1、第 9 章 动态矩阵控制9.1 阶跃响应模型及其辨识9.2 算法原理 9.2.1 单入单出情形单入单出情形 9.2.2 单入单出情形：另一种推导方式 9.2.3 多入多出情形 9.2.4 MATLAB工具箱的说明9.3 约束的处理 动态矩阵控制和模型算法控制有很多共同之处。因为它是基于系统阶跃响应的算法，模型算法控制基于脉冲响应模型，而得到了脉冲响应模型等价于得到了阶跃响应模型。但是，动态矩阵控制采用增增量算法量算法，因此在消除稳态余差方面非常有效。当然，与动态矩阵控制相比，模型算法控制也有其优点，如抗干扰能力。9.1 9.1 阶跃响应模型及其辨识阶跃响应模型及其辨识 假设系统处于稳态，在单位
2、阶跃输入 作用下，时不变SISO系统的输出响应如下：这里假设系统输出恰好在变化N步后达到稳态，这样对象的动态信息就可以近似地用有限集 加以描述。这个集合的参数构成了DMC的模型参数，向量 称为模型向量，N则称为建模时域。阶跃响应曲线如图9.1.1所示。u1210,NNs sss12,Ns ssT12,Ns sss9.1 9.1 阶跃响应模型及其辨识阶跃响应模型及其辨识 据此，可以计算在任意输入下的系统输出为图9.1.1 阶跃响应曲线11()()(1)NlNly ksu klsu kN(9.1.1)9.1 9.1 阶跃响应模型及其辨识阶跃响应模型及其辨识 其中 。注意：当 时式(9.1.1)等价
3、于 阶跃响应模型式(9.1.1)只能用于开环稳定对象。对具有个 输入和 个输出的MIMO过程，可以 得到如下的阶跃响应系数矩阵：其中 为针对第 个输入和第 个输出的第个阶跃响应系数。()()(1)u klu klu kl 1NNss11()()()NlNly ksu kls u kN(9.1.2)mr111212122212llmlllmllr lr lrmlsssssssssSijlsji9.1 9.1 阶跃响应模型及其辨识阶跃响应模型及其辨识 在MATLAB MPC Toolbox中，给出了MISO模型的辨识方法。给定输出 和输入 的历史数据为 ，可估计系统的阶跃响应 ()iy k12()
4、,(),()mu k ukuk(1)(2)(3)iiiiyyyy121212(1)(1)(1)(2)(2)(2)(3)(3)(3)mmmuuuuuuuuuu112111222212iiimiiimi li limlsssssssss9.1 9.1 阶跃响应模型及其辨识阶跃响应模型及其辨识 为估计阶跃响应系数，可将系统（以SISO为例）写成如式(9.1.3)的形式并首先估计 。其中，。由式(9.1.4)给出。为估计参数，一般建议将一些变量成比例地放大或缩小，使得所有变量的值在一个数量级上。然后将数据写成式(9.1.5)的形式：其中 包含所有输出信息（对开环稳定过程为 ）；包含所有输入信息（）；包
5、含所有要估计的参数。lh1()()Nlly khu kl(9.1.3)()()(1)y ky ky k1lllhssls1lljjsh(9.1.4)YX(9.1.5)Y()y kX()u k9.2 9.2 算法原理算法原理 考虑开环稳定系统。在每一时刻 ，要确定从该时刻起的 个控制增量 使被控对象在其作用下未来 个时刻的输出预测值 尽可能接近给定的期望值 。这里，、分别称为控制时域与优化时域。为了使问题有意义，通常规定 。尽管求得了 个控制输入增量，仅仅第一个值 是实际实施的。(),u kkM(1|),u kk(1|)u kMkP(1|),(2|),(|)y kky kky kP k(),1,
6、sy kiiPMPMPNM()u k9.2.1 9.2.1 单入单出情形单入单出情形 在时刻 ，利用式(9.1.1)可得到未来 个时刻的模型输出预测值为kP01(1|)(1|1)()y kky kksu k011(|)(|1)()(1|)(1|)MMy kM ky kM ksu ksu kksu kMk011(|)(|1)()(1|)(1|)PPP My kP ky kP ksu ksu kksu kMk012(1|)(1|1)()(1|)(1|)MMy kMky kMksu ksu kksu kMk9.2.1 9.2.1 单入单出情形单入单出情形 其中 为假设当前和未来时刻控制作用不变时的输
7、出预测值。另记 其中011(|1)()(1)NjNj iy ki ksu kijsu kiN 11()(1)N iijNjsu kjsu kiN 112(1)()(),1,2,N iiijijjs u kssu kjiP(9.2.1)0()()(|1)ky ky k k(9.2.2)0112(|1)(1)()()Njjjy k ks u kssu kj(9.2.3)9.2.1 9.2.1 单入单出情形单入单出情形 记 将经式(9.2.4)式(9.2.5)校正后的输出预测值写成矢量形式为 其中00(|)(|1)(),iy ki ky ki kfk1,2,iP(9.2.4)(|)(|)(),iy
8、ki ky ki kfk1,2,iP(9.2.5)0(|)(|)(|)k kk kk kyyA u(9.2.6)T(|)(1|),(2|),(|)k ky kky kky kP kyT0000(|)(1|),(2|),(|)k ky kky kky kP ky(|)(),(1|),(1|)k ku ku kku kMk u9.2.1 9.2.1 单入单出情形单入单出情形 假设优化的准则是最小化如下性能指标：其中：为跟踪误差；为未来输出参考值（设定值）；1211111000MMPPP Msssssssss A2211()(|)(1|)PMijijJ kwe ki krukjk(9.2.7)(|)
9、()(|)se ki ky kiy ki k()sy ki9.2.1 9.2.1 单入单出情形单入单出情形 和 都是非负的标量，它们分别表示对跟踪误差及控制量变化的抑制；和 为由权系数构成的对角阵，分别称为误差权矩阵和控制权矩阵。性能指标式(9.2.7)中的第二项主要用于抑制过于剧烈的控制增量，以防止系统超出限制范围或发生剧烈振荡。使 取极小的 可以通过极值必要条件 求得 其中(|)k k u()(|)0dJ kdk k uT1T0(|)()()k kkuA WARA We(9.2.8)12diag,Mr rrRiwjr12diag,Pw wwW()J k00()()(|)skkk keyy9
10、.2.1 9.2.1 单入单出情形单入单出情形 为当前时刻及以后控制作用不变时由实测输出 和历史的控制作用预测的未来时刻的跟踪误差值。式(9.2.8)给出了 的最优值。但DMC并不把它们都当做应实现的解，而只是取其中的即时控制增量 构成实际控制 作用于对象。到下一时刻，它又求解类似的优化问题，得到 。这就是所谓的“滚动优化”的策略。T0000()(1),(2),()ke ke ke kPeT()(1),(2),()ssssky ky ky kPy 0e()y k(),(1|),(1|)u ku kku kMk()u k()(1)()u ku ku k(1)u k9.2.1 9.2.1 单入单出
11、情形单入单出情形 因此在每个时刻 ，实施如下的控制量：其中，维行矢量 ，维行矢量 表示取首元素的运算。一旦优化策略确定（即 、已定），则 可以一次离线算出。这样，若不考虑约束，优化问题的在线求解简化为直接计算控制律(见式9.2.9)。利用式(9.2.1)可得到如下矢量形式：其中(9.2.9)kT0()()(|)su kkk kdyy 0(|1)()ppk kkyA u(9.2.10)T0000(|1)(1|1),(2|1),(|1)k ky kky kky kP kyT()(1),(2),(1)pku ku ku kNupTTT1T1P(),dddcA WARA WmT1,0,0cTTT1T(
12、)dcA WARA WPMWR9.2.1 9.2.1 单入单出情形单入单出情形 则根据式(9.2.4)和式(9.2.5)可得到 其中232121111211211000N PN PN PN PNNpPPPNNNNPPPNNsssssssssssssssssssss A0(|)()(|)k kkk keeA u(9.2.11)0()()()()sppkkkkeyA uf(9.2.12)T(|)(1|),(2|),(|)k ke kk e kke kP keT12,Pffff9.2.1 9.2.1 单入单出情形单入单出情形 这样，在每个时刻，实施如下的控制量：式(9.2.13)与式(9.2.9)是
13、等价的。通过以上推导可以看出，DMC算法与MAC算法的推导十分相似，其中有些不同之处，如参考轨迹的引入，但可相互借鉴。(9.2.13)T()()()()sppu kkkkdyA uf9.2.1 9.2.1 单入单出情形单入单出情形 算法算法9.2.1（I-型无约束DMC）Step 0.获得 。计算 。选择 。获得 。Step 1.在每个时刻 ，Step 1.1.测量输出 ；Step 1.2.确定 （可采用第章MAC的做法）；Step 1.3.用式(9.2.2)式(9.2.3)计算 ；Step 1.4.计算式(9.2.10)中的 ；Step 1.5.用式(9.2.13)计算 ；Step 1.6.实施 。12,Ns ssTdf(),(1),uN uN,(1)u 0k()y k()sk y()k()ppkA u()u k()u k
