1、五、弹性薄板和平板壳单五、弹性薄板和平板壳单 元分析初步及程序元分析初步及程序 五、弹性薄板和平板壳单元五、弹性薄板和平板壳单元 分析初步及程序分析初步及程序 弹性薄板基本知识弹性薄板基本知识 弹性薄板矩形（弹性薄板矩形（R12）单元）单元 薄板分析程序的使用薄板分析程序的使用 矩形平板壳体单元矩形平板壳体单元 平板壳体程序的使用平板壳体程序的使用 计算结构力学基础的结束语计算结构力学基础的结束语 5.1 弹性薄板基本知识弹性薄板基本知识 5.1.1 弹性薄板基本概念弹性薄板基本概念 x y z u v w 中面中面 所谓薄板是指板厚所谓薄板是指板厚h比板最比板最 小尺寸小尺寸b在如下范围的平
2、板在如下范围的平板 5 1 8 1 80 1 100 1 b h 板面位移如图所示。板面位移如图所示。 当当w小于板厚小于板厚h时，有克希霍夫时，有克希霍夫(G.kirchhoff)假定成假定成 立：立： a) 板中面是中性面，没有变形。板中面是中性面，没有变形。 b) 中面法线变形后仍为挠曲面法线，长度不变。中面法线变形后仍为挠曲面法线，长度不变。 c) 忽略应力忽略应力 z和应变和应变 z 。 平分厚度的平面称中面。平分厚度的平面称中面。 5.1 弹性薄板基本知识弹性薄板基本知识 由克希霍夫假定由克希霍夫假定c) 忽略应变忽略应变 z可推得可推得w与与z无关，无关， 由由b)可知可知 zx
3、和和 yz等于零，再加上中面无变形，最终等于零，再加上中面无变形，最终 可得可得 )(y,xww; y w zv; x w zu 由此结果可得由此结果可得 xy w z; y w z; x w z xyyx 2 2 2 2 2 2 x向曲率向曲率 y向曲率向曲率 扭率扭率 他们完全确定板的变形，因此称他们组成的矩阵为形他们完全确定板的变形，因此称他们组成的矩阵为形 变矩阵，记作变矩阵，记作 ，也即，也即 T 2 2 2 2 2 2 xy w ; y w ; x w 位移只与挠度位移只与挠度w有关有关 5.1 弹性薄板基本知识弹性薄板基本知识 由此可得薄板应变矩阵为由此可得薄板应变矩阵为 =z
4、。 5.1.2 薄板内力和总势能薄板内力和总势能 1) 设平面应力弹性矩阵为设平面应力弹性矩阵为D，则薄板应力矩阵为，则薄板应力矩阵为 =-zD 。 x y z dydz x dydz xy /2 /2- zdydz h h xy /2 /2- zdydz h h x /2 /2- zdxdz h h yx /2 /2- zdxdz h h y /2 /2- zdzdy h h x x M /2 /2- zdzdx h h y y M /2 /2- zdzdy h h xy xy M /2 /2- zdzdx h h yx yx M 扭矩扭矩 弯矩弯矩 2) 薄板内力薄板内力 微元体如图所示。
5、微元体如图所示。 由图可得由图可得 5.1 弹性薄板基本知识弹性薄板基本知识 由此可得薄板单位长度内力为由此可得薄板单位长度内力为Mx、My、Mxy= Myx (dx=dy=1)，依此顺序排列的列阵称内力矩阵，记作，依此顺序排列的列阵称内力矩阵，记作 M。 将应力应变关系代入并对将应力应变关系代入并对z进行积分，可得进行积分，可得 M=D 式中式中 D=（h3/12）D 称作薄板的弹性矩阵。称作薄板的弹性矩阵。 3) 薄板的应变能薄板的应变能 A A /h /h V MD DU dA 2 1 dA 2 1 dzdA 2 1 dv 2 1 TT 2 2 TT 5.1 弹性薄板基本知识弹性薄板基本
6、知识 4) 薄板的总势能薄板的总势能 设薄板受设薄板受z方向分布荷载方向分布荷载q(x)作用，则线弹性薄板的作用，则线弹性薄板的 总势能为总势能为 AA AA wqM wqD y)dA(x,y)(x,-dA 2 1 y)dA(x,y)(x,-dA 2 1 T T 上式就是下面作有限元分析的理论依据。上式就是下面作有限元分析的理论依据。 能写出各向同性弹性体的能写出各向同性弹性体的D矩阵吗矩阵吗? 能写出正交各向异性弹性体的能写出正交各向异性弹性体的D矩阵吗矩阵吗? 5.2 弹性薄板矩形（弹性薄板矩形（R12）单元）单元 5.2.1 薄板单元位移模式薄板单元位移模式 设局部编号设局部编号1、2、
7、3、4，x 、 y方向长度分别为方向长度分别为2a、2b的矩的矩 形板单元如图所示。形板单元如图所示。 x y z w3 y3 x3 Q1 My1 Mx1 1 2 4 3 1) 结点位移和结点力矩阵结点位移和结点力矩阵 T yixiii wd T yixiii MMQF T T 4 T 3 T 2 T 1 ddddd e T T 4 T 3 T 2 T 1 FFFFF e 图中还给出了各结点位移和结图中还给出了各结点位移和结 点力的示意图。点力的示意图。 x w ; y w yx 5.2 弹性薄板矩形（弹性薄板矩形（R12）单元）单元 2) 形函数的确定形函数的确定 薄板的形函数可以用广义坐薄
8、板的形函数可以用广义坐 标法，也可以用试凑法得到。标法，也可以用试凑法得到。 由于单元自由度为由于单元自由度为12，因此可，因此可 有有12个广义坐标，位移模式可个广义坐标，位移模式可 设为如下不完全四次多项式设为如下不完全四次多项式 x y z w3 y3 x3 Q1 My1 Mx1 1 2 4 3 利用利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形个结点位移条件，由广义坐标法可建立形 函数，显然十分麻烦。龙驭球提出函数，显然十分麻烦。龙驭球提出利用对称性较直接利用对称性较直接 广义坐标法要容易一些，也还有很大工作量。广义坐标法要容易一些，也还有很大工作量。 为此介绍试凑法为此介绍试凑法,首先
9、引入自然坐标首先引入自然坐标 =x/a， =y/b。 3 12 3 11 3 10 2 9 2 8 3 7 2 65 2 4321 xyayxayaxyayxa xayaxyaxayaxaaw ？ 5.2 弹性薄板矩形（弹性薄板矩形（R12）单元）单元 2-1) 试凑形函数试凑形函数N1 由形函数性质，对由形函数性质，对N1有有: N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4 N1对对x，y的偏导数在结点处均的偏导数在结点处均 为零。为零。 x y z w3 y3 x3 Q1 My1 Mx1 1 2 4 3 利用所有点利用所有点N1的导数为零条件，的导数为零条件，P.125 经式经式(c)(
10、l) 的推导，可得的推导，可得 )(1)(1( 22 1 edcbaN 考虑到挠度是非完全四此式，为考虑到挠度是非完全四此式，为 使自动满足它点为零使自动满足它点为零N1(j)=0 ，可设，可设 )-2)(1)(1( 22 1 dN 再由本点处位移的条件，可得再由本点处位移的条件，可得d=-1/8，由此，由此 )/8-2)(1)(1( 22 1 N 5.2 弹性薄板矩形（弹性薄板矩形（R12）单元）单元 2-2) 其他形函数其他形函数Nj、 、Nix 、Niy 记记 0 = i ； 0= i 仿仿N1可得可得: x y z w3 y3 x3 Q1 My1 Mx1 1 2 4 3 )/8-1)(
11、1)(1( 2 00 ixi bN 对于转角对于转角 xi相关的形函数，同样思路推导可得相关的形函数，同样思路推导可得 )/82( )1)(1( 22 00 00 i N )/8-1)(1)(1( 2 00 iyi aN 对于转角对于转角 yi相关的形函数，可推导得相关的形函数，可推导得 5.2 弹性薄板矩形（弹性薄板矩形（R12）单元）单元 3) 薄板的挠度场薄板的挠度场 有了每一结点的形函数，记有了每一结点的形函数，记 x y z w3 y3 x3 Q1 My1 Mx1 1 2 4 3 e i ii dNdNw 4 1 则薄板的挠度场可由结点位移表示为则薄板的挠度场可由结点位移表示为 yi
12、xiii NNNN 4) 单元间位移的协调性单元间位移的协调性 可以证明，上述可以证明，上述w在边线上任意一点的挠度和转角在边线上任意一点的挠度和转角 都是三次多项式。都是三次多项式。 41 NNN 5.2 弹性薄板矩形（弹性薄板矩形（R12）单元）单元 因此，边线的挠度和转角可因此，边线的挠度和转角可 由两端点的挠度和沿边线导数由两端点的挠度和沿边线导数 对应的转角唯一地确定。对应的转角唯一地确定。 但是，边界法向转角只有两但是，边界法向转角只有两 端两个法向转角位移条件，当端两个法向转角位移条件，当 然无法唯一地确定，所以相邻然无法唯一地确定，所以相邻 单元法向转角位移不协调。单元法向转角
13、位移不协调。 x y z w3 y3 x3 Q1 My1 Mx1 1 2 4 3 e i ii dNdNw 4 1 由此可见，由形函数所建立的挠度场由此可见，由形函数所建立的挠度场 是非完全协调的。（教材上有更严密的数学证明）是非完全协调的。（教材上有更严密的数学证明） 5.2 弹性薄板矩形（弹性薄板矩形（R12）单元）单元 5) 非完全协调元的收敛性非完全协调元的收敛性 e i ii dNdNw 4 1 对于薄板等位移场非完全协调的位移模式对于薄板等位移场非完全协调的位移模式,如何才如何才 能保证收敛呢能保证收敛呢? Irons 给出了小片检验准则：给出了小片检验准则： 用待检验的单元组成一
14、小片，在无荷载、单元结用待检验的单元组成一小片，在无荷载、单元结 点位移满足“常应变”状态位移条件时，如果各结点位移满足“常应变”状态位移条件时，如果各结 点能够保持平衡且获得“常应力”受力状态，则这点能够保持平衡且获得“常应力”受力状态，则这 种位移模式对应的单元在如此网格下一定收敛。种位移模式对应的单元在如此网格下一定收敛。 P.127 给出了具体检验的方法、步骤，请自学。给出了具体检验的方法、步骤，请自学。 5.2 弹性薄板矩形（弹性薄板矩形（R12）单元）单元 5.2.2 薄板的单元列式薄板的单元列式 x y z w3 y3 x3 Q1 My1 Mx1 1 2 4 3 1) 总势能用结
15、点位移表示总势能用结点位移表示 4321 BBBBB 将位移模式代入可得形变矩阵为将位移模式代入可得形变矩阵为 T 2 2 2 2 2 2 xy w ; y w ; x w 在在5.1中已导出中已导出 ee dBdN xy ; y ; x T 2 2 2 2 2 2 e AA e dNqBDB d dA)y)(x,-dA 2 ( T T 5.2 弹性薄板矩形（弹性薄板矩形（R12）单元）单元 2) 薄板单元刚度方程薄板单元刚度方程 式中式中 eee PFdk 由总势能的一阶变分为零可得由总势能的一阶变分为零可得 A e BDBkdA T A e yxqNP)dA,( T N xy ; y ;
16、x B T 2 2 2 2 2 2 5.3 薄板分析程序的使用薄板分析程序的使用 基本数据基本数据 NF,NE,NN,MB,ND,LE,LS,NH,NL,E,UM,T NF = 结点位移数结点位移数 NE =单元结点数单元结点数 NN = 总结点数总结点数 MB =半带宽数半带宽数 ND = 零位移码总数零位移码总数 LE =单元数单元数 LS = 结点坐标数结点坐标数 NH = 规则网格标志规则网格标志 ( 0 规则规则) NL = 荷载标志荷载标志 ( 0 - q , 1 - P ) E = 杨氏弹性模量杨氏弹性模量 UM =泊桑比泊桑比 T = 厚度厚度 5.3 薄板分析程序的使用薄板分
17、析程序的使用 结点坐标结点坐标 IF (NH = 0) THEN READ (8,*) MX,MY,XL,YL ELSE READ (8,*) (XY(I,J),I=1,2),J=1,NN) END IF 单元结点编码信息单元结点编码信息 IF (NH /= 0) THEN READ (8,*) (NX(I,J),I=1,4),J=1,LE) END IF 荷载信息荷载信息 IF (NL = 0) THEN READ (8,*) QQ ! 均布荷载集度均布荷载集度 ELSE DO READ (8,*) IPOIN,VALUE ! 集中力作用情况：读作用点号和力值集中力作用情况：读作用点号和力值
18、 IF (IPOIN 0) EXIT ! IPOIN = 负数用来结束读入负数用来结束读入 END DO END IF 5.3 薄板分析程序的使用薄板分析程序的使用 约束信息约束信息: READ (8,*) (MC(I),I=1,ND) 运行运行Tpf程序程序 5.3 薄板分析程序的使用薄板分析程序的使用 3,4,25,21,17,16,2,0,0,2.55e7,0.167,0.2 4,4,1.,1. 20. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,61,73 x y z 5.4 矩形平板壳体单元矩形平板壳体单元 壳体一般其中面都是曲面，对于柱面壳体，可以壳体一
19、般其中面都是曲面，对于柱面壳体，可以 用一系列小的矩形平板来逼近它。此外还有一些折板用一系列小的矩形平板来逼近它。此外还有一些折板 结构，它们都可以用平板壳元来分析。结构，它们都可以用平板壳元来分析。 柱壳柱壳 折板结构折板结构 5.4.1 平板壳体单元刚度方程平板壳体单元刚度方程 壳体结构象拱一样，中面既受壳体结构象拱一样，中面既受 面内力作用产生面内变形外，还面内力作用产生面内变形外，还 将象板一样产生弯曲。但由于弯将象板一样产生弯曲。但由于弯 曲中面无变形，面内变形又不产曲中面无变形，面内变形又不产 生弯曲，两者互不藕联。因此，生弯曲，两者互不藕联。因此， 可以象杆件单元一样，用平面应可
20、以象杆件单元一样，用平面应 力和平板弯曲组合来得到壳体单力和平板弯曲组合来得到壳体单 元刚度方程。元刚度方程。 5.4 矩形平板壳体单元矩形平板壳体单元 5.4.2 坐标转化问题坐标转化问题 平面问题（除等参元外）和平板平面问题（除等参元外）和平板 弯曲问题单元局部坐标和整体坐标弯曲问题单元局部坐标和整体坐标 一致，因此没有坐标转换问题。如一致，因此没有坐标转换问题。如 图示意，各平板壳元局部坐标可能图示意，各平板壳元局部坐标可能 不同，所以集装前要做坐标转换。不同，所以集装前要做坐标转换。 x z y 3 2 取母线为局部取母线为局部x 如图由如图由1、4点的坐标，可以确定局部坐标点的坐标，
21、可以确定局部坐标y的单位的单位 向量，局部坐标向量，局部坐标x单位向量已知，由这两单位向量的单位向量已知，由这两单位向量的 向量积就可获得局部向量积就可获得局部z坐标单位向量。坐标单位向量。 按上述思路，在按上述思路，在 P. 164165 建立了各单位向量的建立了各单位向量的 方向余弦，由此即可获得坐标转换矩阵方向余弦，由此即可获得坐标转换矩阵T。 1 4 5.5 平板壳体程序的使用平板壳体程序的使用 基本数据基本数据 NF,NE,NN,MB,ND,LE,LS,NH,NL,E,UM,T NF = 结点位移数结点位移数 NE =单元结点数单元结点数 NN = 总结点数总结点数 MB =半带宽数
22、半带宽数 ND = 零位移码总数零位移码总数 LE =单元数单元数 LS = 结点坐标数结点坐标数 NH = 规则网格标志规则网格标志 ( 0 规则规则) NL = 荷载标志荷载标志 ( 0 - q , 1 - P ) E = 杨氏弹性模量杨氏弹性模量 UM =泊桑比泊桑比 T = 厚度厚度 CAHS=圆心角圆心角 R = 半径半径 结点坐标结点坐标 IF (NH = 0) THEN READ (8,*) MX,MY,XL,YL ELSE READ (8,*) (XY(I,J),I=1,2),J=1,NN) END IF 单元结点编码信息单元结点编码信息 IF (NH /= 0) THEN R
23、EAD (8,*) (NX(I,J),I=1,4),J=1,LE) END IF 5.5 平板壳体程序的使用平板壳体程序的使用 荷载信息荷载信息 IF (NL = 0) THEN READ (8,*) QQ ! 均布荷载集度均布荷载集度 ELSE DO READ (8,*) IPOIN,VALUE ! 集中力作用情况：读作用点号和力值集中力作用情况：读作用点号和力值 IF (IPOIN 0) EXIT ! IPOIN = 负数用来结束读入负数用来结束读入 END DO END IF 约束信息约束信息: READ (8,*) (MC(I),I=1,ND) 5.5 平板壳体程序的使用平板壳体程序的
24、使用 5.5 平板壳体程序的使用平板壳体程序的使用 对称边对称边 简支边简支边 自由边自由边 1/4圆柱壳圆柱壳 运行运行PMQY程序程序 6,4,30,42,35,20,3,0,0,200.,0.0,8.,0.698,800 4,5,139.6,150. 0.00004 1,2,4,5,8,10,14,16,20,22,26,28,31,35,61 65,91,95,121,125,151,153,155,157,159,161 163,165,167,169,171,173,175,177,179 5.6 计算结构力学基础结束语计算结构力学基础结束语 计算结构力学内容非常丰富，作为本科学习
25、阶段，计算结构力学内容非常丰富，作为本科学习阶段， 希望通过学习能了解用有限元分析问题的基本思想、希望通过学习能了解用有限元分析问题的基本思想、 基本方法，并初步了解有限元程序的基本结构。基本方法，并初步了解有限元程序的基本结构。 在初步了解原理的基础上，希望能利用程序分析在初步了解原理的基础上，希望能利用程序分析 工程结构问题，并从计算分析中总结和归纳一些有用工程结构问题，并从计算分析中总结和归纳一些有用 的结论。的结论。 所介绍的这些内容，当然是最最基本的。但是，所介绍的这些内容，当然是最最基本的。但是， 如果真的掌握了这些知识，也是有条件在此基础上自如果真的掌握了这些知识，也是有条件在此基础上自 学更深入的有限元内容的。当然，这还是要一步步地学更深入的有限元内容的。当然，这还是要一步步地 逐渐加深加宽，马上看最新研究内容，知识储备还是逐渐加深加宽，马上看最新研究内容，知识储备还是 不够的。不够的。 希望通过这一部分学习对大家有所帮助！希望通过这一部分学习对大家有所帮助！
