1、第9章 有限单元法 有限单元法是用来求连续振动系统近似解的方法，其基本思想是将一个连续的弹性体看成是由若干个基本单元在节点彼此相连接的组合体，从而使一个无限自由度的连续体问题变成一个有限自由度的离散系统问题。基本思想有限单元法在机械领域中的应用有限元软件ANSYS中的动力学分析一、基本思想 1、插值函数)(),(,01tutxux)(),(,2tutxulxxaatxu10),(ltutuatua)()(),(12110lxlxxxtuxtutxuuuuu212211,1)()()()()(),(一般情况下，有限元在静力学问题和动力学问题中应用的侧重点不同，但形状函数并无差别。轴向振动杆单元一
2、、基本思想 1、插值函数横向振动梁单元)(),(,)(),(,021twtxwlxtwtxwx)(),(,)(),(,021txtxwlxtxtxwx332210),(lxclxclxcctxw212121110233,llwwclcwc2121322llwwc)()()()()()(),(42322111xxtwxxtwtxwwwww332223212)(,231)(lxlxlxlxlxlxxww23233423()32,()wwxxxx lx lxlll一、基本思想 1、插值函数横向振动梁单元 一般情况下，梁单元处于轴向拉压和平面弯曲的组合变形状态，其节点位移应包括轴向位移、横向位移和角位
3、移三部分。TT2T1T222111qqwuwuqe eqxNtxwtxu)(),(),(121234000000uuwwwwN一、基本思想 2、单元矩阵 2200TT0T12121212llleeeeeTA uwdxuA uwdxwAqNNqdxqMq T0leMANN dx 22221100003613119130035210704201111310021010542014011000063913131100704203521013111100420140210105ellllllMALllllll 一、基本思想 2、单元矩阵 2222(,),(,)00euxu x tDDNqwxw x t
4、xDx 2222012luwVEAEIdxxx T0T010212leeeeeEAVDNqDNq dxEIqKq TT000leEAKNDDN dxEI 323222323222000001260126064062000001260126062064eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllKEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll 一、基本思想 2、单元矩阵 0TT0TlleeeeeuWuwdxwqNN dxqqCq T0leCNN dx eeeCMK),2,1(,)(kiFqUqTqTdtdiiii eeeeeeeMqCqKqf TTT1342561
5、2()()()()()()eff tf tf tf tf tf tff一、基本思想 2、单元矩阵 一般情况下，单元并非只受到作用于节点的外力，有时还受到分布外力或非节点处外力的作用，此时需要根据虚位移原理导出单元广义力列阵。4101(,)()()()leeecciciWf x tNqdxf tN xqftq621()eiiWf tq0(2)(2)0(,)()()()()2()(,)()()()()2luicuicicilw icw icicf x tx dxf txftif tf x tx dxf txfti一、基本思想 3、坐标转换 在组合的过程中必须考虑两个基本问题：首先如果单元间方向不同
6、，则不同单元的位移分量的方向亦将不同；其次，几个单元的连接节点编号不同。局部坐标系与整体坐标系之间的转动变换111111cossin,sincoseeeeuuwwuw eeeqRqTeeeeMRMR TeeeeKRKR 一、基本思想 4、单元集合 TTTT3112nnqqqq33iiijennjijjKKKKK TTTT31enijfff111,eeennneeeeeeKKMMff MqCqKqf CMK一、基本思想 例题两端固定的梁1121220,0,wwUU11122324,wUUwUU131422,0,0wUUw 两端固定的梁，边界约束条件的引入，在理论上可以减少待求节点未知量的数目和方
7、程阶数，但在实际程序实现以及商用化软件中，一般希望保持方程阶数不变，以避免程序过于复杂。此处为了简化计算，采用了减少待求节点未知量的方法。由于只考虑横向振动的情况，因此由三个单元组成的有限元模型有四个自由度（即不考虑边界节点，只考虑中间两个节点，每个节点有两个自由度）。一、基本思想 例题222222222280313031213543138013540312420 4220022156000000000042231322156135431342213542215600000000004220022156420llllllllAlllllllllllllllllllAlM222232222223
8、80260246122680612024 460061200000000004626612612264661261200000000004600612lllllllllEIlllllllllllllllllllEIK一、基本思想 例题23231122323223231223230232334232322123()32()1 322329531()32192412lllxxxxWF tUl UdxllllxxxxxF tUl UlllllxxxxUl UdxllllF tl UlUl Ul 4U112222223332222442231205413240126081330862541331201
9、262404201330862082932519234112llUUllllllUUAlEIlllUUllllllUUllll()F t静力学计算模态分析动力响应计算屈曲分析二、有限元分析在机械领域中的应用静力学计算n通过有限元计算可以获得结构整体或关键构件在各种工况下的变形及应力分布趋势，确定结构是否满足实际工程中的刚度及强度要求，当不满足要求时，提出相应修正方案，并对有限元模型进行相应修正，确定修正后的结构是否满足实际工程要求。乌江思林水电站水工闸门综合应力分布高坝洲升船机承船厢综合应力分布煤仓位移分布及修改前后综合应力对比1200t门机分析及结构修改前后结果比较混凝土主站结构分析门式启闭
10、机门架分析门式启闭机小车架分析模态分析n结构受到动载荷作用产生振动，会影响结构安全与舒适，还可能引起结构局部疲劳，甚至使结构破坏，因此必须进行动力分析。有限元方法对结构进行动力分析，一般分为模态分析和动力响应分析两种。模态分析也被称为振动特性分析，一般包括频率和振型的计算。通过计算，可初步判断结构在实际工作中有无可能发生共振的现象，即是否满足结构振动要求。水工闸门模态分析阶次无水频率有水频率振动描述11.10.27闸门整体向左（右）摆动22.8420.65闸门整体扭转（面板接近不变形）34.060.874闸门整体绕支铰逆时针（顺时针）旋转47.252.695左右支臂同时向内（外）弯曲58.56
11、2.93左右支臂同时向左（右）弯曲69.735.01左右支臂扭曲710.15.58左右支臂同时向内（外）弯曲810.25.788左右支臂同时向上（下）弯曲混凝土搅拌站主站结构模态分析阶次频率振动描述12.841进料层结构整体向左（右）振动23.093进料层结构整体向内（外）振动34.536进料层结构整体向上（下）振动44.844进料层结构中部向内（外）振动55.320进料层结构整体同时向上（下）向左（右）振动65.795进料层结构整体扭转76.355进料层结构整体向左（右）振动88.246进料层结构整体扭转98.428搅拌层结构中部向上（下）振动109.238进料层结构整体扭转混凝土搅拌站主站结构关键模态（第九阶）砌块成型机动力响应分析n动力响应分析是有限元对结构进行动力分析中的一方面内容，是指结构在外力作用下的强迫振动，主要求解结构的位移、速度、加速度等物理量随时间的变化情况。动力响应分析又分为瞬态响应分析和稳定响应分析两方面。屈曲分析n屈曲分析即结构的稳定性分析，该分析随着大量高强材料和薄壁结构被采用，日益重要。1200t门机屈曲分析ANSYS软件特点ANSYS软件模态分析算法及原理ANSYS软件瞬态动力学分析算法及原理三、有限元软件ANSYS中的动力学分析
