1、 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第五章第五章 留数理论及其应用留数理论及其应用学习要点学习要点解析函数的孤立奇点的分类留数定理以及其在积分计算上的应用幅角原理、儒歇定理及其应用 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第第1 1节节 孤立奇点孤立奇点一.奇点的分类 函数f(z)不解析的点为奇点.如果函数 f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点.11e0.10()1sin()zzzzf zz例如函数和都以为孤立奇点但是函数的非孤立奇点 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变
2、函数与积分变换复变函数与积分变换将函数 f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数.根据级数的不同情况对孤立奇点作分类.1.可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则孤 立奇点z0称为 f(z)的可去奇点.这时,f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.0|z-z0|d ,0000lim(),zzf zcf zc显然补充定义，则f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,|z-z0|d 从而 f(z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换3524sin0
3、0sin11111()13!5!3!5!sin.01,sin0.zzzzzzzzzzzzzzzzzz-例如:是的可去奇点。因为这个函数在的去心邻域内的洛朗级数中不含负幂的项 如果约定在 的值为则就是的解析点了00.()li1m()zzzf zf z为定理的可去奇点存在且有限 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即 f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数 f(z)的m
4、级极点.上式也可写成01()()()mf zg zzz-，（）其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+.,在|z-z0|d 内是解析的函数,且 g(z0)0.哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换定理2：z0是 f(z)的m级极点的充要条件是0lim().zzf z 定理3如果z0为 f(z)的极点的充要条件是232,(),(1)(1)1,.zf zzzzzi-例如 对有理分式函数是它的三级极点是它的一级极点1-z3e问题：z=0是的几级极点？z0001()()()()0()mf zg zg zzg zzz-，在 处解析且 哈尔滨工
5、程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例 10:01:0mzmz解：为解析点；为可去奇点；)!1(!21)(:112mzmzzzzzfmmmm-)!1(!11!21111mzmzzmm01zm-为阶极点。mzzezf1)(-对对 讨论函数讨论函数 在在 处的性质。处的性质。mZ0z 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换3.本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f(z)的本性奇点.1112()0.1112!znzf zezezzzn-例如以为它的本性奇点 因为有无穷多负幂项。00.()lim(.4)()zzz
6、f zf z为的本性奇点的充要条件是不存在 也不为定理0limz1z例如e 不存在且不为.哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换综上所述：000000()lim();()lim();()lim().zzzzzzzf zf zzf zf zzf zf z(1)为的可去奇点存在且有限(2)为的极点(3)为的本性奇点不存在且不为我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.练习：证明复函数情形下的罗比达法则。哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换二.零点与极点的关系 定义2:z0称为f(z)的m级零点.如 f(z)在z0解析,且 f(n)
7、(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0.例如：f(z)=z(z-1)3,z=0与z=1分别是是f(z)的一级与三级零点.定理3：z0是为f(z)的m级零点的充要条件是 f(z)=(z-z0)m j(z),其中j(z)在z0解析且 j(z0)0,哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换由于f(z)=(z-z0)m j(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以给定000001|()|,|,211|()()|()|,|()|()|.22zzzzzzzzjddjjjjj-必
8、存在当时 有由此得所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.(零点孤立原则)哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换定理4 如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是 的m级零点.)(1zf该定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换例 3-!211)(11mzzzzfmn01zn-为阶极点.)0(12-keikzz的一阶零点为2()(0).zk if zk为的一阶极点()(0)1nzzf zne-求的极点。哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数
9、与积分变换复变函数与积分变换第第2 2节节 留数定理留数定理一.留数的概念 定义1.设f(z)在区域 0|z-z0|R 内解析，称积分 为f(z)在孤立奇点z0处的留数,记作Res f(z),z0,这里积分是反时针方向取的.1()d2Cf zzi 当f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.0|z-z0|R 11()d.2Cf zzci-两端沿两端沿C逐项积分逐项积分:哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.留数的计算规则 规则1 如果z0为f(z)的一级极点,则000Res(),lim(
10、)()zzf z zzzf z-010011dRes(),lim()()(1)!dmmmzzf z zzzf zmz-规则2 如果z0为f(z)的m级极点,则 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换假设f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)m f(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,-)()!1()()(dd01011zzacmzfzzzmmm令两端 zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Resf(
11、z),z0,即得规则2,当 m=1时就是规则1.0000000()lim()()lim,3()()zzzzP zP zzzf zQ zQ zQ zzz-这就是规则 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换26cos1 cos(1)();(2)();(3)().1sinizezzf zf zf zzzz-：求下列函数在各孤立奇点出例的数。1留2:(1)()1Re ,Re ,2222izizizz iziezif zzeieis f is f iezez-解是的分母的一阶零点，由规则3()(2)()cos,()sin,(),()()(1)0,()0,()cos(1)0,R
12、e ,1.nnP zP zz Q zzf zQ zP nQ nQ nnzns f n-令则故的一阶极点，哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换64 144 101cos(3)01cos()1(0)()Re (),0lim?1!cosRe (),00zzzzf zzdzf zs f zdzzs f z-是的二阶零点，是的四阶极点.由规则2，（4）计算比较麻烦，考虑到在0点的泰勒展开式中通项不包含z的奇数次幂，故 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换定理一定理一(留数定理留数定理)设函数设函数 f(z)在区域在区域D内除有内除有限个孤立奇点
13、限个孤立奇点 z1,z2,.,zn 外处处解析外处处解析.C是是D内内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则则1()d2Res(),.nkkCf zzif z z Dz1z2z3znC1C2C3CnC 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换证证 把在把在C内的孤立奇点内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正用互不包含的正 向简单闭曲线向简单闭曲线Ck围绕起来围绕起来,则根据复合闭路定理有则根据复合闭路定理有12()d()d()d()d.nCCCCf zzf zzf zzf zz121()dRes(),Res(),Res(),2n
14、Cf zzf z zf z zf z zi1()d2Res(),.nkkCf zzif z z 即注注.定理中的条件必须要认真验证，例如定理中的条件必须要认真验证，例如211lnzdzz求积分不能应用留数定理。不能应用留数定理。哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换22001Res(),0limlim.(2)(2)4zzzzeef zzz zz-2221deRes(),2lim(2)(2 1)!d(2)zzf zzzz z-2222de(1)limlim.d4zzzzezezzz-223e1d2()(1).(1)442zCeiziez z-所以例 5 阶极点为101
15、0,)1(1)(2101-zzzzf10),(Res11)(102101-zfCzzzfnn计算积分101211Cdzzz-,C 为正向圆周|z|=1/2.解：01z在内：所以 原式=2 i例 4-13)1(sinzzdzezz计算233333000sinsinsinRes,0limlimlim(1)1(1)(1)(1)zzzzzzzzzzzzeeez-i2-解：1z 在内：z=0为一级极点。哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数，将定积分变为回路积分中的一部分。3 利用留数定理计算实
16、积分利用留数定理计算实积分0ab1l2l122()()()blllafz dzfx dxfz dz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1.形如 的积分,其中R(cosq,sinq)为 cosq与sinq 的有理函数.20(cos,sin)Rdqq q221111sin(ee),cos(ee).2222iiiizziizzqqqqqq-令 z=eiq,则从而积分化为沿正向单位圆周的积分2220|11|111 d(cos,sin)d,22()d2Res(),znkkzzzzRRzizizf zzif z zqqq-0201-1ii-哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变
17、函数与积分变换复变函数与积分变换其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的 f(z)的孤立奇点.例1 计算 的值.)10(dcos212cos202-pppIqqq解：解：由于0p1,被积函数的分母在0q 2内不为零,因而积分是有意义的.由于 cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换-1|1|241|2122d)(d)(1(21d22112zzzzzfzpzpzizzizzpzzpzzI2212442222421121221111
18、22(1)(1)112()(1)zzzzizppzzizzpzpp zizzpzppzzizzppz-解释：哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 f(z)的三个极点z=0,p,1/p中，有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.422022342222220d1Res(),0limd2(1)()()4(1)(12)1lim,2()2zzzf zzzizpz zpzpzpp zzzpzppi zpzpp zip-4422211Res(),lim(),2(1)()2(1)zpzpf zpzpizpz zpipp-2422222112222(1
19、)1pppIiipippp-哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换例2 计算积分解：令2011 sindqq220001211sin3cos23cosdddqqjqqj-2i1cos2zzezjj，则220121223cos(61)i()()iCCddzdzzzzzzzjj-12:1,32 2,32 2Czzz-其中，.11zz 内只有1111222Re,2lim()()()i12222zzIis f zizzzzzzii-被积函数在 ，于是所求积分 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换0(),1()d()dRes(),.2kR xR
20、xxR xxiR z z-如果为偶函数()d2Res(),.kR xxiR z z-z1z2z3yCR-RROx1()d()2Res(),RnRkRCkR xxR z dziR z z-解释：此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2()d0RRCMMR zzRRR 111111112|1|1|()|1|1|1|1|1(|)|nnm nmmnnm nmmm na za zR zzb zb za za zzb zb zMMzzz-当足够大时 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换22222,(0,0)
21、()()xdx abxaxb-例3 计算积分 解：由于分母的次数比分子的次数高二次，且被积函数在实数轴上没有0点，因此广义积分存在。22222222222222222222(Re (),Re (),)()()2 lim()()()lim()()()()()zaizbixdxis f z ais f z bixaxbzizaizazbzzbizazbaibiiababab-哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例42101(1)ndxx 计算,1)1(1)(12iznzzfn阶极点在上半平面只有一个解：211212121211Res(),2(1)11(1)(1)(2
22、)2!(2)(1)(2)2(2)!22(!)nnnnnnz innIdxif z ixdnnniin dzzininnnnnn-哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换3.计算形如 的积分()e d(0)aixR xxa-当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的.象1中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的|z|有z1z2z3yCR-RROxyq qO y=sinq q2yq21可以证明,在半径R充分大的CR上,有()e d(1e)0RaizaRRCMR zzaR-|()|,|MR zz 哈尔滨工程大学哈
23、尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换()e d2Res()e,.aixaizkR xxiR zz-因此得()cosd()sind2Res(),.aizkR xax xiR xax xiR z ez-也可写为i1()cosRe2 iRes(),npzkk=f xmxdxf z ez-i1()sinIm2 iRes(),npzkk=f xmxdxf z ez-哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换例5 计算 .220sin(0,0)xaxIdx abxb解：这里R(x)在实轴上连续，且分母次数比分子高一次,因而积分是存在的.R(z)在上半平面内有一级极点b
24、i,22e d2 Res()e,iaxiazxxiR zbixb-e2lim2.2iazababzibzeiiiezib-22220sin1dIm()22ixabxxxxe dxexaxa-因此 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换例6 计算积分 .0sinxdxx解：因为 是偶函数,所以sinxx0sin1sin2xxdxdxxx-0)(zzezfiz在实轴上有奇点在上半平面内解析，为了使积分路线不通过原点,取如上图所示的路线.由柯西积分定理,有CrCRyxO-rrR-R0RrizixizixrRCRCreeeedzdxdzdxzxzx-哈尔滨工程大学哈尔滨工程
25、大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换令x-t,则有ixitixrrRRRreeedxdtdxxtx-0RrixixizizRrCCeeeedxdzdzxzz-sin20RrizizRrCCxeeidxdzdzxzzsin2.RrizizRrCCxeeidxdzdzxzz-因此,要算出所求积分的值,只需求出极限0limlimRrizizCCRreedzdzzz与 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换下面将证明0lim0,limRrizizCCRreedzdzizz-sin0sin(2/)2200|1|22(1).RRRizizyRCCCRRReedzdse d
26、sedzzRededeRqqq qqq-所以lim0.RizCRedzz在z=0附近111()2!iznnezi zizzznzj-j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当|z|充分小时可使|j(z)|2,哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换而而0riiCdziredizreqqq-()rrrizCCCedzdzz dzzzj由于由于()|()|22rrrCCCz dzzdsdsrjj在在r充分小时充分小时,0lim()0rCrz dzj0limrizCredziz-0sin2xidxix0sin.2xdxx例题 2,110nndxxnN计算位于上半平面一阶极点
27、的奇点为：ninkikneznkezzzf-0121,1,011)(0z)1(RCRCOneRzCRxxezCiRniqq20:0:2；),(Res2)()()(00zzfidzzfdzzfdxxfCCRR-niRnRninCedxxdxexdzzf20021111)(-),(Res2)(111002zzfidzzfdxxeRCRnni-ninzznennzzzzf1111),(Res1000-nnRRdRRdeRRiedzzfnnnninniCR02111)(2020qqqqnneniedxxRnininsin1211:20-令 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换
