1、第第4 4章章 体的投影体的投影4 41 1 体的投影图和投影规律体的投影图和投影规律 4.1.1 4.1.1 体的分类和投影分析体的分类和投影分析 空间形体的大小、形状和位置是由其表面限定的，于是形体按其表面的性质不同可分为 两类：平面体表面全部由平面组成的立体。曲面体表面全部或部分由曲面组成的立体。基本的平面体有棱柱(体)、棱锥(体)和棱台（体）等。基本的曲面体有圆柱(体)、圆锥(体)、圆台（体）和球(体)等。形体的投影是用其表面的投影来表示的，于是作形体的投影，就归结为作组成其表面的各个面(平面或曲面)的投影。作形体表面上的点和线的投影时，应遵循点、线、面、体之间的从属性关系。按某一投射
2、方向画出的形体的投影图，总是可见表面与不可见表面的投影相重合，形体表面上点和线的可见性判别规则是：凡是可见表面上的点和线都是可见的，凡是可见线上的点都是可见的，否则是不可见的。4 41 1 体的投影图和投影规律体的投影图和投影规律 4 41.2 1.2 体的投影图和投影规律体的投影图和投影规律 绘制形体的投影图时，应将形体上的棱线和轮廓线都画出来，绘制形体的投影图时，应将形体上的棱线和轮廓线都画出来，并且按投影方向可见的线用实线表示，不可见的线用虚线表示，并且按投影方向可见的线用实线表示，不可见的线用虚线表示，当虚线和实线重合时只画出实线。当虚线和实线重合时只画出实线。如图如图4.14.1所示
3、形体，可以看成是由一长方块和一三角块组合而成所示形体，可以看成是由一长方块和一三角块组合而成的形体，组合后就成了一个整体。当三角块的左侧面与长方块的的形体，组合后就成了一个整体。当三角块的左侧面与长方块的左侧面平齐左侧面平齐(即共面即共面)时，实际上中间是没有线隔开的，在时，实际上中间是没有线隔开的，在W W投影投影中在此处不应画线。但形体右边还有棱线，从左向右投影时被遮中在此处不应画线。但形体右边还有棱线，从左向右投影时被遮住了，故看不见，所以图中应画为虚线。住了，故看不见，所以图中应画为虚线。41 体的投影图和投影规律体的投影图和投影规律41 体的投影图和投影规律体的投影图和投影规律41
4、体的投影图和投影规律体的投影图和投影规律41 体的投影图和投影规律体的投影图和投影规律41 体的投影图和投影规律体的投影图和投影规律4 41 1 体的投影图和投影规律体的投影图和投影规律 图4.1 4 41 1 体的投影图律和投影规体的投影图律和投影规 4.1.3 4.1.3 体的投影规律体的投影规律 建筑工程制图中，一般用三面正投影图来表达一个形体的建筑工程制图中，一般用三面正投影图来表达一个形体的投影结果，复杂形体可增加投影图的数量。现对图投影结果，复杂形体可增加投影图的数量。现对图4.24.2所所示形体的三面投影结果分析如下。示形体的三面投影结果分析如下。很明显，由于作形体投影图时形体的
5、位置不变，展开后，很明显，由于作形体投影图时形体的位置不变，展开后，同时反映形体长度的水平投影和正面投影左右对齐同时反映形体长度的水平投影和正面投影左右对齐长长对正，同时反映形体高度的正面投影和侧面投影上下对对正，同时反映形体高度的正面投影和侧面投影上下对齐齐高平齐，同时反映形体宽度的水平投影和侧面投影高平齐，同时反映形体宽度的水平投影和侧面投影前后对齐前后对齐宽相等，如图宽相等，如图4.34.3所示。所示。“长对正、高平齐、长对正、高平齐、宽相等宽相等 是形体三面投影的规律，无论是整个物体还是物是形体三面投影的规律，无论是整个物体还是物体的局部投影都应符合这条规律。体的局部投影都应符合这条规
6、律。4 41 1 体的投影图律和投影规体的投影图律和投影规 图4.2 图4.3 4 41 1 体的投影图律和投影规体的投影图律和投影规 4.1.4 4.1.4 体的投影图的画图步骤体的投影图的画图步骤 作形体投影图时，先画投影轴（互相垂直的两条线），水平投影面在下方，正立投影面在水平投影面的正上方，侧立投影面在正立投影面的正右方，如图4.4所示。1.量取形体的长度和宽度，在水平投影面上作水平投影。2.量取形体的长度和高度，根据长对正的关系作正面投影。3.量取形体的宽度和高度，根据高平齐和宽相等的关系作侧面投影。画图熟练后，投影轴可以去掉。图4.4 4 42 2 平面体的投影平面体的投影 4.2
7、.1 4.2.1 棱柱体的投影棱柱体的投影 棱柱有正棱柱和斜棱柱之分。如图4.5所示，正棱柱具有如下特点：1有两个互相平行的等边多边形底面；2其余各面都是矩形侧面；3相邻侧面的公共边互相平行侧棱。图4.5 4 42 2 平面体的投影平面体的投影 作棱柱的投影时，首先应确定棱柱的摆放位置，如图4.6所示，三棱柱水平放置，如同双坡屋面建筑的坡屋顶。根据其摆放位置，其中一个侧面BB1C1C为水平面，在水平投影面上反映实形，在正立投影面和侧立投影面上都积聚成平行于OX轴和OY轴的线段。另两个侧面ABB1A1和ACC1A1为侧垂面，在侧立投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的线段，在水平投影面和正立投影面上
8、的投影都是矩形，但不反映原平面的实际大小。底面ABC和A1B1C1为侧平面，在侧立投影面上反映实形，在其余两个投影面上积聚成平行于0Y轴和OZ轴的线段。由于投影轴是假想的，因此可去掉投影轴，如图4.6所示。4 42 2 平面体的投影平面体的投影图4.6 4 42 2 平面体的投影平面体的投影 由图4.6可以得出正棱柱体的投影特点：一个投影为多边形，其余两个投影为一个或若干个矩形。4.2.2 4.2.2 棱锥体的投影棱锥体的投影 棱锥也有正棱锥和斜棱锥之分。如图4.7所示，正棱锥具有以下特点：1有一个等边多边形底面；2其余各面是有一个公共顶点的三角形；3过顶点作棱锥底面的垂线是棱锥的高，垂足在底
9、面的中心上。图4.7 4 42 2 平面体的投影平面体的投影 图4.8所示为五棱锥，该五棱锥顶点向上，正常放置，其底面ABCDE为水平面，在水平投影面上的投影反映实形，另两个投影积聚成线段，平行于OX轴和0Y轴；侧面SED为侧垂面，在侧立投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的线段，在水平投影面和正立投影面上的投影是SED的类似形；其余侧面都是一般位置的平面，它们的投影都不反映实形，都是其原平面的类似形。由图4.8可以得出棱锥体的投影特点：一个投影为多边形，内有与多边形边数相同个数的三角形；另两个投影都是有公共顶点的若干个三角形。4 42 2 平面体的投影平面体的投影 图4.8 4 42 2 平面体
10、的投影平面体的投影4.2.3 4.2.3 棱台体的投影棱台体的投影 将棱锥体用平行于底面的平面切割去上部，余下的部分称为将棱锥体用平行于底面的平面切割去上部，余下的部分称为棱台体。三棱锥体被切割后余下部分称为三棱台，四棱锥棱台体。三棱锥体被切割后余下部分称为三棱台，四棱锥体被切割后余下部分称为四棱台，依次类推。如图体被切割后余下部分称为四棱台，依次类推。如图4.94.9所示，所示，将四棱台置于三面投影体系中，投影图如图将四棱台置于三面投影体系中，投影图如图4.9(4.9(c c)所示。所示。图4.94 42 2 平面体的投影平面体的投影 由图4.9可以得出棱台的投影特点：一个投影中有两个相似的
11、多边形，内有与多边形边数相同个数的梯形；另两个投影都为若干个梯形。4.2.4 4.2.4 平面体的画法和尺寸标注平面体的画法和尺寸标注 1.平面体投影图的画法 从以上三棱柱、五棱锥、四棱台的投影结果可以看出，平面体的投影具有如下特性：1）平面体的投影，实质上就是点、直线和平面投影的集合。4 42 2 平面体的投影平面体的投影 2）投影图中的图线(实线或虚线)，是棱线的投影，也可能是棱面的积聚投影。3）投影图中的线框，是一个棱面的投影，也可能是一个平面体的全部投影。4）在投影图中，位于同一投影面上相邻两个线框，它是相邻两个棱面的投影。画平面体投影图时，一般将平面体的底面与水平投影面平行。现以三棱
12、锥的投影过程为例，说明平面体投影图的画法，如图4.10所示。(1)画投影轴。(2)画三个棱面与底面相重合的H投影。(3)画左、右棱面与后棱面相重合的V投影。(4)根据“三等”关系画左、右棱面相重合的W投影。4 42 2 平面体的投影平面体的投影图4.10 4 42 2 平面体的投影平面体的投影 由图4.9可以得出棱台的投影特点：一个投影中有两个相似的多边形，内有与多边形边数相同个数的梯形；另两个投影都为若干个梯形 4.2.4 4.2.4 平面体的画法和尺寸标注平面体的画法和尺寸标注 1.平面体投影图的画法 从以上三棱柱、五棱锥、四棱台的投影结果可以看出，平面体的投影具有如下特性：1）平面体的投
13、影，实质上就是点、直线和平面投影的集合。2）投影图中的图线(实线或虚线)，是棱线的投影，也可能是棱面的积聚投影。3）投影图中的线框，是一个棱面的投影，也可能是一个平面体的全部投影。4 42 2 平面体的投影平面体的投影 4）在投影图中，位于同一投影面上相邻两个线框，它是相邻两个棱面的投影。画平面体投影图时，一般将平面体的底面与水平投影面平行。现以三棱锥的投影过程为例，说明平面体投影图的画法，如图4.10所示。(1)画投影轴。(2)画三个棱面与底面相重合的H投影。(3)画左、右棱面与后棱面相重合的V投影。(4)根据“三等”关系画左、右棱面相重合的W投影。4 42 2 平面体的投影平面体的投影 图
14、4.10 4 42 2 平面体的投影平面体的投影 2平面体投影图的尺寸标注 在投影图上标注平面体的尺寸，一般从两方面考虑：1）尺寸的标注 平面体应标注出各个底面和高度的尺寸。尺寸要齐全、正确、不重复。2）尺寸的布置 底面尺寸应尽可能标注在反映实形的投影图上，高度尺寸应尽量标注在正面投影图和侧面投影图之间。平面体投影图的尺寸标注方法见表4-1所示。4 42 2 平面体的投影平面体的投影 表4.1 4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影 1圆柱体的形成 圆柱体是由圆柱面和上下两底圆围成，圆柱面可以看成一直线绕与之平行的另一直线(轴线)旋转而成。直线旋转到任意位置时称为素线，原始的这条直线称为母线，
15、两底圆可以看成是母线的两端点向轴线作垂线并绕其旋转而成。如图4.11(a)所示。图4.11 4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影 2.圆柱体的投影 圆柱体的投影就是画出上下底面和圆柱面的投影。当选定旋转轴垂直于H面时，则上下底面平行于H面，圆柱面垂直于H面。圆柱体的H投影是一个圆，该圆是上下底面的重影，上底为可见，下底为不可见；其圆周是圆柱面的积聚投影。由此可知，在圆柱面上的点、线的H投影必然积聚在这个圆周上。圆柱体的V投影是矩形，矩形的左、右两边分别是圆柱面上最左、最右两条素线的V投影，最左、最右两条素线又称为圆柱面的正面转向轮廓线；矩形上、下两条水平线分别是上、下底圆的积聚投影。圆柱体的
16、W投影亦是矩形，矩形的左、右两边分别是圆柱面上最后、最前两条素线的W投影，最后、最前两条素线又称为圆柱面的侧面转向轮廓线；矩形上、下两条水平线亦是上、下底圆的积聚投影。圆柱面的投影还存在可见性问题，它的V投影是前半圆柱面和后半圆柱面投影的重合，前半圆柱面为可见，后半圆柱面为不可见；它的W投影是左半圆柱面和右半圆柱面投影的重合，左半圆柱面为可见，右半圆柱面为不可见。4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影 4.3.2 4.3.2 圆锥体的投影圆锥体的投影 1.圆锥体的形成 圆锥体由圆锥面和底面所围成。圆锥体的形成可以看成是直角三角形SAO绕其一直角边SO旋转而成。原始的斜边SA称为母线，母线旋转到
17、任意位置时称为素线。如图4.12（a）所示 图4.12 图4.12 圆锥体的形成及投影 4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影 2.圆锥体的投影 圆锥体的投影就是圆锥面和底圆的投影。当选定旋转轴垂直于H面时，底圆则平行于H面。圆锥体的H投影是个圆。它是圆锥面与底圆投影的重合，圆锥面为可见，底圆为不可见。圆锥体的V、W投影均为等腰三角形，两个等腰三角形的底边，是底圆的积聚投影，V投影的三角形的两腰分别是圆锥面上最左、最右素线的投影，以最左、最右素线为分界线，前半个锥面为可见，后半个锥面为不可见；W投影的三角形的两腰分别是圆锥面上最后、最前素线的投影，以最后、最前素线为分界线，左半个锥面为可见，右
18、半个锥面为不可见。43 曲面体的投影曲面体的投影的投影的投影4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影 4.3.3 4.3.3 圆台体的投影圆台体的投影 1.圆台体的形成 将圆锥体用平行于底面的平面切割去上部，余下的部分称为圆台体，如图4.13（a）所示。圆台体由圆台面和上、下底面所围成。2.圆台体的投影 如图4.13（b）所示，将圆台体置于三面投影体系中，选定旋转轴垂直于H面时，上下底圆平行于水平投影，其水平投影均反映实形，是两个直径不等的同心圆。圆台体正面投影和侧面投影都是等腰梯形。梯形的高为圆台的高，梯形的上底长度和下底长度是圆台上、下底圆的直径。4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影 (a
19、)形成 (b)直观图(c)投影图 4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影 4.3.4 4.3.4 球体的投影球体的投影 1.球体的形成 圆面绕其轴旋转形成球体。圆周绕其直径旋转形成球面。球体由球面围成。如图4.14(a)所示。图4.14 图4.14 球体的形成及投影 4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影 2.球体的投影 用平面切割球体，球面与该平面的交线是圆，如果该平面通过球心，则球面与该平面的交线是最大的圆，该圆的直径就是球体的直径。因此球体的三个投影就是通过球心且分别平行于三个投影面的圆的投影。球体的H投影是球面上最大的纬圆(即上、下半球的分界线)的投影；球体的V投影是球面上最左、最右素
20、线（即前、后半球的分界线)的投影；球体的W投影是球面上最前、最后素线（即左、右半球的分界线）的投影。4.3.5 4.3.5 曲面体的画法和尺寸标注曲面体的画法和尺寸标注 1.曲面体投影图的画法 从以上圆柱、圆锥、圆台、球体的投影结果可以看出，曲面体的投影具有如下特性：1)投影图中的线(直线或曲线)可表示：4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影 (1)平面或柱面的积聚投影；(2)曲面转向轮廓线的投影；(3)平面与曲面交线的投影。2)投影图中的线框，可表示一个曲面体(圆柱、圆锥、圆台或球)的投影。从以上曲面体的形成过程可看出，它们都是由直线或曲线作为母线绕定轴回转而成，所以又称为回转体，定轴又称回
21、转轴。画曲面体投影图时，常选定回转轴垂直于H面，在这种情况下，曲面体投影图的具体画法如下：（1）在H投影面上画出垂直相交的两条直径，其他投影面上画出回转轴。（2）画出曲面与底面的H面投影圆。（3）画出前半曲面与后半曲面重合的V面投影。（4）画出左半曲面与右半曲面重合的W面投影。4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影 2.曲面体投影图的尺寸标注 圆柱、圆锥、圆台的尺寸标注，一般应标注底圆直径和高度。球的半径尺寸数字前加注符号“sR”，球的直径尺寸前加注符号“s”。由于尺寸和符号的作用，圆柱、圆锥、圆台和球均可用一个投影加上尺寸标注来表示。曲面体投影图的尺寸标注见表4-2所示。表表4-24-2 曲
22、面体的尺寸标注曲面体的尺寸标注 4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影4 43 3 曲面体的投影曲面体的投影4 44 4 在体表面上取点、取线的投在体表面上取点、取线的投影作图影作图 4.4.1 4.4.1 在平面体表面上取点、取线的投影作图在平面体表面上取点、取线的投影作图 在平面体表面上取点和线，实质上是在平面上取点和线。因此，平面体表面上的点和直线的投影特性，与平面上的点和直线的投影特性基本上是相同的，而不同的是平面体表面上点和直线的投影存在可见性的问题。平面体表面上的点和直线的投影作图方法一般有三种：从属性法、积聚性法和辅助线法。1从属性法和积聚性法 当点位于平面体的侧棱上或在有积聚性
23、的表面上时，该点或线可按从属性法与积聚性法作图。如图4.15所示，在三棱柱上，侧棱AD上有一点K，其三面投影利用直线上的点(从属性)可以作出，直线MN位于表面ABED上，该表面在水平投影面上具有积聚性，当已知MN的正面投影作另两个投影时，可先作出其水平投影，再求侧面投影。2辅助线法 当点或直线所在的平面体表面为一般位置的平面，无法利用从属性和积聚性作图时，可利用作辅助线的方法作图。4 44 4 在体表面上取点、取线的投在体表面上取点、取线的投影作图影作图 如图4.16所示，在三棱锥体SABC侧面SAC上有一点K，三棱锥的侧面SAC为一般位置的平面，其三面投影都不具有积聚性，都是平面的类似形。由
24、于点K在侧面SAC上，因此点K的三面投影必定在三棱锥侧面SAC上过点K的辅助线SD上。作出辅助线SD的三面投影，再将点K的三面投影作上去即可。图4.15 4 44 4 在体表面上取点、取线的投在体表面上取点、取线的投影作图影作图 图4.16 4 44 4 在体表面上取点、取线的投在体表面上取点、取线的投影作图影作图 4.4.2 4.4.2 在曲面体表面上取点、取线的投影作图在曲面体表面上取点、取线的投影作图 在曲面体表面上取点、取线的投影作图可利用曲面体的投影特性，一般有积聚性法、素线法、纬圆法、辅助圆法。1.圆柱体表面上点的投影 作圆柱体表面上点的投影可充分利用圆柱面对投影面的积聚性。【例例
25、4-14-1】已知圆柱面上点M的V投影m为可见，求m和m；又知圆柱面上点N的W投影(n)为不可见，求n和n。解：如图4.17(a)，m为可见，故知点M在前半圆柱面上，作图时由m引垂线与前半圆周相交得点m，再根据m和m作图求得m。如图4.17(b)所示。如图4.17(a)，(n)为不可见，即可判断N在右半圆柱面上，同时又在前半圆柱面上。作图时过(n)引投影连线求得n，再由(n)和n作投影连线求得n,n为可见。4 44 4 在体表面上取点、取线的投在体表面上取点、取线的投影作图影作图 图4.17 4 44 4 在体表面上取点、取线的投在体表面上取点、取线的投影作图影作图 2.圆锥体表面上的点、线的
26、投影【例例4-24-2】已知圆锥体表面上一点K的V投影k，求k和k。如图4.18(a)所示。图4.184 44 4 在体表面上取点、取线的投在体表面上取点、取线的投影作图影作图 解：用素线法求解：如图4.18(b)所示，过锥顶S和K引一素线并延长交底圆周于1点，根据已知条件作出S1的V投影s1，然后作出该素线的H投影s1和W投影s1，最后根据直线上的点的投影性质求出k和k，并注意判别可见性。用纬圆法求解：如图4.18(c)，过点K作一平行底圆的水平纬圆，根据已知条件作出纬圆的V投影，即过k作水平线与圆锥V投影的三角形两腰相交，该水平线的长反映了纬圆的直径；纬圆的H投影是圆，W投影为直线，然后求
27、出点K的H投影k和W投影k。最后判别可见性，因为k可见，则点K在前半锥面上，故k可见，又因点K在左半锥面上，故k可见。【例例4-34-3】已知圆锥体表面上一段曲线EG的V投影eg，求作该曲线的H和W投影。4 44 4 在体表面上取点、取线的投在体表面上取点、取线的投影作图影作图 解：如图4.19(a)所示，虽然eg是直线，但是圆锥面上的直线必须通过锥顶，因此eg只能理解是曲线的投影，正好EG这段曲线在一正垂面上，故V投影为直线，而其余二投影应为曲线。解题步骤如下：(1)先求曲线两端点E和G的投影。由于e可见，故点E在圆锥的最前素线上，即过e作水平连线求得e，再由e求得e；点G在圆锥的最右素线上
28、，即过g作铅垂连线求得g，又过g作水平连线求得g。(2)求曲线上中间点的投影。在曲线GE上选取若干中间点，图中取点F作为示例，采用素线法作图。在eg上取f，连接sf并延长得点2，再求得s2，最后求得点f和点f。(3)依次将曲线上各点的同面投影连接起来即为所求。(4)判别可见性。从已知条件知，该曲线的V投影可见，H投影亦可见，可是该曲线在右半锥面上，故W投影不可见，应连成虚线。如图4.19(b)所示。4 44 4 在体表面上取点、取线的投在体表面上取点、取线的投影作图影作图 图4.19 4 44 4 在体表面上取点、取线的投在体表面上取点、取线的投影作图影作图 3.球体表面上点的投影 球面上无直
29、线，因此，求球面上点的投影，只能用平行于某一投影面的辅助圆进行作图（即纬圆法）。【例例4-44-4】已知球面上一点K的V投影k，求k和k。如图4.20(a)所示。解：从图中知，点K的位置是在上半球面。又属左半球面，同时又在前半球面上。作图可用纬圆法。如图4.20(b)，过k作纬圆的V投影12，以12之半长为半径，以O为圆心，作纬圆的水平投影(是圆)，过k引铅垂连线求得k，再按“三等”关系求得k。最后分析可见性，由于点K是在球面的左、前、上方，故三个投影均为可见。4 44 4 在体表面上取点、取线的投在体表面上取点、取线的投影作图影作图 图4.20 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 4.5
30、.1 4.5.1 组合体的类型组合体的类型 由基本几何体按一定形式组合起来的形体称为组合体。为了便于分析，按形体组合特点，将它们的形成方式分为：1.叠加型 由几个基本形体叠加而成。如图4.21所示，基础可看成是由三块四棱柱体叠加而成；螺栓可看成是由六棱柱和圆柱体组成的。2.切割型 由基本形体切割掉某些形体而成。如图4.22所示，木榫可看作是由四棱柱切掉两个小四棱柱而成。3.综合型 既有叠加又有切割两种形式的组合体。如图4.23所示，肋式杯形基础，可看作由四棱柱底板、中间四棱柱(在其正中挖去一楔形块)和六块梯形肋板组成。4 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.21 4 45 5 组合体的投
31、影组合体的投影图4.22 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.23 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 4.5.2 4.5.2 组合体投影图的画法组合体投影图的画法 1.组合体投影图的名称 在研究画法几何时，形体在三个投影面上的投影称为三面投影图；现在研究组合体的投影时，可称为三视图。即V面投影称为主视图；H面投影称为俯视图；W面投影称为左视图。对于复杂的形体可用六个视图来表达，即增加三个投影面H1、V1、W1。由右向左投影在W1上得到右视图；由下向上投影在H1上得到仰视图；由后向前投影在V1上得到后视图。六个基本视图的展开方法，如图4.24所示，展开后的摆放位置，如图4.25所
32、示。4 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.25 图4.244 45 5 组合体的投影组合体的投影 2 组合体投影图的画法 画组合体的三视图，可将其分解为若干基本体后，分别画出三视图，再进行组合。画出的三视图必须符合三等关系和方位关系。画三视图的一般步骤是：(1)形体分析。弄清组合体的类型，各部分的相对位置，是否有对称性等。(2)选择视图。首先要确立安放位置，定出主视方向，将形体的主要面垂直或平行于投影面，使得到的视图既清晰又简单，且反映实形，同时注意使最能反映形体特征的面置于前方，而又要使视图虚线最少。(3)画视图。根据选定的比例和图幅，布置视图位置，使四边空档留足。画图时先画底图，经
33、检查修改后，再加深，不可见棱线画成虚线。(4)最后标注尺寸(见后面第（三）个问题)。4 45 5 组合体的投影组合体的投影【例例4-54-5】画出如图4.26所示的三视图。解：(1)形体分析。该组合体属综合型，但作图可以先按叠加型对待。将组合体分解为三部分。体I为四棱柱，体为三棱柱，体亦为三棱柱。(2)选择视图。将体I的下底面置于水平位置，其它四个棱面分别平行于V面和W面，则体和体的位置相应确定。视图的主视方向如图中箭头所示，这样选择可以避免虚线，假若将图中的左视方向定为主视方向，则在另一“左视图”中将有多条虚线；此题的视图数量应为三个，因为体I和体用两个视图表达不能确定其形状。图4.26 4
34、 45 5 组合体的投影组合体的投影(3)画视图。对分解出的基本体，分别画出其三视图，并进行叠加。作图步骤：图4.27（a）画体I的三视图；图4.27（b）画体的三视图，并将体I、体之间的方位关系进行叠加；图4.27（c）画体的三视图，并将体I、体之间的方位关系进行叠加；图4.27（d）在体I的左前上方截去一个小四棱柱体。图4.27 4 45 5 组合体的投影组合体的投影【例例4-64-6】画出如图4.28所示的三视图。解：(1)形体分析。该组合体属于切割型，是由一长方体经截割而成。切割顺序是，第一步由一侧垂面截去一个三棱柱体I；第二步由两个侧平面和一个水平面截去一个四棱柱体；第三步在对称的前
35、下角位置各用一个一般位置平面截去一个三棱锥体和体。(2)选择视图。将组合体下底面置于水平位置，左、右侧面平行于W面，主视方向如箭头所示，采用三个视图。(3)画视图。可分为四步进行，图4.29(a)，画截割前长方体的三视图；图4.29（b）画截去一个三棱柱后的三视图；图4.29（c）画又截去一个四棱柱后的三视图；图4.29（d）画再截去两个三棱锥后的三视图。4 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.28 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.29 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 3.组合体的尺寸标注 组合体的视图只能表达它的形状，组合体的大小则要用尺寸来表达。尺寸是施工的依据
36、，因此要求标注准确、清楚、完整。1）基本体的尺寸标注 前面对基本平面体和基本曲面体的尺寸标汪已作要求，这里对基本体的尺寸标汪要求作点补充。对于基本体，一般只标注长、宽、高尺寸，但由于各自的形状不同，也采用了一些不同的标注方法。如球体只用一个视图，标为S15即可。S表示球体，表示直径，15是直径大小数字。圆柱、圆锥亦可用一个主视图，并注上高度和直径即可。标注示例如图4.30所示。4 45 5 组合体的投影组合体的投影图4.30 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 2）基本体截口的尺寸标注 基本体被截割后，除要标注长、宽、高外，还应标注截割面的定位尺寸，不标注截交线的定形尺寸。标注示例如图4.
37、31所示。图4.31 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 3）组合体的尺寸标注 组合体视图中的尺寸，一般包括下列三种：（1）定形尺寸 组合体中确定基本体形状和大小的尺寸。（2）定位尺寸 组合体中确定各基本体相对位置的尺寸。标注定位尺寸时，还应注意两点：a.选好尺寸基准。可在组合体的长、宽、高三个方向各选一个基准。如上下方向上可选底面、左右方向上可选右端面、前后方向上可选后面为基准面。b.按选好的尺寸基准，直接或间接标注各基本体的定位尺寸。对称体的位置用对称面确定，棱柱体的位置用棱面确定，回转体的位置用轴确定。（3）总体尺寸 确定组合体总长、总宽、总高的尺寸。4 45 5 组合体的投影组合体
38、的投影 如图4.32(b)中，400200200是体I的定形尺寸；主视图中的300是体的定位尺寸；440250240是总尺寸。尺寸基准选的是底面、后面和右面。体为回转体，它的位置用轴线确定；体是对称体，它的位置是用对称面确定。要使尺寸标注得到合理、完美、清晰的效果，尚需注意几点：(1)尺寸应尽量标注在能反映基本体特征的视图上。如图4.32中的体的半径标注在主视图的圆弧上，而不标注在俯视图上。(2)反映某一基本体的尺寸，尽量集中标注。如图4.32中，体的定形、定位尺寸集中标注在俯视图上；体IV的定形、定位尺寸集中标注在主视图上。(3)与两视图相关的尺寸，尽量注在两视图之间。如图4.32中，高向的
39、240、200，系标注在主、左两视图之间并靠左视图一边。4 45 5 组合体的投影组合体的投影(4)尺寸尽量标注在视图之外，以保持视图的清晰。(5)尺寸尽量不标注在虚线上。同一方向的尺寸，小尺寸标注在内边，大尺寸标注在外边。4 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.32 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 4.5.3 4.5.3 组合体投影图的识读组合体投影图的识读 1.读图应具备的基本知识 熟记基本体的投影图特征，利用“三等”关系进行形体分析。利用方位关系找出组合体中各基本体之间的相对位置。(3)熟练地掌握各种位置直线、平面的投影特性及截交线、相贯线的投影特点。(4)对复杂的组合体充
40、分利用线、面分析法进行读图。1）图线的意义 视图中的每一条图线总是下面三种情况之一。(1)表示两个面的交线。如图4.33中的ab直线。(2)表示一个面的积聚投影。如图4.33(a)、(b)中的p、q。(3)表示曲面转向轮廓线。如图4.34中，主视图的ab表示圆柱面的转向轮廓线的投影，sa是圆锥面的转向轮廓线的投影。4 45 5 组合体的投影组合体的投影 2）线框(封闭图形)的意义 (1)视图上一个线框，一般表示形体上一个面的投影。a)可能是平面的投影。b)可能是曲面的投影，如图4.34中的矩形主视图是圆柱面的投影。(2)视图上的线框还有其特殊含义。a.是相切的平面与曲面的投影。如图4.35中的
41、主视图，是四分之一的圆柱面与正平面相切的投影。b.是相交两平面的重影。如图4.36中的主视图，是三棱柱中相交的两个面口CDFE和口CDBA的重影。c.是平行两平面的重影。如图4.36中的左视图，是三棱柱中两个端面AEC和BFD的重影。由于左视图的三个边又是三棱柱中三个棱面的积聚投影，特称这类线框为“体线框”，它最能体现形体的形状特征。4 45 5 组合体的投影组合体的投影 3)相邻两线框表示两个面。这两个面的空间情况有多种，可能是相交二平面的投影，也可能是前后、左右、上下二平面的投影，到底属于哪一种，则要根据另一视图来共同判断。图4.33 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.34 图
42、4.35 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.36 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 2.读图方法和步骤 1)读图方法 识读组合体的投影图时，一般以形体分析法为主，线面分析法为辅；对复杂的组合体，可以两种方法综合使用，利用线面分析法解难点。（1）形体分析法是以基本体的投影特征为基础的。首先根据视图的线框对投影关系，将组合体分解成若干基本体，并想出它们的形状，再根据方位关系确定它们的相对位置，最后联想出组合体的形状。（2）线面分析法是以线和面的投影特点为基础的。根据视图中的线和线框对投影关系，明确它们的空间形状和位置，综合想象出组合体的形状。2)读图步骤（1）初读视图 了解该组合
43、体是平面体或是曲面体，是否有对称性，是否有斜面，属于何种类型的组合体等。4 45 5 组合体的投影组合体的投影（2）进行分析 根据初步读图的判断，进行形体分析或线面分析。（3）联想整体 如用形体分析法，则将分析得出的各单个基本体，根据其方位关系组合成整体。如用线面分析法，则将分析得出的各个面的空间形状和位置，综合想象出整体。（4）对照验证 在初学时，可将联想出的组合体画成立体图，并与原三视图进行对照，检查是否相符。如果相符，则说明读图正确。4 45 5 组合体的投影组合体的投影【例例4-74-7】根据三视图，想象出组合体的形状，如图4.37所示。解：(1)初读视图。从主、俯视图知，该组合体左右
44、对称，由明显的三部分叠加而成，故可用形体分析法进行读图。(2)形体分析。利用“三等”关系，从主视图着手对线框，不难看出大矩形对出的是长方体，半圆对出的是半圆柱体，三角形对出的是三棱柱体。(3)联想整体。根据三部分的前后、左右关系，边画立体草图边叠加，从而想象出整体。(4)对照验证。将想象画出的空间草图再回到平面上去验证。与原三视图进行对照，若检查无误，则说明读图正确。4 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.37 4 45 5 组合体的投影组合体的投影【例例4-84-8】根据三视图，想象出组合体的形状，如图4.38所示。解：(1)初读视图。视图中无曲线，则为平面体；有斜线，说明有斜面；三个
45、视图的外形线框都是矩形，说明该组合体是由长方体改造而成，线框内的一些线条可视为被若干面截割成的凹槽、孔、洞等，故可用线面分析法进行读图。(2)线面分析。由一视图的线框去对另一视图，若无类似性，必有积聚性。先从俯视图着手，如线框1对主视图，对不上类似图形，则只能对一条水平线，故I面就是组合体中最上的一个水平面；同理，线框3对的亦是水平线，唯有俯视图中的线框2对在主视图上和左视图上都有类似的线框，可知面是一般位置面。同法将三个视图中的线框分析完。(3)联想整体。先画出长方体的立体草图，在它的左、前、上三个方向定出、I面，再定、V、面，整体即成。通过分析可知，该组合体原是一个长方体，被、V面截割去了
46、一个上底为斜面的四棱柱体的缺口。4 45 5 组合体的投影组合体的投影(4)对照验证。将想象出来的立体图，再回到三视图中去对照，若相吻合，则说明读图正确。图4.38 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 应在俯视上的线框为梯形，对应在左视图上的线框为矩形，说明该部分形体是断面形状为梯形的四棱柱体；主视图上的上部分线框内有三个小线框，其中，中间一个为梯形，对应在俯视图上的线框亦为梯形，对应在左视图中为一条斜线，说明该线框为一个形状为梯形的侧垂面；主视图中上部分线框的两边分别为三角形，对应在俯视图中仍为两个三角形，而对应在左视图中亦为三角形，说明该两个线框
47、是形状为三角形的两个一般面。(3)联想整体。通过上述分析，不难看出，该组合体类似一个建筑形体。其主体是一个长方体，它的左下角的六棱柱体类似一个花台，长方体的后面是一个斜屋面的小偏房，长方体的右前方是一个平面形状为梯形，屋面为三面流水的小房屋。(4)对照验证。将想象出来的立体，再回到三视图中去验证，若各部分都吻合，则说明读图无误。4 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.39 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 3 怎样对“三等”关系 用线面分析法读三视图时，不单是尺寸相对，而要重视形象分析，一般应注意下面一些问题。1)线对面 分两种情况。(1)与投影轴倾斜的线对面，则形体上的这个面是投
48、影面的垂直面。如图4.40中，梯形aefd对ae，则形体上的梯形AEFD是正垂面。(2)与投影轴平行的线对面，则形体上的面是投影面的平行面。如图4.40中，矩形abcd对ab，则形体上的矩形ABCD是水平面。4 45 5 组合体的投影组合体的投影图4.40 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 2)面对面 (1)必须是类似面才能相对，而且各个角点亦须对应。如三角形不能与四边形相对。图4.41中，四边形abcd与四边形abcd是类似面相对，四个角点亦相对，再与左视图相对应，就可下结论，形体上的四边形ABCD是侧垂面。图4.41中，三角形ade与三角形ade相对，三个角点亦相对，再与左视图中的三
49、角形ade相对，就可下结论，形体上的三角形ADE是一般位置的面。(2)还有一种特殊情况，即两个类似图形不是同一平面的两个投影。如图4.42中，长方体的三个视图都是矩形。主视图与俯视图虽然类似，四个角点也对应，但却不是同一平面的两个投影。这时，对“三等”关系应该是俯视图对主视图上的水平线bc(即长方体上的水平面)；主视图对俯视图上的水平线bc(即长方体上的正平面)。4 45 5 组合体的投影组合体的投影(3)在对“三等”关系中，由于图形复杂，容易混淆，这时可以用标注角点来定位。如图4.43中，俯视图上的三角形abc与主视图上的三角形abc能很明显地对上；但对左视图时，有两个三角形都能满足“三等”
50、关系，这时就要充分利用标注角点的方法来确定所对的三角形abc。图4.414 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.42 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 图4.43 4 45 5 组合体的投影组合体的投影 4.补视图 补视图是给定组合体的任意二视图，补出第三视图。补视图是培养空间分析能力的重要手段，也是训练读图能力的有效方法。它比读三视图的难度要大些，因为已知条件要少一个，并且有时是多答案的，故必须靠综合的分析能力，反复推敲、对比，找出线面特征或形体特征，从而补出未知的视图，以达到更深刻地认识视图所表达的形体。【例例4-104-10】已知主视图和俯视图如图4.44所示，补出左视图。解
