1、第第4 4章章 频域分析法频域分析法 通过求解微分方程分析时域性能是十分有用的，但对于比较通过求解微分方程分析时域性能是十分有用的，但对于比较复杂的系统这种办法就比较麻烦。因为微分方程的求解计算工作复杂的系统这种办法就比较麻烦。因为微分方程的求解计算工作量将随着微分方程阶数的增加而增大。另外，当方程已经求解而量将随着微分方程阶数的增加而增大。另外，当方程已经求解而系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确定应该如何调整系系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确定应该如何调整系统来获得预期结果。从工程角度来看，希望找出一种方法，使之统来获得预期结果。从工程角度来看，希望找出一种方法，使之不必求解微
2、分方程就可以预示出系统的性能。同时，又能指出如不必求解微分方程就可以预示出系统的性能。同时，又能指出如何调整系统性能技术指标。频域分析法具有上述特点。该方法是何调整系统性能技术指标。频域分析法具有上述特点。该方法是以输入信号的频率为变量，对系统的性能在频率域内进行研究的以输入信号的频率为变量，对系统的性能在频率域内进行研究的一种方法。这种分析法有利于系统设计，能够估计到影响系统性一种方法。这种分析法有利于系统设计，能够估计到影响系统性能的频率范围。特别地，当系统中存在难以用数学模型描述的某能的频率范围。特别地，当系统中存在难以用数学模型描述的某些元部件时，可用实验方法求出系统的频率特性，从而对
3、系统和些元部件时，可用实验方法求出系统的频率特性，从而对系统和元件进行准确而有效的分析。本章主要研究线性系统的频率特元件进行准确而有效的分析。本章主要研究线性系统的频率特性。性。学习学习目的目的 1.搞清频率特性的基本概念搞清频率特性的基本概念2.掌握典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法掌握典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法3.掌握系统稳定性的频域分析方法掌握系统稳定性的频域分析方法4.了解频域性能指标与时间特性指标之间的关系了解频域性能指标与时间特性指标之间的关系5.掌握用系统开环频率特性分析闭环系统性能的方法掌握用系统开环频率特性分析闭环系统性能的方法6.掌握应用掌握应用MATLAB
4、工具分析系统频率性能的方法工具分析系统频率性能的方法 内容内容提要提要 本章主要阐述系统频率特性的基本概念、典型环节和本章主要阐述系统频率特性的基本概念、典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法、频域稳定判据和系控制系统频率特性图的绘制方法、频域稳定判据和系统性能频域分析法统性能频域分析法 重重 点点 系统系统开环博德图开环博德图的绘制的绘制 难难 点点系统开环尼氏图的绘制、幅值穿越频率和相位穿越频系统开环尼氏图的绘制、幅值穿越频率和相位穿越频率的求取率的求取4.1 4.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念4.1.1 4.1.1 频率响应与频率特性频率响应与频率特性 设系统传递函数为设系统传
5、递函数为 。给系统输入一个正弦信号为。给系统输入一个正弦信号为 (4.1)式中式中 正弦输入信号的振幅；正弦输入信号的振幅；正弦输入信号的频率。正弦输入信号的频率。系统的稳态输出量写成系统的稳态输出量写成 (4.2)比较系统比较系统稳态输出量稳态输出量和输入信号的波形时发现，稳态输出量和输入信号的波形时发现，稳态输出量的频率与输入量相同，但其振幅及相位都与输入量不同。若改变的频率与输入量相同，但其振幅及相位都与输入量不同。若改变输入量输入量 的的 而保持其振幅而保持其振幅 恒定，输出量与输入量的振恒定，输出量与输入量的振幅比幅比 及输出量与输入量的相位差及输出量与输入量的相位差 都是频率都是频
6、率 的函数。的函数。为了进一步说明为了进一步说明频率特性频率特性的基本概念，考虑图的基本概念，考虑图4.1所示所示RC电电路。其传递函数为路。其传递函数为)(sGtXtxsin)(imiimX)(sin)()(imotXAtx )(itximX)(A)(式中，式中，电路的时电路的时间常数，间常数，若输入电压为正弦信若输入电压为正弦信 号号,其拉氏变换为其拉氏变换为 则则 电路输出量电路输出量 的拉氏变换为的拉氏变换为通过拉氏反变换，得通过拉氏反变换，得 11)()()(ioTssUsUsGTRCRCT tutusin)(imi22imi)(sUsURC tuo 22imo11)(sUTssU
7、)arctansin(1e1)(22im22imoTtTUTTUtuTt(4.3)图图4.1 RC电路电路 由式（由式（4.3）可见，第一项为输出电压的瞬态分量，第二项为稳）可见，第一项为输出电压的瞬态分量，第二项为稳态分量。态分量。定义系统的稳态输出电压和输入电压的复数比为定义系统的稳态输出电压和输入电压的复数比为 ，便有便有 (4.4)式中式中,幅值比为幅值比为 相位差为相位差为 称称 为为 RC 电路的频率特性。电路的频率特性。从这一简单系统的频率特性，也可看出从这一简单系统的频率特性，也可看出 的物理意义：的物理意义：（1）频率特性反映系统的内在性质，与外界因素无关。当）频率特性反映系
8、统的内在性质，与外界因素无关。当系统结构系统结构 参数（参数（R、C）给定，频率特性）给定，频率特性随频率随频率 的变化规律也随之完全确定。的变化规律也随之完全确定。（2）频率特性随频率变化而变化。这是因为系统含有储能元）频率特性随频率变化而变化。这是因为系统含有储能元)j(G)(jioe)(j11)j(ARCUUG2)(11)(TATarctan)(4.5)j(GRCGj11)j()j(G(4.6)件（如电容件（如电容C）。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感）。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系统显这些储能元件，它们在能量交换时
9、，对不同频率的信号使系统显示出不同的特性。示出不同的特性。（3）系统频率特性的幅值）系统频率特性的幅值 随着频率随着频率 的升高而衰减，的升高而衰减，换而言之，频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的换而言之，频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“复现复现能力能力”或或“跟踪能力跟踪能力”。对于低频信号（即。对于低频信号（即 ），有），有 这表明在输入信号频率较低时，输出量与输入量的幅值几乎这表明在输入信号频率较低时，输出量与输入量的幅值几乎相等，相位近似相同。系统输入信号基本上可以按原比例在输出相等，相位近似相同。系统输入信号基本上可以按原比例在输出端复现出来；而对于高频信号（即端复现出
10、来；而对于高频信号（即 ），），这表明输入信号较高时，输出量幅值只有输入量幅值的这表明输入信号较高时，输出量幅值只有输入量幅值的 倍，倍，相位后滞近相位后滞近 。输入信号被抑制而不能传递出去。对于实际中。输入信号被抑制而不能传递出去。对于实际中的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的“低通低通”滤波及相位滤波及相位滞滞后作用。后作用。)(A1T1)(A00)(01(),()90AT T10901T4.1.2 4.1.2 频率特性的求取方法频率特性的求取方法 频率特性一般可以通过如下三种方法得到：频率特性一般可以通过如下三种方法得到：（1）根据已知系统的微分方
11、程，把输入以正弦函数代入，求根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求其稳态解，其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数之比求得。取输出稳态分量和输入正弦的复数之比求得。（2）根据系统的传递函数来求取。将根据系统的传递函数来求取。将 代入传递函数代入传递函数中，可直接得到系统的频率特性。中，可直接得到系统的频率特性。（3）通过实验测得。通过实验测得。一般经常采用的是后两种方法。这里主要讨论如何根据一般经常采用的是后两种方法。这里主要讨论如何根据传递传递函数函数求取系统的频率特性。仍以图求取系统的频率特性。仍以图4.1所示系统为例，其传递函所示系统为例，其传递函 数为数为 ，将传递函数中的
12、复变量，将传递函数中的复变量 用纯虚数用纯虚数 来代来代替，便可得到频率特性的表达式替，便可得到频率特性的表达式 ，取它的模，取它的模 和幅角和幅角 ，正是式，正是式(4.5)和式和式(4.6)这种以这种以 代替代替 。由传递函数获得频率特性的方法，对于线性定常系统是普遍适用由传递函数获得频率特性的方法，对于线性定常系统是普遍适用 的。频率特性是传递函数的一种特殊情况，即频率特性是定义在的。频率特性是传递函数的一种特殊情况，即频率特性是定义在jsRCssG11)(sjRCsGj11)()(A)(js)j(G复平面（复平面（平面）虚轴上的传递函数。平面）虚轴上的传递函数。系统的频率特性可分解为实
13、部和虚部，即系统的频率特性可分解为实部和虚部，即 （4.7）也可以表示为也可以表示为幅值幅值和和相位相位关系，关系，即即 （4.8）式中式中,的实部，称为实频特性；的实部，称为实频特性；的虚部，称为虚频特性。的虚部，称为虚频特性。的模，它等于稳态输出量与输入量的振幅的模，它等于稳态输出量与输入量的振幅比，称为比，称为幅频特性幅频特性；的幅角，它等于稳态输出量与输入量的相的幅角，它等于稳态输出量与输入量的相位差，称为位差，称为相频特性相频特性。这些频率特性之间有如下关系：这些频率特性之间有如下关系：（4.9）)(j)()j(VUG )(j)()j(eAG )(U)j(G)(V)j(G)(A)j(
14、G)()j(G22)()()j()(VUGA s4.1.3 4.1.3 频率特性的图示方法频率特性的图示方法 je 因此，系统频率特性采用下面三种图示表达形式：因此，系统频率特性采用下面三种图示表达形式：（1）幅相频率特性（尼奎斯特图）：系统频率特性幅相频率特性（尼奎斯特图）：系统频率特性 是个矢量。按式是个矢量。按式（4.9）和式（）和式（4.10）可以求出幅频特性）可以求出幅频特性与相频特性与相频特性 。给出不同。给出不同 值，即可算出相应值，即可算出相应 和和 值。这样就可以在极坐标复平面上画值。这样就可以在极坐标复平面上画 值由零到无值由零到无穷大时的穷大时的 矢量，把各矢端连成曲线即
15、得到系统的极坐标矢量，把各矢端连成曲线即得到系统的极坐标 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线,通常称它为尼魁斯特曲线或尼魁斯特图。当通常称它为尼魁斯特曲线或尼魁斯特图。当然，也可根据式（然，也可根据式（4.11）和式（）和式（4.12）通过求出不同）通过求出不同 时的实时的实频特性和虚频特性，来获得幅相频率特性曲线。频特性和虚频特性，来获得幅相频率特性曲线。（2）对数频率特性（博德图）：对数频率特性是由两张图对数频率特性（博德图）：对数频率特性是由两张图()()(j)()VGarctgU （4.10）)(cos)()j(Re)(AGU （4.11）)(sin)()j(Im)(AGV （4.12）
16、)j(G)j(G)j(G)j(G)j(G)j(G arctanVU组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频特性。对数频率组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频特性。对数频率特性又称为博德图。特性又称为博德图。考虑系统任意环节的频率特性表达式考虑系统任意环节的频率特性表达式 （4.13）取它的自然对数，得到取它的自然对数，得到 （4.14）上式对数的实部上式对数的实部 是频率特性模的对数，虚部是频是频率特性模的对数，虚部是频率特性的幅角。用这种办法表示的频率特性包含两条曲线：率特性的幅角。用这种办法表示的频率特性包含两条曲线：一是一是 与与 之间关系曲线，称为对数幅频特性；一是之间关系曲线
17、，称为对数幅频特性；一是 与与 之间关系曲线，称为对数相频特性。而在实际应用之间关系曲线，称为对数相频特性。而在实际应用中，往往不是用自然对数来表达对数幅频特性，而是采用以中，往往不是用自然对数来表达对数幅频特性，而是采用以10为底的对数来表示。为底的对数来表示。对数幅频的表达式可写为：对数幅频的表达式可写为：（4.15）表达式中采用的单位是表达式中采用的单位是分贝分贝，以，以“dB”（decibel）表示。）表示。在在j()(j)(j)eGG )(j)j(ln)j(lnGG)j(lnG)j(lnG)()j(lg20)(GL 对数表达式中，对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是画在半对数表达式中
18、，对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是画在半对数坐标纸上，频率采用对数分度，而幅值（单位：分贝）和角对数坐标纸上，频率采用对数分度，而幅值（单位：分贝）和角度（单位：度），则采用线性分度。度（单位：度），则采用线性分度。需要注意的是，在以需要注意的是，在以 划分的频率轴（横坐标）上，一划分的频率轴（横坐标）上，一般般只标注只标注 的自然数值。该坐标的特点是：若在横轴上任意取的自然数值。该坐标的特点是：若在横轴上任意取两点使其满足两点使其满足 ，则在对数频率轴上两点的距离为，则在对数频率轴上两点的距离为 。因此，不论起点如何，只要角频率变化。因此，不论起点如何，只要角频率变化10 倍，在横轴上线
19、段长均等于一个单位，叫做一个倍，在横轴上线段长均等于一个单位，叫做一个10倍频程倍频程，以，以“dec”（decade）表示。当频率变化）表示。当频率变化10倍时，即频率变化了一倍时，即频率变化了一个个10倍频程。倍频程。（3）对数幅相频率特性（尼柯尔斯图）：在所需要的频率）对数幅相频率特性（尼柯尔斯图）：在所需要的频率范范围内，以频率围内，以频率 作为参数来表示的对数幅值和相角关系的图。作为参数来表示的对数幅值和相角关系的图。对数幅相频率特性对数幅相频率特性也称为尼柯尔斯（也称为尼柯尔斯（Nichols）图。）图。lg1012110lglg124.2 4.2 典型环节的频率特性图典型环节的频
20、率特性图4.2.1 4.2.1 比例环节比例环节 比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 ，其，其频率特性频率特性为为 (4.16)其实频特性和虚频特性为：其实频特性和虚频特性为：(4.17)其对数幅频特性和相频特性为：其对数幅频特性和相频特性为：(4.19)(4.20)KsG)(KG)j(KKVUG0)j(222 0(j)arctanarctan0VGUK(4.18)KLlg20)(0)(图图 4.2 比例环节幅相频率特性比例环节幅相频率特性 比例环节的幅相频率特性是复比例环节的幅相频率特性是复平面实轴上一个点，如图平面实轴上一个点，如图4.2所示。所示。幅频特性是幅频特性是K，相频特性是
21、，相频特性是 。比例环节的对数幅频特性为幅。比例环节的对数幅频特性为幅 值等于值等于 的一条水平直线。相角为零，与频率无关。的一条水平直线。相角为零，与频率无关。比例环节的博德图如图比例环节的博德图如图4.3所示。所示。020lgdBK图图4.3 比例环节对数幅频特性和对数相频特性比例环节对数幅频特性和对数相频特性 4.2.2 4.2.2 惯性环节惯性环节 惯性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为 其实频和虚频特性可表示为其实频和虚频特性可表示为 式中式中 在在 和和 时，时，值分别为值分别为 11)(TssG 222211(j)()j()jj111TGUVTTT22222222211)1(1
22、)j(TTTVUG（4.23）（4.21）（4.22）()(j)arctanarctan()VGTU （4.24）0T1)j(G 当当 趋于无穷大时，趋于无穷大时，的幅值趋于零，相角趋于的幅值趋于零，相角趋于 。当。当 由由 时，惯性环节幅相频率特性为一个半时，惯性环节幅相频率特性为一个半圆。这一点可以证明如下：圆。这一点可以证明如下：虚频特性与实频特性之比为虚频特性与实频特性之比为 ，将其代入实频特性，将其代入实频特性表达式中，得表达式中，得 式式(4.26)代表一个圆的方程式，圆的半径为代表一个圆的方程式，圆的半径为 ，圆心在，圆心在 处，处，如图如图4.4所示。所示。由式（由式（4.23
23、）和式（）和式（4.24）可求得惯性环节的对数幅频特性）可求得惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性表达式和对数相频特性表达式 （4.25）1)0 j(G211jTG/0；/-45)j(G90 0TUV2222121VU 210,21（4.26）1lg20)(22TL （4.27）图图4.4 惯性环节的幅相频率特性惯性环节的幅相频率特性 在低频段，即当在低频段，即当 时，时，比起比起1来小得，可以忽略来小得，可以忽略不计。而在高频段，即当不计。而在高频段，即当 时，时，1比起比起 小得可以忽略小得可以忽略不计。因此，可得不计。因此，可得 （4.29）因此，可以用两条渐近线来近似表示对数幅频特性曲
24、线：因此，可以用两条渐近线来近似表示对数幅频特性曲线：当频率为当频率为 时，是一条幅值等于时，是一条幅值等于0的水平线，称为低频的水平线，称为低频渐近线；当频率渐近线；当频率 时，是一条斜率为时，是一条斜率为 dB/dec 的的()arctanLT （4.28）1T22T1T22T221()20lg101()20lg1()3dBLTTLTTLT T10T1200)(直线，称为高频渐近线。精确的对数幅频特性曲线及渐近线，如直线，称为高频渐近线。精确的对数幅频特性曲线及渐近线，如图图4.5所示。两条渐进线相交处的频率所示。两条渐进线相交处的频率 称为转折频率。称为转折频率。T1图图 4.5 惯性环
25、节的对数幅频特性和对数相频特性惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性 由式（由式（4.28）确定相频特性曲线。当）确定相频特性曲线。当 时，时，。在。在转折频率转折频率 处处当频率当频率 趋于无穷大时，趋于无穷大时，。上述分析表明，上述分析表明，惯性环节的对数相频特性由于相角是以反惯性环节的对数相频特性由于相角是以反正切函数来表示的，所以相角对正切函数来表示的，所以相角对 弯角是对称的。弯角是对称的。对于初步设计，利用渐近线画出博德图已经够用了，且很对于初步设计，利用渐近线画出博德图已经够用了，且很方方便。如需要画出精确的频率特性曲线，可参照图便。如需要画出精确的频率特性曲线，可参照图4.6的曲
26、线在渐的曲线在渐近线的基础上进行修正。近线的基础上进行修正。由此可见：由于采用渐近线而在幅值上产生的最大误差发生由此可见：由于采用渐近线而在幅值上产生的最大误差发生在转折频率在转折频率 处，并近似等于处，并近似等于3dB。由惯性环节的博德图可以看出由惯性环节的博德图可以看出,具有低通滤波具有低通滤波器的作用。对于高于器的作用。对于高于 的频率，其对数幅值迅速衰减。的频率，其对数幅值迅速衰减。00)(T1()arctan45TT 90)(45T1)j1/(TKT1 图图 4.6 惯性环节的频率特性用渐近线表示时惯性环节的频率特性用渐近线表示时 所引起的对数幅值误差曲线所引起的对数幅值误差曲线 4
27、.2.3 4.2.3 积分环节积分环节 积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为 （4.30）积分环节的频率特性为积分环节的频率特性为 （4.31）其幅频特性为其幅频特性为 （4.32）相频特性为相频特性为 （4.33）由于由于 是常数，而是常数，而 随随 增加而减小。增加而减小。因此，因此，积分环节的幅相频率特性是一根与虚轴负段相重合的直积分环节的幅相频率特性是一根与虚轴负段相重合的直ssG1)(1jj1)j(G 1)j()(22VUGA 1()(j)arctanarctan()900G (j)90G)j(G图图4.7 积分环节的幅相频率特性积分环节的幅相频率特性线，如图线，如图4.7所示。
28、所示。积分环节的对数幅频特性可表示为积分环节的对数幅频特性可表示为 （4.34）由式（由式（4.34）不难看）不难看出，出，积分环节的对数积分环节的对数幅频特性是一条斜率幅频特性是一条斜率为为-20dB/dec的直线，的直线，且与零分贝线相交于且与零分贝线相交于 这一点，即这一点，即 积分环节的对数相积分环节的对数相频特性为频特性为 的水平的水平直线与频率直线与频率 无关。无关。积分环节的博德积分环节的博德图表示于图图表示于图4.8。lg20)(L190图图4.8 积分环节的对数幅频特性积分环节的对数幅频特性 和对数幅频特性和对数幅频特性()20lg10L 4.2.4 4.2.4 理想微分环节
29、理想微分环节 理想微分环节的传递函理想微分环节的传递函数为数为 （4.35）其频率特性为其频率特性为 （4.36）其幅频特性为其幅频特性为 （4.37）其相频特性为其相频特性为 (4.38）显然，显然，理想微分环节的幅理想微分环节的幅相频率特性是一根与虚轴正段相重合的直线，如图相频率特性是一根与虚轴正段相重合的直线，如图4.9所示。所示。微分环节对数幅频特性为：微分环节对数幅频特性为：ssG)(j)j(G)j()(GA()(j)arctan900G lg20)(L （4.39）图图4.9 微分环节的微分环节的 幅相频率特性幅相频率特性 图图4.10 微分环节的博德图微分环节的博德图 显然，显然
30、，和和 的频率特性不同之处就是对数幅频特性曲的频率特性不同之处就是对数幅频特性曲线的斜率和相角都相差一个符号，因此微分环节的对数幅频特性线的斜率和相角都相差一个符号，因此微分环节的对数幅频特性是一条通过是一条通过 ，而斜率为，而斜率为20dB/dec的直线。而对数相频特的直线。而对数相频特性为的一条水平线，如图性为的一条水平线，如图4.10所示。所示。这里需要说明的是：如果频率特性包含着这里需要说明的是：如果频率特性包含着 或或因子，那么对数幅频特性分别为：因子，那么对数幅频特性分别为：（dB）（4.40）及及 （dB）（4.41）而对数相频特性分别为而对数相频特性分别为 和和 （4.42）j
31、j11n)j(nj1lg20)j(lg20nnlg20)j1(lg20nn()n2 ()n2 4.2.5 4.2.5 振荡环节振荡环节 振荡环节的传递函数为振荡环节的传递函数为 其频率特性为其频率特性为 幅频特性为幅频特性为 相频特性为相频特性为 2n2222nn1()212G sT sTss s )10(2222222222)2()1(2j)2()1(1TTTTTT （4.43）2222)2()1(1)j()(TTGA222()(j)arctan1TGT （4.44）（4.45）222211j12jj2j1GTTTT 1.1.振荡环节的尼奎斯特图振荡环节的尼奎斯特图 幅相频率特性的低频和高频
32、部分分别为幅相频率特性的低频和高频部分分别为 ；当当 从零变化到无穷大时，从零变化到无穷大时，振荡环节幅相频率特性由振荡环节幅相频率特性由 开开始，到始，到 结束。因此，高频部分与负实轴相切，如图结束。因此，高频部分与负实轴相切，如图4.11所示。所示。下面讨论谐振频率下面讨论谐振频率 和和 形状不仅与频率形状不仅与频率 有关，而有关，而且还与阻尼比且还与阻尼比 有关，有关，越小，振幅越大。当越小，振幅越大。当 小到一定程度小到一定程度时，时，将会出现峰值将会出现峰值 。此时所对应的频率称为谐振频率。此时所对应的频率称为谐振频率 ，令，令 （4.46）即可求得即可求得 的峰值的峰值 。将。将
33、值代入式值代入式(4.46)，有，有0001)j(limG01800)j(limG00101800rrM)j(GrMr0d)j(dG 0)2()1(28443222222432TTTTT)j(GrM)j(G图图 4.11 振荡环节的幅相频率特性振荡环节的幅相频率特性 典型曲线典型曲线 即即 （4.47）解方程（解方程（4.47），得产生峰值的谐振频率为），得产生峰值的谐振频率为 就是说，当就是说，当 时，时，出现峰值。仅当出现峰值。仅当 ，即即 时，式（时，式（4.48）才有意义，）才有意义，才有峰值。才有峰值。其谐振峰值其谐振峰值当阻尼当阻尼 时，时，。由式（。由式（4.43）得）得 2r2
34、11T0212222TT（4.48）r)j(G0212707.0)j(G)j()j(rmaxrGGM 22222121)2()1(1TTr （4.49）0nr1TrjG 即在其无阻尼固有即在其无阻尼固有频率频率 上引起振上引起振荡，荡，时的幅时的幅值值 将趋于将趋于无穷大。由图无穷大。由图4.11可以看出，可以看出，的轨迹与虚轴交点的轨迹与虚轴交点处的频率为处的频率为 。图图4.12为为 与阻与阻尼比尼比 之间的关之间的关系曲线。系曲线。n1(j)j2G n0)j(nG)j(nGnrMrM)j(G（4.50）图图 4.12 与阻尼比与阻尼比 之间的关系曲线之间的关系曲线 2.振荡环节的博德图振
35、荡环节的博德图 振荡环节的对数幅频特性为振荡环节的对数幅频特性为 （4.51）由式（由式（4.51）(4.45)可以看出：振荡环节的对数幅频特性可以看出：振荡环节的对数幅频特性 和相频特性和相频特性 ，不仅与，不仅与 有关，还与阻尼比有关，还与阻尼比 有关。有关。由式（由式（4.51）求得）求得 在低频段，当在低频段，当 时，时，在高频段，当在高频段，当 时，时，当频率当频率 增加增加10倍频程时，则有倍频程时，则有 故振荡环节对数幅频特性可以由两条渐近线近似表示：当故振荡环节对数幅频特性可以由两条渐近线近似表示：当 时，是一条时，是一条0dB的水平线；当的水平线；当 时是一条斜率为时是一条斜
36、率为每增加每增加10倍频程下降倍频程下降 dB的直线，记为的直线，记为 。两条渐近线相交于两条渐近线相交于2222)2()1(lg20)(TTL)(L)(1T0)(L1TTTLlg40)lg(20)(240lg4010lg40)10(TTL1T1T4040dB/dec 所以无阻尼固有频率所以无阻尼固有频率 即为振荡环节的转折频率。即为振荡环节的转折频率。上述两条渐近线都是与阻尼比上述两条渐近线都是与阻尼比 无关的。然而，当频率接近无关的。然而，当频率接近于于 时，将产生谐振峰值。阻尼比时，将产生谐振峰值。阻尼比 的大小确定了谐振峰的大小确定了谐振峰值的幅值。很明显，用渐近直线来表示时，必然产生
37、误差，误差值的幅值。很明显，用渐近直线来表示时，必然产生误差，误差大小与大小与 值有关。图值有关。图4.13为具有不同为具有不同 值时的博德图。如果需值时的博德图。如果需要绘出精确曲线，则可根据要绘出精确曲线，则可根据 值的大小由图值的大小由图4.14所示的修正曲所示的修正曲线对渐近线加以修正。线对渐近线加以修正。对数相频特性可由式（对数相频特性可由式（4.45）求得。）求得。是是 和和 的函数。的函数。在在 时，时，而在转折频率，而在转折频率 时，不论时，不论 值的大值的大小，相角小，相角 都等于都等于 。因为。因为n1TnT1)(00)(T190)(2()arctanarctan900 当
38、当 时，时，相角曲线对相角曲线对 的弯曲点是斜的弯曲点是斜对称的。对称的。图图4.13 振荡振荡环节的对数环节的对数幅频特性和幅频特性和对数相频特对数相频特性性 典型曲线典型曲线180)(90)(图图4.14 振振荡环节在荡环节在不同值时不同值时的修正曲的修正曲线线 4.2.6 4.2.6 一阶微分环节一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为一阶微分环节的传递函数为其频率特性为其频率特性为 （4.52）其幅频和相频特性分别为：其幅频和相频特性分别为：（4.53）（4.54）可见一阶微分环节的幅相频率特性是在复平面上通过（可见一阶微分环节的幅相频率特性是在复平面上通过（1，0）点，且平行于虚轴的一
39、条上半直线，如图点，且平行于虚轴的一条上半直线，如图4.15所示。所示。其对数幅频特性为其对数幅频特性为 （4.55）由上式可知一阶微分环节与惯性环节只相差一个符号。由上式可知一阶微分环节与惯性环节只相差一个符号。在在 时，时，TssG1)(TGj1)j(221)j()(TGA()(j)arctanGT 1)(lg20)(2TL T10)(L在在 时，时，一阶微分环节的一阶微分环节的对数幅频特性可由上对数幅频特性可由上述两条渐近线表示，述两条渐近线表示，即在即在 时，是时，是一条零分贝线；在一条零分贝线；在 时，是一条斜时，是一条斜率为率为 dB/dec的的直线。它们交接出的直线。它们交接出的
40、转折频率是转折频率是 。一阶微分环节的一阶微分环节的博德图见图博德图见图4.16。T1T120T1图图4.15 一阶微分环节的幅相频率特性一阶微分环节的幅相频率特性 T1Tlg20)(L0(j)90arctanGT 图图4.16 一阶微分环节的博德图一阶微分环节的博德图 4.2.7 4.2.7 二阶微分环节二阶微分环节 二阶微分环节的传递函数为二阶微分环节的传递函数为频率特性为频率特性为 （4.56）其幅频和相频特性分别为：其幅频和相频特性分别为：（4.57）幅相特性的低频部分和高频部分分别为：幅相特性的低频部分和高频部分分别为：因为，当因为，当 时，时，的虚部是正的单调增加，而的虚部是正的单
41、调增加，而 的实部则由的实部则由1开始单调递减，所以开始单调递减，所以 的幅相特性曲线如图的幅相特性曲线如图4.17所示。相角在所示。相角在 到到 之间。之间。12)(22TssTsG2222(j)(j)2(j)1(1)j2GTTTT 22222241)j()(TTGA（4.58）0001)j(limG0180)j(limG0)j(G)j(G)j(G0180 222jarctan1TGT 222()arctan1TT 2222(j)(j)2(j)1(1)j2GTTTT 二阶微分环节的对数频率特性二阶微分环节的对数频率特性 （4.60）二阶微分环节和振荡环节的二阶微分环节和振荡环节的对数幅频特性
42、和对数相频特性不对数幅频特性和对数相频特性不同之处仅在于相差一个符号而同之处仅在于相差一个符号而已。因此，根据式（已。因此，根据式（4.59）、）、（4.60）可以绘制二阶微分环节）可以绘制二阶微分环节的博德图。的博德图。图图 4.17 二阶微分环二阶微分环节的幅相频率特性节的幅相频率特性 222()arctan1TT 222()arctan1TT 2222(j)(j)2(j)1(1)j2GTTTT 2222224)1(lg20)(TTL22222241)j()(TTGA（4.59）222jarctan1TGT 4.2.8 4.2.8 延迟环节延迟环节 延迟环节的传递函数为延迟环节的传递函数为
43、其幅相频率特性为其幅相频率特性为 （4.61）因为因为 而相角与而相角与 成线性变化，成线性变化，因此延迟环节幅相特性是因此延迟环节幅相特性是一个单位圆，如图一个单位圆，如图4.18所示。所示。低频时，延迟环节低频时，延迟环节与惯性环节与惯性环节 的特的特性是近似的，如图性是近似的，如图4.19所所示。示。与与 的幅的幅相频率特性在相频率特性在 处彼处彼此相切。这可由下式看出：此相切。这可由下式看出：esTG s1sinjcos)j(TTGj(j)eTG图图4.18 延时环节的幅相频率特性延时环节的幅相频率特性jeT)j1/(1TjeT)j1/(1T0 时，时，而而 然而，当然而，当 时，时，
44、与与 之间存在着之间存在着本质的不同，这一点从本质的不同，这一点从图图4.19也可以看出也可以看出 延迟环节的频率特性延迟环节的频率特性也可表示为也可表示为由于其幅值总是等于由于其幅值总是等于1，所以，延迟环节所以，延迟环节 的对数幅值总等于零分贝。其相角的对数幅值总等于零分贝。其相角T1je1jTT TTj1j11T1 )j1/(1T图图4.19 延时环节和惯性环节延时环节和惯性环节 的幅相频率特性的幅相频率特性TGje)j(jeTT)(（弧度）（弧度）T3.57（度）（度）（4.62）jeTjeTjeT 因此，因此，相角与频率相角与频率 是成线性变化的。图是成线性变化的。图4.20所示为延
45、迟所示为延迟环节的对数相频特性。环节的对数相频特性。图图 4.20 延迟环节的相频特性延迟环节的相频特性 例例4.1 设一个二阶设一个二阶系统的传递函数系统的传递函数 试画出这个传递函试画出这个传递函数的幅相频率特性。数的幅相频率特性。解：解：系统的频率特系统的频率特性可以写成性可以写成 将不同的将不同的 值代入值代入 表达式，根据求出的各表达式，根据求出的各 值值下的下的 和和 值就可以画出值就可以画出 的幅相频特性如图的幅相频特性如图4.21所示。所示。)j(G)j(G)(U)(V)j(G图图4.21 例例4.1的幅相频率特性的幅相频率特性 1121 0.02G ss32321121121
46、12 0.02jj1 0.02j10.4 101 0.4 10G例例4.2 试画出系统的传递函数试画出系统的传递函数的对数频率特性（博德图）。的对数频率特性（博德图）。解：解：为了画出频率特性曲线，必须先求出为了画出频率特性曲线，必须先求出 和和 。根据给定。根据给定的振荡环节，则有的振荡环节，则有 得得 （弧度（弧度/秒）秒）得得 图图4.22为求出的对数频率特性。该曲线首先是用渐近线作为求出的对数频率特性。该曲线首先是用渐近线作出，其转折频率为无阻尼自然频率出，其转折频率为无阻尼自然频率 （弧度（弧度/秒）。然后对秒）。然后对于于 可图可图4.14进行修正，得精确的对数频率特性曲线。进行修
47、正，得精确的对数频率特性曲线。2)j(04.0j08.011)j(Gn04.012n2T n508.0122nT 2.0n52.0 图图 4.22 例例4.2的对数频率特性曲线的对数频率特性曲线 4.3 系统开环频率特性图系统开环频率特性图4.3.1 最小相位系统最小相位系统 为了说明幅频特性和相频特性之间的关系，在此提出最小为了说明幅频特性和相频特性之间的关系，在此提出最小相位系统概念。在复平面相位系统概念。在复平面S右半平面上没有零点和极点的传递右半平面上没有零点和极点的传递函数称为函数称为最小相位传递函数最小相位传递函数；反之，为非最小相位传递函数。具；反之，为非最小相位传递函数。具有最
48、小相位传递函数的系统称为最小相位系统。有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统。具有相同幅频特性的系统，最小相位传递函数的相角范围是具有相同幅频特性的系统，最小相位传递函数的相角范围是最小的。例如两个系统的传递函数分别为：最小的。例如两个系统的传递函数分别为：这两个系统具有相同的幅频特性，但它们却有着不同的相频这两个系统具有相同的幅频特性，但它们却有着不同的相频特性，如图特性，如图4.23所示。对最小相位系统而言，幅频特性和相频特所示。对最小相位系统而言，幅频特性和相频特性之间具有确定的单值对应关系。这就是说，如果系统的幅频特性之间具有确定的单值对应关系。这就是说，如果系统的幅频特 11122
49、1()(0)1TsG sTTT s121221()(0)1T sG sTTT s性曲线规定从性曲线规定从0变化到无穷大整个频率范围内，那么变化到无穷大整个频率范围内，那么相频特性曲相频特性曲线线就唯一确定，反之亦然。然而对非最小相位系统来说却是不成就唯一确定，反之亦然。然而对非最小相位系统来说却是不成 立的。以后无特殊说明，一般是指最小相位系统。立的。以后无特殊说明，一般是指最小相位系统。图图 4.23 和和 系统的相频特性系统的相频特性 1G s 2Gs4.3.2 4.3.2 系统开环尼氏图的绘制系统开环尼氏图的绘制 1.绘制尼氏图的一般方法绘制尼氏图的一般方法 为了绘制尼氏图大致形状，一般
50、方法是为了绘制尼氏图大致形状，一般方法是描点法描点法。作图基本步。作图基本步骤为：骤为：(1)将系统开环传递函数写成若干典型环节串联形式将系统开环传递函数写成若干典型环节串联形式即即 (2)根据传递函数写出系统频率特性，并表示为幅频和相频根据传递函数写出系统频率特性，并表示为幅频和相频特性的形式特性的形式即即 (3)分别求出起始点（分别求出起始点（）和终点（）和终点（），并表示于），并表示于极坐标上；极坐标上；(4)找出必要的特征点；找出必要的特征点；(5)根据已知点和根据已知点和 、的变化规律，绘制尼氏图的的变化规律，绘制尼氏图的大致形状。大致形状。)()()()(21sGsGsGsGn)(
