1、数字信号处理 第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法 w 6.1引言引言w 6.2最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前系统系统 w 6.3全通系统全通系统 w 6.4用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIR数字滤波器数字滤波器w 6.5冲激响应不变法冲激响应不变法w 6.6阶跃响应不变法阶跃响应不变法w 6.7双线性变换法双线性变换法本章主要讨论逼迫性性能要求或系统函数的设计问题。数字滤波器按频率特性划分为为低通、高通、带通、带阻、全通等。其理想幅度频率响应如图6.1。数字滤波器在复频率响应下三个参量分析：1.幅度平方响应 (6.3
2、)由于的极点既是共轭的，又是以单位圆对称的，故只取单位圆内的极点作为的极点。如果选在z平面单位圆的零点作为零点，则得到是最小相位延迟滤波器。*1()()()()()()()jjjjjjz eH eH eHeH eH eH z H z()jH e1()()H z H z()H z1()()H z H z()H z2.相位响应由于（6.4）所以（6.5）由于所以又有（6.6）)(Im)(Re)()()(jjejjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(jjjeHeHarctge*()()()jjjjeHeH eejezjjjjjzHzHjeHeHjeHeHje)()(ln21)()(ln21)
3、()(ln21)(1*3.群延迟响应它是滤波器平均延迟的一个度量（6.7）可以化为（6.8）由于所以因而又有（6.9）()()|()|jjjjeIn H eIn H eededejj)()(jjezezjdzzdjzddzdzzde)()()()Im()jjeH e)(lnIm)(jjeHdde同样可化为（6.10）当滤波器为线性相位响应特性时，则通带内延迟特性为常数。jjjjezezezezjzHdzzdHzzHdzdzdzzHdjzddzdzzHde)(1)(Re)(lnRe)(lnIm)(lnIm)(IIR滤波器逼迫问题IIR系统函数（6.11）就是去求出滤波器的各系数，使得在规定意义上
4、，逼近所要求特性。在z平面上逼近，得到数字滤波器。设计方法：（1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足指标的数字滤波器。（2）计算机辅助设计方法。NkkkMkkkzazbzH101)(,kka b6.2最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前系统任一个线性时不变系统，其系统函数为（6.12）系统频率响应表达式（6.13）我们对进行研究。NkkMmmMNNkkMmmNkkkMmmmdzczKzzdzcKzazbzH11111100)()()1()1()()(arg11)()()()()(jeHjjNkkjMmmjMNjjeeHdeceKeeH()jH eK的模为（6.14）其相角为（6.
5、15）若分别表示单位圆内外的零极点数则注：零（极）矢是指零（极）点指向z平面单位圆上频率点的矢量。当从0到时，只有单位圆内的零极点对相角有影响。()jH eK11|()|()|()|MjmjmNjkkecH eKed各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积11()argargarg()jMMjjmkmmH eecedNMK,ioiom mp p,ioioMmmNpp2零点、极点的分布对系统相角影响的讨论（1）对因果稳定系统，此时当从0变到时，则辐角变化量它称为相位延时系统。a 当全部零点在单位圆内，即有其相位变化最小，称为最小相位系统。00,ippN222()arg2 2()222jiiioH e
6、mpNMKmMm(0)iomM m2()arg0jH eKb 当全部零点在单位圆外，即有这时相位变化最大，又是负数，即最大相位延时系统，是因果稳定系统。（2）对逆因果移动系统，此时当从0变到时，则辐角变化量为称为相位超前系统。0()iommM2()arg2jH eMK 0,0ipNp222()arg22()jiH emNMKa 当全部零点在单位圆内时，即有这时相位变化最大，称最大相位超前系统，是逆因果稳定系统。b 当全部零点在单位圆外时即有这时相位超前最小，称最小相位超前系统，是逆因果移动系统。(0)iomM m02()arg22jH eNpK0()iommM02()arg2()joH epm
7、K表6.1四种系统及其因果性、稳定性、零点、极点的关系。最小相位系统重要性质（1）在傅里叶变换相同的所有系统中，它的负相位最小。（2）最小相位系统能量集中在n=0附近。（3）相同傅里叶变换幅度的各序列，最小相位序列的最大。（4）在幅度响应相同的系统中，只有唯一的一个最小相位延时系统。（5）利用级联全通的方法，可将最小相位系统的零点反射到单位圆外，构成幅度响应相同的非最小相位延时系统。()jH emin(0)h()jH e6.3全通系统定义：是指系统频率响应的幅度在所有频率下均为1或某一常数的系统。满足简单一阶全通系统函数A为实数（6.16）零极点如图6.3|()|1japHe1|0,1)(11
8、aazazzHap高阶全通系统包含实零点实极点系统；还包括复数零点极点系统；复数零点极点的全通节的系统函数a为实数（6.17）如图6.4所示。1|0,11*1aazaz当h(n)是实函数，因而其系统函数的复数极点零点必须共轭出现。实系数有理二阶全能系统函数（6.18）如图6.5。1|,11)(1111azaazazazzHap一般来说，N阶数字全通系统的系统函数频率响应的模都为1。证明：N阶全通系统函数为式中当时，满足（6.21）所以有（6.22）)()(11)(1)1(111)1(111*111zDzDzzdzdzdzzdzddzaazzHNNNNNNNNNkkNkNNNNzdzdzdzD)
9、1(1111)(jze)()(*jjeDeD1|)(|jeH全通系统应用（1）任何一个因果稳定的（非最小相位延时）系统的H(z)都可以表示为全通系统和最小相位延时系统的时延。（6.24）它们频率响应的相位相同，相位不同。即（6.25）min()Hz()apHzmin()()()apH zHzHz|)(|)(|)(|)(|minminjjapjjeHeHeHeH证明：设一个因果稳定的非最小相位延时系统H(z)为（6.24）将6.24式表示为（6.25）由于，所以是最小相位延时，是全通级联。所以可表示为6.23式。*11100()(1)(1)H zz zz z)()()()(*01011zzzzz
10、HzH10*011*001101*011010*01*0*0101111)1()1()(1111)()()()(zzzzzzzzzzzzzHzzzzzzzzzzzzHzH11*00*110011zzzzz zz z0|1z（2）如果设计出的滤波器是非稳定的，则可用级联全通函数的办法将它变成一个稳定系统。例：原滤波器有一对极点在单位圆外级联一个全通系统则可将单位圆外极点抵消，但不改变系统幅度特性。1jzer1111()11jjapjjzrezreHzrezre z（3）可以作为相位均衡器（群时延均衡器）用，来得到线性相位，但不改变幅度特性。设全通滤波器为，系统为级联后H(z)即相位关系()()(
11、)apdH zHz Hz()apHz()dHz()()()()()()()apdjjjjjjapdapdH eHeHeHeHee()()()apdy 按得当通带中满足是常数则逼近误差的平方值()()dd ()()()apd 0()22200()()()apde 6.4用模拟滤波器设计IIR数字滤波器方法：利用模拟滤波器设计数字滤波器就是要把s平面映射到z平面，使模拟系统函数变换成所需的数字滤波器的系统函数。基本要求：（1）的频响特性应能模仿的频率响应（2）因果稳定的就能映射成因果稳定几种映射方法：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法。()aHs()H z()aHs()aHs()H z(
12、)H z6.5冲激响应不变法一、变换原理冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应。即抽样满足（6.27）利用2.53式，得（6.28）它与2.5节从s平面到z平面2.51式一致。如图6.7()ah T)()(nThnha)2(1)(kTjsHTzHkaezsT二、混叠失真数字滤波器和模拟滤波器频率响应之间关系（6.29）只有当（6.30）才能在折叠频率内重现模拟滤波器响应而不产生混叠失真，即（6.31）)2(1)(TkjHTeHakj2,0)(Tjha)(1)(TjHTeHaj注意：（1）模拟滤波器频率响应在折叠频率以上衰减快、大，变换后混叠失真越小。
13、（2）当增加，可减小混叠效应。（3）当滤波器指标用数字域给定时，若不变，用减小T的方法就不能解决混叠问题。sfc三、模拟滤波器的数字化方法冲激响应不变法所造成的s平面和z平面的对应关系设模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次。展开部分分式（6.32）其相应的冲激响应是的拉普拉斯变换即（6.33）对h(n)求z变换，得数字滤波器系统函数（6.34）()aHsNkkkassAsH1)()aHs()ah tNknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()(NkTsknnnTsNkknTsNkknnzeAzeAzeAznhzHkkk1100111
14、11)()()()(6.32式的和6.34式的H(z)比较结果分析：（1）s平面的单极点变换到z平面上处的单极点。（2）两者部分分式的系数是相同的，都是（3）如果模拟滤波器是稳定的，则数字滤波器也是稳定的。（4）能保证两者极点代数对应关系，但不保证整个s与z的代数对应关系。零点就没有这种关系。而是随的极点及系数两者而变化。()aHskssks TzekA()aHs6.31式看出，数字滤波器频率响应还与抽样间隔T成反比。当抽样频率高时，滤波器增益会太高。修正方法：令（6.35）则有（6.36）及（6.37）因共轭极点，其变成h(z)关系kss)()(nTThnhaNkTskzeTAzHk111)
15、(kajTjHkTjTjeH),()2()(*kss()aHs*1*1,11kkkkkks Ts TkkAAAAssezssez例6.1设模拟滤波器的系统函数为试利用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器。解：直接利用6.36式可得数字滤波器的系统函数为设T1，则有2211()4313aHsssss13131132411()()111()TTTTTTTTzeeH zezezzeez e1120.318()1 0.41770.01831zH zzz模拟滤波器与数字滤波器的频率响应分别为画在图6.8上。222()(3)40.3181()1 0.41770.01831ajjjjHjjeH eee(),
16、()jaHjH e冲激不变响应法优缺点：数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好，模拟频率和数字频率之间呈线性关系。只适应限带的模拟滤波器。6.6阶跃响应不变法该方法是使数字滤波器的阶跃响应g(n)模仿模拟滤波器的阶跃响应。使g(n)满足（6.38）因而满足将此式取z变换可得G(n)=g(n)=z H(z)/(z-1)（6.39）所以（6.40）()ag t()()*()g nu nh n)()()(nTgtgnganTta)(1)(zGzzzH对于模拟滤波器其系统函数为，其阶跃响应如图6.10。因而满足()()*()aag tu th t()aHs对上式两端取拉普
17、拉斯变换可得（6.41）即（6.42）要满足阶跃响应不变，则应有（6.43）将6.43式取z变换，并代入6.40得数字滤波器系统函数（6.44）这就是阶跃响应不变法公式。1()()()aaaG sL g tHss11()()aag tLHss11()()()aat nTg ngnTLHss111()()at nTzH zL LHszs阶跃响应不变法频率响应周期延拓及混叠现象探讨：理想抽样信号拉氏变换为（6.45）而阶跃响应序列的z变换为（6.46）比较6.45及6.46式，可知（6.47）()()()snTaaanGsL gtgnT ennzngzG)()()()(sGzGaezsT同样模拟阶
18、跃信号与理想抽样信号两者拉普拉氏变换关系（6.48）由6.47,48式，代入6.39,41式，得（6.49）可以看出，不是严格限带情况下仍有周期延拓及混叠失真现象，但比冲激响应不变法要小。kaaTjksGTsG)2(1)(kakaezTjksTjksHTTjksGTzHzzsT2)2(1)2(1)(1例6.2已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化（3dB截止频率为1）的模拟系统函数为而3dB截止频率为50Hz的模拟滤波器，需将归一化中的s变量用来代替，即设系统抽样频率为，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通滤波器，采用阶跃响应不变法。21()1 1.414136aHsss250s4249.86
19、96044 10()()250444.288309.8696044 10aasHsHss500sfHz()aHs()aHs解：按6.41式，模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为由于4242219.8696044 10()()(444.288309.8696044 10)1(222.14415)222.14415(222.14415)222.14415aaG sHsss sssss002200220sin()()()cos()()()1()atatL et u tsasaL et u tsaL u ts故则利用以下z变换关系1222.14415()()1sin(222.14415)cos(222.
20、14415)()aatgtLG settu t222.14415()()1sin(222.14415)cos(222.14415)()anTg ngnTenTnTu n222()()()()sin(sin)()2 cos1sin(cos)()2 cos1()1naTaTL x nX zL ex nX ezzaTLnaT u nzzaTzzaTLnaT u nzzaTzL u nz且代入得阶跃响应的z变换再由6.40式可得数字低通滤波器的系统函数为311222.14415,2 10500saTsf22220.30339071()()11.15804590.411240700.145344810.
21、10784999(1)(1.15804590.41124070)zzzG zL g nzzzzzzzz121210.145344810.10784999()()1 1.15804590.41124070zzzH zG zzzz6.7双线性变换法目的：主要用来克服混叠现象。一、变换原理双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相应的一种变换方法。首先把整个s平面压缩变换到某一中介的平面的一条横带里，其次再通过上面讨论过的标准变换关系将此横带变换到整个z平面上去，这样就使s平面与z平面一一对应来消除混叠。1s1s Te将s平面整个 轴压缩变换到上的到一段变换关系：（6.50）这样，
22、变到变到，可将6.50式变换成解析延拓到s平面和平面，令则（6.51）j1sTT)2tan(1T 1T 0 10 11112222TTTTeejee 11,js js TsTsTsTsTsTseeTstheeees11111111212222再将平面通过以下标准变换关系映射到z平面（6.52）从而得到s平面和z变换的单值映射关系（6.53）（6.54）为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系引入待定常数c，使50,51式变成（6.55）（6.56）1sTsez11111zzsssz11)2tan(1TcTsTseecTcths1111)2(1仍将代入6.56式，可得（6.57）
23、（6.58）上两式是s平面与z平面之间的单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。1s Tze1111zzcsscscz二、变换常数c的选择不同c可以调节频带间的对应关系。有两种方法（1）使两种滤波器在低频处有较明确的对应关系。即低频时，当较小有由6.55式及可得因而得到（6.59）此时两者低频特性近似。1 111tan()22TT1 112Tc Tc2（2）采用数字滤波器的某一特定频率与模拟原型滤波器的一个特定频率相对应，即则有（6.60）这种方法的主要优点是在特定的模拟和数字频率处，频率响应严格相等。可准确的控制截止频率的位置。)2tan()2tan(1ccccTccot2ccc 三、逼近的
24、情况6.57,58就满足要求：（1）首先把代入6.41式，可得（6.61）即s平面的确实与z平面的单位圆相对应。（2）其次将代入6.42式中，得，因此从上看出，s左半平面对应z平面的单位圆内，s右半对应z单位圆外，虚轴对应单位圆上。jzejjceecsjj)2tan(11()()cscjzcscj2222()|()czcsj四、优缺点由6.61式重写如下（6.62）其关系表见6.12所示。从12所示，当零频附近呈线性关系，当增加时，就存在非线性关系。其产生两个问题：（1）经双线性变换不能保持原有相位。（2）这种非线性关系要求模拟滤波器的帧频响应必须是分段常数型的。注：图6.13是理想数字微分器
25、变换后产生的畸变。)2tan(c解决办法：将频率加以预畸，即利用将数字频率变换成模拟频率，利用这组模拟频率来设计模拟带通滤波器，这是我们要求的模拟原型。这一预畸过程如图6.14。)2tan(c五、模拟滤波器数字化方法利用双线性变换将模拟滤波器数字化的办法：（1）用6.57式将模拟系统函数变换为数字滤波器函数：（6.63）（2）先将模拟系统分解为并联子系统，然后再对子系统进行双线性变换。如子系统（6.64）变换后得离散系统函数（6.65）111111)()(11zzcHzHzHazzcsa)()()()(21sHsHsHsHmaaaa)()()()(21zHzHzHzHm其中：如果模拟系统分解为并联子系统，得（6.67）经双线性变换后，离散系统函数为：（6.68）其中（6.69）misHzHzzcsai,2,1,)()(11111)()()()(21sHsHsHsHmaaaa?)()()()(21zHzHzHzHmnisHzHzzcsai,2,1,)()(11111
