1、1 1、向量的运算、向量的运算,121212zyxaaazzyyxx a ；,zzyyxxzyxzyxbababababbbbaaaa .,zzyyxxbaaababa .,zyxzyxaaaaaaa ),cos(bababa zzyyxxbababa zyxzyxbbbaaakjiba ).2()2(,3,2,1,3,2,1bababa 求求例例：设设 3,2,13,2,123,2,13,2,12 22 ）（）（解解baba.42271239,6,33,2,1 3,2,16,4,23,2,16,4,2 42 )3()2()1()321(4222222 bbbaabaa 224）（）（解法二：
2、解法二：baba 22 224ba .1aaa .2babbabbaaPrjb 222222),cos(cos .3zyxzyxzzyyxxbbbaaababababababa 夹夹角角公公式式.4.,24,19,13bababa 求求且且例例：已已知知向向量量的的模模）（）（解：解：bababa 2.48424)1913(2222 222bbaa ）（）（bababa 2bbbaaa 2222)(2baba bbbaaa 2222bbaa 22484 baABC解解3,4,0 AC0,5,4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 ,16,1
3、2,15340054 kjiACAB2 2、球面，柱面，旋转曲面（旋转抛物面，圆锥面）、球面，柱面，旋转曲面（旋转抛物面，圆锥面）方程的特点。方程的特点。0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程3 3、平面方程、平面方程平面束平面束 A1 x+B1 y+C1 z+D1+t(A2 x+B2 y+C2 z+D2)=0 4 4、直线方程、直线方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程:0022221111DzCyBxADzCyBxApzznyymxx000 直线的对称直线的对称
4、(点向点向)式方程式方程5 5、几个距离公式、几个距离公式21221221221)()()(|zzyyxxMM .|222000CBADCzByAxd 点到平面距离公式点到平面距离公式.01ssPPd 点到直线的距离公式点到直线的距离公式6 6、线、面位置关系、线、面位置关系zzyyxxzyxzyxbabababbbbaaaa 平平行行两两非非零零向向量量,0 baba 两非零向量两非零向量A 两平面位置关系：两平面位置关系：21)1(0212121 CCBBAA21)2(/212121CCBBAA B 两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(
5、LL/212121ppnnmm C 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm1 1、二元函数、二元函数的定义域的定义域例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 2 2、二元函数的极限和连续、二元函数的极限和连续.)sin(lim22200yxxyxyx 解解:22200)sin(limyxxyxyx,)sin(lim22200 xyxxyxyxyyx 22yxxy,21.0)sin(lim22200
6、yxxyxyx,02x例：求极限例：求极限2200limyxxy),(x,y)例例趋趋于于(0 0，0 0)时时，)沿沿直直线线路路径径当当(kxyx,y 解解：21kk 此此极极限限不不存存在在.2220000)1(lim)(limxkkxx,yfkxyxyx 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，例例 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不
7、连续3 3、偏导数的计算、偏导数的计算.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导数的偏导数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 1 1解解,)0,0(),(时时当当 yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx A 定义法：定义法：,)0,0(),(时时当当 yx按定义可知按定义可知：xfxffxx )0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0 xxyfyffyy )0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0 yy,)0,0(),(0)
8、0,0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfyB 公式法：公式法：链式法则、隐函数的求导法、全微分形式的不变性链式法则、隐函数的求导法、全微分形式的不变性),(),(21xyzzyxfxyzzyxf 注：偏导数的结构具有遗传性注：偏导数的结构具有遗传性1122解解 xw;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(22
9、21fxyfyz .)(22221211fyfzxyfzxyf 解解,0)2(zxyezed,02)(dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2(xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx ,42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .),(),(xyzzyxfzzyxF 令令yzffFx 211则则xzffFy 2
10、11xyffFz 2111 zxFFxz于是于是21211fxyffyzf xyFFyx21211fxzffxyf yzFFzy2121fyzffxzf 解解.,01;0222dxdzdxdyzyxzyx确确定定的的函函数数的的导导数数例例：求求由由方方程程组组 ,0 1;0222dxdzdxdydxdzzdxdyyxx求求导导数数，得得解解：方方程程组组两两边边对对 ,1 ;222dxdzdxdyxdxdzzdxdyyzyyxzyxydxdz 2222zyzxzyzxdxdy 2222.dxdyx,yxtyxeyty的的函函数数，求求的的确确定定t t是是由由方方程程,已已知知例例1222
11、：02221)(xdxdttdxdyydxdytdxdtyedxdyty;)(22tytyetytxyetdxdy 方程组两边对方程组两边对x x求导，得求导，得 ,xtyxeytyxty1222满满足足方方程程组组,解：解：4 4、全微分、全微分A 定义：定义：证证则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 0),0,0(f 故故函函数数在在点点)0,0(连连续续,)0,0(xfxfxfx )0,0()0,(lim0,000lim0 xx同理同理.0)0,0(yf 0211sin0,0,2222 yxyxxyyxxy(1)(2)当当)0,0(),(yx时，时，),(yxfx,1cos
12、)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0,0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.(3)0,0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0,0(可微可微.0)0,0(df(4)B 作用：作用：).,(,122),(,2),(),(22221342xxfxxxxfxxxxxfvuf 求求有有连连续续的的偏偏导导数数，例例：函函数数)(),(),()164(),(22221232xdxxfdxxxfdxxx
13、xxdf 解解：xdxxxfdxxx2),()122(222 122),(222 xxxxf5 5、多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导6 6、空间曲线的切线与法平面、空间曲线的切线与法平面0dd,dd,ddtttztytxT 例例1 1 求曲线求曲线:tuuduex0cos，tysin2 tcos,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，时，,2,1,0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez ,1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程
14、切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程,0)2(3)1(2 zyx.0832 zyx即即例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1,2,1(处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.,zyxzdxdy ,zyyxdxdz ,0;6222zyxzyx ,01;0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz由由此此得得切切向向量量,1,0,1 T所求所求切线方程切线方程为为,110211 zyx法法平面方程平面方程为为,0)1()2(0)1(zyx0 zx解解7 7、空间曲面的切平面和法线、空间曲面的切平面和法
15、线),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 1),(),(1),(),(00000000yxfyxfyxfyxfnyxyx 或或21nnT 注：此处经常和其它知识点结合，成为综合题。注：此处经常和其它知识点结合，成为综合题。.103)0,0(,0,0(0),()(301)0,0(,0,0(0),()(113)0,0(,0,0(),()(;3,1)0,0(,3)0,0(00),()0,0(，的的切切向向量量为为在在点点曲曲线线；，的的切切向向量量为为在在点点曲曲线线；，的的法法向向量量为为在在点点曲曲面面）（）则则（）附附近近有有定定义义，且且，在在（例例：设设函函数
16、数fyyxfzDfyyxfzCfyxfzBdydxdzAffyxfyx ).(C答答案案：8 8、方向导数和梯度、方向导数和梯度方向导数与偏导数关系：沿任意方向的方向导数存在方向导数与偏导数关系：沿任意方向的方向导数存在不能保证偏导数存在不能保证偏导数存在,反之也然。反之也然。定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP是是可可微微分分的的，那那末末函函数数在在该该点点沿沿任任意意方方向向 l 的的方方向向导导数数都都存存在在，且且有有 其其中中 为为方方向向 l 的的方方向向角角 coscosyfxflf ,解解令令,632),(222 zyxzyxF,44 PPxxF,6
17、6 PPyyF,22 PPzzF故故 zyxFFFn ,2,6,4,142264222 n方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos(.711 故故2122)86(1yxzu )1,1,1(P),(zyxgradfkzfjyfixf 梯度（应用）梯度（应用）222d zuyuxuugra最大的方向导数值是：最大的方向导数值是：9 9、二元函数的极值、二元函数的极值定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yx
18、fz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下：（1 1）02 BAC时时具具有有极极值值，当当0 A时时有有极极大大值值，当当0 A时时有有极极小小值值；（2 2）02 BAC时时没没有有极极值值；（3 3）02 BAC时时可可能能有有极极值值,也也可可能能没没有有极极值值，还还需需另另作作讨讨论论,0),(,0),(0000 yxfyxfyx又又,),(,),(,),(000000CyxfByxfAyxfyyxyxx 令令驻点和极值点驻点和极值点的
19、关系的关系1010、拉格朗日乘数法、拉格朗日乘数法例例 1 11 1 在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积最最小小，求求切切点点坐坐标标.解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ，202|byFPy ，202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyy
20、axx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所围四面体的体积所围四面体的体积 000222661zyxcbaxyzV ,在在条条件件1220220220 czbyax下下求求 的的最最小小值值,0002226zyxcbaV .1000220220220的最大值的最大值下求下求等价于在条件等价于在条件zyxuczbyax 2202202200001),(czbyaxzyxzyxL 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数 (4),01 (3);02 (2);02 (1);02220220220200020002000czbyaxLbzyxz
21、LbyzxyLaxzyxL 当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min.可得可得30ax 30by ，30cz (4),01 (3);02 (2);02 (1);02220220220200020002000czbyaxLbzyxzLbyzxyLaxzyxL 13,22 2,)3(;)2(;)1(220220220220220220220000000 axczbyaxczbyaxzyxzyx 1 1、二重积分的计算、二重积分的计算A A、根据二重积分的几何意义计算、根据二重积分的几何意义计算33222323421 RRdyxRD B B
22、、根据二重积分的性质简化计算、根据二重积分的性质简化计算.11,1:,)1(3 xyxDdxdyyxD.积积分分区区域域如如图图所所示示xy-111dxdydxdyyxdxdyyxDDD 1)1(332 0C C、选择合适的坐标系化为二次积分、选择合适的坐标系化为二次积分.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf d),(d)d()()(21 dcyyDxyxfyx,yf 2xy 2yx xyo2xy 2 xyD21 4ABxyo1 xyxy 2 yD112直角坐标直角坐标 dsin Dyy.ded1102 xyyx yyDyxyxyyxyxI010110dedddeded2
23、22解：解：1xyxy DO 1010ded0e22yyyyxyy ).1e(2101e212 y 102de212yy.轴轴围围成成的的闭闭区区域域及及的的一一拱拱由由摆摆线线计计算算积积分分 8 8xttayttaxDydxdyD)20()cos1(),sin(,例例3202220)(020225)cos1()cos1(21 )(21adttatadxxyydydxIaxya Oxya 2 xyy ).(0,20:xyyaxD 解解.)sin,cos(sincos),(),(DDDrdrdrrfryrxdxdyyxfdyxf .)sin,cos()()(21 rdrrrfd极坐标极坐标.)
24、(22二二重重积积分分简简便便形形式式，采采用用极极坐坐标标计计算算有有数数具具域域的的部部分分时时，及及被被积积函函当当积积分分区区域域为为圆圆域域或或圆圆yxf 例例 2 2 计计算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点，半半径径为为a的的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域.解解在极坐标系下在极坐标系下D：ar 0，20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae xyOa例例2 2解解.10,11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(22
25、2 1210021022)(2)(2xxdyxydxdyyxdx.1511 _),(),(212141410 yyydxyxfdydxyxfdy交交换换积积分分次次序序 .,2210 xxdyyxfdxoyxy=xy=x20.250.510.52 2、三重积分的计算、三重积分的计算A A、根据二重积分的性质简化计算、根据二重积分的性质简化计算.2,)(22222围围成成由由计计算算yxzyxzdVzyx 和和I I dVzdVyxdVzyx222222)()(dVyzxyxzyzxzxyzyxzyx)()(2)(2222解解0B B、选择合适的坐标系化为三次积分、选择合适的坐标系化为三次积分直
26、角坐标、直角坐标、柱面坐标、柱面坐标、球面坐标、球面坐标、先一后二法、先一后二法、先二后一法。先二后一法。例例6 6所所围围成成的的与与由由其其中中，计计算算22221)(yxzyxzdvzx 解解(利用球面坐标利用球面坐标)奇函数，奇函数，的的为为面为对称，面为对称，关于关于xxzyxfyoz ),(.0 xdv有有 zdvdvzx)(1024020sincosdrrrdd.8 例例5 5组成的三棱锥台组成的三棱锥台是由六个顶点是由六个顶点，其中，其中计算计算)4,2,2(),0,2,2(),0,0,2(),2,1,1(),0,1,1(),0,0,1(:122FEDCBAdvyx 解解所所在
27、在平平面面梯梯形形设设ACFD,0 CzBy方程为方程为xyzCAFEDBO.02,02,)2,1,1(yzCBC得其方程为得其方程为代入方程得代入方程得点点又因过又因过 yxdzdyyxdxdvyx20022212211 2122ln)2ln(dxxx.2ln 2222,ddd)(yxzzyxyx 是有曲面是有曲面其中其中例：求例：求.2,1 所围成的区域所围成的区域与与 zz：解法解法1 21ddd)(22zyxyx 2213202110320dd2ddddrzrrzrr 2132010320)d-(2dddrrrrr 1254220142544 rrr .1031 51215328241
28、2 xyz:解法二解法二drrddzrdrdrdzzDz 032021221 2021442021dd4104ddzzzrz1254124125214 zdzz 51524125.1031 xyzzr dxdyyxdzzyxyxIzD 222122ddd)（1 z,cos1 r22yxz ,4 采用球面坐标采用球面坐标解法解法:3xyz2 z,cos2 r dxdydzyxI)(22drrdd 40cos2cos13420sin d)cos1cos2(51sin2555403 cosd)cos31(cos15125402 .1031 确确定定，求求f f(t t).4 4t ty yx xh
29、h,z z其其中中由由不不等等式式0 0)d dv vy yx x2 21 1f f(z z1 1f f(t t)）上上连连续续，且且满满足足方方程程设设f f(t t)在在 0 0，例例2 22 22 22 22 22 22 2 dzrfzrdrdtfth 202002)2(1)(式式可可写写为为解解：在在柱柱坐坐标标系系下下，等等 tdrrfhrhtf202)2(321)(即即，等式两边对等式两边对 t 求导得求导得),(38)(2tfhhttf 分离变量方程分离变量方程8 8h ht td dt td dt tf f(t t)3 3h h(t t)f f分分离离变变量量并并积积分分2 2
30、C C4 4h ht tf f(t t)3 3h hl ln n(得得2 22 2 1 1),3 3h hl ln n(C C1 1,f f(t t)l li im mf f(0 0)由由原原等等式式可可得得2 20 0t t .3 3h h)e eh h3 31 1(1 1f f(t t)2 24 4h ht t2 22 23 3、第一类曲线积分的计算、第一类曲线积分的计算)()()()(),(),(22 dtttttfdsyxfL.:,)1cos(sin32223ayxLdsyyxL 计计算算例例a2200 cossin3 adsydsydsxIyxLLL可可得得及及几几何何意意义义性性对
31、对称称由由轴轴对对称称,轴轴及及由由于于曲曲线线L L关关于于解解LOyx例例6 .0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解由坐标的轮换对称性由坐标的轮换对称性,知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长ads 4 4、第一类曲面积分的计算、第一类曲面积分的计算;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(.3zyxx ：若曲面若曲面,),(),(:.1xyDyxyxfz 曲曲面面),(:.2z
32、xyy 若若曲曲面面;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(计计算算dSzyx)(222 ,其其中中 为为内内接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面体体azyx|表表面面.例例4 4被被积积函函数数),(zyxf222zyx ,解解关关于于 x,y,z 是是偶偶函函数数，积积分分曲曲面面 关关于于三三个个坐坐 标标面面均均对对称称,故原积分故原积分 18,(其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)1：azyx ,即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(
33、8222.324a xaadyyyxaaaxxdx022202)(2)22(38xozyaaa1 .:,)(22222RzyxdSzyx计计算算：练练习习422222224 )(2)()222(RdSRdSyzxzxydSzyxdSyzxzxyzyxI 解第一类面积分时解第一类面积分时,充分利用被积充分利用被积函数定义在积分曲面上，积分曲函数定义在积分曲面上，积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性面的对称性及被积函数的奇偶性特点简化积分计算特点简化积分计算.xyzO 解解 计算计算 ,其中其中 为平面为平面 5 zy被柱面被柱面2522 yx所截得的部分所截得的部分.例例1 1:yz 5,解解25
34、|),(22 yxyxDxy dxdyzzdSyx221 ,2dxdy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2.2125 dszyx)(xyDdxdy525 5、数量值函数积分学的应用、数量值函数积分学的应用.Dd dSA LdsyxfA),(面积面积体积体积.dVV 弧长弧长.dss 平面面积平面面积曲面面积曲面面积柱面面积柱面面积所所围围立立体体的的体体积积。和和求求由由曲曲面面例例4 4222221)1(yxzyxz dVV解解 dyxyxD 222211 102323210220)1(3132211rrrrdrrrd例例 2 2 求由曲面求由曲面az
35、yx 22和和222yxaz )0(a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz,2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a,dXM)(质量质量.)()(dXdXzMzdMz,)()(dXdXxM
36、xdMx,)()(dXdXyMydMy重心坐标重心坐标为为几几何何体体的的时时，重重心心称称CX)(当当.形形心心,),()(22 dzyxzyIx,),()(22 dzyxzxIy.),()(22 dzyxyxIz转动惯量转动惯量引力引力例例 7 求求面面密密度度为为常常量量、半半径径为为R的的均均匀匀圆圆形形 薄薄片片：222Ryx ，0 z对对位位于于 z轴轴上上的的 点点),0,0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0(a 解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知,0 yxFF dayxyxakFDz 23)(),(222 dayxakD 23)(1222drrardak
37、R 0222023)(1 .11222 aaRka 所求引力为所求引力为.112,0,022 aaRkaF oyzxF)0(x,y,),0,0(a1 1、第二类曲线积分的计算、第二类曲线积分的计算变力沿曲线做功变力沿曲线做功iiniiLsFsdyxF ),(lim),(10 即即 LdyyxQdxyxP),(),(dttttQtttP)()(),()()(),(.)()(,)(,dxxyxyxQxyxPba .),()(),(dyyyxQyxyyxPdc .),(,)1(DyxyPxQ 是否满足积分路径无关性是否满足积分路径无关性),(0yxC),(yxB xyo),(00yxA(2)不满足积
38、分路径无关性，补线用格林公式或投影法不满足积分路径无关性，补线用格林公式或投影法(3)空间曲线用斯托克斯公式或投影法空间曲线用斯托克斯公式或投影法）的的一一段段有有向向弧弧，）到到（，上上从从（是是圆圆其其中中计计算算曲曲线线积积分分例例11002,)()21(12222yyxLdyyxdxyxyL Oxy)0,1(A)1,1(B,)(),(,21),(22yxyxQyxyyxP 解解：,)(yPyxxQ dyyxdxyxydyyxdxyxyOAABL2222)()21()()()21(.34371)1(110210 dyydx例例 2 2 设设曲曲线线积积分分 Ldyxydxxy)(2与与路
39、路径径无无关关,其其中中 具具有有连连续续的的导导数数,且且0)0(,计计算算 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy.积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP),(),(xyyxQ 由由0)0(，知知0 c 2)(xx .故故 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)(cxx 2)(10100ydydx.21,dzxzdyydxI 例例：求求.为为正正向向轴轴正正向向看看去去，取取逆逆时时针针从从x ,0,2222zyxazyx是圆周是圆周 dzxzdyydx dxdydzdxdydz xzyz
40、yxdxdydzdxdydz解：解：由斯托克斯公式由斯托克斯公式,有有 dxdydzdxdydz dS313131 xyzon dS3323 a 2 2、第二类曲面积分的计算、第二类曲面积分的计算(1)闭曲面首先考虑高斯公式闭曲面首先考虑高斯公式(2)非闭曲面补面使用高斯公式非闭曲面补面使用高斯公式(3)平面使用合一投影法平面使用合一投影法(4)P、Q、R有两个为有两个为0时使用逐一投影法时使用逐一投影法.:2222外外侧侧的的通通量量通通过过球球面面求求向向量量场场例例azyxkzi yi xA vvdvzRyQxPd3d)111()(.:dddddd:2222azyxyxzzxyzyx 解
41、解由高斯公式由高斯公式,.434333aa xyzon.,)31(01:,4)1(2)18(2取取左左侧侧形形成成的的曲曲面面轴轴旋旋转转一一周周所所绕绕曲曲线线计计算算yyxyzyzdxdydzdxydydzyxI Iyxy,2,3:22围围成成右右侧侧添添加加 Dxyz.34216)1(16)31(231311222222 dyydzdxdzdxdydzdxdVyzxzx.,1:,42第一卦限部分，取上侧第一卦限部分，取上侧例例 zyxzdxdydzdxyxdydzxozy111 解解 zdxdydzdxyxdydzI2n,1:yxz DdxdyyxyxI12 ydxyydy102101.
42、125 例例 1 1 计计算算 xyzdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外侧侧在在0,0 yx的的部部分分.解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1cossin222 xyDrdrdrr 102320d 1d cossin2rrr 152 ttttdcossin1sin2sin22203202 3 3、全微分方程、全微分方程.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxyd
43、xxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程,Cxdxyxdyyyxuxy 02303)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为,42344224Cyyxx 例例1 1),0(yAO),(yxBxy 1 1、数项级数的敛散性判别、数项级数的敛散性判别正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数判判别别法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对绝对(条件条件)收敛收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则级数发散则级数发散当当 nun例例
44、:.,2)1(131判断其敛散性判断其敛散性 nnnn nnnnnnnnnnuu2)1(21)1(limlim31131 解：解：.2)1(131绝对收敛绝对收敛 nnnn,121 3121lim nnn 313221limnnnnn 敛？敛？是条件收敛还是绝对收是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，敛？如果收敛，是否收是否收判断级数判断级数 1ln)1(nnnn例例解解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛,ln)1(1级级数数是是交交错错 nnnnxxnnxnlnlimlnlim,01lim xx,0ln11
45、limln1lim nnnnnnn),0(ln)(xxxxf),1(011)(xxxf,),1(上单增上单增在在,ln1单减单减即即xx ,1ln1时单减时单减当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛2 2、利用收敛的必要条件求极限、利用收敛的必要条件求极限 .02!3lim nnnn明明例：例用级数的性质证例：例用级数的性质证 12!3 nnnn考虑级数考虑级数证：证：12!3nnnn必要条件，必要条件，收敛，根据级数收敛的收敛，根据级数收敛的级数级数 .02!3limlim nnnnn
46、nu 0123lim2!32!13limlim111 nnnuunnnnnnnnn3 3、幂级数、幂级数的收敛域的收敛域设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1)则则当当0 时时,1R;(3)当当 时时,0 R.(2)当当0 时时,R;收敛区间收敛区间+收敛端点收敛端点=收敛域收敛域发发散散时时级级数数当当,半半径径因因此此收收敛敛,1)1()11(11)1)11(lim)11(lim1nnnnnnnntRnn,ee(或或者者的的收收敛敛域域。例例：求求 1 1n n)()(nnxn111).,的的收收敛敛域域(1 1)()(1 1级级数数1 1,1 1即即1 1,1 1),的的
47、收收敛敛域域()(1 1因因此此n nn nn n1 1201111 xnxtnnnnnnnnnnnn,tnxt)11()111(lim)11(111 考考察察级级数数,令令:解解散散?不不定定?).的的何何种种点点？(收收敛敛?发发6 6是是级级数数1 1，1 1，2 2,4 4,5 5,2 2，点点来来说说,3 3)(x xa a则则对对级级数数2 2,的的收收敛敛半半径径为为R Rx xa a例例4 4.设设幂幂级级数数n n0 0n nn n0 0n nn nn nO2-2xO351-2-1246x收敛点收敛点:2,4;发散点发散点:-2,-1,6;不定点不定点:1,5.例例 3 3
48、求求幂幂级级数数 1122nnnx的的收收敛敛域域.解解 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数绝对收敛级数绝对收敛,1212 x当当,2时时即即 x,1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为原级数的收敛域为原级数的收敛域为).2,2(4 4、幂级数、幂级数的和函数的和函数例例 4 4 求求级级数数 11)1(nnnnx的的和和函函数数.解解求得此幂级数的收敛域为求得
49、此幂级数的收敛域为11(，,)1()(11 nnnnxxs,0)0(s显显然然)0()(0)()(0sxsxtsdttsx nnxxxxs)1(1)(2,11x )11(x)1ln(d110 xttx ,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11(x)1ln()0()(xsxs 即即)11(x)1ln(lim)1(1xsx ,2ln)1ln()(xxs 级级数数的的和和函函数数为为：)1(2)1ln(12 nxxxxnn即即)11(x例例8.10的的和和函函数数求求幂幂级级数数 nnnx .1,1:求求得得幂幂级级数数的的收收敛敛域域为为解解 010
50、1)(,1)(nnnnnxxxsnxxs于于是是设设逐逐项项求求导导得得 0011)(nnnnxnxxxs)11(,1112 xxxxxn得得并并注注意意到到积积分分到到对对上上式式从从,1)0(,0 sx)11(),1ln(d11)(0 xxxxxxsx)11(),1ln(1)(xxxxs有有时时当当于于是是,0,x得得上上的的连连续续性性在在收收敛敛域域由由和和函函数数,)1,1)(xs,2ln)1ln(1lim)(lim)1(11 xxxssxx 0,1011),1ln(1)(xxxxxxs且且5 5、利用幂级数、利用幂级数的和函数求数项级数的和的和函数求数项级数的和例例 6 6 求求
