1、第六章 结构位移计算 6-1 概述 6-2 变形体系的虚功原理 6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 6-5 图乘法 6-6 静定结构温度变化时的位移计算 6-7 静定结构支座移动时的位移计算 6-8 线弹性结构的互等定理 6-9 空间刚架的位移计算公式 6-1 概述 变形：变形：结构形状的改变。结构形状的改变。 位移：位移：结构各处位置的移动。结构各处位置的移动。 线段线段AAA点的线位移，计为点的线位移，计为A。 截面截面A转动的角度转动的角度截面截面A的角位移，的角位移， 计为计为A。 A可用水平分量可用水平分量Ax和竖向分量和竖向分量 Ay 表
2、示。 6-1 概述 截面截面A的角位移（顺时针方向）的角位移（顺时针方向） A B 截面截面B的角位移（逆时针方向）的角位移（逆时针方向） BAAB 截面截面A、B的相对角位移的相对角位移 C点水平线位移（向右）点水平线位移（向右） C D点水平线位移（向左）点水平线位移（向左） D DCCD C、D两点的水平相对线位移两点的水平相对线位移 产生位移的原因：荷载产生位移的原因：荷载 温度改变温度改变 支座移动支座移动 材料收缩材料收缩 制造误差制造误差 6-1 概述 计算结构位移的目的计算结构位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。）为了校核结构的刚度。 （2）结构的施工中，也需要结构的位移。）
3、结构的施工中，也需要结构的位移。 （3）为分析静定结构打下基础。）为分析静定结构打下基础。 （4）结构的动力计算和稳定计算中，需要计算结构的位移。）结构的动力计算和稳定计算中，需要计算结构的位移。 图示结构进行悬臂拼装时，由于自重及吊车等荷载作用，产生位移图示结构进行悬臂拼装时，由于自重及吊车等荷载作用，产生位移 f fA A。必须先计算。必须先计算f fA A，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。 6-2 变形体系的虚功原理 变形体系的虚功原理：变形体系的虚功原理： 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所变形体系处于平衡的
4、必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所 做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，简单做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，简单 地说，地说，外力虚功等于变形虚功外力虚功等于变形虚功。 位移状态与位移状态与 力状态无关力状态无关 虚位移必须虚位移必须 是微小的是微小的 6-2 变形体系的虚功原理 外力虚功外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。相应的虚位移上所作虚功的总和。 变形虚功变形虚功WV：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上 所作虚功
5、的总和，也称为内力虚功或虚应变能。所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能。 略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为：略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为： sFMuFWdddd SNV 对整个结构有：对整个结构有： sFMuFWWdddd SNVV 虚功方程为：虚功方程为： V WW sFMuFWddd SN 6-2 变形体系的虚功原理 虚功原理的应用虚功原理的应用 虚位移原理：虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。用虚功方程求解力状态中的未知力。 虚力原理：虚力原理： 对于给定的位移状态，虚
6、设一个力状态，利用对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。虚功方程求解位移状态中的位移。 6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 图图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形，所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形， 求求K点沿任一指定方向点沿任一指定方向kk的位移的位移K。 虚设力状态如图虚设力状态如图b，使力状态的外力能在位移状态的，使力状态的外力能在位移状态的 K 上作虚功。上作虚功。 外力虚功为外力虚功为 cFcFcFcFFW KKKR33R22R11R 1 变形虚功为变形虚功为 dsdd SNV FMuFW 由虚功原理由虚功原理 V W
7、W dsdd SNR FMuFcFK 平面杆件结构位移计算一般公式平面杆件结构位移计算一般公式 设设 FK=1 单位荷载法单位荷载法 6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 图图a为求为求A点水平位移时的虚拟状态点水平位移时的虚拟状态 图图b为求为求A截面转角时的虚拟状态截面转角时的虚拟状态 图图c为求为求A、B两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态 图图d为求为求A、B两个截面相对转角时的虚拟状态两个截面相对转角时的虚拟状态 广义位移广义位移： 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称
8、。 广义力广义力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。 6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 求图求图a所示桁架所示桁架AB杆的角位移。杆的角位移。 在位移微小的前提下，桁架杆件的在位移微小的前提下，桁架杆件的 角位移角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的其两端在垂直于杆轴方向上的 相对线位移除以杆长，如图相对线位移除以杆长，如图b。 d BA AB AB杆的角位移杆的角位移 荷载所做的虚功荷载所做的虚功 AB BA BA d d d 11 6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 计算对
9、象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合 胡克定律。胡克定律。 求图求图a所示结构所示结构K点的竖向位点的竖向位 移移KP。位移计算公式为。位移计算公式为 dsd d PSP PNP FM uFK 虚拟状态如图虚拟状态如图b所示。由材料力学所示。由材料力学 EI sM d d P P EA sF u d d NP P GA skF s d d SP P k剪切变形的剪切变形的 改正系数改正系数 平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为： GA sFFk EA sFF EI sMM K ddd
10、 SPSNPNP P 梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为： EI sMM K d P P 桁架（只有轴力）的位移计算公式为：桁架（只有轴力）的位移计算公式为： EA lFF EA sFF K NPNNPN P d 组合结构（受弯杆件组合结构（受弯杆件+链杆）的位移计算公式为：链杆）的位移计算公式为： EA lFF EI sMM K NPNP P d 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例例6-1 试求图试求图a所示刚架所示刚架A点的竖向位移点的竖向位移Ay。各杆的材料相。各杆的材料相 同，截面的同，截面的I、A均为常数。均为常数。 解：解：（1）虚拟
11、状态如图）虚拟状态如图b，各杆内力为，各杆内力为 AB段：段： 1, 0, SN FFxM BC段：段： 0, 1, SN FFlM （2）实际状态中，各杆内力为）实际状态中，各杆内力为 AB段：段： qxFF qx M SPNP 2 P , 0, 2 0, 2 SPNP 2 P FqlF ql MBC段：段： （3）代入位移计算公式）代入位移计算公式 ) 5 4 5 8 1 ( 8 5 28 5 22 4224 GAl kEI Al I EI ql GA kql EA ql EI ql Ay 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 ) 5 4 5 8 1 ( 8 5 22 4 GAl kEI
12、 Al I EI ql Ay （4）讨论）讨论 上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。 设：杆件截面为矩形，宽度为设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5 )( 25 2 )( 15 2 1 8 5 22 4 l h G E l h EI ql Ay 截面高度与杆长之比截面高度与杆长之比h/l愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。 当当h/l=1/10，G=0.4E时，计算得时，计算得 500 1 750 1 1 8 5 4 EI q
13、l Ay 此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例例6-2 试求图试求图a所示等截面圆弧曲梁所示等截面圆弧曲梁B点的水平位移点的水平位移Bx。设。设 梁的截面厚度远小于其半径梁的截面厚度远小于其半径R。 解：近似采用直杆的位移计算公式，只考虑弯解：近似采用直杆的位移计算公式，只考虑弯 矩影响。实际状态中的截面弯矩为矩影响。实际状态中的截面弯矩为 虚拟状态虚拟状态 sin P FRM 虚拟状态如图虚拟状态如图b，截面弯矩为，截面弯矩为 )cos1 ()cos(1RRRM 代入位移计算公式，可得代入位移计算公式，可得 )(
14、 2 )cos1 (d 32 P EI FR EI sMM Bx 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例例6-3 试求图试求图a所示对称桁架结点所示对称桁架结点D的竖向位移的竖向位移D。图中右半。图中右半 部各括号内数值为杆件的截面面积部各括号内数值为杆件的截面面积A（10-4m2），）， E=210GPa。 解：实际状态各杆内力解：实际状态各杆内力 如图如图a（左半部）。（左半部）。 虚拟状态各杆内力如图虚拟状态各杆内力如图b （左半部）。（左半部）。 注意桁架杆件轴力是正对称的注意桁架杆件轴力是正对称的 )mm(8 NPN EA lFF D 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 6-
15、5 图乘法 梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为 EI sMM K d P P 公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时：公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时： （1）杆轴为直线；）杆轴为直线； （2）EI=常数；常数； （3） M 和和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。两个弯矩图中至少有一个是直线图形。 计算可以简化计算可以简化 如图：如图：ds用用dx代替，代替， EI可提到积分号外。可提到积分号外。 tanxM tan为常数为常数 6-5 图乘法 Ax EI xxM EIEI sMM d tan d tand P P
16、 xMAdd P MP图中阴影的微分面积图中阴影的微分面积 Axd微分面积对微分面积对y轴的静矩轴的静矩 C xAAx d AMP图的面积；图的面积； xC形心形心C到到y轴的距离。轴的距离。 EI yA xA EIEI sMM C C tand P yC是是MP图的形心图的形心C所对应的所对应的M图的竖标图的竖标 图乘法图乘法 6-5 图乘法 如结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为如结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为 EI yA EI sMM C K d P P 应用图乘法时，应注意下列各点：应用图乘法时，应注意下列各点： （1）必须符合上述前提条件。）必须符合上述前提
17、条件。 （2）竖标）竖标yC只能取自直线图形。只能取自直线图形。 （3）A与与yC若在杆件的同侧则乘积取正号，异侧则取负号。若在杆件的同侧则乘积取正号，异侧则取负号。 6-5 图乘法 常用简单图形的面积和形心常用简单图形的面积和形心 6-5 图乘法 两个梯形相乘时：两个梯形相乘时： 将将MP图分解为两个三角形（或一个图分解为两个三角形（或一个 矩形和一个三角形）。矩形和一个三角形）。 dcya 3 1 3 2 dcyb 3 2 3 1 两个图的竖标两个图的竖标a、b或或c、d不在基线同不在基线同 一测时：可分解为位于基线两侧的两一测时：可分解为位于基线两侧的两 个三角形，在进行图乘。个三角形，
18、在进行图乘。 6-5 图乘法 均布荷载作用下的任何一段直杆：均布荷载作用下的任何一段直杆： 弯矩图弯矩图=一个梯形一个梯形+一个标准抛物一个标准抛物 线图形如图线图形如图a。 图图a的弯矩图与图的弯矩图与图b所示相所示相 应简支梁的弯矩图是相同的，应简支梁的弯矩图是相同的， 由此可以很方便地进行图乘。由此可以很方便地进行图乘。 6-5 图乘法 yC所在图形是折线图形时，所在图形是折线图形时， 应分段图乘。如图所示。应分段图乘。如图所示。 )( 1 332211 yAyAyA EI 杆件为变截面直杆时，应分杆件为变截面直杆时，应分 段图乘。如图所示。段图乘。如图所示。 3 33 2 22 1 1
19、1 EI yA EI yA EI yA 6-5 图乘法 例例6-4 试求图试求图a所示刚架所示刚架C、D两点的距离改变。设两点的距离改变。设EI=常数。常数。 解：实际状态弯矩图如图解：实际状态弯矩图如图b所示。所示。 虚拟状态如图虚拟状态如图c所示。所示。 由图乘法，可得由图乘法，可得 )( 12 ) 83 2 ( 1 3 2 EI qhl hl ql EIEI yA C CD 6-5 图乘法 例例6-5 试求图试求图a所示刚架所示刚架A点的竖向位移点的竖向位移Ay，并勾绘刚架的，并勾绘刚架的 变形曲线。变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图解：实际状态弯矩图如图b所示。所示。 虚拟状态弯矩图如
20、图虚拟状态弯矩图如图c所示。所示。 )( 16 4 ) 3 2 ( 2 1 2 ) 2 ( 1 3 EI Fl Fll l EI Flll EIEI yA C Ay 根据根据 实际状态实际状态 弯矩图，弯矩图， 判定杆件判定杆件 变形后的变形后的 凸凹方向。凸凹方向。 6-5 图乘法 例例6-6 试求图试求图a所示外伸梁所示外伸梁C点的竖向位移点的竖向位移Cy，梁的，梁的EI=常数。常数。 解：实际状态弯矩图如图解：实际状态弯矩图如图b所示。所示。 虚拟状态弯矩图如图虚拟状态弯矩图如图c所示。所示。 将将AB段的弯矩图分解为一个三角段的弯矩图分解为一个三角 形和一个标准二次抛物线图形。形和一个
21、标准二次抛物线图形。 由图乘法得由图乘法得 )( 128 4 ) 83 2 ( 3 ) 82 1 ( 8 3 ) 283 1 ( 1 42 22 EI qll l ql l l qlllql EI Cy 6-5 图乘法 例例6-7 图图a为一组合结构，试求为一组合结构，试求D点的竖向位移点的竖向位移Dy。 解：实际状态解：实际状态FNP、MP如图如图b所示。所示。 虚拟状态虚拟状态FN、M如图如图c所示。所示。 )( 3 4)221 ( 2211 2211 3 NPN IE Fa AE Fa IE yA AE lFF C Dy 6-6 静定结构温度变化时的位移计算 试求图试求图a所示结构由于温
22、度变所示结构由于温度变 化产生的化产生的K点的竖向位移点的竖向位移Kt。 为材料的线膨胀系数。为材料的线膨胀系数。 dsdd SNtttKt FMuF 杆轴线处的温度变化为杆轴线处的温度变化为 stutdd 2 1 1 2 t h h t h h t h st h stst t ddd d 12 12 ttt 对于杆件结构温度变化不引起剪切变形，对于杆件结构温度变化不引起剪切变形，t=0。 杆件截面对称于形心轴杆件截面对称于形心轴 2 21 tt t 将温度变化引起的微段变形代入位移计算公式可得将温度变化引起的微段变形代入位移计算公式可得 h sM tsF h st MsFKt d dt d
23、td NN 若各杆为等截面杆若各杆为等截面杆 MFKt h t AtA N 图的面积图的面积MF MF AA N N ， 符号的确定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正；符号的确定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正； 弯矩弯矩M以使以使t2边受拉为正。边受拉为正。 对于桁架对于桁架 tlFKt N 对于桁架由于杆件制造误差对于桁架由于杆件制造误差 lFKt N 6-6 静定结构温度变化时的位移计算 例例6-8 图图a所示刚架施工时温度为所示刚架施工时温度为20，试求冬季当外侧温度为，试求冬季当外侧温度为 -10 ，内侧温度为，内侧温度为0 时时A点的竖向位移点的竖向位移Ay。已知。已知 l=
24、4m，=10-5 - -1 1，各杆均为矩形截面，高度，各杆均为矩形截面，高度h=0.4=0.4m。 解：虚拟状态如图解：虚拟状态如图b，轴力图、弯矩图如图，轴力图、弯矩图如图c、d。外侧温度变化为。外侧温度变化为t1， t1=-30 ，内侧温度变化为内侧温度变化为t2=-20 。 25 2 21 tt t 10t )(mm5AtA N MFAy h t 6-6 静定结构温度变化时的位移计算 6-7 静定结构支座移动时的位移计算 图图a所示静定结构，其支座发生了水平位移所示静定结构，其支座发生了水平位移c1、竖向沉陷、竖向沉陷c2和转角和转角c3， 现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，如现
25、要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，如K点的竖向位移点的竖向位移Kc。 对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为 cFKc R R F为虚拟状态的支座反力为虚拟状态的支座反力 R F与与c方向一致时其乘积取正方向一致时其乘积取正 例例6-9 图图a所示三角刚架右边支座的竖向位移所示三角刚架右边支座的竖向位移By=0.06m, 水水 平位移为平位移为Bx=0.06m, 已知已知l=12m，h=8m。试求由此引。试求由此引 起的
26、起的A段转角段转角 。 A 解：虚拟状态及支座反力计算结果如图解：虚拟状态及支座反力计算结果如图b。 ) rad(0075. 0 R cF A 6-7 静定结构支座移动时的位移计算 6-8 线弹性结构的互等定理 （1）功的互等定理）功的互等定理 W12第一状态的外力在第二状态相应的位移上作的虚功第一状态的外力在第二状态相应的位移上作的虚功 Wi12第一状态的内力在第二状态相应的变形上作的虚功第一状态的内力在第二状态相应的变形上作的虚功 12i12 WW GA sFF k EA sFF EI sMM F ddd S2S1N2N121 121 同理同理 GA sFF k EA sFF EI sMM
27、 F ddd S1S2N1N212 212 可得可得 212121 FF 或或 2112 WW 功的互等定理：功的互等定理： 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于等于 第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。 （2）位移互等定理）位移互等定理 设：设：F1=1，F2=1，由功的互等定理，由功的互等定理 2112 11 可得可得 2112 单位力引起的位移用小写字母单位力引起的位移用小写字母12和和21表示表示 上式改写为上式改写为 2112 位移互等定理：位移互等定理： 第二个单位力所引起的
28、第一个单位力作用点沿其方向的位移，第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等等 于于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移 。 6-8 线弹性结构的互等定理 单位力可以是广义单位力，位移即是相应的广义位移。单位力可以是广义单位力，位移即是相应的广义位移。 如图如图a、b。 根据位移互等定理，应有根据位移互等定理，应有 CA f 由材料力学由材料力学 EI Ml f EI Fl CA 16 , 16 22 注意：注意：F=1、M=1的量纲为的量纲为1， 含义不同，但此时二者在含义不同，但此时二者在 数值上是相等的，量
29、纲也相同。数值上是相等的，量纲也相同。 CA f、 6-8 线弹性结构的互等定理 6-8 线弹性结构的互等定理 （3）反力互等定理）反力互等定理 图图a表示支座表示支座1发生单位位移的状态，此时支座发生单位位移的状态，此时支座2产生的反力为产生的反力为r21。 图图b表示支座表示支座2发生单位位移的状态，此时支座发生单位位移的状态，此时支座1产生的反力为产生的反力为r12。 121212 rr由功的互等定理由功的互等定理 1 21 可得可得 1221 rr 反力互等定理：反力互等定理： 支座支座1发生单位位移所引起的支座发生单位位移所引起的支座2的反力，的反力，等于等于 支座支座2发生单位位移
30、所引起的支座发生单位位移所引起的支座2的反力。的反力。 6-8 线弹性结构的互等定理 （4）反力位移互等定理）反力位移互等定理 图图a表示表示F2=1作用时，支座作用时，支座1的反力偶为的反力偶为r12，方向如图。，方向如图。 图图b表示支座表示支座1顺顺r12方向发生单位转角时，方向发生单位转角时，F2作用点沿其方向的位移为作用点沿其方向的位移为21。 0 212112 Fr由功的互等定理由功的互等定理 1, 1 21 F 可得可得 2112 r 反力位移互等定理：反力位移互等定理： 单位力所引起的结构某支座反力，单位力所引起的结构某支座反力，等于等于该支座发生单位位移时该支座发生单位位移时
31、 所引起的单位力作用点沿其方向的位移，符号相反。所引起的单位力作用点沿其方向的位移，符号相反。 6-8 空间刚架的位移计算公式 空间刚架的杆件横截面上一般有六个内力分量，如图。空间刚架的杆件横截面上一般有六个内力分量，如图。 t ttzzz yyy z z y y K GI sMM EA sFF GA sFFk GA sFFk EI sMM EI sMM ddd d d d PNPNPSS PSS P2 P1 P 位移计算公式为位移计算公式为 对于空间刚架，可略去剪力及轴力的影响。对于空间刚架，可略去剪力及轴力的影响。 当刚架各杆轴线均在同一平面内，当刚架各杆轴线均在同一平面内， 外力垂直于此平面，略去剪力影响时，外力垂直于此平面，略去剪力影响时， 位移计算公式为位移计算公式为 t tt K GI sMM EI sMM dd PP P
