1、 4.9 4.9 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力 一一. 计算模型计算模型 p 单位厚度的受力体一个边界为平单位厚度的受力体一个边界为平 面，而在平面以下为无限大的物面，而在平面以下为无限大的物 体。略去体力分量，取单位厚度体。略去体力分量，取单位厚度 上所受力为上所受力为P P，应用逆解法求，应用逆解法求 。 1. 计算简图计算简图 2.2.边界条件边界条件 0,0 22 r 二二. 拉梅拉梅麦克斯韦尔直角坐标方程麦克斯韦尔直角坐标方程 1. 主应力迹线坐标系主应力迹线坐标系 主应力主应力 正交，两个主力正交，两个主力 的迹线可以构成正交坐标系的迹线可以构成正交坐标系 21
2、 和 2 S O X Y 1 2 o x y 正向增加逆针向转时为逆针向为正而且转到S 21 1 s 2. 2. 主应力坐标下的方程主应力坐标下的方程 根据斜方向上的应力公式根据斜方向上的应力公式 21 21 （2） 2sin 2 )2cos( 2 1 )2cos( 2 1 xy y x （3） （1） 0 yx yx x 0 yx yxy 把（把（3）式代入（）式代入（1）式得）式得 02cos22sin2sin22cos yyxxx 21, , 02sin, 12cos0dsdydsdx，则若 0 2)( 21 ss (5) 22 1 ds 则有则有 0 2 21 1 1 s (6a) 0
3、 1 21 2 2 s (6b) 同理同理 三三. 半无限平面受法向集中力的应力计算半无限平面受法向集中力的应力计算 直线直线 00 2 上与显然它们是主应力迹线显然它们是主应力迹线 另一组主应力迹线与其正交，故必为一组半圆弧另一组主应力迹线与其正交，故必为一组半圆弧 p o x y 0 2 (7a) 0 (7b) cos K D K Fd 2/ 2/ cos 由（7b） ),(f 根据边界条件根据边界条件 0 2 知道知道 0)(f cos 2F 平衡方程变为平衡方程变为 , 1 X向平衡向平衡 2 K 此时：此时： 等应力圆的分布规律）半平面内 1 极坐标中圆方程：cosD )0(, 2
4、D F 而 解答采用直角坐标表示）2 TT 1 0 cos2 F （4-22） lm ml lm ml yyx xyx 00 0 )234( cossin2 cossin cossin2 sin cos2 cos 2 2 3 2 F r F F xy y x ： )244( )( 2 )( 2 )( 2 222 2 222 2 222 3 yx yxF yx xyF yx xF yxxy x x 可求出）（）（）由（ 几物 3424224 代入几何方程 0 cos2 cos2 E F E F 0 1 cos21 cos2 uuu E Fuu E Fu 位移分量.1 (a) 四四. . 半无限平
5、面受法向集中力的位移计算半无限平面受法向集中力的位移计算 可求出）（）（）由（ 几物 3424224 代入几何方程 0 cos2 cos2 E F E F 0 1 cos21 cos2 uuu E Fuu E Fu 位移分量.1 (a) )(cosln 2 f E F u ),(cos)ln( 2 ,cos 2 f E F u E F u u )()(sin)ln( 2 1 fdf E F u 0)()(sin)ln( 2 )(sin 2 )(sinln 2 1 1 dff E F f E F f E F Gffdff E F )()()()(sin)1 ( 2 11 Gff)()( 11 d
6、 Gf f d )( )( 1 1 (b) (c) 代入代入（a) (d) GHrf)( 1 (e) sincos )1( sin )1( lnsin 2 cossin )1( lncos 2 IF E F EE F u IF EE F u 为待定常数。，其中：KIGH, 结构对称，荷载对称结构对称，荷载对称, 00 u处环向位移在 00| 0 GHGHu GHKI E F E F E F u KI E F E F u cossincos )1 (2 sin )1 (2 lnsin 2 sincossin )1 (2 lncos 2 )1( 2 Recos)1( 2 )()( i e E F
7、E F ff sincos)(KIf sincossin)1( 2 )(KI E F f sin)1( 2 )( * E F f cossincos)1 ( 2 )(sin) 1( 2 )(KI E F Gf E F df （f） 带入（d） 2. 沉降量计算沉降量计算 ”正向一致取“与”，正向一致取“与 uu 说明： 条件确定。表示刚体位移，由约束I 的相对沉限。对于基点的任一点 。求边界上距荷载的水平距离为 ，沉限不能确定，选基点不定，当约束不能确定时， BM s BI o y x P B s M ) 1 ln 2 ( ) 1 ln 2 ( F E S E p F EE F uu BM s
8、 E F ln 2 （4-25） I E F u IF EE F u ln 2 | ) )1 ( ln 2 | 0 2 （ 4.10 半平面体在边界上受分布力 解答采用直角坐标表示一. TT 1 )234( cossin2 cossin cossin2 sin cos2 cos 2 2 3 2 F r F F xy y x )244( )( 2 )( 2 )( 2 222 2 222 2 222 3 yx yxF yx xyF yx xF yxxy x x 0000 0ml lm ml lm ml lm ml yyx xyx 二二. . 分布力作用下的应力分布力作用下的应力 )254( )(
9、)(2 )( )(2 )( 2 )254( ,)( 222 2 222 2 222 3 yx yxqd d yx yxqd d yx xqd d qddpM ABq xy y x 由引起的应力处的应力分量 求任一点的面力作用于边界集度为 )264( )( )(2 )( )(2 )( 2 222 2 222 2 222 3 a b xy a b y a b x yx dyqx yx dyqx yx dqx 积分得 d qddP a A B b M(x,y) y x o )274( )()( )( )( )( )( )( )( )( )( 22 2 22 2 2222 2222 ayx x byx
10、 xq ayx ayx byx byx x ay arctg x by arctg q ayx ayx byx byx x ay arctg x by arctg q xy y x d c dFK I c 1 . , 1 , c 的沉陷的一点 处求距分布中点分布集度的边界上 平面体长度为设单位力均匀分布在半K c C 1 d c dF 1 B d s x 2 c x 2 c 2 c 2 c x I :,则常量对于均布荷载 q 二. 基础沉降 1.位移影响线 二二. . 基础沉降基础沉降 1.1.位移影响线位移影响线 )274( )()( )( )( )( )( )( )( )( )( 22 2
11、 22 2 2222 2222 ayx x byx xq ayx ayx byx byx x ay arctg x by arctg q ayx ayx byx byx x ay arctg x by arctg q xy y x d c dFK I c 1 . , 1 , c 的沉陷的一点 处求距分布中点分布集度的边界上 平面体长度为设单位力均匀分布在半K c C 1 d c dF 1 B d s x 2 c x 2 c 2 c 2 c x I :,则常量对于均布荷载 q 的距离。与基点为 点的距离到为其中 沉陷的引起的求由由 Bds KdF d s Ec s E dF d KdF ki ,
12、 ln 2 ln 2 )254( )284()( 1 , ln 2 , 2/ 2/ 2/ 2/ cF E ss BS d s Ec d K kiki cx cx cx cx kiki 看成常数：，积分时将 则取很远设基点为简化上式变化随由于 则沉陷点在均布力之外若 )()2ln1(ln2 )( )14ln() 12 12 ln(2 2 2 c c s c b c x c S c x c x Fki 其中： 则沉陷。（在均布力的中点若)0xIK 2/ 0 ln 4 c ki d s Ec 0 )284 ki F cc式，但仍为（）式，常数积分结果仍为（ 代换。：的数值。对于平面应变 ）查出在内）可以由表（值为整数时（当 1 , 1 140 2 E EF c x c x ki Thank Everyone !
