1、非线性线性化的一般步骤非线性线性化的一般步骤:1.1.按物理规律写方程按物理规律写方程,确定平衡工作点确定平衡工作点;2.2.在平衡工作点进行泰勒展开在平衡工作点进行泰勒展开,并忽略二并忽略二次及以上高阶项次及以上高阶项;3.3.用平衡工作点增量形式表示原方程，用平衡工作点增量形式表示原方程，并消去中间变量。并消去中间变量。试建立如下试建立如下RLC电路电路输入输入ur、输出输出uc的微分方程的微分方程rcccuudtduRCdtudLC22rcuuRidtdiLidtduCcrcccuuRCpuuLCp20)()(dtetfsFst)()(tfLsF)()()()()(21211110111
2、0nmnnnnmmmmpspspszszszskasasasabsbsbsbsF)(tfstL1)(1 1)(tL21stL32121stL）（!11!111ntsLsntLnnnnseLt122cossstL22sinstL)()()()(2121sbFsaFtbftafL)()(11sFtfL)()(22sFtfL)()()(sFstfLnn)()(sFtfL)0()0()0()()()1(1)(nnnnnffsfssFstfLrcccuuRCpuuLCp2rcccUURCsUULCs2ssFdttfL)()()()(sFtfL)()()(sFstfLnn)()(sFtfL)()(sFet
3、fLs)()(sFtfL)()(asFtfeLat)()(sFtfL)(111tsL)(111teasLat)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFtfL)()(sFtfL)(lim)(lim0ssFtfst)(ssF)1(5lim)(lim555lim)(lim00sssssFetfssttttetf55)()1(5155)(sssssF22)()sin()(ssFttfjcjcstdsesFjtf)(21)()()(1tfsFL)()()()()(212111101110nmnnnnmmmmpspspszszszskasasasabsbsbsbsF)(tf1.1.只有不同极点时：只
4、有不同极点时：)(sFnnpsApsApsASF2211)(nitpiieAtf1)(ipsiipssFA)(留数留数留数定理留数定理)2)(1(3)(ssssFtteetf22)(113)2)(223)1)(2111ssssssssFBssssFA2112)(sssF2.2.包含共轭复数极点时：包含共轭复数极点时：)(sFnnpsApsApspsAsASF332121)()(nipssFAipsii,3)(11)()(2121pspsAsApspssF等式两边实部虚部分别相等得到等式两边实部虚部分别相等得到 2,1A222nnsss101)1sin(112122tgtentnnitpinti
5、neAtetf322)1sin(11)(衰减项衰减项振荡项振荡项)1(1)(2sssssF)31(2121)31(21203)1)(1)(jsjssAsAsssFssFA11)(2sssssF0;121AAsAssAsAsF32211)()6023sin(3223cos60sin23sin60cos3223cos2323sin213223cos23sin3123sin3123cos)23()21(3321)23()21(2143)21(212115.05.05.05.05.05.0222222tettettettetetesssssssstttttt)6023sin(321)(5.0tetft
6、11)(2sssssF)6023sin(321)605.01sin(5.0111)(605.05.01;1;5.05.025.0221tetetftgttnnnrrrrrpsApsApsApsApsASF)()()()()(11001002001nripssFAipsii,1)(ripssFdsdiApsriii,2;)()!1(1001103.3.包含包含 重极点时：重极点时：)(sFr0)(001psrpssFA0;)!2()!1()(1010202101teAeAeAtrAtrAtftpntprtprrrnr根据位移定理及根据位移定理及)!1(111ntsLnnnnrrrrrpsApsA
7、psApsApsASF)()()()()(110010020011222)2(1)(2ssssF12)2()(302201sAsAsAsFttteetetf22)(22)1()2(3)(2ssssFtetsL21221)!12()2(1)1()2(3)(2ssssF2)1()3()1(13)2)(!111)2)(2)1)(2222202220113ssssssssssdsdssFdsdAssFAssFA 例例 在在直流电动机调速直流电动机调速系统中，系统中，ud为输入量为输入量,n为输出量，试求当为输出量，试求当ud为为单位阶跃时，系统的响单位阶跃时，系统的响应应n(t)?已知：已知：1.0d
8、ddRLT5.03752emdmCCRGDT01.0eC2222375375dddddmemeeLRRuGDd nGDdnnRC C dtC C dtC2222375375dddddmemeLRRuGDd nGDdnnRC C dtC C dtCedundtdndtnd1001.001.022)(100)()(1.0)(01.02sUsnssnsnsdssssUsssnd111.001.0100)(11.001.0100)(22)31(50010000100)(112100jssAAssnApspss10010)10010(10000)(22102sssAAsAssssn）（；，3150210
9、jpp100;100021AA33;231;5.0210;1012tgnn)10010101(100)10010(10000)(22ssssssssn)1sin(1222222tesssntnnnn211tg)335sin(321 100)(5tetntn系统的特征方程系统的特征方程n系统的阶数系统的阶数n系统的极点系统的极点n系统的零点系统的零点稳态值、极点与稳定性稳态值、极点与稳定性稳态值：稳态值：KssXxcsc)(lim)(0对稳态的要求可转化为对传递函数的要求对稳态的要求可转化为对传递函数的要求。11(1)1()()(1)miirnjjKTsXs W ssT s单位阶跃输入单位阶跃输
10、入极点与稳定性（单位阶跃输入）：极点与稳定性（单位阶跃输入）：nnnjjmiigcpsApsAsApsszsKsx11011)()()(tpntpcneAeAAtx110)(输出是收敛还是发散取决于系统的极点输出是收敛还是发散取决于系统的极点。tprrrntnitpiceAtrAtrAteeAtxni0)!2()!1()1sin(11)(0202101223输出是收敛还是发散取决于系统的极点输出是收敛还是发散取决于系统的极点。njjmiinjjmiigcsTssTKpsszsKsx1111)1()1()()()()2)(1(3)(ssssFtteetf22)(113)2)(223)1)(211
11、1ssssssssFBssssFA2112)(sssF(),0()()scF sa b csa sb()atbtf tAeBe()()()()sasbacacaAF s sacabababbccbbBF s sbcbaabab （当=0时，）（当=0时，）()ABF ssasbAacBcb()(limlim)ata b tbtttAeAceBeB 当=0时,1.分析系统并指出该系统的分析系统并指出该系统的被控对象、被控量、扰动量；被控对象、被控量、扰动量；2.画出系统结构图，并说明该画出系统结构图，并说明该系统是否有抑制扰动的能力。系统是否有抑制扰动的能力。试求取如下试求取如下RLC电路电路输
12、入输入ur、输出输出uc的的传递函数传递函数W(s)。1.分析系统并指出该系统的分析系统并指出该系统的被控对象、被控量、扰动量；被控对象、被控量、扰动量；2.画出系统结构图，并说明该画出系统结构图，并说明该系统是否有抑制扰动的能力。系统是否有抑制扰动的能力。被控量被控量被控对象被控对象扰动量扰动量控制器控制器气动阀气动阀水箱水箱浮子浮子希望水位希望水位流出流出实际水位实际水位CssUsIsUCsLsRsIcr1)()()(1)(22cccrd uduLCRCuudtdtrcuuiRdtdiLcduiCdt 21crLCsRCsUsUs2()1()()1crUsW sUsLCsRCs)()()1
13、(sUsUCsLsRCsrc复阻抗：复阻抗：2、典型环节的传递函数及暂态特性典型环节的传递函数及暂态特性（1）比例环节比例环节21crrRxxKxR)()(sKXsXrcKsXsXsWrc)()()(比例环节的单位阶跃响应比例环节的单位阶跃响应KsXsXsWrc)()()(（2）惯性环节惯性环节()1()()1crXsW sXsTsssXr1)(当 时01/()()()(1)(1/)1/crAAKK TXsW s Xss Tss sTssT00(1)sK TAsKs sTKTsTssTKATs/11)/1()/1(/11()(1/)cX sKssT惯性环节的单位阶跃响应惯性环节的单位阶跃响应1
14、1()(1/)cXsKssT/()(1),0t Tcx tKet求拉氏反变换得求拉氏反变换得 当输入量为 时，输出量为（3）积分环节积分环节()1()()crUsKW sUssTs式中，K=1/T，T称为积分环节的时间常数。()/cu tKt t T()/cu tK tt T（4）微分环节微分环节 理想微分环节理想微分环节sKsUsUsWrc)()()(（4）微分环节微分环节 一阶微分环节（又称比例微分环节）一阶微分环节（又称比例微分环节）sTRRsUsIsWr11)()()(（5）振荡环节振荡环节这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，
15、两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。暂态响应可能作周期性的变化。222()2nnnW sss式中：式中：n 自然振荡角频率自然振荡角频率 阻尼比阻尼比（5）振荡环节振荡环节当 时，上式特征方程的根为共轭复数当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：因式分解得：222()(2)ncnnXss ss2221()2ncnnsXssss10振荡环节的单位阶跃响应振荡环节的单位阶跃响应输出量为输出量为：22()1sin(1)1ntcnex tt 21arctan（6）时滞环节时滞环节例例2-10 带钢厚度检测环节带钢
16、厚度检测环节 ()cdh th t vl()crxtx t)()(sXesXrscsrcesXsXsW)()()(写成一般形式:零初始条件下，拉氏变换为 传递函数为 时滞环节的时滞环节的输出量输出量()cdh th t 232311()112!3!W sssss时滞环节的传递函数时滞环节的传递函数srcesXsXsW)()()(对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级数，并略去高次项，得：时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节 系统动态结构图系统动态结构图将系统中所有的环节用方框图表示，图将系统中所有的环节用方框图表示，图中标明其传递函数，并且按照在系统
17、中各环中标明其传递函数，并且按照在系统中各环节之间的联系，将各方框图连接起来。节之间的联系，将各方框图连接起来。系统动态结构图的绘制步骤：系统动态结构图的绘制步骤：(1)(1)首先按照系统的结构和工作原理，分解出各首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节并写出它的传递函数。环节并写出它的传递函数。(2)(2)绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输其输入量和输出量，按照信号的传递方向把各方入量和输出量，按照信号的传递方向把各方框图依次连接起来，就构成了系统结构图。框图依次连接起来，就构
18、成了系统结构图。例例2-11 2-11 速度控制系统速度控制系统（1 1）比较环节和速度调节器环节）比较环节和速度调节器环节 0rrUsIsR 1111111kkcUsUssIss RRC s式中：00014TR C111RC000000000000021112111121112112121)(TURSCRURSCRSCSCRSCRRUsIffff比较环节和速度调节器环节的结构图比较环节和速度调节器环节的结构图式中 110111kCrfsUsKUUssT s10cRKR整理得（2 2）速度反馈的传递函数）速度反馈的传递函数 fsfUsK n s式中：为速度反馈系数 sfK（3 3）电动机及功率
19、放大装置）电动机及功率放大装置 dskUsK Us2375dded dddmzmdiuC nR iLdtGD dni Ci Cdt 1dedddUsC n sIsRT s)()()()()()(sIsIsTCRsnssnRCTsIsIzdmeddemzd（4 4）系统的动态结构图）系统的动态结构图 1.典型连接的等效传递函数典型连接的等效传递函数(1)串联串联(2)并联并联(3)反馈连接反馈连接反正正数的乘积正向和反向通道传递函积正向通道传递函数的乘反馈连接的传递函数WWW112.相加点及分支点的换位运算相加点及分支点的换位运算 原则原则:换位前后的输入换位前后的输入/输出信号间关系不变输出信
20、号间关系不变。(1)相加点后移相加点后移 (2)相加点前移相加点前移 (3)分支点后移分支点后移 (4)分支点前移分支点前移 (5)分支点换位分支点换位 (6)相加点相加点变位变位 (7)相加点和相加点和分支点一般分支点一般 变位变位 不能不能3.系统开环传递函数系统开环传递函数 定义：定义：闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的开环传递函数，用定义为系统的开环传递函数，用 表示。表示。()KWs123()()()()()()()()()fKfgfXsWsW s W s W s WsW
21、s WsE s系统的开环传递函数是正向通道传递函数系统的开环传递函数是正向通道传递函数与反向通道传递函数的乘积。与反向通道传递函数的乘积。)(sWf()gWs正向通道传递函数正向通道传递函数 反向通道传递函数反向通道传递函数例例2-12 无交叉局部反馈系统无交叉局部反馈系统 12362345()()()()1()()()()KW s W s W s W sWsW s W s W sW s例例2-13 有交叉局部反馈系统有交叉局部反馈系统)()()()()()(1)()()()()()(54363274321sWsWsWsWsWsWsWsWsWsWsWsWK4.4.系统闭环传递函数系统闭环传递函
22、数 定义：定义：在初始条件为零时，系统的输出量与在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数，用递函数，用 表示。表示。()BWs)(1)()()(1)()()()(sWsWsWsWsWsXsXsWKgfggrcB对于单位反馈系统，有对于单位反馈系统，有()()()()1()cKBrKXsWsWsXsWs5.5.系统对给定作用和扰动作用的传递函数系统对给定作用和扰动作用的传递函数 原则：对于线性系统来说，可以运用原则：对于线性系统来说，可以运用叠加原理叠加原理，即对每一个输入量分别求出输出量，然后再进即对每一个输入量分别求出输出
23、量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量。行叠加，就得到系统的输出量。（1 1）只有给定作用）只有给定作用 12121212()()()1()()()()()()()1()()()BrfrcrfW s W sWsW s W s WsW s W s XsXsW s W s Ws（2 2）只有扰动作用）只有扰动作用 212212()()1()()()()()()1()()()BnfcnfW sWsW s W s WsW s N sXsW s W s Ws（3 3）两个输入量同时作用于系统）两个输入量同时作用于系统 )()()()()()(1)()()()(1212sNsXsWsWsWsWsWsXsX
24、sXrfcncrc 信号流图是一种用图线表示线性系统方信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。程组的方法。1.1.信号流图中的术语信号流图中的术语 (1)(1)源点源点 只有输出支路的节点称为源点或称为输入节点。只有输出支路的节点称为源点或称为输入节点。它一般表示系统的输入变量。它一般表示系统的输入变量。(2)(2)汇点汇点 只有输入支路的节点称为汇点或称为输出节点。只有输入支路的节点称为汇点或称为输出节点。它一般表示系统的输出变量。它一般表示系统的输出变量。(3)(3)混合节点混合节点 既有输入支点又有输出支点的节点称为既有输入支点又有输出支点的节点称为混合节点。混合节点。(4)(4)
25、通路通路 从某一节点开始，沿支路箭头方向经过从某一节点开始，沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径，称为通路。通路中各支路传输的乘积称路径，称为通路。通路中各支路传输的乘积称为通路传输（通路增益）。为通路传输（通路增益）。(5)(5)开通路开通路 与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路。与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路。(6)(6)闭通路闭通路 如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的通路称为其他节点相交不多于一次的通路称为闭通路闭通路或称为或称为回环回环。
26、(7)(7)回环增益回环增益 回环中各支路传输的乘积称为回环增益（或传回环中各支路传输的乘积称为回环增益（或传输）。输）。(8)(8)前向通路前向通路 是指从源点开始并终止于汇点且与其他节点相交不是指从源点开始并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为前向通路前向通路增益增益。(9)(9)不接触回环不接触回环 如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为何公共节点，就称为不接触回环不接触回环，反之称为，反之称为接触回环接触回环。2.2.梅逊增益公式梅逊增益公式 nkkkrc
27、TXXT11式中：式中：T 系统的总传输；系统的总传输；Tk 第第k 条前向通道的传输；条前向通道的传输；n 从输入节点到输出节点的前向通路数；从输入节点到输出节点的前向通路数；信号流图的特征式；信号流图的特征式；特征式的意义为特征式的意义为 信号流图中所有不同回环的传输之和；信号流图中所有不同回环的传输之和；信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和；信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和；m个互不接触回环的传输乘积之和；个互不接触回环的传输乘积之和；称为第称为第k条通路特征式的余因子，是在条通路特征式的余因子，是在 中除去中除去第第k 条前向通路相条前向通路相接触的各回环传输（即将其置
28、接触的各回环传输（即将其置零）。零）。mmLLLL)1(13211L2LmLk例例2-14dgbefabcfbebefdgfdgabcdgbeLLLLLLLcacba)(11)(112112,TabcdTfd例例2-142112211(1)1()kkkTTTTabcdfdbebefabcbef dg 11beLa112)()()()()()(1)()()()()()(54363274321sWsWsWsWsWsWsWsWsWsWsWsWK例例2-15decfedLL)(1121yxTxxTyxTxxTyrrcyrcr1111，求：求：解：解：rcrxxT decfedacTr)(1（1）11y
29、xTcydLa111decfeddbTy)(1)1(（2）rrxxT11decfedeaxxTrr)(1)1(11（3）e11yxTy11decfedbfyxTy)(111（4）111.数学模型的基本概念。数学模型的基本概念。数学模型是描述系统因果关系的数学表数学模型是描述系统因果关系的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。据。2.通过解析法对实际系统建立数学模型。通过解析法对实际系统建立数学模型。在本章中，根据系统各环节的工作原理，在本章中，根据系统各环节的工作原理，建立其微分方程式，反映其动态本质。建立其微分方程式，反映其动态本质。编写闭环系
30、统微分方程的一般步骤为：编写闭环系统微分方程的一般步骤为：(1)首先确定系统的输入量和输出量。首先确定系统的输入量和输出量。(2)将系统分解为各环节，依次确定各环节将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出量，根据各环节的物理的输入量和输出量，根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程；规律写出各环节的微分方程；(3)消去中间变量，就可以求得系统的微分消去中间变量，就可以求得系统的微分方程式。方程式。3.非线性元件的线性化。非线性元件的线性化。针对非线性元件的非线性微分方程分析针对非线性元件的非线性微分方程分析的难度，本章介绍采用小偏差线性化方法对的难度，本章介绍采用小偏差线性化方法对非线
31、性系统的线性化描述。非线性系统的线性化描述。4.传递函数。传递函数。通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分方程求解方法。本章介绍了如何将线的微分方程求解方法。本章介绍了如何将线性微分方程转换为复数性微分方程转换为复数 s s 域的数学模型域的数学模型传递函数以及典型环节的传递函数。传递函数以及典型环节的传递函数。5.动态结构图。动态结构图。动态结构图是传递函数的图解化，能够动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，进一性，有助于求解系统的各种传递函数，进一步分析和研究系统。步分析和研究系统。6.信号流图。信号流图。信号流图是一种用图线表示系统中信号信号流图是一种用图线表示系统中信号流向的数学模型，完全包括了描述系统的所流向的数学模型，完全包括了描述系统的所有信息及相互关系。通过运用梅逊公式能够有信息及相互关系。通过运用梅逊公式能够简便、快捷地求出系统的传递函数。简便、快捷地求出系统的传递函数。END
