1、第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答 径向正应力： 环向应力（切向应力） 正应力 剪应力 体力分量： f体力向径向投影, f体力向切向投影 符号规定与直角坐标系情况类 同 0 1 K 0 2 1 K （41） 剪应力互等定理剪应力互等定理 4-1 极坐标下的平衡方程 二、几何方程二、几何方程 uuu uu u 1 （4-2） 径向位移产生的环向应变径向位移产生的环向应变； u u 环向位移产生的刚体转动角度环向位移产生的刚体转动角度； 环向位移不会产生的径向应变环向位移不会产生的径向应变； 三三. . 物理方程物理方程 由于极坐标也是正交坐标系，故物理方程形式不变： 平面应力
2、：平面应力： rrr r rr E G E E )1(2 )( 1 )( 1 2 2 r r r r rr EG E E )1(2 )( 1 )( 1 （4-3） 平面应变：平面应变： 1.1.应力分量（不计体力，可以满足平衡方程） 2.相容方程：（采用应力函数，不计体力） 极坐标下按应力求解极坐标下按应力求解 （4-5） 3 3.求解：在略去体力分量按应力求解平面问题时，可归 结为根据（4-6）求出应力函数，然后根据（4-5）求应 力 ，并满足位移单值条件，在边界上满足应力边界条件。 ) 1 ( 11 2 2 2 2 2 )64(0)()( 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 4 yx
3、 1.1.应力分量（不计体力，与无关） 2.相容方程：（采用应力函数，不计体力） 3 3.这是一个常微分方程，可以求得通解为： 0 1 2 2 d d d d 0)()( 2 2 2 2 2 2 d d d d d d d d )104(2lnln 2 CBA 构件的几何形状，受力都关于通过Z轴对称。则为 轴对称应力问题，应力分量和应力函数均与无关。 )()()( 4.5 4.5 轴对称应力和对应的位移轴对称应力和对应的位移 2.2.应力分量的通解 3.位移分量的通解 轴对称应力问题的求解轴对称应力问题的求解 1.1.应力函数的通解： 0 )114(2)ln23( 2)ln21 ( 2 2 C
4、B A CB A )104(2lnln 2 CBA )124(cossin 4 sincos )1 (2)31 () 1(ln)1 (2)1 ( 1 KIHB E u KI CBB A E u 4.6 4.6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 二二. . 应力边界条件应力边界条件 圆筒内半径圆筒内半径r,r,外半径外半径R R ( (取单位厚度取单位厚度) ) q1 q2 r R 内压 Rr qq 外压 该问题可简化为轴对称该问题可简化为轴对称 问题求解问题求解 一一. 计算模型计算模型： 受力：受力： 0)( | 1 r r q 内边界内边界 外边界外边界 0)( | 2 R R q
5、 三三. . 应力分量应力分量 注意到注意到 0)( , 0)( Rr 自然满足自然满足 22 12 | | qC R A qC r A R r 联立求解联立求解 22 2 2 1 2 22 12 22 , )( rR qRqr C rR qqRr A 0 2 2 C A C A 据据(4(4- -11)11)式式 代入（代入（4 4- -1111）即得拉密（）即得拉密（lamelame）解答）解答 （4-13） 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 q R r r q r R R 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 q R r r q r R R 对于只
6、有内压力或者只有外部压力的情况，对于只有内压力或者只有外部压力的情况， 以上公式可以进一步简化以上公式可以进一步简化( (教材教材4 4- -14)14) 四四. .位移分量（见位移分量（见4 41212）： cossin )1 ()1 ( 1 KIFu C A E u 若适当给定约束条件，无刚体位移若适当给定约束条件，无刚体位移 00|,| 2/0 IKFuu 0 )1 ( 1 )1 ( u E C E A u 1 2 2 1 2 2 1)( 1)( , 1)( 1)( q r R R q r R R qa r 显然显然 ”拉“（压）， “ r 1max 12 2 max 1)/( 1)/(
7、 q| q rR rR r 五五. 特例特例 1.1.只受内压只受内压 0, 0 ba qq Rr q R r r q r R R 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Rr q R r r q r R R 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Rr q R r r q r R R 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Rr q R r r q r R R 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 r q2 0, 0 Rr qq 2 2 2 2 2 2 )(1 )(1 , )(1 )(1 q R r r q R r r (4-14) ”受压均为“-, 发生在
8、内壁）（ 2 2 )(1 2 q R r r 1|/| , 2|/| 2 2 q qrR r 而外壁 时，内壁当 RRr q |,0| 2.2.只受外压只受外压 3. 无限域开圆孔无限域开圆孔 )0 1 R qRq（时：内压作用下：当 12 2 1 22 2 22 2 ) 11 ( ) 11 ( limq r q Rr R R R b 12 2 1 22 2 22 2 ) 11 ( ) 11 ( limq r q Rr R R R R r q1 验证圣维南原理，在验证圣维南原理，在 Rr 处，处， 应力很小，可以不计，即在内压应力很小，可以不计，即在内压 q1 作用下，作用下，R 处影响可不计
9、。处影响可不计。 作业：求出=4R处应力的表达式 (4)(4)针孔问题（应力集中）针孔问题（应力集中） 受外压qb内径a0时： 22 2 2 )(1 2 |qq R r r 孔虽然很小，但孔边应力却提高了近2倍， 这就是应力集中现象。如果外力为拉力， 则此处为2倍的拉力实际问题中,孔边发 生开裂，就是这个原因。 作业 4-4, 4-7 Thank Everybody ! 应力： 可证明可证明: 当当 时时,(4-5)能满足平微方程能满足平微方程(4-1) 0 ff (4-5) ) 1 ( 11 2 2 2 2 2 极坐标相容方程极坐标相容方程 0)()( 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 4 yx 如果位移边界条件也轴对称,则位移分量也与无关 此时B=I=K=0 轴对称问题轴对称问题 Hu C A E u )1 (2)1 ( 1 )124(cossin 4 sincos )1 (2)31 () 1(ln)1 (2)1 ( 1 KIHB E u KI CBB A E u
