1、7.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 12223223201.12.23.4.1,5.()4().6.17.lim(,)(0,;1 1 6 1 DDDDrDddxdyBzxyDxydxydf x y dfr 一一、填填空空题题：（）错错，（2 2）对对，（3 3）错错，（4 4）错错，（5 5）对对；表表示示以以为为顶顶 以以 为为底底的的三三棱棱锥锥的的体体积积，其其值值为为；（），（2 2）0).22sinsin,(,)|0,0.DIxydDx yxy 二二、利利用用二二重重积积分分的的性性质质，估估计计下下列列各各二二重重积积分分的的值值1 1、其其中中2222220 sin
2、sin10sinsinDDxydxyd 解解，22:4DD xy先先考考虑虑 的的边边界界上上的的情情况况2222(,(,)49(4);)L x yxyxy为为条条件件极极值值问问题题 故故可可考考虑虑用用拉拉格格朗朗日日乘乘子子法法：令令当当然然也也可可以以考考虑虑把把条条件件极极值值转转化化成成无无条条件件极极值值来来处处理理.2249zxy解解：令令224xy224xy2313zy2(04)ymaxmin25,13zzD再再考考虑虑 内内部部的的情情况况20(0,0)80 xyzxzy 由由得得驻驻点点为为(0,0)9z maxmin25,9zz综综上上()4D minmax()()36
3、100zDIzDI即即2222(49):4.DIxydD xy 2 2、，其其中中22222(),:.DaxydD xya 三三、根根据据二二重重积积分分的的几几何何意意义义，确确定定下下列列积积分分的的值值1 1、其其中中22DDadxy d解解：原原式式222222:.Daxy dD xya 2 2、，其其中中222331 422 33Daxy daa 解解的的空空间间几几何何是是上上半半球球体体体体积积22zxy233311().33aaaaa7.2 二重积分的计算（一）二重积分的计算（一）24111212100142400212221140411.;2.;3.;4.;5.(1),;(2
4、),;6.(1),yxyxyxyDxyxxyyyxe dxdydxxe dyeDCDIdxfx y dydyfx y dxIdxfx y dydyfx y dxdyfx y dxdyfx y dx 一一、填填空空题题：224042241434011111200,;(2),7.1.xxyyyyyedxfx y dydyfx y dxdyfx y dxdyedx 3,0,1,1.DxydxdyDxyxyy 二二、计计算算题题1 1、求求其其中中 是是由由所所围围成成的的闭闭区区域域 13001303130112111121631yxydydxyyydyyd yy 解解：原原式式2yx1y 2:,0
5、1,01.Dyx dxdyDx yxy 2 2、计计算算二二重重积积分分，其其中中1212222122222211122000441120001,101,0()()()()1()2221130DDDDxxDDxxyDxyxyx dxdyyx dxdyyxdxdyxy dxdydxyxdydxxy dyxxxdxdx 解解可可以以分分成成两两个个区区域域：和和:原原式式2yx1D2D 222,.Dxyyxxx yxy 3 3、设设平平面面薄薄片片所所占占的的闭闭区区域域 由由直直线线和和 轴轴所所围围成成，它它的的密密度度为为求求该该薄薄片片的的质质量量 2212220331230()()222
6、3343Dyymxyddyxydxyyyydy 解解yx2xy4.0,0,1xyxy计计算算由由平平面面所所围围成成2206.zxyz柱柱体体被被平平面面及及截截得得的的立立体体的的体体积积22112200(6)(6)DxVxydxdydxxydy 解解 13201(461517)3xxxdx xOy1xy17.6 1z1226xyz 7.2 二重积分的计算（二）二重积分的计算（二）2223cos422202cos00200222301.;2.;3.;4.0;5.(1)cos,sin;(2)cos,sin;6.;7.;8.()baaaDDDIdfdIdfdIdfddedeMxyddd 一一、填
7、填空空题题：250;40D 2222ln 1,:1,0,0.DxydD xyxy 二二、计计算算题题1 1、计计算算其其中中 212001220ln 1ln 114ln224ddd 解解：原原式式221xy22222.arctan,1,90,DydxdyDxyxxyyyx 计计算算其其中中 由由圆圆周周及及直直线线所所围围成成的的第第一一象象限限区区域域。3401dd 解解 原原式式423102d Oxyyx 2.8 1 3D2222222243.:9,(,),44xyxyD xyf x yxy 设设(,).Df x y dxdy 计计算算1212222212222223300024:49(,
8、)(,)()44DDDDDD xyDxyf x y dxdyf x y dxdyxydxdydxdydddd 解解 可可以以分分成成两两部部分分:和和原原式式 2421028.xy3322O224.xoyxyax计计算算以以面面上上的的圆圆周周围围成成的的闭闭区区域域22.zxy为为底底，而而以以曲曲面面为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积22()DVxydxdy 解解 4422cos4ad 43.32a cos3202add xyzaO7.3 三重积分的计算（一）三重积分的计算（一）2222222222222211101001121121.2.3.4.95.(,)(,).6.(,).7.
9、xyxyxyyxxxxyhhxhhxBCAzdxdydzdxdyf x y z dzdydxf x y z dzdxdyf x y z dzdxdyz 一一、填填空空题题：或或 2222.38.2hxyxyedz (),0,0,0,1.xyz dVxyzxyz 二二、求求其其中中 是是由由平平面面 及及所所围围成成的的四四面面体体111000121100021120012331002333410()()2(1)()()2()()(1)2361(1)62366612xxyxyxxxdxdyxyz dzzdxxy zdyxydxxyxydyxyxyxydxxxxxxxdx 解解 原原式式 140(
10、1)1248x Oxz111y 222222220022220022200220210,2.:1(1)(1)(1)25123(1).yyyyyyyDDyyyyyye dxdydzxyzyyDxzye dxdydzdye dxdze dydxdzeydyydeyeye dyeyeee 三三、计计算算，其其中中 由由，围围成成解解：2312323000115612000,1,0.111.428364xxyxxy z dxdydzzxyyx xzxy z dxdydzdxdyxy z dzdxx y dyx dx 四四、求求，其其中中 是是由由马马鞍鞍面面与与平平面面所所包包围围的的空空间间区区域域
11、解解：2221211(),:()(1)().xyzf xf z dxdydzuf u du 五五、设设为为连连续续函函数数 求求证证2222221111112211()()(1)()(1)().xyzxyzf z dxdydzf z dzdxdyzf z dzuf u du 证证明明 7.3 三重积分的计算（二）三重积分的计算（二）22222222222222222 cos2200022222222200ln(1)1.012.(sin cos,sin sin,cos)sin3.();aRRxRxyRRxyxRzxyzdxdydzxyzddf rrrrdrIdxdyxyzdzIdd 一一、填填空
12、空题题：直直角角坐坐标标 柱柱面面坐坐标标 22222224000();sin.RRzdzIddrrdr 球球面面坐坐标标233003224cos0004222222252350024.(cos,sin,)(sin cos,sin sin,cos)sin5.8()425()552(52Iddfz dzIddf rrrrdraxydVzxyzdddz 柱柱坐坐标标为为球球坐坐标标为为二二、计计算算，是是由由曲曲面面及及 平平面面所所围围的的区区域域.解解：原原式式 240)8.d 22222222222234003432043.:3:02,03,431132(4).294xyzdVxyzxyzD
13、xyzzdVddzdzd 三三、计计算算，其其中中是是由由球球面面及及抛抛物物面面所所围围成成解解：22,1.xyzdvzxy 四四、计计算算其其中中 是是由由和和三三坐坐标标面面所所围围成成的的在在第第一一卦卦象象限限内内的的闭闭区区域域1222000135220001222460000,0,0122sin cossin sincossincossinsincos1111sinsin.24648rIddrrrrdrddr drr 解解：22220,1,0.zxy dvyxxzzy 五五、计计算算,其其中中是是由由柱柱面面 与与平平面面所所围围成成的的闭闭区区域域2cos122000122co
14、s22000320248cos.39Iddzdzzddd 解解 Oyx21z,R六六、球球心心在在原原点点 半半径径为为 的的球球体体 其其上上任任意意一一点点的的体体密密度度 与与这这点点到到球球心心的的距距离离成成正正比比,求求这这个个球球体体的的质质量量.2222200044(,),(,)sin22.4Rx y zkxyzMx y z dxdydzddkr rdrRkk R 解解 依依题题意意得得可可设设体体密密度度则则 2222(),08yzIxydvzxz 七七、计计算算其其中中为为平平面面曲曲线线绕绕 轴轴 旋旋转转一一周周形形成成的的曲曲面面与与平平面面所所围围成成的的区区域域。
15、22222822220282230002482230022,()()1024.31024().3xyzzxyzIxydxdydzdzxydxdydzddIxydxdydzdddz 解解 曲曲面面方方程程为为 或或者者7.4 重积分应用举例重积分应用举例 222(1)2230121.(),(0)0,lim()(0).3rxyrf uCffxydxdyfr 一一、填填空空题题：设设且且则则 22222233000032000011lim()lim()22()2()2lim()limlim(0).333rrrxyrrrrrfxydxdydfdrrf r rf rfdfrrr 解解 2.2,xy设设平
16、平面面薄薄片片所所占占的的闭闭区区域域是是由由直直线线22,(,),yxxx yxy 和和 轴轴所所围围成成 其其密密度度为为4.3M 则则该该薄薄片片的的质质量量12220133201230()1(2)(22)31(812128)314(8642).33yyMdyxydxyyyy dyyyydy 解解：Oyx2y=xy+x=24cos223202333.4.35.().326.7.8.,.33aDxyBBBaVxy dxdyddCCabbaII .22222(0)xyazzaxya二二、求求由由曲曲面面与与所所围围成成 的的立立体体的的体体积积.2222,2xyazzazaxy 解解 得得x
17、y2a222:,xyDxyaazaO22200aaaVdVdddz 202(2)aada 33331152().346aaaa xyz222222222222200.1611616.xyRRxxyDxyRxzRRAzz dxdydxdyRRx 三三、求求两两个个底底圆圆半半径径相相等等的的直直交交圆圆柱柱面面与与 所所围围立立体体的的表表面面积积解解：所所求求面面积积,a四四、设设有有一一等等腰腰直直角角三三角角形形薄薄片片 腰腰长长为为各各点点处处的的面面密密度度等等于于该该点点到到直直角角顶顶点点的的距距离离的的平平方方,求求该该薄薄片片的的重重心心.22,0,xyy 解解 2222()(
18、)DDx xydxxyd Oyax2a5422 215.56aaaa21yxy五五、求求由由抛抛物物线线及及直直线线所所围围成成的的均均匀匀薄薄片片(面面密密1.y 度度为为常常数数)对对直直线线的的转转动动惯惯量量2(1)DIyd 解解 120(1)yydyydx 368.105 Oyx1 1122221()2zxyzaxya六六、设设物物体体由由及及(0)1az 围围成成，其其密密度度为为常常数数，求求该该物物体体关关于于 轴轴的的转转动动惯惯量量。2252222200:2,0,024()15aa rrzarzaraaaIxydvdrdrr dz 解解：第七章第七章 习题课习题课 2222
19、222210201sec4000sinsec1422001.2.3.sin0sin4.1sin1.15.limcos()1.6.(,)(cos,sin)1DxxxyrxyrxDCyxdxdyydxdyyexy dxdyrdxf x y dydfddxdydxy 一一、填填空空题题：22sinsec002coscossec04.7.(cos,sin,).xxdddfz dz 2222222301lim().txyztf xyzdxdydzt 222500001lim()sinttIddf rrdrt 解解 45 8.(),(0)0,(0)1,f uff 若若连连续续可可导导 且且则则225004
20、lim()ttf rr drt 22242004()4()limlim55ttf ttf ttt204()24lim.2 55tfttt 222211,01DxydxdyDxyxxy 二二、计计算算，其其中中：.1212220221122002222212221111(1)ln(1)ln221221011ln212DDDIdxdyddxydxyDxyxyxyIdxdyxyxydxdyIIxy 解解：关关于于 轴轴对对称称，且且为为 的的奇奇函函数数 2222,:2.x dxdydzxyzz 三三、计计算算其其中中22cos22222000sincossinIddrrdr 解解 532032co
21、ssin5d 4.15 xz1yO|222,(,)1.ze dVx y z xyz 四四、计计算算其其中中22222211|11:1:111|2210(1)2(1)2.zzzzD xyzD xyzzzIdze dxdye dzdxdyezdzezdz 解解 2222,11zdVzxyxyz 五五、计计算算其其中中是是由由曲曲面面与与 所所围围成成的的闭闭区区域域.222211001122012201230:112(1)(1)2(1)(1)21.33xyDxyIddzdzdd 解解一一 法法xz1yO1 2222,11zdVzxyxyz 五五、计计算算其其中中是是由由曲曲面面与与 所所围围成成的
22、的闭闭区区域域.1212222222100110011(1)1022011(1)(1)3zzDDxyzxyzzdVzdVzdVdzzdxdydzzdxdyzdzdxdyzdzdxdyzzdzzzdz ：解解法法二二xz1yO1 2222(),xyzdxdydzzxy 六六、计计算算由由锥锥面面2120001501.6Iddzdzd 解解 xz1yO2210.xyz与与柱柱面面及及围围成成区区域域第七章第七章 习题课习题课(课外作业课外作业)22222222122max,12max,max,max,1.2.3.4.5.(,)|01,01.(,)01,0,(,)01,1xyDxyxyxyDDDxA
23、BCDDedxdyDx yxyDx yxyxDx yxxyedxdyedxdyedxdye 一一、填填空空题题：二二、计计算算，其其中中解解：设设 222122211111xyyxyDDxydxdye dxdydxe dydye dxxe dxye dye2222:1,1.DxydxdyD xyxyxy 三三、计计算算,其其中中12120sincos1210sincos20cossin(sincos)(sincos1)2.2Iddddd 解解 x1yO1D2cos204(cos,sin)Idfd 四四、将将极极坐坐标标累累次次积积分分 化化成成直直角角坐坐标标形形式式.2221222012(,)(,)x xx xxx xIdxf x y dydxf x y dy解解 2220111111011(,)(,).yyyydyf x y dxdyf x y dxxy1O21 1(),xyz dxdydz 五五、计计算算其其中中是是由由曲曲面面2221zxyz与与平平面面所所围围成成的的闭闭区区域域.0,xdxdydzydxdydz 解解 2110012012(1).24Izdxdydzddzdzd xz1yO1
