1、第三章多自由度系统的振动第三章多自由度系统的振动（优选）第三章多自由度系统的振动上次课内容回顾上次课内容回顾2.2.利用利用LagrangeLagrange方程建立系统运动微分方程的步骤方程建立系统运动微分方程的步骤 判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标;以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式1niiiWQ q从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；上次课内容回顾上次课内容回顾在计算动能和势能的时候必须精确到二阶小量。方同著振动理论及应用4.4.微振动假设下的注意事项微振动假设
2、下的注意事项3.3.用用LagrangeLagrange方程建立系统运动微分方程的优点方程建立系统运动微分方程的优点 不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力,是建立复杂离散 系统运动微分方程的首选方法；即可用于线性系统，也可用于非线性系统。多自由度系统的振动多自由度系统的振动第三章第三章与单自由度系统相比，多自由度振动系统带来的一些变化有：系统的固有频率不是一个，而是多个；引入了固有振型的概念；固有振型关于质量和刚度矩阵的加 权正交性是线性振动理论的精髓；在研究方法上大量使用线性代数和矩阵理论方面的知识；第三章：多自由度系统的振动分析第三章：多自由度系统的振动分析1.1.预备知识预备知识线性代
3、数与矩阵理论线性代数与矩阵理论2.2.多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动第三章：多自由度系统的振动分析第三章：多自由度系统的振动分析预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论21233133aaaa【代数余子式代数余子式】ijM已知 为一矩阵,则 的余子式定义为:划掉 所在的第 行和第 列的元素,剩下的元素组成的矩阵的行列式,计作=()ijaAijaijaij=(1)ijijijAM代数余子式代数余子式111213212223313233aaaaaaaaaA12a则 的代数余子式=已知:余子式余子式预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【矩阵的行列式的计算矩阵
4、的行列式的计算】定理：任意方阵的行列式等于它的任一行或任意列的各元素与其对应 的代数余子式乘积的和。11122122aaaaA已知：11122122det()aaaaA则：11221221a aa a111213212223313233aaaaaaaaaA已知：det()A则：111112121313a Aa Aa ATTTTSC B A预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【矩阵转置矩阵转置】T()ABCS将矩阵 的行、列互换所得到的矩阵就是 的转置矩阵，用 表示。=()ijaAATA矩阵的转置满足以下规律：TT()AAT(+)A BTTABT()ABTTB A11 adj|A
5、AA【矩阵的逆矩阵的逆】预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论如果一个矩阵的行列式等于0，这个矩阵就称为奇异矩阵。【奇异矩阵奇异矩阵】(),ijn nijijaAaA已知为的代数余子式 则112111222212adjnnnnnnAAAAAAAAAA(),ijn nijijaAaA已知为的代数余子式 则 的伴随矩阵的伴随矩阵A 的各个元素的的各个元素的代数余子式所组代数余子式所组成的矩阵的转置成的矩阵的转置AAxByCxDy ABxCDy=ABEFCDGHAEBGAFBHCEDGCFDH预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【分块矩阵的乘积分块矩阵的乘积】【半正定矩
6、阵半正定矩阵】【正定矩阵正定矩阵】对任意0,X有T0,X AX则 为正定矩阵。A有A对任意0,XT0X AX则 为半正定矩阵。预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【线性相关与线性无关线性相关与线性无关】定义定义 向量 线性相关指的是：存在不全为零的数使12,m 12,mk kk1122mmkkk0定义定义 向量 线性无关指的是：仅当才使 12,m 120mkkk1122mmkkk0也就是说，若 1122mmkkk0则必有 120mkkk预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【线性代数方程组的解线性代数方程组的解】奇次线性方程组=0(1)AX有非零解的充要条件是|0
7、A定义定义 奇次方程组（1）的一组解 称为（1）的一个基础解系，如果12,t 1.(1)的任一个解都能表示成 的线性组合；12,t 2.线性无关。12,t 定理定理 在在奇次方程组有非零解的情况下，方程组的基础解系所含解的个数等于 。nr是系数矩阵的秩。:r:nr也是自由未知量的个数。预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【特征值与特征向量特征值与特征向量】=A定义：定义：设 是 阶矩阵，如果对于数 ，存在非零列向量 ，使得An则称 是 的一个特征值，是 的属于特征值 的特征向量。AA剪切变换前后的剪切变换前后的蒙娜丽莎图像蒙娜丽莎图像红色箭头是剪切变换的特征向量红色箭头是剪切变
8、换的特征向量蓝色箭头不是剪切变换的特征向量蓝色箭头不是剪切变换的特征向量从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；预备知识线性代数与矩阵理论为对角矩阵呢？高阶模态的计算误差也大无阻尼系统的受迫振动频域分析解模态坐标系下的运动方程，得到模态位移红色箭头是剪切变换的特征向量无阻尼系统的受迫振动时域分析在计算动能和势能的时候必须精确到二阶小量。固有振型关于质量矩阵加权正交一般粘性阻尼系统的振动一般粘性阻尼系统的振动allow for such determination of the output.无阻尼系统的受迫振动时域分析解无阻尼系统的
9、广义特征值问题图 无约束三自由度系统系统的固有频率不是一个，而是多个；固有振型关于质量矩阵加权正交试证明：状态空间中的广义特征值问题与物理空间特征值问题推论：推论：如果向量 是 的属于特征值 的特征向量，则 （为任意常数）也是 的属于特征值 的特征向量。Ac0c A如何求特征值和特征向量？如何求特征值和特征向量？|0IA求方程的根得到特征值；()0iIA 求线性方程组的基础解系；预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【内积内积】如果12=(,),na aaa12(,)nb bbb则 与 的内积定义为ab1(,)=niiia ba b【正交正交】预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线
10、性代数与矩阵理论如果(,)=0a b则 与 正交或垂直ab【二次型二次型】一个 元多项式n称为 元二次型。22121111212112222323222(,)222 +2nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa xa x xax xa xnT12(,)nf x xx x Ax12nxxxx111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA它可以表示为如下矩阵相乘的形式1.1.同步振动是否存在？同步振动是否存在？k1u12uk2k3m12m()()0ttMuKu假设系统存在这样的振动，系统的位移可写作:()()tf tu 多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动系统是否
11、存在这样一种特殊的运动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不同之外，随时间的变化规律都相同的同步运动？运动规律系统各个自由度上的振动幅值()()0f tf tMK()()0TTf tf t M K2()()0f tf t()()0TTf tf t M K()()0TTf tf t K M()sin()f tat()()tf tu()sin()sin()tattu系统存在形如系统存在形如 形式的同步振动。形式的同步振动。结论：结论：()sin()ttu多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动()sin()ttu()()0ttMuKu2()sin()0tKM()KM20 对任意时间都成立对任意时间
12、都成立有 非 零 det()KM0特征方程特征方程(1,2,)rrN特征值特征值 (1,2,)rrN 特征向量特征向量2()0,KM 广义特征值问题广义特征值问题2.2.多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动(1,2,)rrN 第一阶固有频率第一阶固有频率第二阶固有频率第二阶固有频率第第N 阶固有频率阶固有频率1210NN 第一阶固有振型第一阶固有振型 第二阶固有振型第二阶固有振型第第N 阶固有振型阶固有振型12,N 固有频率（模态频率）固有频率（模态频率）固有振型（模态振型）固有振型（模态振型）多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动rr
13、 ()sin()ttu 1111()sin()ttu 第一阶固有振动第一阶固有振动2222()sin()ttu 第二阶固有振动第二阶固有振动()sin()NNNNttu 第第N阶固有振动阶固有振动固有振动只是系统可能发生的一种运动形式。当系统作固有振动时，系统各个自由度都作幅值不同(一般情况下),但频率却相同的简谐运动,各个自由度的简谐运动之间的相位差不是0度就是180度.固有振动固有振动固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率,以该阶固有振型向量为振动形态的简谐振动.多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动周边固支鼓膜的各阶固有振动周边固支鼓
14、膜的各阶固有振动从物理上看：第i阶固有振型向量 中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。i i 如何理解固有振型如何理解固有振型从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；【问题问题】在已知固有频率求固有振型时在已知固有频率求固有振型时,所得到的所得到的N N个线性方程中有几个是独个线性方程中有几个是独 立的立的?2()0rrKM 结论结论:当当 不是特征方程的重根时不是特征方程的重根时,上述方程只有上述方程只有N-1
15、N-1个方程是独立的个方程是独立的(见见刘延柱第刘延柱第7474页页).).r多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动mmm12kkk13,kk201【例】设图中二自由度系统的物理参为 ,确定系统的固有振动.k1u12uk2k3m12m系统运动方程：系统运动方程：11220(1)00(1)0uumkkuumkk 0MuKu有非零 2det()0KM2()0KM 12(12),kkmm121111 多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动k1u12uk2k3m12m112211(12)()sin,()sin11kkttttmm uu固有振动：固有振动：u1=1=1u2=1u2=1u112
16、节点节点STOP多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动()()0ttMuKu固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率,以该阶固有振以该阶固有振型向量为振动形态的简谐振动。型向量为振动形态的简谐振动。2()0KM 固有频率，固有振型固有频率，固有振型内容回顾内容回顾1.1.理解固有振型理解固有振型2.2.固有振型的正交性固有振型的正交性3.3.固有频率为零的情况固有频率为零的情况第三章：多自由度系统的振动分析第三章：多自由度系统的振动分析无阻尼系统的受迫振动频域分析特征值为什么可以是实数，也可以是复数？Rayleigh阻尼特点：一眼可以看出某阶固
17、有振动振动最大的部位称为 元二次型。无阻尼系统的受迫振动频域分析动柔度(频响函数)矩阵剪切变换前后的蒙娜丽莎图像 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.解模态坐标系下的运动方程，得到模态位移 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.从物理上看：第i阶固有振型向量 中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。如果激励 频带覆盖系统的前 阶固有频率，那么由模态方程可见，只有前 个方程是主要的(近似的)。则 与 正交或垂直固有振型关于刚度矩阵加权正交性模态坐标系下的第
18、i个方程写为无阻尼系统的受迫振动频域分析根据初始条件可解出:固有振型关于刚度矩阵加权正交性展开定理与模态坐标变换第三章：多自由度系统的振动分析1st1st水平弯曲水平弯曲2nd2nd水平弯曲水平弯曲1st1st扭转扭转2nd2nd扭转扭转1st1st垂直弯曲垂直弯曲2nd2nd垂直弯曲垂直弯曲从物理上看：第i阶固有振型向量 中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。i i 如何理解固有振型如何理解固有振型从数学上看：固有振型
19、是广义特征值问题的特征向量；理解固有振型理解固有振型图图 膜的各阶固有振型膜的各阶固有振型理解固有振型理解固有振型【问题问题】在已知固有频率求固有振型时在已知固有频率求固有振型时,所得到的所得到的N N个线性方程中有几个是独个线性方程中有几个是独 立的立的?2()0rrKM 结论结论:当当 不是特征方程的重根时不是特征方程的重根时,上述方程只有上述方程只有N-1N-1个方程是独立的个方程是独立的(见见刘延柱第刘延柱第7474页页).).r图图 一杯热咖啡的某阶固有振动（大约一杯热咖啡的某阶固有振动（大约20Hz20Hz）理解固有振型理解固有振型【题】：图示的三自由度系统，试计算系统的固有频率和
20、固有振型。()()ttMuKu0解解:系统的运动方程为:000000mmmM30203kkkkkkk K其中:理解固有振型理解固有振型2323222()8()19120kkkmmm122330000200003000kkmkkkmkkm 广义特征值问题:222302003kmkkkmkkkm特征方程:1233,2kkkmmm固有频率:理解固有振型理解固有振型122330000200003000kkmkkkmkkm 1 km(1)1(1)2(1)330020030kkkkkkkkkk (1)(1)12(1)(1)(1)123(1)(1)23 200 20kkkkkkk展开2同理，将代入到特征值问
21、题的方程中，解方程得到(2)20(2)31(2)113同理，将代入到特征值问题的方程中，解方程得到(3)21(3)31(3)11(1)11 令：，则(1)320kkk(1)220kk(1)22(1)31理解固有振型理解固有振型(1)121 1km11x 22x 31x x第一阶固有振型:(2)10123km31x 11x 20 x x第二阶固有振型:(3)111 32km11x 21x 31x x第三阶固有振型:节点理解固有振型理解固有振型理解固有振型理解固有振型理解固有振型理解固有振型理解固有振型理解固有振型1.1.固有振型的归一化固有振型的归一化固有振型的正交性固有振型的正交性按某一自由度
22、的幅值归一化按某一自由度的幅值归一化213r *11 23 2r 213r 都是固有振型向量213r 2/31/31r 系统在简谐激励下的响应模态mode是指一种运动模式。一般情况下，阻尼矩阵 不满足可对角化条件，为非对角阵，这样的系统叫作一般粘性阻尼系统。一般粘性阻尼系统的振动无阻尼系统的受迫振动频域分析实际计算中，为了避免求解上式中的固有振型矩阵之逆，可采用关于模态质量归一化的固有振型矩阵，此时有 。【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独一般粘性阻尼系统的振动比例阻尼系统的自由振动无阻尼系统的受迫振动时域分析从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；固有
23、振型关于质量矩阵的加权正交性对于比例阻尼系统，在固有振型矩阵的变换的作用下能够使阻尼矩阵对角化，即：线性无关。权正交性是线性振动理论的精髓；从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；比例阻尼系统的自由振动试证明:在一定条件下吸振器能消除 物体的受迫振动.按模态质量归一化按模态质量归一化r 特点：一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位特点：一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位特点：理论推导，分析方便特点：理论推导，分析方便*0.660.331r *rrrTrrrMM 按自由度中最大幅值归一化：按自由度中最大幅值归一化：213r 固有振型的正交性固有振型的正交性固有振型的正交性固有振型的正交性2
24、.2.固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性,1,r sN22,rsrs对单构系统：2rrrKM 2sssKM2TTsrrsrKM TsrK 0,TrsrsK 固有振型关于刚度固有振型关于刚度矩阵加权正交矩阵加权正交固有振型关于质固有振型关于质量矩阵加权正交量矩阵加权正交2TrrsM (1)2TTrssrsKM (2)()rsrTs220 M(1)减(2)，得0,TrsrsM 固有振型的正交性固有振型的正交性rMu 固有振型关于质量矩阵的加权正交性固有振型关于质量矩阵的加权正交性u 固有振型关于刚度矩阵加权正交性固有振型关于刚度矩阵加权正交性当当
25、时时rs当当 时时rs0TrsM TrsM 第第r r阶模态质量阶模态质量rK当当 时时rs当当 时时rs0TrsK TrsK 第第r r阶模态刚度阶模态刚度2()0rrKM/?rrKM u 2()0TrrrKM 2/rrrKM固有振型的正交性固有振型的正交性0,TrsrsM 0,TrsrsK ,TrsrM rsM ,TrsrK rsK 1,0,defrsrsrsu加权正交性的简洁表示加权正交性的简洁表示TrsrrsMM TrsrrsKK 固有振型的正交性固有振型的正交性2,TTrsrrsrsrs KM 试证：固有振型按模态质量归一化后，固有振型的加权正交条件变为：试证：固有振型按模态质量归一
26、化后，固有振型的加权正交条件变为：固有振型的正交性固有振型的正交性证：固有振型按模态质量归一化之前，固有振型的加权正交条件为：TsrrsrsMMMM sssM s rrrM r srrsrsMMKK 1TrsrsM MK 21,0,rrrKrsMrs,rTrsKrs0 rsK ,rTrsMrs0 rsM 1TrsrsM MM 11,0,rrMrsMrs2rrs rs3.3.固有振型的线性无关性固有振型的线性无关性1NTrsrra M0Tss M证：上式两边左乘,(1,2,)TssN M0,(1,2,)sasN所以，诸 线性无关。,(1,2,)rrN0Tsssa M1NTsrrra Mra只要证
27、明满足上式的 必全为零就可以了1Nrrra0固有振型的正交性固有振型的正交性4.4.固有频率为零的情况固有频率为零的情况固有频率为零的情况固有频率为零的情况 零固有频率所对应的固有振型，称为刚体模态振型。零固有频率所对应的固有振型，称为刚体模态振型。刚体模态多存在于无约束的悬浮结构，如飞机等。刚体模态多存在于无约束的悬浮结构，如飞机等。零固有频率的固有振动为零固有频率的固有振动为刚体运动刚体运动,不产生弹性不产生弹性势能。势能。0K0刚度矩阵奇异刚度矩阵奇异0|K0非零非零00T K020(0)KM 0图图 无约束三自由度系统无约束三自由度系统模态模态1 1横向（颠簸）刚体模态横向（颠簸）刚体
28、模态模态模态2 2转动（滚动）刚体模态转动（滚动）刚体模态模态模态3 3弯曲模态弯曲模态图图 用三质量飞机模型说明刚体模态用三质量飞机模型说明刚体模态固有频率为零的情况固有频率为零的情况固有频率为零的情况固有频率为零的情况固有频率为零的情况固有频率为零的情况STOP固有频率为零的情况固有频率为零的情况上次课内容回顾上次课内容回顾从物理上看：第i阶固有振型向量 中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。i i 理解固有振型理解
29、固有振型从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；1st1st水平弯曲水平弯曲2nd2nd水平弯曲水平弯曲1st1st扭转扭转2nd2nd扭转扭转1st1st垂直弯曲垂直弯曲2nd2nd垂直弯曲垂直弯曲TrsrrsMM TrsrrsKK /?rrKM 2/rrrKM2()0rrKM 当当 不是特征方程的重根时不是特征方程的重根时,上述上述N N个方程中，只有个方程中，只有N-1N-1个方程是独立的个方程是独立的r上次课内容回顾上次课内容回顾1.1.运动耦合运动耦合无阻尼系统的自由振动（三）无阻尼系统的自由振动（三）3.3.无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动2.2.展开定理与模态坐标
30、变换展开定理与模态坐标变换4.4.课堂练习课堂练习运动耦合运动耦合1.1.运动耦合运动耦合mJukkk lk lk lk lk lk lucccc000121 12 21 12 21 122 22弹性耦合弹性耦合00mmeme J meukkk lek lek lek lek lek leubbbb2121 1221 1221 122220()()()()()()弹性耦合弹性耦合惯性耦合惯性耦合运动耦合运动耦合能不能找到一种坐标能不能找到一种坐标,使得在这种坐标下的运动微分方程既不存在弹性耦合使得在这种坐标下的运动微分方程既不存在弹性耦合也不存在惯性耦合也不存在惯性耦合?展开定理与模态坐标变换
31、展开定理与模态坐标变换1.1.展开定理展开定理 自由度系统的 个模态振型向量 构成了 维线性空间的正交基。12,nnnn 维空间中的任何一个向量都可以表示成这组基的线性组合，即 n12,Nq qq系数 反映了各阶模态振型向量在构成向量 时的参与程度。u1 122NNqqqu 2.2.模态坐标变换模态坐标变换模态坐标模态坐标()t u1 122()()()NNq tq tq t 1212()(),()NNq tq tq t ()tq物理坐标物理坐标模态矩阵模态矩阵无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动1.1.两个重要公式两个重要公式12N令模态矩阵为 则：T M1diagrr NM 1212T
32、TNTNM 111212122212TTTNTTTNTTTNNNN M M M M M M M M M1diagTrr NM M1diagTrr NK K()()0ttMuKu()KM20 1212,NN ()()0ttMqKqTT()()0tt Mq KqT左乘1212()()()(),()NNq tq tttqtuq 模态坐标变换模态坐标变换？2.2.无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动11112222000()000()0000()000()0000000000()000()0NNNNMq tKq tMq tKq tMq tKq t ()cos
33、sin 1,2,rrrrrq tat btrN1 11 12222()()0()()0 ()()0NNNNM q tK q tM q tK q tM qtK qtTT()()0tt Mq Kq模态坐标模态坐标系下的运系下的运动方程动方程将物理坐标系下的运动方程变换到模态坐标系下后，可得到解耦将物理坐标系下的运动方程变换到模态坐标系下后，可得到解耦的运动方程。的运动方程。无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动1111111()cossin()()()cossin (diagcosdiagsin)NNNNNrrr Nr Nq tat btttq tat bttt uqab11,NNababab0
34、0(0),(0)uu uu实际计算中，为了避免求解上式中的固有振型矩阵之逆，可采用关于模态实际计算中，为了避免求解上式中的固有振型矩阵之逆，可采用关于模态质量归一化的固有振型矩阵，此时有质量归一化的固有振型矩阵，此时有 。1T M001,diagrr N uaub-1-1001,diag1/rr N a ub u 110011()diagcosdiagsin/rrrr Nr Nttt u u u 自由振动：自由振动：无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动解解:111222000muukkmuukkkmkkkm12220 1212120,mmkmm固有频率：固有频率：121211,/1m m
35、固有振型：固有振型：例例:设图中卡车设图中卡车拖车系统在拖车系统在 时静止，时静止，时一汽车迎面与卡车相撞时一汽车迎面与卡车相撞后立即反弹脱离，卡车受到冲量后立即反弹脱离，卡车受到冲量 作用，试确定作用，试确定 后卡车后卡车拖车系统的拖车系统的响应。响应。0F 0t 0t0t 刚 体 模 态刚 体 模 态振型振型弹 性 模 态弹 性 模 态振型振型无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动1122111/qm mquq111222000muukkmuukk11121221220 11()11()001/()1/()mq tq tkkmm m q tm m q tkk111122122121221
36、10 11()1111()01/01/()1/1/()mq tq tkkm mmm mq tm mm mq tkk 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动12211112122222000()()0()0()()0mmq tq tm mmmmq tq tkmm1212222()()0()()0mm q tq tq t1112212211(0)110(0)(0)1/(0)1/0qam mqm ma uq1200aa 111()q tab t22222()cossinq tatbt0111122122211(0)11(0)(0)1/(0)1/0Fqbmm mqm mbuq102212121bFm
37、bmmm 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动0112()Fq ttmm02221212()sin()F mq ttmmm2212101221222sin111/1sinmttmqFmmqmmttu回到物理坐标系回到物理坐标系无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动1.1.模态坐标变换模态坐标变换()t uq模态坐标模态坐标物理坐标物理坐标2.2.求解多自由度无阻尼系统的自由振动的步骤（模态叠加法）求解多自由度无阻尼系统的自由振动的步骤（模态叠加法）(1)(1)求系统的固有频率和固有振型求系统的固有频率和固有振型(3)(3)求各模态位移响应求各模态位移响应(4)(4)返回到物理坐标系返回到
38、物理坐标系(2)(2)物理坐标系下的运动方程物理坐标系下的运动方程模态坐标系下的运动方程模态坐标系下的运动方程模态坐标变换模态坐标变换无阻尼系统的自由振动（小结）无阻尼系统的自由振动（小结）无阻尼系统的自由振动（小结）无阻尼系统的自由振动（小结）物理空间物理空间()()0ttMuKu耦合耦合模态空间模态空间解耦解耦()()0iiiiM q tK q t()()ttuq()()ttuq模态叠加法模态叠加法123P89,2-22:,1,6,2,ikk imm mm mm 建立图示系统的运动微分方程，并求当时的固有频率和固有振型。课堂练习课堂练习 11122122223563233334300000
39、mukkkumukkkkkkumukkku 2mmmM20402kkkkkkk K运动方程：运动方程：根据已知条件有：根据已知条件有：STOP1km22km33km1111 21012111 1223200420020kkmkkkmkkm 广义特征值问题:2222042002kmkkkmkkkm特征方程:展开后，得:222(2)(286)0kmmkmk2(2)(3)(22)0kmmkmk课堂练习课堂练习 习题课习题课第三章：多自由度系统的振动分析第三章：多自由度系统的振动分析1.1.模态的概念模态的概念模态模态modemode是指一种运动模式。是指一种运动模式。模态参数有：模态频率、模态振型、
40、模态质量、模态刚度、模态阻尼等。模态参数有：模态频率、模态振型、模态质量、模态刚度、模态阻尼等。上次课内容回顾上次课内容回顾2.2.运动耦合运动耦合物理坐标系下多自由度系统的运动方程肯定是存在耦合的。物理坐标系下多自由度系统的运动方程肯定是存在耦合的。3.3.模态坐标变换模态坐标变换12121 122()()()(),()()()()NNNNq tq tttq tq tq tq tuq 物理空间物理空间()()0ttMuKu耦合耦合模态空间模态空间解耦解耦()()0iiiiM q tK q t()()ttuq()()ttuq模态叠加法模态叠加法上次课内容回顾上次课内容回顾4.4.无阻尼系统的自
41、由振动无阻尼系统的自由振动模态叠加法模态叠加法1.1.无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析2.2.无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动时域分析时域分析第三章：多自由度系统的振动分析第三章：多自由度系统的振动分析00()()()(0),(0)tttMuKufuu uu()tf是简谐激励是简谐激励是任意激励是任意激励()tf频域分析频域分析时域分析时域分析tttsin)()(fKuuM fuKM)(2ttsin)(uu1.1.系统在简谐激励下的响应系统在简谐激励下的响应ZKM()()def2无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析动刚度矩阵()()sintt
42、uHf系统在简谐激励下的响应:1()()uZfHf频响函数（动柔度矩阵）频响函数（动柔度矩阵）无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析位移频响函数矩阵211()()(),1,rrN HKMZ121212111222()()()()()()()()()NNNdefNNNHHHHHHHHHH()iiH原点频响函数(),ijHij 跨点频响函数()ijHj激振点所对应的自由度标号i响应点所对应的自由度标号2.2.频响函数矩阵的模态展开式频响函数矩阵的模态展开式21diagrrr NKM 211()diagTrrr NKM Z2()()ZKMTT211()diagTr NrrKM H2
43、1,TNrrrrrrKM 1212211diagTTNr NrrTNKM 无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析频响函数矩阵的模态展开式揭示了频响函数矩阵的模态展开式揭示了频响函数与模态参数之间的关频响函数与模态参数之间的关系，从而为模态参数识别提供了一种有效的途径。系，从而为模态参数识别提供了一种有效的途径。O1211a11|()|H3.3.反共振反共振反共振的定义：反共振的定义：无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析图 跨点频响函数示意图 所谓反共振指的是弹性系统在某些特定频率的简谐激励作用下所谓反共振指的是弹性系统在某些特定频率的简谐激励作用下,系统某
44、系统某些部位出现响应等于零的情形。换句话说些部位出现响应等于零的情形。换句话说,反共振情形也就是指在某些反共振情形也就是指在某些频率上系统某些部位的动柔度为零。频率上系统某些部位的动柔度为零。无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析,ijji如果 点处作用正弦激励 其频率 时，点位移为零 则发生反共振()0ijijH()0ijjiZ反共振频率的确定:频响函数的零点所对应的频率1111()H如果的反共振频率为，这说明了什么？1212()H如果的反共振频率为，这说明了什么？1()(),rHZ()(),det()jiijrZHZ()jiZ中的第 行第列元素的代数余子式无阻尼系统的受迫
45、振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析反共振频率的计算：反共振频率的计算：mtkkkkkkkttIuuf()()sin2020222220()20k mkkk mkkk mZKM2222()()=0det()ZHZ22()=0Z2222()(2)()0Zkmkm222212/,2/aak mk m得到反共振频率2反共振时质量块 不动例：确定图示系统频响函数 和 的反共振频率。12()H22()H解:22()H(a)确定 的反共振频率无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析()(),det()jiijrZHZ22112()()()=det()det()Zk kmHZZ22222
46、21121321/,()=0,()0aaak mHH代入上式得到1,3质量块 不动 质量块 动22222221213212/,()0,()=0aaak mHH代入上式得到1,3质量块 动 质量块 不动222220()20k mkkk mkkk mZKM进一步分析质量块1,3 的运动:22332()(2)()=det()det()ZkkmHZZ无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析22112()()()0det()det()Zk kmHZZakm12/得到反共振频率,1反共振时 质量块 不动222222()(2)()()=det()det()ZkmkmHZZ1212122232
47、/,()=0,()0aaak mHH代入上式得到2,3质 量 块不 动质 量 块动222220()20k mkkk mkkk mZKM进一步分析质量块2,3的运动:12()H(b)确定 的反共振频率22332()(2)()=det()det()ZkkmHZZ无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析 练习练习 设刚度系数为设刚度系数为 的弹簧支承的物体的弹簧支承的物体 上受到简谐力上受到简谐力 的激励的激励.此物体上安装由小物体此物体上安装由小物体 和刚度系数为和刚度系数为 的弹簧组成的吸振器的弹簧组成的吸振器.试证明试证明:在一定条件下吸振器能消除在一定条件下吸振器能消除 物体
48、的受迫振动物体的受迫振动.1m0sinFt2m1k2k1m1k1m0sinFt2m2k12uuu12mmM()()sintttMuKuF12222kkkkkK12uuu00FF()sinttuu2()KM uF2212222221211()()kmkkkkmHKM22()|KM222022()kmFkuHF2220km222km无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动时域分析时域分析基本思路：基本思路：1.1.利用模态叠加法求系统的零初始状态下的利用模态叠加法求系统的零初始状态下的 单位脉冲响应矩阵单位脉冲响应矩阵0)0(,0)0()()
49、()(uufKuuM ttt任意激励任意激励()?t u1.1.系统在任意激励下的响应系统在任意激励下的响应2.2.系统对任意激励下的响应用系统对任意激励下的响应用DuhamelDuhamel积分求得积分求得(1)(1)利用模态叠加法求零初始状态下的单位脉冲响应矩阵利用模态叠加法求零初始状态下的单位脉冲响应矩阵0)0(,0)0()()()(uufKuuM ttt1()()()Nrrrttq tuq()()()tttMqKqf模态坐标变换第一步第一步:物理坐标系下物理坐标系下的运动方程的运动方程模态坐标系下模态坐标系下的运动方程的运动方程模态坐标变换1111122222()()()()()()(
50、)()()TTTNNNNNMq tKq ttMq tKq ttMqtKqtt f f fT左乘M q tK q ttrNqqrrrrrTrr()()(),(),()f10000无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动时域分析时域分析 j假设第 自由度受到单位脉冲M q tK q ttrNqqr rr rjrrr()()(),(),()10000()sin 1,2,jrrrrrq tt rNM，解模态坐标系下的运动方程，得到模态位移解模态坐标系下的运动方程，得到模态位移第二步第二步:M q tK q ttrNqqrrrrrTrr()()(),(),()f10000120(),()0 =()Trr
