1、Optical Information Processing光学信息处理光学信息处理授课教师：胡慧芳授课教师：胡慧芳前前 沿沿 光学信息处理是激光器问世后发展起来的一个研究光学信息处理是激光器问世后发展起来的一个研究新方向，现代信息处理技术中一个重要组成部分，新方向，现代信息处理技术中一个重要组成部分，在现代光学中占有很重要的地位。在现代光学中占有很重要的地位。光是一种具有电磁波性质的物质。不同的光波对于光是一种具有电磁波性质的物质。不同的光波对于不同的介质会表现出不同的传输性质。不同的介质会表现出不同的传输性质。光通过不同的光学系统时，可以实现自由传输、成光通过不同的光学系统时，可以实现自由
2、传输、成像、衍射、干涉、色散频率变换等功能。像、衍射、干涉、色散频率变换等功能。“信息信息”是通信科学中早就采用的术语，这个观点是通信科学中早就采用的术语，这个观点也适用于光学。也适用于光学。如一幅图像实际上是一种二维空间的光强或光场分如一幅图像实际上是一种二维空间的光强或光场分布，它可以看作携带着信息的光强或光场随空间变布，它可以看作携带着信息的光强或光场随空间变化的序列，称为光学信息。化的序列，称为光学信息。光学信息可以是一维、二维或三维的空间性的信息。光学信息可以是一维、二维或三维的空间性的信息。将通过光学系统的光波称为光学信号，光波通过系将通过光学系统的光波称为光学信号，光波通过系统的
3、过程看作是系统对信号的处理。通过系统之前统的过程看作是系统对信号的处理。通过系统之前的光波称为输入信号或输入光波，通过系统后的光的光波称为输入信号或输入光波，通过系统后的光波称为输出信号或输出光波。波称为输出信号或输出光波。作为电磁波，光学信号是随时间和空间而变化的，作为电磁波，光学信号是随时间和空间而变化的，由于光波的时间频率极高，通常只能检测到它的时由于光波的时间频率极高，通常只能检测到它的时间平均效果。间平均效果。需要把对光学信号的研究转变为需要把对光学信号的研究转变为空间分布空间分布问题进行。问题进行。对光学信号空间分布的研究，往往是通过对一个截对光学信号空间分布的研究，往往是通过对一
4、个截平面内光学信号分布的研究为基础进行的，因此我平面内光学信号分布的研究为基础进行的，因此我们通常把光学信号表示为一个二维分布的空间信号。们通常把光学信号表示为一个二维分布的空间信号。输入信号所在的平面称为输入面，输出信号所在的输入信号所在的平面称为输入面，输出信号所在的平面称为输出面。平面称为输出面。什么是光学信息处理？什么是光学信息处理？用光学的方法实现对输入信息的各种变换或处理。它用光学的方法实现对输入信息的各种变换或处理。它以全息术、光学传递函数和激光技术为基础。透镜的以全息术、光学传递函数和激光技术为基础。透镜的傅里叶变换效应傅里叶变换效应是光学信息处理的理论核心。是光学信息处理的理
5、论核心。光学信息处理具有的特点：光学信息处理具有的特点：高度并行性高度并行性 大容量大容量 小尺寸小尺寸 等。等。光学信息处理的概念光学信息处理的概念光学信息：是指光的强度光学信息：是指光的强度(或振幅或振幅)、相位、颜色、相位、颜色(波长波长)和和偏振态等。偏振态等。光学信息处理：基于光学频谱分析，利用傅里叶综合技光学信息处理：基于光学频谱分析，利用傅里叶综合技术，通过空域或频域调制，借助空间滤波技术对光学术，通过空域或频域调制，借助空间滤波技术对光学信息进行处理的过程。信息进行处理的过程。光学信息处理的研究对象：光学信息处理的研究对象：研究如何对各种光学信息进行综合性的处理。例如研究如何对
6、各种光学信息进行综合性的处理。例如各种光学运算（加、减、乘、除、相关、卷积、微各种光学运算（加、减、乘、除、相关、卷积、微分、矩阵相乘、逻辑运算等）；光学信息的抽取、分、矩阵相乘、逻辑运算等）；光学信息的抽取、编码、存储、增强、去模糊、特征识别；各种光学编码、存储、增强、去模糊、特征识别；各种光学变换（傅里叶变换、对数变换、梅林变换、拉普拉变换（傅里叶变换、对数变换、梅林变换、拉普拉斯变换）等。有时光学信息处理也称为光学数据处斯变换）等。有时光学信息处理也称为光学数据处理，它的发展远景是理，它的发展远景是“光计算光计算”。光学信息处理主要包括：光学信息处理主要包括：信息传递、信息存储和信号处理
7、，信息传递、信息存储和信号处理，而透镜的傅里叶而透镜的傅里叶变换效应则构成了光学信息处理的理论框架。变换效应则构成了光学信息处理的理论框架。光学信息处理分类光学信息处理分类 按处理的性质可分为：按处理的性质可分为：线性处理；非线性处理线性处理；非线性处理线性处理：系统对多个输入之和的响应（即输出）等于各单独输线性处理：系统对多个输入之和的响应（即输出）等于各单独输入时的响应（输出）之和。入时的响应（输出）之和。在许多情况下，介质对光波产生的影响是线性的，如一个光学成在许多情况下，介质对光波产生的影响是线性的，如一个光学成像系统就是典型的线性系统。像系统就是典型的线性系统。在相干光照明时，光学透
8、镜所具有的傅里叶变换性质也是一种线在相干光照明时，光学透镜所具有的傅里叶变换性质也是一种线性的性质。性的性质。按所用光的相干性可分为：按所用光的相干性可分为：相干、非相干和部分相干处理。相干、非相干和部分相干处理。线性系统线性系统输入信号是若干输入光波的线性组合，系统对这个线性组合信输入信号是若干输入光波的线性组合，系统对这个线性组合信号的总输出等于各光波单独输入的输出光波的线性组合，而且这号的总输出等于各光波单独输入的输出光波的线性组合，而且这个信号的线性组合与输入信号的组合形式完全相同，则这个系统个信号的线性组合与输入信号的组合形式完全相同，则这个系统满足线性叠加原理，称之为满足线性叠加原
9、理，称之为线性系统线性系统。平移不变系统平移不变系统 输入信号产生了一个平移，系统在输入信号平移前后输入信号产生了一个平移，系统在输入信号平移前后输出信号的唯一差别也只是产生平移，这样的系统叫输出信号的唯一差别也只是产生平移，这样的系统叫平移不变系统平移不变系统。平移不变系统不改变输出信号的图形分布，只是平移平移不变系统不改变输出信号的图形分布，只是平移前后的输出图形整体产生了一个平行的位置变化。前后的输出图形整体产生了一个平行的位置变化。线性平移不变系统线性平移不变系统 同时具有线性性质和平移不变性质的系统称为线性平同时具有线性性质和平移不变性质的系统称为线性平移不变系统。移不变系统。特点特
10、点：（1）由线性系统的叠加性质，可把复杂的输入信号看由线性系统的叠加性质，可把复杂的输入信号看作是若干简单的基元输入信号的线性组合，每一个基作是若干简单的基元输入信号的线性组合，每一个基元输入信号通过系统后都对应着一个子输出信号，总元输入信号通过系统后都对应着一个子输出信号，总的输出信号是这些子输出信号的线性组合的输出信号是这些子输出信号的线性组合，而且组合而且组合的关系与基元输入信号的组合关系是完全相同的。的关系与基元输入信号的组合关系是完全相同的。（2）由系统的平移不变性质，若输入信号只是处于输入由系统的平移不变性质，若输入信号只是处于输入平面内不同位置的同一种形式的基元信号，那么输出平面
11、内不同位置的同一种形式的基元信号，那么输出信号也将只有一种形式的信号，而这些基元输入信号信号也将只有一种形式的信号，而这些基元输入信号与对应的子输出信号之间存在一一对应的平移关系。与对应的子输出信号之间存在一一对应的平移关系。常见的基元输入信号表达方式：常见的基元输入信号表达方式：冲激信号冲激信号、单色平面波信号单色平面波信号。冲激信号代表处于不同位置的单色点光源；冲激信号代表处于不同位置的单色点光源；单色平面波代表沿不同方向传播的平面波。单色平面波代表沿不同方向传播的平面波。数学表达式：数学表达式：二维冲激函数二维冲激函数、二维复指数函数二维复指数函数。这两种函数既能够表达信号的物理意义，又
12、能够表达这两种函数既能够表达信号的物理意义，又能够表达线性平移不变系统的传输特性，同时也是进行系统及线性平移不变系统的传输特性，同时也是进行系统及信号分析、信号处理以及实际应用中的重要工具。信号分析、信号处理以及实际应用中的重要工具。二维冲激函数和二维复指数函数是从两个不同的侧面二维冲激函数和二维复指数函数是从两个不同的侧面来描述透镜与信号之间的关系，即以不同的角度和方来描述透镜与信号之间的关系，即以不同的角度和方式描述同一物理过程。式描述同一物理过程。输入光信号被看做不同位置二维冲激函数（点光源）输入光信号被看做不同位置二维冲激函数（点光源）的线性组合，线性组合的系数是对应位置处信号的值。的
13、线性组合，线性组合的系数是对应位置处信号的值。以二维冲激函数作为基函数时，描述的是信号直观空以二维冲激函数作为基函数时，描述的是信号直观空间分布特性，称为空域分析法。间分布特性，称为空域分析法。沿不同方向传输的平面波代表着光学信号在该方向的沿不同方向传输的平面波代表着光学信号在该方向的空间频率，沿用光谱和频谱分析的习惯，把沿某一方空间频率，沿用光谱和频谱分析的习惯，把沿某一方向传输的单色平面波称为沿该方向的角谱。向传输的单色平面波称为沿该方向的角谱。以二维复指数函数作为基函数时，描述的是信号的频以二维复指数函数作为基函数时，描述的是信号的频域分布特性，称为频域分析法。域分布特性，称为频域分析法
14、。信号的空域分布和频域分布是对于同一个信号的空域分布和频域分布是对于同一个信号不同方式的描述，二者之间必然存在信号不同方式的描述，二者之间必然存在一定的联系，一定的联系，傅里叶分析就是建立这种联系的数学工具傅里叶分析就是建立这种联系的数学工具 知道了光学信号的空域分布，就可以通过知道了光学信号的空域分布，就可以通过傅里叶分析得到它的频域分布。反之，知傅里叶分析得到它的频域分布。反之，知道了光学信号的频域分布，也可以通过傅道了光学信号的频域分布，也可以通过傅里叶分析得到它的空域分布。里叶分析得到它的空域分布。光学信息处理技术发展过程光学信息处理技术发展过程 著名德国科学家阿贝著名德国科学家阿贝(
15、E.Abbe，18401905)，18731873年年提出了二次成像理论及其相应的实验，为光学信息提出了二次成像理论及其相应的实验，为光学信息处理打下了一定的理论基础，是空间滤波与光学信处理打下了一定的理论基础，是空间滤波与光学信息处理的先导。息处理的先导。1935年，物理学家策尼克年，物理学家策尼克 (F.Zernike,18881966)发明了相衬显微镜，将相位分布转化为强度分布，发明了相衬显微镜，将相位分布转化为强度分布，成功地育接观察到微小的相位物体成功地育接观察到微小的相位物体细菌，用光细菌，用光学方法实现了图像处理，解决了由于染色而导致细学方法实现了图像处理，解决了由于染色而导致细
16、菌大量死亡的问题。策尼克由此荣获了菌大量死亡的问题。策尼克由此荣获了1953年度的年度的诺贝尔物理学奖。诺贝尔物理学奖。1946年，法国科学家杜费年，法国科学家杜费 (P.M.Duffieux,1891 1979)把光学成像系统看作线性滤波器，采用把光学成像系统看作线性滤波器，采用傅里叶傅里叶方法成功地分析了成像过程，发表了他的名著方法成功地分析了成像过程，发表了他的名著傅傅 里叶变换及其在光学中的应用里叶变换及其在光学中的应用。艾里斯艾里斯(P.Elias)等人的经典论文等人的经典论文光学与通信理论光学与通信理论、光学处理的傅里叶方法光学处理的傅里叶方法以及奥尼尔以及奥尼尔(E.L.ONei
17、l)的论文的论文光学中的空间滤波光学中的空间滤波相继发表，为光学信息相继发表，为光学信息处理提供了有力的数学工具，并为光学与通信科学的处理提供了有力的数学工具，并为光学与通信科学的结合奠定了基础。结合奠定了基础。1963年，范德拉格特年，范德拉格特(A.Vander Lugt)提出了复数空提出了复数空间滤波的概念，使光学信息处理进入了一个广泛应用间滤波的概念，使光学信息处理进入了一个广泛应用的新阶段。的新阶段。20世纪世纪80年代以后，随着高新技术的蓬勃兴起，光学年代以后，随着高新技术的蓬勃兴起，光学信息处理技术发展很快。信息处理技术发展很快。参考书籍参考书籍 近代光学信息处理近代光学信息处理
18、 宋菲君，北京大学出宋菲君，北京大学出版社版社 光信息科学与技术应用光信息科学与技术应用，郑光昭，电子郑光昭，电子工业大学出版社工业大学出版社 信息光学，苏显渝信息光学，苏显渝，科学出版社，科学出版社 光学信息技术及应用，陈家璧等光学信息技术及应用，陈家璧等，高等，高等教育出版社教育出版社 傅立叶光学，吕乃光，傅立叶光学，吕乃光，机械出版社机械出版社第一章第一章 傅里叶变换的数理基础傅里叶变换的数理基础1.1 常用的几种非初等函数常用的几种非初等函数 在光学信号处理中，有一些广泛使用的描述信号和系统的常在光学信号处理中，有一些广泛使用的描述信号和系统的常用数学函数，其中的一些函数还是非初等的特
19、殊函数和特殊用数学函数，其中的一些函数还是非初等的特殊函数和特殊函数。函数。基本初等函数基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数反三角函数 初等函数初等函数：在自变量的定义域内，能用单一解析式对上述五在自变量的定义域内，能用单一解析式对上述五种基本初等函数进行有限次数的四则运算和复合所构成的函种基本初等函数进行有限次数的四则运算和复合所构成的函数。数。非初等函数非初等函数:在自变量的定义域中，不能用单一解析式表示的函数。在自变量的定义域中，不能用单一解析式表示的函数。在现代光学中，常用这些非初等函数和特殊函数来描述光场在现代光学中，常
20、用这些非初等函数和特殊函数来描述光场的分布的分布。1.1.1 矩形函数矩形函数（Rectangle Function）定义：宽度为定义：宽度为a(a0),中心在中心在x0的一维矩形函数为的一维矩形函数为 用用x代表时间变量时，用该函数描代表时间变量时，用该函数描 述照相机的快门，这时述照相机的快门，这时a表示曝光表示曝光 时间；时间；用用x代表空间变量时，用该函数描代表空间变量时，用该函数描 述空间域中无限大不透明屏上一个述空间域中无限大不透明屏上一个 宽度为宽度为a的狭（单）缝的透过率。的狭（单）缝的透过率。（1-1-1）axx0recta0其他,021,1rect00axxaxx 若令若令
21、x0=0，有，有 这是以坐标原点为中心，宽度为这是以坐标原点为中心，宽度为a高为高为1的矩形的矩形。当当x0=0，a1时，有时，有 这是一个偶函数这是一个偶函数。一维矩形函数常表示一维透光缝等，一维矩形函数常表示一维透光缝等，故也称为门函数故也称为门函数（Gating Function）。）。（1-1-2）其他,021,1rectaxax 11 2rect0 xx其它（1-1-2）-a/2a/201rect(x/a)二维矩形函数为两个一维矩形函数的乘积二维矩形函数为两个一维矩形函数的乘积其中其中a0,b0。该函数在该函数在xoy平面上以平面上以（x0，y0）为中心的为中心的ab矩形区域内函数值
22、为矩形区域内函数值为1，其他地方处处等于，其他地方处处等于0。其他,021,21,1rectrect0000byyaxxbyyaxx（1-1-3）令x0=0，y0=0，则表示 xoy 平面上以原点为中心的ab矩形区域内函数值为l，其他地方处处等于0。二维矩形函数可用来描述无限大不透明屏上矩形孔的透过率（b图）。（a）（b）其他,021,21,1rectrectbyaxbyax（1-1-4）用二维矩形函数与某函数（或图像）相乘，可以截取出矩形孔范围内的函数值，其他位置处赋予零值。二维矩形函数与某函数相乘后，可限制该函数二维矩形函数与某函数相乘后，可限制该函数自变量的取值范围，起到截取函数的作用。
23、自变量的取值范围，起到截取函数的作用。（a）I(x,y)(b)(c)byyaxx00rectrect byyrectaxxrecty,xI001.1.2 sinc(x)函数函数定义：一维一维 sinc 函数为：函数为：该函数在原点处有最大值该函数在原点处有最大值1,在在 处的处的 值等于值等于0;原点两侧第一级零点之间的原点两侧第一级零点之间的 宽度宽度(sinc函数的主瓣宽度函数的主瓣宽度）为为2a，且它的面积等于且它的面积等于a。（1-1-5）axaxaxsinsinca 0,3,2,1nanx 二维二维sinc函数函数定义：二维定义：二维sinc函数为：函数为：式中式中 a0,b0 这是
24、两个一维这是两个一维sinc函数的乘积，函数的乘积，零点位置在零点位置在 ，m，n均均为正整数。为正整数。一维一维sinc函数表示单缝的夫琅和函数表示单缝的夫琅和费衍射的振幅分布；费衍射的振幅分布；二维二维sinc函数可以表示矩孔的夫函数可以表示矩孔的夫琅和费衍射的振幅分布，其平方琅和费衍射的振幅分布，其平方表示衍射的光强分布图样表示衍射的光强分布图样。（1-1-6）nb,ma 二维二维sinc函数的平方值分布图函数的平方值分布图 rect(x)和和sinc(x)函数关系：函数关系：sinc(x)图形是矩形函数的傅里叶变换。图形是矩形函数的傅里叶变换。1.1.3 阶跃函数（阶跃函数（Step
25、Function）定义：定义：一维阶跃函数为：一维阶跃函数为：（1-1-7）将一维阶跃函数与某函数相乘时（将一维阶跃函数与某函数相乘时（a0）在在x0的部分，乘积等于该函数值；的部分，乘积等于该函数值；在在x0 二维三角形函数定义为：二维三角形函数定义为：其中其中a0,b0 该函数可视为两个一维三角形函数的乘积该函数可视为两个一维三角形函数的乘积 在光学成像中在光学成像中 二维三角形函数可用来表二维三角形函数可用来表 示一个光瞳为矩形的非相示一个光瞳为矩形的非相 干成像系统的光学传递函干成像系统的光学传递函 数。数。其他，0111,byaxbyaxbyaxbyax（1-1-12）中心在原点的二
26、维三角函数中心在原点的二维三角函数 三角函数也具有曲线下面积等于三角函数也具有曲线下面积等于1的性质，即的性质，即满足满足 1.1.6 高斯函数高斯函数(Gaussian Function)一维高斯函数定义为一维高斯函数定义为式中式中a0 称为高斯函数半径称为高斯函数半径当 时，函数值变为时，函数值变为1/e。（1-1-13）22ax2eeGaussaxaxax a 二维高斯函数定义为：二维高斯函数定义为：式中，式中，a0,b0函数曲线下的体积等于函数曲线下的体积等于ab。（1-1-14）中心在原点的一维高斯函数中心在原点的一维高斯函数 中心在原点的二维高斯函数中心在原点的二维高斯函数 若若a
27、bl，则二维高斯函数可表示成：，则二维高斯函数可表示成：若用极坐标表示，则令若用极坐标表示，则令 ，便有，便有 高斯函数的重要性质：高斯函数的重要性质：光滑函数，其各阶导数都是连续的。光滑函数，其各阶导数都是连续的。傅里叶变换也是高斯函数。傅里叶变换也是高斯函数。高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束，高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束，也用于光学信息处理中的也用于光学信息处理中的“切趾术切趾术”。（1-1-15）（1-1-16）1.1.7 圆域函数圆域函数(Circle Function)在直角坐标系中：在直角坐标系中：在极坐标系中：在极坐标系中：定义圆域函数为定义圆域函数为 圆域函数可
28、用来描述无限大不透明圆域函数可用来描述无限大不透明屏上圆孔的透过率屏上圆孔的透过率。（1-1-17）练习：画出：练习：画出：Step(x-2)/-1);bsinc(x-x0)/a);sgn(x+1)/-1)的图形。的图形。解答解答：1.1.8 狄拉克狄拉克 函数（冲激函数）函数（冲激函数）一、一、函数的定义函数的定义 定义定义1(积分表达式积分表达式)：该定义表明该定义表明函数不是普通的函数，它不像普通函数函数不是普通的函数，它不像普通函数那样全由数值对应关系确定。实际上，那样全由数值对应关系确定。实际上，函数是一个函数是一个广义函数，其属性完全由它在积分中的作用表现出广义函数，其属性完全由它
29、在积分中的作用表现出来。来。从应用角度看，可以把从应用角度看，可以把函数与普通函数联系起来，函数与普通函数联系起来，用普通函数描述它的性质。用普通函数描述它的性质。10000000ydxdyy,xxyy,xxyy,xx其他（1-1-18）定义定义2(函数序列表达式函数序列表达式)：若存在函数序列若存在函数序列fN(x，y)，且满足条件：，且满足条件：函数可以用一个函数序列函数可以用一个函数序列fN(x，y)的极限来表的极限来表示。示。fN(x，y)的具体形式可以是多种多样的。的具体形式可以是多种多样的。1000ydxdy,xflimy,xy,xflimNNNN其他（1-1-19）则则yxfyx
30、NN,lim,（1-1-20）几种表示几种表示函数的函数序列及其极限函数的函数序列及其极限举例：分析表中前两种表示举例：分析表中前两种表示函数的函数序列函函数的函数序列函数序列。数序列。（1）分析函数序列分析函数序列 当当N 逐渐增大时的情况。逐渐增大时的情况。利用矩形函数可将利用矩形函数可将函数函数定义定义为为:xNNxNrectlim xNrectNxfN43214321NNNN,N,N,N,NN矩形脉冲序列矩形脉冲序列（2）利用类似的方法分析函数序列：利用类似的方法分析函数序列：当当N 逐渐增大时的情况。逐渐增大时的情况。利用高斯函数可将利用高斯函数可将函数函数定义定义为为:同样，可得出
31、同样，可得出函数的以下函数的以下表达式：表达式：22-explim,xNNyxN 22xN-expNxfN321321NNN,N,N,NN高斯脉冲序列高斯脉冲序列 xNNxNsinclim 可简单地用下图所示的一个箭头表示可简单地用下图所示的一个箭头表示函数：函数：二维二维函数是一维函数是一维函数的简单函数的简单推广推广。（a）一维情形一维情形（b）二维情形二维情形 习题：习题：试分别写出右图中所示图试分别写出右图中所示图形的函数表达式形的函数表达式 xxxsinlim二、二、函数的物理意义函数的物理意义函数常用来描述函数常用来描述脉冲状态脉冲状态这样一类物理现象：这样一类物理现象：时间变量的
32、时间变量的 函数描写单位能量的瞬间电脉函数描写单位能量的瞬间电脉冲；冲；空间变量的空间变量的函数可以描写：函数可以描写：单位质量的质点的质量密度，单位质量的质点的质量密度，单位电量的点电荷的电荷密度，单位电量的点电荷的电荷密度，单位光通量的点光源的面发光度等单位光通量的点光源的面发光度等。举例：考察平行光束通过透镜后会聚于焦点时考察平行光束通过透镜后会聚于焦点时的照度分布。的照度分布。t 设忽略透镜孔径的衍射设忽略透镜孔径的衍射观察屏观察屏P,可可得到一个界限得到一个界限清晰的圆形亮斑。清晰的圆形亮斑。移动屏移动屏P向后焦面趋近，向后焦面趋近，观察：亮斑直径越来越小，观察：亮斑直径越来越小，屏
33、上的照度屏上的照度A(x，y)(单位单位面积所接收的光通量面积所接收的光通量)越来越大。越来越大。极限情况：屏与后焦面完全重合，极限情况：屏与后焦面完全重合，点在焦点处的照度值为无限大点在焦点处的照度值为无限大，在焦点以外为在焦点以外为0。用用函数表示后焦面上的照度分布函数表示后焦面上的照度分布后焦面上的照度分布后焦面上的照度分布A(x，y)满足：满足：若将通过透镜的光通量若将通过透镜的光通量归一化归一化，则后焦面上的，则后焦面上的照度分布可用照度分布可用(x，y)描述。描述。对空间任一点对空间任一点P(ra)处的点光源发出的面发光度处的点光源发出的面发光度La(r)，当包围该点的封闭面无限缩
34、小时，有：，当包围该点的封闭面无限缩小时，有：通过透镜的全部光通量常量ydxdy,xAY,Xy,xy,xA00000（1-1-21）aaaaaaaFSrrFSrLrrFrLdd（1-1-22）Fa 点光源发出的全部光通量点光源发出的全部光通量 在光学中在光学中 用用(x-x0，y-y0)直接表示平面上直接表示平面上(x0，y0)点的点光源；点的点光源；用用(x-x0)表示表示x=x0处的一个线光源处的一个线光源(或无限细的狭缝或无限细的狭缝)三、三、函数的基本性质函数的基本性质1 1筛选特性筛选特性(Sifting Property)若函数若函数f（x,y）在（）在（x0，y0）点连续，则有点
35、连续，则有可把一切函数都分解成可把一切函数都分解成函数的线性组合，而每一个分解函数的线性组合，而每一个分解成的成的函数都产生它自己的脉冲响应。函数都产生它自己的脉冲响应。0000d dfxyxyx yfxy，（1-1-23）2可分离变量可分离变量(Separale Variable)在直角坐标系下，有在直角坐标系下，有 在极坐标系下，有在极坐标系下，有 式中式中r与与r0分别是点分别是点(r,)和点和点(r0,0)的矢径的矢径 0000,yyxxyyxx（1-1-24）20000000,rrrrrr（1-1-25）2000000020200 xyarctanryxr（1-1-26）同时有同时有
36、3与普通函数乘积的性质与普通函数乘积的性质 设函数设函数 f（x,y）在（）在（x0，y0）点连续，则有）点连续，则有 推论：推论：f(x，y)(x，y)f(0，0)(x，y)201010200000drrdrr（1-1-27）000000fxyxxyyfxyxxyy，（1-1-28）(x，y)(x-x 0，y-y0)0 (x00，y00)(x，y)(x，y)无定义 4、坐标缩放性质坐标缩放性质（Scaling）式中，式中，a、b为任意实常数。为任意实常数。推论：推论：函数是偶函数。函数是偶函数。（1-1-29）1axbyxyab，（1-1-30）（1-1-31）（1-1-32）5、积分形式积
37、分形式 式式(1-1-33)表明：表明：函数可以由等振幅的所有函数可以由等振幅的所有频率的正弦波频率的正弦波(余弦函数余弦函数)来合成来合成。6、微分形式微分形式 令令 ，有，有（1-1-33）（1-1-35）（1-1-34）式中，式中，f(x)有界且在有界且在x=0处可微处可微进一步，令进一步，令 ，则对，则对(x)函数函数的的m阶阶导数有：导数有：（1-1-36）（1-1-37）（1-1-38）（1-1-40）（1-1-39）（1-1-41）1.1.9 梳妆函数梳妆函数(Comb Functiou)一维梳妆函数定义一维梳妆函数定义：二维梳妆函数定义二维梳妆函数定义：（1-1-42）一维梳妆
38、函图一维梳妆函图（1-1-43）二维梳妆函数图二维梳妆函数图 一维梳妆函数可用于描述光栅透过率。一维梳妆函数可用于描述光栅透过率。二维梳妆函数可用于表示点源面阵、针孔面阵的透过二维梳妆函数可用于表示点源面阵、针孔面阵的透过率率。梳状函数与普通函数的乘积梳状函数与普通函数的乘积：式中式中m，n取整数。取整数。利用梳状函数可对普通函数作等间隔抽样，只取出梳妆利用梳状函数可对普通函数作等间隔抽样，只取出梳妆函数有值的位置处的函数值，所以它又可称为普通函数函数有值的位置处的函数值，所以它又可称为普通函数的抽样函数，在讨论图像的抽样理论时极为有用。的抽样函数，在讨论图像的抽样理论时极为有用。（1-1-4
39、4）习题：习题：1.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念傅里叶分析在光学信息处理中的作用主要体现在以下傅里叶分析在光学信息处理中的作用主要体现在以下几个方面：几个方面：通过傅里叶分析表示光学信号的空域分布与频域分通过傅里叶分析表示光学信号的空域分布与频域分布之间的关系布之间的关系。傅里叶分析在线性平移不变系统的输入信号、输出傅里叶分析在线性平移不变系统的输入信号、输出信号及系统之间建立了特别简单的关系。信号及系统之间建立了特别简单的关系。根据光学系统的傅里叶变换特点，采用实际的光学根据光学系统的傅里叶变换特点，采用实际的光学系统实现傅里叶分析，进一步通过空间滤波等方法，系统实现傅里叶分
40、析，进一步通过空间滤波等方法，可以实现光学信号的分析处理。可以实现光学信号的分析处理。用傅里叶分析方法还可以对已经采集到的光学信号用傅里叶分析方法还可以对已经采集到的光学信号和图像等进行分析处理，以达到光学测量和改善图和图像等进行分析处理，以达到光学测量和改善图像质量等目的。像质量等目的。在光学信号的数值处理中，可以把一些耗在光学信号的数值处理中，可以把一些耗时的积分运算化为傅里叶变换形式，通过时的积分运算化为傅里叶变换形式，通过快速傅里叶变换算法实现简化和快速的运快速傅里叶变换算法实现简化和快速的运算。算。在光学信息处理中采用线性系统分析理论，在光学信息处理中采用线性系统分析理论，不仅为认识
41、同一物理现象提供了不同的分不仅为认识同一物理现象提供了不同的分析方法，以及确定不同分析方法之间的关析方法，以及确定不同分析方法之间的关系，还使人们可以从新的角度理解物理现系，还使人们可以从新的角度理解物理现象，了解其中新的物理意义并产生更多的象，了解其中新的物理意义并产生更多的应用领域。应用领域。1.2.1 傅里叶级数及频谱的概念傅里叶级数及频谱的概念1、傅里叶级数傅里叶级数设设 f（x）是周期为是周期为T的周期函数，满足狄里的周期函数，满足狄里赫利条件：赫利条件：f（x）在）在 区间分段连续；区间分段连续；只存在有限个极值点；只存在有限个极值点；只存在有限个第一类间断点；只存在有限个第一类间
42、断点；绝对可积，即绝对可积，即 2,2TT 22dTTxxf（1-2-1）（1-2-2）则则 f（x）可展开为傅里叶级数：）可展开为傅里叶级数：其中傅里叶系数其中傅里叶系数 应用欧拉公式应用欧拉公式，得各项展开式得各项展开式 由上，（由上，（1-2-1）式可改写为式可改写为 令令（1-2-3）（1-2-4）（1-2-5）则傅里叶级数可以表示为复指数函数的形式则傅里叶级数可以表示为复指数函数的形式 其中傅里叶系数其中傅里叶系数 周期周期T的倒数的倒数1/T称为函数称为函数f(x)的基频，表示为的基频，表示为 =1/T则则称称 =n=n/T 为函数为函数f(x)的谐频（简称频率）。的谐频（简称频率
43、）。（1-2-6）（1-2-7）2、频谱的概念频谱的概念 一个周期变化的物理量既可以在空间域一个周期变化的物理量既可以在空间域 x 中用中用f(x)来描来描述，也可以在空间频率域述，也可以在空间频率域 中用来描述中用来描述,二者是等效的。二者是等效的。（1-2-6）中系数中系数cn按频率按频率的分布图形称为的分布图形称为f(x)的频谱。的频谱。cn一般是复函数一般是复函数，所以，所以cn的模值的模值|cn|随频率随频率的分布图的分布图叫做叫做f(x)的振幅频谱，而的振幅频谱，而cn的辐角随频率的辐角随频率的分布图叫的分布图叫做做f(x)的位相频谱。的位相频谱。由（由（1-2-7）式，有式，有（
44、1-2-8）锯齿波及其频率锯齿波及其频率 频谱分析方法：频谱分析方法：将一个系统的输入函数将一个系统的输入函数f（x）展开成傅）展开成傅里叶级数，在频率域中分析各谐波的变化，最后综合出里叶级数，在频率域中分析各谐波的变化，最后综合出系统的输出函数的处理方法。系统的输出函数的处理方法。1.2.2 傅里叶变换一、一维傅里叶变换一、一维傅里叶变换1、从傅里叶级数演变为傅里叶变换从傅里叶级数演变为傅里叶变换 将傅里叶系数代入将傅里叶系数代入（1-2-6）式，并利用基频和谐频的式，并利用基频和谐频的表达式表达式，得，得 若将方括弧中的积分表示为若将方括弧中的积分表示为 则有则有 22221nnexpi2
45、dexp i2expi2d exp i2TTnTTnf xf xxxxTTTf xxxx（1-2-9)（1-2-10)（1-2-11)exp i2nf xFx22expi2dTTFfxxx或或2、一维傅里叶变换的定义、一维傅里叶变换的定义令令T，有，有=d00，则式，则式（1-2-12）中）中对参数对参数n在（在（-，）区域的求和转变为对参数）区域的求和转变为对参数在在（-，）区域的积分，周期函数的傅里叶级数转化为非周期函数区域的积分，周期函数的傅里叶级数转化为非周期函数的傅里叶变换，表示为的傅里叶变换，表示为 式式（1-2-13）称为称为 f（x）的傅里叶变换）的傅里叶变换,式（式（1-2-
46、14)称为称为F（）的傅里叶的逆变换。）的傅里叶的逆变换。expi2dFfxxx exp i2dfxFx（1-2-13）（1-2-14）（1-2-12)比较式（比较式（1-2-6）和（）和（1-2-12），可知），可知 F（）具有频谱密度的概念）具有频谱密度的概念非周期函数非周期函数f（x）的频谱）的频谱F（）具有连续分布的）具有连续分布的性质。性质。傅里叶变换和傅里叶逆变换可用运算符号表示如下傅里叶变换和傅里叶逆变换可用运算符号表示如下（1-2-17）（1-2-16）dncF xfFF Fxf-1F（1-2-15）常用常用：f(x)F(u)表示变换对。表示变换对。1212rectexpi2d
47、sin11expi2dsincaaFa xxxaxxaaaa 其他其他,021,1rectaxax、傅里叶变换举例、傅里叶变换举例矩形函数矩形函数 的傅里叶变换。由矩形函数的定义：的傅里叶变换。由矩形函数的定义：矩形函数及其频谱矩形函数及其频谱 xarect它的傅里叶变换为它的傅里叶变换为 负指数函数的傅里叶变换。负指数函数的傅里叶变换。设设解：解：二、二维傅里叶变换二、二维傅里叶变换 1、直角坐标系中的二维傅里叶变换直角坐标系中的二维傅里叶变换a)二维复函数二维复函数f(x，y)的二维傅里叶变换定义：的二维傅里叶变换定义：f(x，y)为为 的原函数，的原函数，为为f(x，y)的像函数。的像函
48、数。函数的逆傅里叶变换为函数的逆傅里叶变换为 是复函数，是复函数，可用其模和幅角表示可用其模和幅角表示：,uF yxyuxyxfuFdd2jexp,（1-2-18）,uF ,uF dd2jexp,uyuxuFyxf（1-2-19）,uF ,uieuFuF （1-2-20）为为f(x，y)的傅里叶变换振幅谱（的傅里叶变换振幅谱（Amplitude Spectrum）；）；为位相谱（为位相谱（Phase Spectrum）；）；为为f(x，y)的功率谱（的功率谱（Power Spectrum）。）。b)二维复函数二维复函数f(x，y)傅里叶变换的存在条件傅里叶变换的存在条件函数函数f(x，y)必须
49、对整个无限必须对整个无限xoy平面绝对可积，即平面绝对可积，即函数函数f(x，y)必须在必须在xo y平面上的每一个有限区域内局平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极部连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。小点。函数函数f（x，y）必须没有无穷大间断点。）必须没有无穷大间断点。,uF ,u 2,uF yxyxfdd,2）可分离变量函数的二维傅里叶变换可分离变量函数的二维傅里叶变换 有一类二维函数具有可分离变量性质，即有一类二维函数具有可分离变量性质，即 二维傅里叶变换核具有可分离变量性质二维傅里叶变换核具有可分离变量性质 f(x,y)的二维傅里叶变
50、换可表示为两个一维傅的二维傅里叶变换可表示为两个一维傅里叶变换的乘积里叶变换的乘积 二维可分离变量的傅里叶变换也是二维可分离二维可分离变量的傅里叶变换也是二维可分离变量函数变量函数。（1-2-21）yuyyfxuxxfyxyuxyxfyxfFd2jexpd2jexpdd2jexp,（1-2-22）二维傅里叶变换举例：设求其傅里叶变换。求其傅里叶变换。解：解：说明：说明：若函数若函数f（x，y）存在间断点，则假定在该点附近函）存在间断点，则假定在该点附近函数值有限，且其左、右极限存在，分别记为数值有限，且其左、右极限存在，分别记为f(x0，y0)和和f（x+0，y+0)，并令：，并令：从应用的角
