1、7.1 7.1 极点配置问题状态反馈的复频域综合极点配置问题状态反馈的复频域综合7.2 7.2 极点配置问题的观测器极点配置问题的观测器-控制器形补偿控制器形补偿 器的综合器的综合7.3 7.3 输出反馈极点配置问题的补偿器的综合输出反馈极点配置问题的补偿器的综合2极点配置问题状态反馈的复频域综合极点配置问题状态反馈的复频域综合考虑线性时不变状态反馈系统如图所示考虑线性时不变状态反馈系统如图所示 lcN)()(1sSslchcDD1)(sylcN)()(1sSslchcDD1)(sy()N s1D()s()Ks()s)(su)(sy()s3线性时不变状态反馈系统闭环传递函数阵的右线性时不变状态
2、反馈系统闭环传递函数阵的右MFDMFD为：为：1KK()()()GsN s Ds闭环分母矩阵为：闭环分母矩阵为：KD()()()()hcLcsD S sDKs11()()()()()(),phclclckpiikD sD S sDsN sNssS skns11)(111ssssspkk42 2 状态反馈对分子矩阵状态反馈对分子矩阵N(sN(s)的影响的影响K3 3 状态反馈对分母矩阵状态反馈对分母矩阵D(sD(s)的影响的影响 不改变分母矩阵不改变分母矩阵D(sD(s)的列次数。的列次数。不改变分母矩阵不改变分母矩阵D(sD(s)的列次系数阵。的列次系数阵。可改变分母矩阵可改变分母矩阵D(sD
3、(s)的低次系数阵。的低次系数阵。线性时不变状态反馈系统线性时不变状态反馈系统 ，反馈矩阵，反馈矩阵K K的引入对的引入对分子矩阵分子矩阵N(sN(s)没有直接影响。没有直接影响。线性时不变状态反馈系统线性时不变状态反馈系统 ，反馈矩阵，反馈矩阵K K的引入对的引入对分母矩阵分母矩阵D(sD(s)的影响为：的影响为：K5如图所示如图所示lcNlchcDD1)(sylcNlchcDD1)(sy()N s()Ks()s)(su)(sy()s1D()sH其中：其中：H H为为p pp p的非奇异输入变换阵的非奇异输入变换阵6包含输入变换的线性时不变状态反馈系统闭环传递函包含输入变换的线性时不变状态反
4、馈系统闭环传递函数阵的右数阵的右MFDMFD为：为：1HKHK()()()GsN s Ds闭环分母矩阵为：闭环分母矩阵为：1HK11D()H()()()()()hcLcsD sKsHD S sHDKs 可同时改变分母矩阵的列次系数阵和低次系数阵。可同时改变分母矩阵的列次系数阵和低次系数阵。71 1 问题的提法问题的提法给定开环系统的传递函数阵给定开环系统的传递函数阵 ，D(sD(s)列列既约。表既约。表 为列次数，设为列次数，设 任意给定任意给定n n个期望极点个期望极点 ，确定输入变换阵确定输入变换阵H H和状态反馈阵和状态反馈阵K K，使成立，使成立)s(D)s(N)s(G10)s(Dkc
5、iink,kkkp1iip21*n*2*1,)s()s(*n1i*i1HKHK*HKG(s,K)N(s)D(s)detD(s)(s)82 2 极点配置的基本结论极点配置的基本结论对包含输入变换的线性时不变状态反馈系统，受控对包含输入变换的线性时不变状态反馈系统，受控 系统由严真不可简约右系统由严真不可简约右MFD MFD 表征，表征，若取若取1N(s)D(s)s(s)s(s)s(s)s(s)s(p)kk(n1-p)kk(n2kn1n*1-p1211hcDH 1p1(s)(s)-10K(s)()-10hclcD Ds9第第1 1步：对给定步：对给定D(sD(s),),求出求出第第2 2步：将步：
6、将 进一步表示为：进一步表示为：1hclchcD)s(,D,D和)s(*)s(s)s(s)s(s)s(s)s(p)kk(n1-p)kk(n2kn1n*1-p1211第第3 3步：取步：取hcDH 01-01-)s()s(s)p1构造构造)s(DD-(s)(s)Klc-1hchcDH 01-01-)s()s(s)p110第第4 4步步：令令 于是，可求出：于是，可求出：22211211kkp21kHKDDDDs1-01-0s1-)s()s()s(s(s)S(s)(s)Dp21)s()s(detD*HKp21lc1-hcp21D,D,DDDK,K,KKiiiikpDkpKii1k1k1ii()ss
7、1KD,i1,p0ss110s其中其中 7.2 7.2 极点配置问题的极点配置问题的观测器观测器-控制器形补偿器的综合控制器形补偿器的综合一一 问题的提法问题的提法构造补偿器，使满足构造补偿器，使满足1CFCF-1*fhcCFG(s)N(s)D(s)(detD)detD(s)(s)给定线性时不变受控系统给定线性时不变受控系统,由由严真严真传递函数矩阵传递函数矩阵 表征，表征，D(sD(s)列既约列既约。1G(s)N(s)D(s),不可简约*n*2*1,)s()s(*n1i*ipjcjjj 1k=D(),kns任意给定任意给定n n个期望极点个期望极点 ，期望闭环特征多项式为期望闭环特征多项式为
8、:1 1 闭环控制系统满足期望极点配置闭环控制系统满足期望极点配置2 2 补偿器满足物理可实现性补偿器满足物理可实现性121 1 期望闭环分母矩阵期望闭环分母矩阵*CF()Ds给定期望极点给定期望极点,则期望特征多项式为：则期望特征多项式为：1112()()*12()()()()pnkknknkknpsss ss ss s1212*CF()()()101D()1pkpkksssssss 则期望闭环分母矩阵则期望闭环分母矩阵 为为:*CF()Ds*()jjcjCFkkDs*fhc()CFnDsDI的列次系数阵2 2 状态反馈阵状态反馈阵M(sM(s)给定线性时不变受控系统不可简约严真右给定线性时
9、不变受控系统不可简约严真右MFDMFD ，D(sD(s)列既约列既约,如图所示。如图所示。1G(s)N(s)D(s)lcN)()(1sSslchcDD1)(sylcN)()(1sSslchcDD1)(sy()N s1D()sM()s()s)(su)(sy()s取取p pp p状态反馈阵状态反馈阵M(sM(s)为：为：*CF()()()M sDsD s则可使对应状态反馈系统实现任意期望闭环极点组的配置。则可使对应状态反馈系统实现任意期望闭环极点组的配置。141 1 物理可实现输出输入反馈系统物理可实现输出输入反馈系统CF 按期望极点配置综合导出的状态反馈系统按期望极点配置综合导出的状态反馈系统
10、，其控制功，其控制功能等价的结构物理可实现输出输入反馈系统能等价的结构物理可实现输出输入反馈系统 如图所示。如图所示。CFK)()(1sSs)(sy)()(1sSs()()M s X s)(sy1N(s)D()sM()()s Y s)(su()s+()()M ss输出输入反馈系统输出输入反馈系统 结构图结构图CF152 2 以形式以形式MFDMFD表征补偿器表征补偿器 对上述得到的线性时不变输出输入反馈系统对上述得到的线性时不变输出输入反馈系统 ，引入，引入p pp p待定可逆矩阵待定可逆矩阵T(sT(s),),CF()()()(),()()()()F sT s M s X s H sT s
11、M s Y s)()(1sSs)(sy)()(1sSs1()()Ts F s)(sy1N(s)D()s1()()Ts H s)(su()s+()()M ss则在控制功能等价前提下，导出以下输出输入反馈系统则在控制功能等价前提下，导出以下输出输入反馈系统CF以形式以形式MFDMFD表征补偿器的输出输入反馈系统表征补偿器的输出输入反馈系统CF163 3 以真正以真正MFDMFD表征补偿器表征补偿器 对上述得到的线性时不变输出输入反馈系统对上述得到的线性时不变输出输入反馈系统 ，CF1()()()()LN s Dss N s-1L不可简约不可简约D)()(1sSs)(sy)()(1sSs1()()u
12、Ts Ns)(sy1N(s)D()s1()()yTs Ns)(su()s+引入：引入：()()()(),()()()()LyuLH sL s DsNsNsF sL s Ns以真正以真正MFDMFD表征补偿器的输出输入反馈系统表征补偿器的输出输入反馈系统CF则：则：174 4 构造真构造真MFDMFD表征的补偿器表征的补偿器 对按期望极点配置得到的以真正对按期望极点配置得到的以真正MFDMFD表征补偿器的线性时表征补偿器的线性时不变输出输入反馈系统不变输出输入反馈系统 ，表示，表示CF1()()()()N s Dss N s-1L不可简约不可简约D观测器的期望极点观测器的期望极点rjr1rq()
13、()1,2,max(),()LLLLDsqqDsjqDsDs分母矩阵行次数，*12(1),psss(1)*(1)(1)1T(1)1101(1)(1)1(1)2(1)121()()()()()()ppprprpppppssssssss ss ss ss期望特征多项式为：期望特征多项式为：18若取若取11121()1()()1()pssssT sss11(1)()()(2)()(),()yuTs NsMFDTs NsMFDs-1K为真为真当且仅当D(s)D为正则真则有：则有：四四 综合观测器综合观测器-控制器型补偿器的算法控制器型补偿器的算法1CFCF-1*fhcCFG(s)N(s)D(s)(de
14、tD)detD(s)(s)第第1 1步步：对给定的：对给定的严真开环严真开环传递函数矩阵，不可简约传递函数矩阵，不可简约MFDMFD为：为：D(sD(s)列既约，列既约，行行既约既约。第第2 2步步：定出满足综合指标的闭环传递函数阵，：定出满足综合指标的闭环传递函数阵，即成立即成立第第3 3步步：计算计算p pp p多项式矩阵多项式矩阵)s(N)s(D)s(D)s(N)s(GL-1L1)s(DL)s(D)s(N)s(G1CFF)s(D)s(D)s(MCF 第第4 4步步：定出使：定出使X(s)D(s)+Y(s)N(sX(s)D(s)+Y(s)N(s)=I)=I的的p pp p和和p pq q的
15、的 多项式矩阵多项式矩阵X(sX(s)和和Y(sY(s).).第第5 5步步：选取：选取T(sT(s)其中：其中：可任取，但需使可任取，但需使detT(sdetT(s)=0)=0的根均具有负实部。的根均具有负实部。第第6 6步步：计算：计算F(sF(s)=)=T(s)M(s)X(sT(s)M(s)X(s)和和H(sH(s)=)=T(s)M(s)Y(sT(s)M(s)Y(s)，运用矩阵除法求出满足运用矩阵除法求出满足 的矩阵对的矩阵对 ，计算，计算11121()1()()1()pssssT sss)s(i)s(N)s(L(s)DH(s)yL)s(NL(s),y)s(L(s)N)s(F(s)NLu
16、 第第7 7步步：计算：计算 ，则补偿器的传递特性，则补偿器的传递特性)s(T1)s(N)s(T)s(N)s(Ty1u1和 (13.3)(13.3)给定线性时不变受控系统给定线性时不变受控系统试综合一个状态反馈阵试综合一个状态反馈阵K,K,使得状态反馈控制系使得状态反馈控制系统的极点配置为统的极点配置为123222211210()2221 421sssssGsssssss *12,342,1,42jj (13.4)(13.4)：对上题中的受控系统和期望极点：对上题中的受控系统和期望极点,试确试确定实现极点配置的一个定实现极点配置的一个”观测器观测器-控制器型控制器型”补补偿偿器器7.3 7.3
17、 输出反馈极点配置问题的补偿器的综合输出反馈极点配置问题的补偿器的综合一一 问题的提法问题的提法 给定线性时不变受控系统给定线性时不变受控系统,由真或严真传递函数由真或严真传递函数矩矩阵阵 表征，表征，D(sD(s)列既约列既约,行既约行既约,1-1LLG(s)N(s)D(s)=D(s)N(s),不可简约jcjririLpqjrij 1i 1k=D(),k=D()k=knss采用如图所示的具有补偿器的单位输出反馈结构采用如图所示的具有补偿器的单位输出反馈结构:)s(DL(s)y(s)uC()s()Gs v(s)C(sC(s)为补偿器传递函为补偿器传递函数阵，阶数为数阵，阶数为m m构造补偿器，
18、使满足构造补偿器，使满足*12,nm其中任意给定一组期望闭环极点任意给定一组期望闭环极点 1 1 实现期望的极点配置实现期望的极点配置2 2 补偿器满足物理可实现性补偿器满足物理可实现性241 1 G(sG(s)的特征多项式和最小多项式的特征多项式和最小多项式 G(sG(s)的特征多项式的特征多项式(s)(s)=G(sG(s)所有所有1 1阶、阶、2 2阶、阶、minq,pminq,p 阶子式最小公分母阶子式最小公分母 G(sG(s)的最小多项式的最小多项式(s)(s)=G(sG(s)所有所有1 1阶子式最小公分母阶子式最小公分母 其中：其中：(s)(s)=b=b(s)(s)(s)(s)b(s
19、b(s)为标量多项式为标量多项式 2 2 循环传递函数矩阵循环传递函数矩阵G()()(),ssks k 循环为非零常数253 3 循环有理分式矩阵的性质循环有理分式矩阵的性质 若真或严真若真或严真G(sG(s)为为1 1p p或或q q1 1有理分式阵，则有理分式阵，则G(sG(s)为循环为循环 给定给定qp的 G(sG(s)，表，表 和和 为其任意两个为其任意两个 元有理分式，则当不存在一个元有理分式，则当不存在一个是它们的公共极是它们的公共极 点时，点时，G(sG(s)必是循环的。必是循环的。(注：该条件只是充分条件）注：该条件只是充分条件）设设G(sG(s)为为q qp p的循环真有理分
20、式阵，则对几乎所的循环真有理分式阵，则对几乎所有有 的的p p1 1实常数向量实常数向量 和和1 1q q的实常数向量的实常数向量 ，存，存 在非零常数在非零常数 和和 使成立使成立)s(gij)s(g1t2t1k2k)s(Gt kt)s(GkG(s)221126 设设G(sG(s)为为q qp p的非循环真有理分式阵，构成如图的非循环真有理分式阵，构成如图所所 示的输出反馈系统。闭环有理分式阵为：示的输出反馈系统。闭环有理分式阵为：11)s(KGI)s(G)s(GK)s(GI(s)G则对几乎所有任意取定的常阵则对几乎所有任意取定的常阵K K，必是循环有理分式矩阵。必是循环有理分式矩阵。)s(
21、G()Gs(s)u v(s)K)s(y 271 1 补偿器的组成方案补偿器的组成方案 设设G(sG(s)为为q qp p的循环真或严真传递函数阵，选定的循环真或严真传递函数阵，选定p p1 1实常数实常数 向量向量 和和1 1q q的实常数向量的实常数向量 ，使成立，使成立 输出反馈系统中的补偿器如图所示输出反馈系统中的补偿器如图所示C()s()Gs v(s)1t)s(y 2t()Gs v(s)C(s)s(y 1t2t)s(Gt kt)s(GkG(s)22111010()()nnnnD sD sDsDN sN sN sN(s)h282 2 补偿器的描述补偿器的描述 具有补偿器的线性时不变输出反
22、馈系统具有补偿器的线性时不变输出反馈系统 ,综合中要确定综合中要确定的补偿器传递函数阵为的补偿器传递函数阵为1 1q q真或严真真或严真-1cC(s)=D()()cs Ns不可简约CF1010deg()()()cmccmccmccmccD smD sD sD sDN sN sN sN(s)C基于上述描述的闭环传递函数矩阵为基于上述描述的闭环传递函数矩阵为1G()()()1 1()()()()()()()()CFCFCFCFccCFcsDs NsDsD s D sN s N sq qNsN s N s阵阵*1110*()(),0,1,n mn mCFn mn mhhDsksFsFsFs FFkh
23、n mk 任意非零常数期望的闭环分母阵为期望的闭环分母阵为2910101010*101 1()1()1 1()1()1 1()nnnnmccmccmccmccn mCFn mD sD sDsDqN sN sN sND sD sD sDqN sN sN sNDsFsFsF多项式阵多项式阵多项式阵多项式阵多项式阵综上综上:组成分块阵组成分块阵:0n0n0nm0n0n0nDD00NN000DD00S0NN0000DD00NN30则有则有:*h*cC(s),s(),1,n()()()()()(),()CFhccCFccmcGshmDs D sNs N sDsDsNsSFT综合补偿器使闭环极点对方程求解
24、对方程T求解cc0c0c1c1cmcm01n+mT=DNDNDNF=F FF313 3 补偿器综合结论补偿器综合结论 令令G(sG(s)为为q qp p的循环传递函数阵，的循环传递函数阵，和和 为任意不可简约为任意不可简约 的最大列次数和最大行次数的最大列次数和最大行次数,则则有如下结论有如下结论:(1)(1)若若G(sG(s)严真，而严真，而C(sC(s)为真，当为真，当 时，必存在时，必存在 C(sC(s)使闭环系统所有使闭环系统所有n+mn+m个极点实现任意配置，个极点实现任意配置，(2)(2)若若G(sG(s)真，而真，而C(sC(s)为严真，当为严真，当 时，必存在时，必存在 C(s
25、C(s)使闭环系统所有使闭环系统所有n+mn+m个极点实现任意配置，个极点实现任意配置，C()s()Gs v(s)1t)s(y mmin1,11-1LLG(s)N(s)D(s)=D(s)N(s)mmin,324 4 综合补偿器的算法综合补偿器的算法 第第1 1步：对步：对q qp p的真或严真循环有理分式阵的真或严真循环有理分式阵G(sG(s),),寻寻找找一一p p1 1的实常数向量的实常数向量 ，使成立，使成立 第第2 2步：将步：将 表为不可简约的表为不可简约的MFD,MFD,即即 D(s),N(sD(s),N(s)右互质。表示右互质。表示1t11G(s)kG(s)t 1t)s(G)s(
26、D)s(Nt)s(G1101nn01nnNsNsN)s(NDsDsDD(s)33 第第3 3步：组成系数矩阵步：组成系数矩阵n0n0n0n0n0n0NN00DD0000NN000DD000NN00DDSl 其中，其中，l l为待定的正整数。确定使为待定的正整数。确定使 列满秩时列满秩时l l的最的最 小值，则小值，则lS1 l34 第第4 4步：当步：当G(sG(s)为严格真时，取为严格真时，取 为真，令为真，令 当当G(sG(s)为真时，取为真时，取 为严格真，令为严格真，令 第第5 5步：求解方程步：求解方程(s)C1mc0c0c1c1cmcmm01nm 1DNDNDNSF FFnmF*nmnm 1CFnmnm 110D(s)(s)FsFsFsFk(s)Cm 第第6 6步：组成步：组成c0c1mcmcc0c1mcmcNsNsN)s(NDsDsD(s)D 则则 ，所要综合的补偿器传递函数阵，所要综合的补偿器传递函数阵)s(N)s(D)s(Cc1c)s(Ct)s(C135非循环非循环G(sG(s)极点配置输出反馈系统结构图极点配置输出反馈系统结构图C()s()Gs v(s)K+-()Gs y()s求解思路求解思路:(1)(1)引入常反馈阵引入常反馈阵K K预输出反馈预输出反馈,使使 为循环为循环.(2)(2)对循环对循环 综合补偿器综合补偿器C(sC(s)。()Gs()Gs
