1、一 无穷小量无穷小量1 定义定义极限为极限为0的变量叫无穷小量的变量叫无穷小量。说明：说明：1.不要认为无穷小量是一个很小很小的数不要认为无穷小量是一个很小很小的数；2.无穷小量是个变量无穷小量是个变量；3.一个函数是无穷小量，必须指明自变量一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势；的变化趋势；4.0 是唯一可称为无穷小量的数。是唯一可称为无穷小量的数。第四节第四节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量例如例如：0coslim,1coslim20 xxxx 例例1 用定义证明用定义证明01lim0 xxx,lim01xx,0)1(lim nnn1),1,1(,1,0 xxx即即取取证明：证
2、明：xxxxxxx 111,0),1min(1 取取 101xxx时，时，当当2 无穷小量和极限的关系无穷小量和极限的关系 证明证明1）不妨设不妨设Axfxx)(lim0,0,0 时时，当当 0 xx Axf)(有有令令Axf )(（为为无穷小量）无穷小量）Axf)(则则,)(lim)1Axf 若若,)()2 Axf若若Axf)(lim则则则则 当当 为为无穷小量，也有无穷小量，也有 =A+0 xx)(xf,0,0 .)(Axf 即有即有例如：例如：,11lim xxx有有xxx111 其中其中)(01 xx时，时，当当 0 xx所以，所以，以以A为极限为极限。)(xf2）若若 =A+，则，则
3、=-A,为为无穷小无穷小量量,由于由于 为为无穷小量，故对无穷小量，故对)(xf)(xf思考题：思考题：时时，当当0 xx 是是无无穷穷小小)(x 是是“当当0 xx 时时，)(x 是无穷小是无穷小”的的(A)充分但非必要条件充分但非必要条件；(B)必要但非充分条件必要但非充分条件；(C)既非充分也非必要条件；既非充分也非必要条件；(D)充分必要条件充分必要条件二二 无穷大量无穷大量,10轴轴无限接近于无限接近于时，函数时，函数当当yxyx y无限增大，趋向于无穷大，称无限增大，趋向于无穷大，称xy1 是一个无穷大量。是一个无穷大量。X0Y简单地说，简单地说，绝对值无绝对值无限增大的限增大的变
4、量叫无变量叫无穷大量穷大量.精确地讲：精确地讲：)(lim)10 xfxx,0,0 M.)(Mxf 0 xx当当时，有时，有故故 )(lim0 xfxx )(lim)2xfx,0,0 XM时时，当当Xx .)(Mxf 有有故故)(lim xfx注注4 无穷大量是一个变量，绝对值无限增无穷大量是一个变量，绝对值无限增大的变量；大的变量；注注5 函数是无穷大量，必须指明其变化函数是无穷大量，必须指明其变化趋势趋势。比如比如01lim,1lim0 xxxx例例2证明证明 22lim2xxx证证：12),1,3(,1,2 xxx即即取取222222,0 xxxxxM要使要使Mxx 22只须只须MxMx
5、22,22 也也就就是是取取getxwhenSoM,2,2,1min Mx 22所以，所以，22lim2xxx注：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一注：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是无穷大量定是无穷大量。例：证明函数例：证明函数xxysin在在),0(是无界的，但是无界的，但x时，不是无穷大量时，不是无穷大量。证明：取证明：取0,2 nnynx,0),(,2 nnynnx 不是无穷大不是无穷大.说明：证明函数的极限不存在时，只须找说明：证明函数的极限不存在时，只须找一串点一串点 ,使使 的极限不存在。的极限不存在。nxxx,21)(nxf20406080100-75-50-2525
6、5075100下面证明下面证明22,0 nxMn且且)(nxn22)22sin(22 nnnyn取取 .22,022,10000MNyNxMNn 所以所以，xxysin),0(上是无界的。上是无界的。在在xxysin),0(上是无界的上是无界的。在在三三 无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系注注（倒数关系）倒数关系）,0)(0)(lim)1 xfandxfx.)(1lim xfx,0)()(lim)2 xfandxfx则则.0)(1lim xfx则则.0)(,0)(lim)10 xfxfxx且且设设,1)(0,0,00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从而从而.
7、)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx,0)(xf由于由于.)(lim)20 xfxx设设,1)(0,0,00 xfxx恒有恒有时时使得当使得当.)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx 注注 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.四四 无穷小的运算法则无穷小的运算法则定理定理有限个无穷小的和仍是无穷小。有限个无穷小的和仍是无穷小。0lim,0lim .0)lim(证：证：,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x使使得得,0,0,021 XX;21 时时恒恒有有当当Xx;22 时时恒恒有有当当Xx,max21X
8、XX 取取恒有恒有时时当当,Xx 22 ,故故.0)lim(注意：无限个无穷小量的和不一定注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小是无穷小。例：例：1).2(lim222 nnnnnnnn定理定理 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。证明：证明：g(x)有界，故存在有界，故存在M，使，使Mxf)(0)(lim,00 xfxx 对于对于0,10 M.)(,010Mxfxx 有有当当故当故当0)()(,010 xgxfxx有有 设设g(x)在某定义域内有界，在某定义域内有界，存存在在，)(limxf.0)()(lim xgxf则则.)()()()(0 MMxgxfxgxf 推论推论（）常量与无穷小的积仍是无穷小；（）常量与无穷小的积仍是无穷小；（）有限个无穷小量的积仍是无穷小。（）有限个无穷小量的积仍是无穷小。例例01arctanlim0 xxx01coslim0 xxx0sin1limsinlim xxxxxx
