极坐标形式直角坐标形式(直接展开)+1+ja1a2aAO 122221aaarctgaaa2.直角坐标形式极坐标形式（解直角）例 1 把下列复数化为直角坐标形式1)513.53513.532)3)87.126
7、54)5 513.233例 2 把下列复数化为极坐标形式1)4 j32)4 j33)4)4 j34 j3注意：1、两种形式的互换要熟练！2、互换中要保留实部、虚部符号，注意初相角的象限！1.复数的相等21jaaA21jbbB两复数相等的充要条件是：11ba 22ba 或ba baaabb10-5 10-5 复数四则运算的复习复数四则运算的复习2.复数的相加必须用直角坐标形式21jaaA21jbbB212211jcc)ba(j)ba(BAC+1+ja1a1+b1a2+b2b2CABb1a2O+j+1ABBCO平行四边形法则3.复数的相减必须用直角坐标形式)ba(j)ba(BAC2211+1ABC
8、+jBB4.复数的乘法两种形式都可以)jbb)(jaa(BA2121)baba(j)baba(21122211ajaeAbjbeBcbaj)(jceabeBA +1AC+jaabOB模扩大b倍幅角逆时针旋转 a5.复数的除法两种形式都可以2121jbbjaaBA22212121bb)jbb)(jaa(222121122211bb)baba(j)baba(21jcc 222122111bbbabac222121122bbbabacbajjbeaeBA)(jbaebacjce+1BC+jabObA模缩小b倍幅角顺时针旋转 b一个复数乘以一个复数乘以 j j 90aa901jA复数复数j j的物理意
9、义：的物理意义：任一个复数乘以任一个复数乘以+j+j后，逆时针旋转后，逆时针旋转9090度；乘以度；乘以-j-j顺时针旋转顺时针旋转9090度，故称度，故称 j j为为9090度度旋转因子旋转因子。结论：结论：AjA10-6 相 量一、相量：tjeetcostjmeItsintsinjtcosettj欧拉公式：sinjcosej说明：正弦量可以看成一个复数的实部或虚部。设：u(t)=Um cos(t+)eU()eeU(eU)t(utjmetjjmetjme其中：mjmmUeUU意义：mU与时间无关，是复值常数，称为相量。1、mU含有正弦量振幅和初相角两个要素,可2、以代表或表征正弦波，并不等于
10、正弦波。振幅相量+j+1OtmeU()tmmU(I)ttOUm说明：相量Um按角速度逆时针旋转，在实轴上投影为Um cos(t+)，在虚轴上投影为Um sin(t+)，旋转矢量在复平面的投影为随时间变化的正弦量。二、正弦量的相量表示：2、由相量求正弦量：1、由正弦量求相量：)tcos(U)t(um)tcos(I)t(im)tcos(U)t(uUUmmm)tcos(I)t(iIImmmmjmmUeUUmjmmIeII例1 写出下列正弦量对应的相量1)60tsin(3i12)60tcos(3i2例2 写出下列相量对应的正弦量1)8152)530正误判断练习正误判断练习mUumUu实数瞬时值实数瞬时
11、值复数复数)15cos(5050015teUjm？)15tcos(5015je50UommuumUumiimIi三、相量图+1+jOUmmmUUmU相量在复平面上的有向线段。例：画出A)30tcos(10i1A)45tcos(5i2A)120tcos(5.12i3和相对应的相量图.30m1I45m2I+1+jO120m3I相量的好处之一？定理一 比例性定理 若eA)t(AtjejAeA为一实数则)t(A)t(AeeAtA)(则四、相量的几个性质AtA)(若定理二 线性定理若eA)t(Atj1e11j11eAAeA)t(Atj2e22j22eAA1,2 为实数则)t(A)t(A)t(A)t(A2
12、e21e12211e 若干个正弦量线性组合的相量等于各个 正弦量相量的同一线性组合。22112211AAA)t(A)t(A)t(A 2211)(,)(AtAAtA定理三 微分定理jAeA若则eAj eAdtdeAdtdtjetjetjeeA)t(AtjeAjdttdA)(则AtA)(若定理三的推广：若jAeA则e)j(AeAdtdeAdtdtjnetjnnetjenneA)t(AtjeAjdttAdnnn)()(定理四：唯一性定理若eBeAtjetje其中AB，为复常数则BA反之亦然BAtBtA)()(应用用相量的概念求正弦量之和例 1 求：t2sin3t2cos4)t(x结果：)9.36t2
13、cos(5)t(x例 2 求：)9.36t 5sin(5t 5sin3t 5cos4)t(x结果：)9.81t5cos(25)t(x例 3 求：t2sin3t2cos4)t(x的导数。结论：1、用相量的概念分析正弦量的方法 称为相量法。2、相量法可将正弦量的三角函数运算 转化为相量的复数加减运算，可将 微积分运算转化为乘除运算，从而 简化了正弦量的分析。10-7 用相量法求微分方程的特解)tcos(Axadtdxadtxdam21220 x 的特解：相量X的代数方程：设微分方程：jmmmeXX)tcos(X)t(Xm2120AXaXjaX)j(a1202mmaj)aa(AX=xm 解得：212
14、2202mma)aa(AX2021aaaArctg例：)45t2cos(6x6dtdx4dtxd322求 x 的特解结果:x(t)=0.6 cos(2t 81.9)解：m2AX6Xj4X)j(34 j)36(456X2m=xm 6.04)36(6X2222m9.8134Arctg4510 8 正弦稳态响应一、动态电路的渐近稳定性：若动态电路的特征根全部分布在左半复平面若动态电路的特征根全部分布在左半复平面（不含虚轴），则动态电路是渐近稳定的，（不含虚轴），则动态电路是渐近稳定的，存在稳态响应。存在稳态响应。二、正弦稳态的概念：在正弦激励下，在正弦激励下，当暂态响应消失当暂态响应消失，只剩下，只
15、剩下正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频率为率为的正弦波时，称电路处于正弦稳态响应，的正弦波时，称电路处于正弦稳态响应，简称简称正弦稳态。正弦稳态。)tcos(X)t(X)t(X)t(X0)t(X,tmph当：)tcos(X)t(X)t(X)t(X)t(Xmhph即：tucpuchucucO若暂态响应衰减为零，稳态为正弦，则存在正弦稳态。t10cost25uCp7.8523.5539.2554.9570.6515.731.447.162.878.5OuCp(V)t(s)3.141.572.8262.5122.1981.8841.2560.9420.6
16、280.314若暂态响应不衰减为零，稳态响应发散，则不存在稳态。）（求tu:,V)90t10cos(5uCS)90t10cos(500u100dtudC2C2求 uCh:t10sinKt10cosKu21Ch求uCp:t10cost25uCp0t,tV10cost25)t10sinKt10cosK(uu)t(u21CpChC10jS2,1为无阻尼等幅振荡例：uS+_0.1H0.1F+_iLuC解：t10cost25uCp7.8523.5539.2554.9570.6515.731.447.162.878.5OuCp(V)t(s)3.141.572.8262.5122.1981.8841.256
17、0.9420.6280.314三、相量法使用条件：响应和激励是同频率的正弦波（2）线性、时不变、渐近稳定电路;（3）求稳态响应。（1）单一频率的正弦激励；正弦电路进入稳态的标志本 章 小 结1.1.掌握正弦量、相量、相量图、正弦稳态掌握正弦量、相量、相量图、正弦稳态 的概念；的概念；4.4.了解相量法求特解及相量法使用条件。了解相量法求特解及相量法使用条件。2.2.掌握相位差的计算掌握相位差的计算；3.3.熟练掌握正弦量四种表示方法及相互转换；熟练掌握正弦量四种表示方法及相互转换；习题课（习题课（1 1）要点要点1.1.交流的概念，相位的概念交流的概念，相位的概念。要点要点2.2.正弦量的四种
18、表示法正弦量的四种表示法三角函数式三角函数式t cosUum波形图波形图t 反映正弦反映正弦量的全貌量的全貌包括三个包括三个特征量。特征量。相量图相量图相量式相量式UmjmmUeUU反映正弦反映正弦量两个特量两个特征量。征量。要点要点3.3.电压、电流各种符号的说明。电压、电流各种符号的说明。要点要点4.4.变换域分析思想。变换域分析思想。瞬时值瞬时值-小写（小写（u,i）有效值有效值-大写（大写（U,I）幅幅 值值-大写加下标（大写加下标（Um,Im）有效相量有效相量-大写大写 加加“.”(”()U,I幅值相量幅值相量-Um,Im测测 验验 题题二、已知正弦电流二、已知正弦电流 V)30tcos(5)t(u一、写出一、写出 的波形图、相量的波形图、相量 式和相量图。式和相量图。三、三、1 1）若）若 A)30tcos(5)t(iA)30tcos(5)t(i21)t(i,tcos4i,tcos3i321求求电流的相位关系求电流的相位关系 2 2）若）若 )t(i,tsin4i,tcos3i321求1i2i3i章节练习题习题十周2,41118*(相量法求特解）
