1、第六章第六章 层次分析法层次分析法6.1问题提出问题提出6.2层次分析法的基本原理层次分析法的基本原理 6.3 层次分析法的计算层次分析法的计算6.4 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤6.5 层次分析法的层次分析法的应用实例应用实例6.1问题提出问题提出 合理使用一笔留成利润合理使用一笔留成利润合理使用企业留成利润C1 调动职工劳动生产积极性C2 提高企业技术水平C3改善职工物质文化生活状况P1发奖金P2 扩建集体福利设施P3 办职工业余学校P4 建图书馆俱乐部P5 引进新设备准则层 C目标层 A图图 6.1 企业留成利润使用层次分析模型企业留成利润使用层次分析模型措施层P6.2层次分
2、析法的基本原理层次分析法的基本原理一、层次分析模型及其构造一、层次分析模型及其构造根据问题的性质和要达到的目标，将问题分解为不同的根据问题的性质和要达到的目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照各因素之间的相互关联影响和隶属关组成因素，并按照各因素之间的相互关联影响和隶属关系将所有因素按若干层次聚集组合，形成一个多层次的系将所有因素按若干层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型分析结构模型如科研课题遴选，要考虑的因素主要有如科研课题遴选，要考虑的因素主要有1）实用价值）实用价值;2）科学意义）科学意义;3）优势的发挥）优势的发挥4）难易程度）难易程度;5）研究周期）研究周期;6）财政的支持）
3、财政的支持准则准则:1)科研贡献大小，科研贡献大小，2)人才培养人才培养3)和科研课题的可行性和科研课题的可行性目标：更好为社会建设服务目标：更好为社会建设服务6.2层次分析法的基本原理（续）层次分析法的基本原理（续）图图6.2 科研课题遴选层次分析模型科研课题遴选层次分析模型合理选择科研课题合理选择科研课题更好为社会建设服务更好为社会建设服务A A成果贡献成果贡献B1B1人才培养人才培养B2B2课题可行性课题可行性B3B3实用实用价值价值C1C1科学科学意义意义C2C2优势优势发挥发挥C3C3难以难以程度程度C4C4研究研究周期周期C5C5财政财政支持支持C6C6经济经济价值价值C11C11
4、社会社会价值价值C12C12课题1课题1D1D1课题2课题2D2D2课题3课题3D3D3课题N课题NDNDN.目标层目标层准则层准则层指指标标层层课课题题层层6.2层次分析法的基本原理（续）层次分析法的基本原理（续）二、层次分析结构模型主要层次：二、层次分析结构模型主要层次：1）最高层）最高层 表示解决问题的目的，即层次分析要达到的表示解决问题的目的，即层次分析要达到的目标目标2）中间层）中间层 表示为实现目标所涉及的因素、准则和策略表示为实现目标所涉及的因素、准则和策略等。中间层可分为若干子层，如准则层，约束层和策等。中间层可分为若干子层，如准则层，约束层和策略层等。略层等。3）最低层）最低
5、层 表示为实现目标而供选择的各种措施、方案表示为实现目标而供选择的各种措施、方案和政策等。和政策等。三、判断矩阵及其标度三、判断矩阵及其标度判断矩阵表示相对上一层次某一因素而言，本层次各判断矩阵表示相对上一层次某一因素而言，本层次各因素之间的两两相对重要性程度。设因素之间的两两相对重要性程度。设A层因素层因素ak与下一与下一层次层次B中的因素中的因素B1，B2，Bn有联系，则我们构造如有联系，则我们构造如下判断矩阵下判断矩阵6.2层次分析法的基本原理（续）层次分析法的基本原理（续）其中，其中，bi j表示相对于上一层次因素表示相对于上一层次因素ak而言，因素而言，因素Bi对对Bj的相对重要性。
6、其值可用数字的相对重要性。其值可用数字19及其倒数表示，及其倒数表示，这些数字称为判断矩阵的标度。判断矩阵标度首先由这些数字称为判断矩阵的标度。判断矩阵标度首先由Saaty给出，其含义如表给出，其含义如表6.1所示。所示。akB1 B2 BnB1B2.Bnb11 b12 b1 nb11 b12 b1 nb11 b12 b1 n6.2层次分析法的基本原理（续）层次分析法的基本原理（续）表表6.1 判断矩阵标度及其含义判断矩阵标度及其含义选择标度为选择标度为19是基于如下一些事实和科学依据：是基于如下一些事实和科学依据：1）人们在估计事物质的区别性时，常常用五种判断来表）人们在估计事物质的区别性时
7、，常常用五种判断来表示。即相等，较强，强，很强，绝对强。当需要更高示。即相等，较强，强，很强，绝对强。当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间作出比较。这样总共精度时，还可以在相邻判断之间作出比较。这样总共有有9个数字，它们有连贯性，可在实践中应用。个数字，它们有连贯性，可在实践中应用。标标度度含含义义1表表示示两两个个因因素素相相比比，具具有有同同样样的的重重要要性性。3表表示示两两个个因因素素相相比比，一一个个因因素素比比另另一一个个因因素素稍稍微微重重要要。5表表示示两两个个因因素素相相比比，一一个个因因素素比比另另一一个个因因素素明明显显重重要要。7表表示示两两个个因因素素相相比比，一一
8、个个因因素素比比另另一一个个因因素素强强烈烈重重要要。9表表示示两两个个因因素素相相比比，一一个个因因素素比比另另一一个个因因素素极极端端重重要要。2，4上上述述两两相相邻邻判判断断的的中中间间值值。6，8上上述述两两相相邻邻判判断断的的中中间间值值。倒倒数数相相应应两两因因素素交交换换次次序序比比较较的的重重要要性性。6.2层次分析法的基本原理（续）层次分析法的基本原理（续）2）心理学家认为，人们在同时比较若干个对象时，能够区）心理学家认为，人们在同时比较若干个对象时，能够区别差异的极限为别差异的极限为7 2个对象，这样它们之间的差异正好个对象，这样它们之间的差异正好可用可用9个数字表示。个
9、数字表示。3）Saaty还将还将19的标度方法同另外的的标度方法同另外的26种标度方法进行种标度方法进行比较，结果表明比较，结果表明19标度方法能较好地将思维判断数量标度方法能较好地将思维判断数量化。因此，化。因此，19标度是可行的。标度是可行的。三、判断矩阵的一致性三、判断矩阵的一致性1、一致性的判断矩阵：如果判断矩阵、一致性的判断矩阵：如果判断矩阵A满足满足 ai j aj k=ai k i,j,k=1,2,n则称则称A为一致性的判断矩阵。为一致性的判断矩阵。2、一致判断矩阵的特点、一致判断矩阵的特点考虑把一块单位重量的大石头考虑把一块单位重量的大石头Z分成分成n块小石头块小石头y1，y2
10、，yn，各块小石头的重量为，各块小石头的重量为w1，w2，wn。这。这n个小石头之间相对重量的判断矩阵个小石头之间相对重量的判断矩阵A为为6.2层次分析法的基本原理（续）层次分析法的基本原理（续）显然显然A是满足一致性条件的正互反矩阵，且有：是满足一致性条件的正互反矩阵，且有：nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA.6.2层次分析法的基本原理（续）层次分析法的基本原理（续）这表明这表明w为为A的特征向量，并且特征根为的特征向量，并且特征根为n。即对于一致。即对于一致性的判断矩阵，排序向量性的判断矩阵，排序向量w就是矩阵就是矩阵A的特征向量。的特征向量。nwwnwwwwwAwwwww
11、wwwwwwAnTnnn.,),.,(.则有记6.2层次分析法的基本原理（续）层次分析法的基本原理（续）一致的正互反矩阵具有以下性质：一致的正互反矩阵具有以下性质：1）ai i=1,ai j=aj i-1,ai j aj k=ai k2）A的转置也是一致的；的转置也是一致的；3）A的每一行（列）均为任意指定一行（列）的正数倍数的每一行（列）均为任意指定一行（列）的正数倍数4）A有特征根有特征根 1=n，其余特征根全为，其余特征根全为0；5）若）若A的特征根的特征根 1所对应的特征向量为所对应的特征向量为w=(w1，w2，wn)T，则，则ai j=wiwj-1。由以上性质可知，当由以上性质可知，
12、当A是一致矩阵时，是一致矩阵时，1=n，1所对应所对应的特征向量为排序向量。若将该排序向量归一化后仍记的特征向量为排序向量。若将该排序向量归一化后仍记w=(w1，w2，wn)，则满足，则满足w1+w2+wn=1。定理：定理：n阶正互反矩阵阶正互反矩阵A=（ai j）n n是一致矩阵的充要条件是一致矩阵的充要条件是其最大特征根是其最大特征根 1=n。6.2层次分析法的基本原理（续）层次分析法的基本原理（续）一致性指标一致性指标平均随机一致性指标平均随机一致性指标N 1 2 3 4 5 6 7 8 9RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.321.411.45令令CR=CI/RI
13、，称，称CR为一致性比率。当为一致性比率。当CR0.1时，可认时，可认为判断矩阵具有满意的一致性。为判断矩阵具有满意的一致性。nnCInnRI6.3 层次分析法的计算层次分析法的计算一、方根法一、方根法 设判断矩阵为设判断矩阵为B=(bi j)n n1、计算判断矩阵每一行元素的乘积、计算判断矩阵每一行元素的乘积2、计算、计算Mi的的n次方根次方根3、对向量、对向量则则W=W1,W2,Wn即为所求的特征向量。即为所求的特征向量。4、计算判断矩阵的最大特征根、计算判断矩阵的最大特征根 MaxnibMnjiji,.,nii,.,MW ninjjiiTWWW W,.,W,WW 进行规范化，即njiin
14、WBW)(Max6.3 层次分析法的计算（例）层次分析法的计算（例）例、由例、由.)(.12.4660.405 /,/1BMaxnjiinWBWWWM得6.3 层次分析法的计算（续）层次分析法的计算（续）二、和积法二、和积法 设判断矩阵为设判断矩阵为B=(bi j)n n1、将判断矩阵每一列规范化、将判断矩阵每一列规范化2、将规范化后的判断矩阵按行相加、将规范化后的判断矩阵按行相加njibbbnkkjijij,.,nibWnjiji,.,6.3 层次分析法的计算（续）层次分析法的计算（续）3、对向量、对向量则则W=W1,W2,Wn即为所求的特征向量。即为所求的特征向量。4、计算判断矩阵的最大特
15、征根、计算判断矩阵的最大特征根 MaxnjjiiTWWW W,.,W,WW 进行规范化，即njiinWBW)(Max6.3 层次分析法的计算（例）层次分析法的计算（例）例、仍以前面的矩阵为例，有例、仍以前面的矩阵为例，有.)(.0.7811.90.317 .,/1BMaxnjiinWBWWWB得6.4 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1、建立层次结构模型、建立层次结构模型 2、构造判断矩阵、构造判断矩阵 3、层次单排序及其一致性检验、层次单排序及其一致性检验 1）特征向量）特征向量w经过归一化后即为各因素关于目标的相对重要经过归一化后即为各因素关于目标的相对重要性的排序权值。性的排序权
16、值。2）利用判断矩阵的最大特征根，可求）利用判断矩阵的最大特征根，可求CI和和CR值，当值，当CR0.1时，认为层次单排序的结果有满意的一致性。时，认为层次单排序的结果有满意的一致性。4、层次总排序、层次总排序 计算某一层次各因素相对上一层次所有因素计算某一层次各因素相对上一层次所有因素的相对重要性的排序权值称为层次总排序。的相对重要性的排序权值称为层次总排序。设上一层次设上一层次A包含包含m个因素个因素A1，A2，Am，其层次总排，其层次总排序的权值分别为序的权值分别为a1，a2，am，下一层次，下一层次B包含包含n个因素个因素B1，B2，Bn，它们对于因素，它们对于因素Aj(j=1,2,m
17、)的层次单排的层次单排序权值分别为序权值分别为b1 j，b2 j，bn j(当当Bk与与Aj无联系时，无联系时，bk j=0)，则，则B层次总排序权值可按表层次总排序权值可按表6.3计算。计算。6.4 层次分析法的基本步骤（续）层次分析法的基本步骤（续）表表6.3 层次总排序权值计算表层次总排序权值计算表5、层次总排序的一致性检验、层次总排序的一致性检验 这一步也是从高到低逐层这一步也是从高到低逐层进行的。如果进行的。如果B层次若干因素对于上一层次某一因素层次若干因素对于上一层次某一因素Aj的单排序一致性检验指标为的单排序一致性检验指标为CIj，相应的平均随机一致，相应的平均随机一致性指标为性
18、指标为RIj，则，则B层次总排序随机一致性比率为层次总排序随机一致性比率为A1 A2 Am层层次次 A层层次次 Ba1 a2 amB 层层次次总总排排序序权权值值B1B2.Bnb11 b12 b1mb21 b22 b2m.bn1 bn2 bnm ajb1 j ajb2 j.ajbn jmjjjmjjjRIaCIaCR/6.5 层次分析法应用实例层次分析法应用实例实例实例1 某一企业要确定如何合理使用一笔留成利润问题，某一企业要确定如何合理使用一笔留成利润问题，其层次结构图如图其层次结构图如图6.1所示。假定该企业根据实际情况，所示。假定该企业根据实际情况，构造判断矩阵如下：构造判断矩阵如下：1
19、、判断矩阵、判断矩阵A-C2、判断矩阵、判断矩阵C1-PAC1C2C3C1C2C31531/511/31/331C1P1P2P3P4P5P1P2P3P4P511/31/51/41/7311/31/21/553121/2421/211/3751316.5 层次分析法应用实例（续）层次分析法应用实例（续）3、判断矩阵、判断矩阵C2-P4、判断矩阵、判断矩阵C3-PC2P2P3P4P5P2P3P4P517351/711/51/21/35131/531/31C3P1P2P3P4P1P2P3P4111/31/3111/31/3331133116.5 层次分析法应用实例（续）层次分析法应用实例（续）解、解
20、、1、求各层次单排序、求各层次单排序1）判断矩阵）判断矩阵A-C2）判断矩阵）判断矩阵C1-P.CRRICIWMax.CRRICIWMax6.5 层次分析法应用实例（续）层次分析法应用实例（续）3）判断矩阵）判断矩阵C2-P4）判断矩阵）判断矩阵C3-P.CRRICIWMaxCRCIWMax .6.5 层次分析法应用实例（续）层次分析法应用实例（续）2、层次总排序、层次总排序3、层次总排序一致性检验、层次总排序一致性检验CI=0.105*0.032+0.637*0.039+0.258*0=0.028RI=0.105*1.12+0.637*0.90+0.258*0.90=0.923CR=CI/R
21、I=0.028/0.923=0.0300.1表表 6.4 层层次次总总排排序序计计算算表表C1C2C3层层次次 C层层次次 P0.1050.6370.258层层次次 P 总总排排序序P1P2P3P4P5049102320092013800460005505640118026304060406009400940015701640393011301726.5 层次分析法应用实例（续）层次分析法应用实例（续）4、结论、结论所考虑的所考虑的5种方案的优先排序及其权值为种方案的优先排序及其权值为1）P3，开办职工业余技术学校，权值为，开办职工业余技术学校，权值为0.393；2）P5，引进新技术设备进行企业技术改造，权值为，引进新技术设备进行企业技术改造，权值为0.1723）P2，扩建职工宿舍、食堂等福利设施，权值为，扩建职工宿舍、食堂等福利设施，权值为0.164；4）P1，发奖金给职工，权值为，发奖金给职工，权值为0.157；5）P4，建图书馆、俱乐部，权值为，建图书馆、俱乐部，权值为0.113；企业领导和职工代表大会可根据上述计算结果，决定各企业领导和职工代表大会可根据上述计算结果，决定各种方案的实施先后次序，或决定分配使用企业留成利种方案的实施先后次序，或决定分配使用企业留成利润的比例。润的比例。
