1、2.3 体系体系运动方程的一般形式运动方程的一般形式 在单自由度和两自由度的基础上，不难推广得到在单自由度和两自由度的基础上，不难推广得到n 个自由度体系的情况。个自由度体系的情况。 在记在记M质量阵、质量阵、C阻尼阵、阻尼阵、K刚度阵、刚度阵、 Peq等效荷载阵；等效荷载阵；d、v、a为位移、速度、加为位移、速度、加 速度阵；速度阵；f柔度阵；柔度阵； P荷载位移阵情况下荷载位移阵情况下 刚度法列式结果刚度法列式结果 Ma+Cv+Kd=Peq 柔度法列式结果柔度法列式结果 d=f(-Ma-Cv)+ P 由此可见，两种列式间的关系为由此可见，两种列式间的关系为 K=f-1； Peq=K P 在
2、集中质量时在集中质量时M为对角阵，由互等定理可知为对角阵，由互等定理可知K和和f 为对称矩阵。为对称矩阵。 2.4 应注意的几个问题应注意的几个问题 1）在单自由度情况下，刚度（反力）系数和柔度系）在单自由度情况下，刚度（反力）系数和柔度系 数互为倒数。数互为倒数。 2）在两和多自由度情况下，刚度（反力）矩阵和柔）在两和多自由度情况下，刚度（反力）矩阵和柔 度矩阵互为逆矩阵，但其元素之间不存在倒数关系。度矩阵互为逆矩阵，但其元素之间不存在倒数关系。 3）Peq并不一定等于外荷载排成的列阵。在动外荷并不一定等于外荷载排成的列阵。在动外荷 下它由各自由度均被约束时，动荷引起的约束反力所下它由各自由
3、度均被约束时，动荷引起的约束反力所 组成。或者由组成。或者由Peq=K P=f-1 P来计算。来计算。 4）具体结构究竟用什麽方法列运动方程，要对比求）具体结构究竟用什麽方法列运动方程，要对比求 什麽系数工作量少来定。一般静定结构用柔度法、由什麽系数工作量少来定。一般静定结构用柔度法、由 无穷刚梁的剪切型结构用刚度法。无穷刚梁的剪切型结构用刚度法。 5）虽然从原理上）虽然从原理上C=Cij，但实际两和多自由度分析，但实际两和多自由度分析 时阻尼矩阵并非由阻尼系数组成，这将在第四章多自时阻尼矩阵并非由阻尼系数组成，这将在第四章多自 由度分析中再讨论。由度分析中再讨论。 2.5 刚度法、柔度法列方
4、程的步骤刚度法、柔度法列方程的步骤 刚度法（无阻尼）刚度法（无阻尼） 1）确定自由度，确定自由度方向的质量，从而建立）确定自由度，确定自由度方向的质量，从而建立 （集中）质量矩阵（集中）质量矩阵M。 2）加约束限制全部质点自由度方向的位移，求动力）加约束限制全部质点自由度方向的位移，求动力 外荷载引起的支座约束反力。按自由度顺序排列这些外荷载引起的支座约束反力。按自由度顺序排列这些 反力，得到等效荷载矩阵反力，得到等效荷载矩阵Peq 。 3）对全部质点自由度方向的位移被约束的结构，令）对全部质点自由度方向的位移被约束的结构，令j 自由度发生单位位移，求第自由度发生单位位移，求第i个约束的反力，
5、它就是刚个约束的反力，它就是刚 度系数度系数Kij。由此建立刚度矩阵。由此建立刚度矩阵K。 4）由上述结果即可建立运动方程）由上述结果即可建立运动方程 Ma +Kd=Peq 2.5 刚度法、柔度法列方程的步骤刚度法、柔度法列方程的步骤 柔度法（无阻尼）柔度法（无阻尼） 1）确定自由度，确定自由度方向的质量，从而建立）确定自由度，确定自由度方向的质量，从而建立 （集中）质量矩阵（集中）质量矩阵M。 2）在质点自由度方向加单位例，作单位弯矩图。）在质点自由度方向加单位例，作单位弯矩图。 3）在动例外荷作用下，作荷载弯矩图。）在动例外荷作用下，作荷载弯矩图。 4）根据单位弯矩图求柔度系数）根据单位弯
6、矩图求柔度系数 ij。由此建立柔度矩阵。由此建立柔度矩阵 f。 5）由单位和荷载弯矩图求荷载位移）由单位和荷载弯矩图求荷载位移 iP，由此建立荷，由此建立荷 载位移矩阵载位移矩阵 P。 6）由上述结果即可建立运动方程）由上述结果即可建立运动方程 d=f(-Ma)+ P 2.6 运动方程建立总结运动方程建立总结 根据达朗泊尔原理和所假定的阻尼理论，确定自由根据达朗泊尔原理和所假定的阻尼理论，确定自由 度後可确定惯性力和阻尼力。度後可确定惯性力和阻尼力。 由具体结构情况，视那类系数求取方便，确定列方由具体结构情况，视那类系数求取方便，确定列方 程的方法。程的方法。 所有问题都可用两种方法建立方程，
7、两种方程间可所有问题都可用两种方法建立方程，两种方程间可 以相互转换。以相互转换。 外界“荷载”是支座（例如地震时的地面运动）运外界“荷载”是支座（例如地震时的地面运动）运 动时，支座为牵连运动，惯性力对应绝对加速度，弹动时，支座为牵连运动，惯性力对应绝对加速度，弹 性恢复力对应相对位移。经推导得性恢复力对应相对位移。经推导得Peq=-M1ag。其。其 中中1为元素均为为元素均为1的向量。请自行验证。的向量。请自行验证。 三、单自由度体系振动分析三、单自由度体系振动分析 3.1 单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 3.3 非线性反应分析非
8、线性反应分析 3.4 几点结论和讨论几点结论和讨论 3.1 单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动 本章部分内容在理论力学振动这一章学过，但除回本章部分内容在理论力学振动这一章学过，但除回 顾外，也有所扩展。它是后面分析的基础，请下功夫顾外，也有所扩展。它是后面分析的基础，请下功夫 学好！学好！ 3.1.1 自由振动方程的通解自由振动方程的通解 上一章已指出，不管什麽结构、用什麽方法建立方上一章已指出，不管什麽结构、用什麽方法建立方 程，单自由度体系最终运动方程均可写为程，单自由度体系最终运动方程均可写为 )(tPkuucum 自由振动分析时，自由振动分析时，P(t)=0。上式可改为。上式可
9、改为 02 2 uuu 3.1 单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动 由此可得特征方程：由此可得特征方程：s2+2s+ 2=0。根据判别式有。根据判别式有 三种可能情况：三种可能情况： 式中式中 由常系数常微分方程理论可设由常系数常微分方程理论可设 mk C 2 m k st eu 1) 1，特征方程有两个实根，称作超阻尼情况。这，特征方程有两个实根，称作超阻尼情况。这 时体系不发生振荡，从工程角度没有意义。时体系不发生振荡，从工程角度没有意义。 2) =1，特征方程有两个实重根，称作临界阻尼情况。，特征方程有两个实重根，称作临界阻尼情况。 这时体系也不发生振荡，这时阻尼系数为这时体系也不
10、发生振荡，这时阻尼系数为 mkCcr2 ，称作临界，称作临界 阻尼系数。阻尼系数。 阻尼比阻尼比 固有频率固有频率 3.1 单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动 式中式中 由此可得由此可得 3) 1，特征方程有一对共轭复根，称作小阻尼情况。，特征方程有一对共轭复根，称作小阻尼情况。 此时此时 cr C C )sincos( 21 tCtCeu dd t 积分常数积分常数 C1、 、C2 由初始位移、速度确定，可得 由初始位移、速度确定，可得 d uu C;uC 00 201 2 1 d 有阻尼频率有阻尼频率 3.1 单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动 可见有阻尼自由振动的解答是按指数
11、规律衰减的简谐可见有阻尼自由振动的解答是按指数规律衰减的简谐 运动。衰减的速度随运动。衰减的速度随 、 增大而加快。增大而加快。 如果记振幅为如果记振幅为A，初相位为，初相位为 ，也即，也即 则运动方程解答也可写为则运动方程解答也可写为 )sin( tAeu d t 3.1.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 它可作为特例，令上述结果中它可作为特例，令上述结果中 等于零得到。它是等于零得到。它是 由初位移、初速度引起的简谐运动，运动全过程能量由初位移、初速度引起的简谐运动，运动全过程能量 守恒。守恒。 200 2 0 )( d uu uA 00 0 tg uu u arc d 3.1 单自由度体
12、系自由振动单自由度体系自由振动 3.1.3 结构阻尼比的一种确定方法结构阻尼比的一种确定方法 设由拉一初位移后突然释放，或给结构一个突然的设由拉一初位移后突然释放，或给结构一个突然的 冲击（如放一小火箭），由试验获得了阻尼振动的记冲击（如放一小火箭），由试验获得了阻尼振动的记 录如教材的图录如教材的图2-9。 由此可量测得由此可量测得t时刻和时刻和n周后的振幅（一般测峰值位周后的振幅（一般测峰值位 移，记移，记T为为有阻尼有阻尼周期）分别为周期）分别为ut和和ut+nT。记。记ut /ut+nT 的的 自然对数为自然对数为 n（ 1称为对数衰减率称为对数衰减率），由阻尼振动解），由阻尼振动解
13、答可得答可得 2 1 2 n n 由于由于 之后为仅有初速度之后为仅有初速度I/m的自由振动。的自由振动。 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 根据上一节可得仅初位移引起的解答根据上一节可得仅初位移引起的解答 u2为为 )(sin )( )( )( 2 te m P tu d t d 记记 u2/I=h(t- ) ，称作单位脉冲函数（单位冲量引起的，称作单位脉冲函数（单位冲量引起的 位移）。则上式可改写作位移）。则上式可改写作 再将任意荷载看成一系列独立的冲量（脉冲），则再将任意荷载看成一系列独立的冲量（脉冲），则 由叠加原理可得由叠加原理可得 t )(sin 1 )( )( t
14、e m th d t d )()()( 2 Pthtu 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 d )(sin )( )( 0 )( 2 t d t d te m P tu 或者或者 上式是运动方程特解（可代入运动微分方程证明），上式是运动方程特解（可代入运动微分方程证明）， 也可看成零初始条件的解答（因为也可看成零初始条件的解答（因为u2(0)=0）。）。 将其和齐次方程解合在一起，即可得通解为将其和齐次方程解合在一起，即可得通解为 t Pthtu 0 2 )d()()( t d t PthtAetu 0 )d()()sin()( 上式也可由代入单位脉冲函数来改写，这里从略。上式也
15、可由代入单位脉冲函数来改写，这里从略。 称作称作Duhamel积分积分 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 有了有阻尼的通解，无阻尼情况的有了有阻尼的通解，无阻尼情况的Duhamel积分和积分和 通解可作为特例得到（当然也可经类似推导得到）通解可作为特例得到（当然也可经类似推导得到） tPtPtPtP cos)( sin)( 或或 3.2.2 典型荷载的反应典型荷载的反应(主要讨论有阻尼主要讨论有阻尼,无阻尼为特例无阻尼为特例) t PthtAtu 0 )d()()sin()( d )()(d )(sin )( )( t 00 2 Ptht m P tu t 有了通解，对给定的荷
16、载情况，代入并积分即可得有了通解，对给定的荷载情况，代入并积分即可得 到各种具体荷载下的解答。到各种具体荷载下的解答。 1) 简谐荷载简谐荷载 将荷载代入通解，积分后可得其解答。也可用带待将荷载代入通解，积分后可得其解答。也可用带待 定常数的齐次解和特解定常数的齐次解和特解asin t+bcos t来求。结果如下来求。结果如下 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 )sin( 4)-( 1 )sin()sin()( 2 222222 11 t m P teAtAetu d t d t 2002 0 )( d uu uA 00 0-1 tg uu u d 2222 222222 1
17、)2()-( )(2)2( d d m P A )-(2 2 tg 2222 -1 1 d 22 -1 2 - 2 tg 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 这解答中的第一项为初始条件引起的自由振动，第这解答中的第一项为初始条件引起的自由振动，第 二项为荷载（干扰）引起的自由振动（称作二项为荷载（干扰）引起的自由振动（称作伴随振伴随振 动动）。它们的频率都是）。它们的频率都是 d，都按指数规律衰减。因此，都按指数规律衰减。因此 一段时间后，都将逐渐消失。自由振动消失前的运动一段时间后，都将逐渐消失。自由振动消失前的运动 称瞬态阶段。第三项是以干扰频率进行的等幅振动，称瞬态阶段。第
18、三项是以干扰频率进行的等幅振动， 称“称“纯受迫振动（或稳态阶段）纯受迫振动（或稳态阶段）”，工程中只关心它”，工程中只关心它 2 1 - 222 2 2 )(4)-(1 )sin( )(2)-( 1 2 2222 t m P u 记记 k P ust 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 则纯受迫振动的解可写为则纯受迫振动的解可写为 2 1 - 222 2 2 )(4)-(1 ust 为荷载幅值作用下的静位移，为荷载幅值作用下的静位移， 称位移放大系数称位移放大系数 （也称（也称动力系数动力系数）。无阻尼情况可令）。无阻尼情况可令 =0得到（当然也得到（当然也 可类似地直接推得）
19、。可类似地直接推得）。 k P ust )sin( 2 tuu st 动力系数动力系数 取决于取决于 、 / （频率比频率比 ），各种），各种 下下 - 曲线如曲线如P.23的图示意。可见的图示意。可见 对对 影响十分显著，增影响十分显著，增 大大 将使将使 减小，也即使反应减小减小，也即使反应减小。 在在 1时时 1/2 ，当无阻尼共振时，当无阻尼共振时 趋于无穷，可趋于无穷，可 见见阻尼对共振影响显著，必须考虑阻尼对共振影响显著，必须考虑。 )cos( 3 tuu st 或或 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 0.75 1.25 的范围称的范围称共振区共振区，为了简化，在共
20、振，为了简化，在共振 区外可不计阻尼影响。区外可不计阻尼影响。 有阻尼时有阻尼时 的最大值的最大值并不在并不在 =1处，而在处，而在 =1-2 21/2 处。由于阻尼很小，处。由于阻尼很小，可近似认为在可近似认为在 =1处处。 阻尼体系的位移反应比荷载滞后一相位：阻尼体系的位移反应比荷载滞后一相位： 趋于趋于0，滞后趋于，滞后趋于0。体系弹性恢复力趋于和动荷体系弹性恢复力趋于和动荷 载平衡，位移和荷载同向载平衡，位移和荷载同向。 趋于趋于1，滞后趋于，滞后趋于90度。度。体系阻尼力趋于和动荷载体系阻尼力趋于和动荷载 平衡平衡。再次看到共振时阻尼的作用不可忽视。再次看到共振时阻尼的作用不可忽视。
21、 趋于无穷趋于无穷，滞后趋于，滞后趋于180度。度。体系惯性力趋于和动体系惯性力趋于和动 荷载平衡，位移和荷载反向荷载平衡，位移和荷载反向。 )(0 )( 0)( 0)(tPtPttP 2) 突加荷载突加荷载 将荷载代入将荷载代入Duhamel积分，可得反应为积分，可得反应为 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 )sin-(cos-1)( 2 tte m P tu d d d t 其其u- dt曲线如曲线如(龙龙P.21)图，可见开始时图，可见开始时 接近接近2，也即，也即 突加荷载所产生的最大位移接近静位移的突加荷载所产生的最大位移接近静位移的2倍。倍。 无阻尼情况无阻尼情况
22、等于等于2。 3) 周期荷载周期荷载P(t)（设周期为（设周期为TP）下的稳态反应）下的稳态反应 周期荷载的周期荷载的Fourier展开为展开为 )sin-(cos-1tteu d d d t st i P ii T i tbtaatP 2 )sincos()( iii0 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 这表明，周期荷载可分解成一个常量荷载和一系列简这表明，周期荷载可分解成一个常量荷载和一系列简 谐荷载的叠加。谐荷载的叠加。 在在a0作用下产生作用下产生ust=a0/k的静位移。的静位移。 在在aicos it和和bisin it简谐荷载下（稳态解）简谐荷载下（稳态解） P
23、T P P T a 0 0 )d( 1 P T P i P T a 0 i d)cos( 2 P T P i P T b 0 i d)sin( 2 2 1 - 2 2 22 2 2 )(4)-(1 ii i k a a ii st i ii st ii sti tbtau)sin()cos( 3i2i k b b ii st 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 由此两部分综合即可得周期荷载下的稳态解答。无由此两部分综合即可得周期荷载下的稳态解答。无 阻尼情况可令阻尼情况可令 =0得到（当然也可类似地直接推得）。得到（当然也可类似地直接推得）。 教材上还介绍了矩形脉冲、三角形脉冲等
24、荷载下的教材上还介绍了矩形脉冲、三角形脉冲等荷载下的 反应，这里只说明以下几点：反应，这里只说明以下几点： 1) 这种荷载都是短时作用荷载。这种荷载都是短时作用荷载。 2) 用用Duhamel积分求积分求 t 时刻反应时，应该区分时刻反应时，应该区分t 在无在无 荷载阶段荷还是有荷载阶段。荷载阶段荷还是有荷载阶段。 3) 动力系数和“动力系数和“持续作用时间持续作用时间t1和体系周期的比值和体系周期的比值 有关有关”。其结果可看教材上的表。”。其结果可看教材上的表。 4) 其他解析荷载，均可由其他解析荷载，均可由Duhamel积分获得位移反积分获得位移反 应。当荷载规律用一系列离散数据表示时，
25、可经编程应。当荷载规律用一系列离散数据表示时，可经编程 用数值积分来求用数值积分来求Duhamel积分。有关内容可参考积分。有关内容可参考Ray W. Clough等的教材。等的教材。 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 3.2.3 受迫振动举例受迫振动举例 h m F(t) EI=常数；常数； =0.05 555710.360.002540.36)-(1 -1/22 . 荷载幅值下的静位移荷载幅值下的静位移 ust=F/k=Fh3/24EI ，因此稳态，因此稳态 反应为反应为 0.093480.36)-0.6/(10.05tg2 arc )093480sin(0.655571.
26、tu.u st 例例1：试求图示结构在：试求图示结构在F(t)=Fsin0.6 t 作用下的稳态反应。作用下的稳态反应。 为固有频率。为固有频率。 解：解：结构的结构的k=24EI/h3， = k/m由由 题目可知频率比为题目可知频率比为0.6，代入动力系，代入动力系 数和相位角公式可得数和相位角公式可得 3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 在荷载幅值作用下的弯矩图如图在荷载幅值作用下的弯矩图如图 所示，杆端弯矩所示，杆端弯矩Mst值为值为0.25Fh，由由 于静位移被放大于静位移被放大 倍，由此得倍，由此得 因此，最大动弯矩为因此，最大动弯矩为0.389Fh。 作业题：作业题：
27、如果本例中荷载作用在左柱如果本例中荷载作用在左柱h/2处，试求：处，试求： 1）最大静位移等于多少？）最大静位移等于多少？ 2）最大动位移等于多少？）最大动位移等于多少？ 3）最大静弯矩等于多少？）最大静弯矩等于多少？ 4）最大动弯矩等于多少？由此能总结什麽结论？）最大动弯矩等于多少？由此能总结什麽结论？ h m F(t) EI=常数；常数； =0.05 )093480(sin0.6 25055571)( .t FhtM 3.3 非线性反应分析非线性反应分析 当系统的阻尼、刚度随速度、位移变化时，运动方当系统的阻尼、刚度随速度、位移变化时，运动方 程是非线性的，这时程是非线性的，这时Duham
28、el积分不再适用。积分不再适用。 但不管线性还是非线性，“动平衡”方程都是但不管线性还是非线性，“动平衡”方程都是 )()()()(tPtftftf sdI fd(t) (t) fd (t+ t) 3.3.1 非线性问题的增量方程非线性问题的增量方程 设阻尼力、弹性恢复力和荷载曲线如图所示。设阻尼力、弹性恢复力和荷载曲线如图所示。 fs(t) u u(t) u(t + t) u fs P(t) t t t+ t t P 3.3 非线性反应分析非线性反应分析 又设又设m不随时间变化。并记不随时间变化。并记c(t) = fd， k(t) u= fs。 则由则由t+ t时刻和时刻和t时刻方程相减可得
29、时刻方程相减可得 )()()()()()(tPtutktutctum 当当 t很小时很小时c(t)、k(t)可取可取t 时刻曲线的斜率时刻曲线的斜率，这个增量，这个增量 方程形式和线性系统一样。方程形式和线性系统一样。 如果已知如果已知t 时刻时刻c(t)、k(t)、位移、速度、加速度（称位移、速度、加速度（称 状态向量）状态向量），设法从增量方程求得位移、速度、加速，设法从增量方程求得位移、速度、加速 度的增量，则显然可以求得度的增量，则显然可以求得t+ t时刻状态向量，重复这时刻状态向量，重复这 一过程即可求得非线性问题的数值解答。一过程即可求得非线性问题的数值解答。 3.3.2 增量方程
30、的逐步积分法增量方程的逐步积分法 增量方程的逐步积分方法很多，这里先介绍一种增量方程的逐步积分方法很多，这里先介绍一种 “线加速度法线加速度法”。”。 3.3 非线性反应分析非线性反应分析 设设0 t，在，在 t时间间隔内加速度线性变化，也即时间间隔内加速度线性变化，也即 )/()()(ttututu 则积分一次可得速度，积分两次可得位移则积分一次可得速度，积分两次可得位移 2)/()()()( 2 /ttutututu 6/)/(2/)()()()( 32 ttututututu 令令 = t，由位移方程可将加速度增量用位移增量表，由位移方程可将加速度增量用位移增量表 示，代回速度方程可得以
31、下结果示，代回速度方程可得以下结果 )( 2 - )(3- )( 3 )(tu t tutu t tu )(3- )( 6 - )( 6 )( 2 tutu t tu t tu 3.3 非线性反应分析非线性反应分析 将上述将上述 、 代回增量方程代回增量方程 整理后可得整理后可得 )( 36 )()( 2 tc t m t tkt * k )()()()()()(tPtutktutctum )()()(tPtut * k * )( 2 )(3)( )(3)( 6 )()( tu t tutc tutu t mtPt * P 等效刚度等效刚度 等效荷载等效荷载 3.3 非线性反应分析非线性反应分
32、析 如果已知如果已知t 时刻时刻c(t)、k(t)、状态向量，则可求得等效、状态向量，则可求得等效 刚度、等效荷载，从而求得位移增量。刚度、等效荷载，从而求得位移增量。 将位移增量代回速度将位移增量代回速度(、加速度、加速度)增量的公式，由位增量的公式，由位 移增量和移增量和t 时刻状态向量可求得速度时刻状态向量可求得速度(、加速度、加速度)增量。增量。 将将t 时刻状态向量和位移、速度增量相加，即可求得时刻状态向量和位移、速度增量相加，即可求得 t+ t时刻位移、速度。时刻位移、速度。(也可求加速度也可求加速度) 由由t+ t时刻位移、速度求时刻位移、速度求 fd(t+ t) 和和 fs (
33、t+ t)。 最后，由最后，由t+ t时刻的“动平衡”方程求时刻的“动平衡”方程求t+ t时刻加速时刻加速 度，即可得到度，即可得到t+ t时刻状态向量。时刻状态向量。 重复这一过程即可求得非线性问题的数值解答。重复这一过程即可求得非线性问题的数值解答。 上述即为逐步积分的步骤。上述即为逐步积分的步骤。 计算和理论分析表明，为使计算有足够的精度，计算和理论分析表明，为使计算有足够的精度，积积 分步长应小于系统周期的十分之一分步长应小于系统周期的十分之一。 3.3 非线性反应分析非线性反应分析 根据上述逐步积分步骤，根据上述逐步积分步骤， 编制计算程序即可用于计算编制计算程序即可用于计算 非线性
34、结构的动力反应。由非线性结构的动力反应。由 于它是求每一时刻的反应，于它是求每一时刻的反应， 因此通常称作时程分析。因此通常称作时程分析。 弹塑性分析演示程序弹塑性分析演示程序 查看计算结果查看计算结果 3.4 几点结论与讨论几点结论与讨论 单自由度的固有频率平方等于单自由度的固有频率平方等于k/m。阻尼比可由实。阻尼比可由实 验测得，一般结构阻尼比为验测得，一般结构阻尼比为0.05。由于阻尼的存在，自。由于阻尼的存在，自 由振动振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将由振动振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将 从瞬态转为稳态。从瞬态转为稳态。 使阻尼器能消耗尽可能多的能量（也即增加阻尼）
35、使阻尼器能消耗尽可能多的能量（也即增加阻尼） 是减少振动的有效措施。是减少振动的有效措施。 对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振 区可忽略阻尼影响。区可忽略阻尼影响。 不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系， 且具有相同的动力特征（且具有相同的动力特征（m、k、 ），在相同初始条件），在相同初始条件 和荷载下，结构具有相同的动力反应。和荷载下，结构具有相同的动力反应。 动力系数取决于动力系数取决于 、频率比、频率比 ，当荷载作用在质量上，当荷载作用在质量上 时，位移和内力的动力系数相同。否则，两
36、者不同。时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。 对于线性体系，利用叠加原理可用对于线性体系，利用叠加原理可用Duhamel积分来积分来 求任意荷载下的反应，这种基于脉响函数的分析方法求任意荷载下的反应，这种基于脉响函数的分析方法 称为时域分析法。称为时域分析法。 突加荷载的最大位移反应接近或等于突加荷载的最大位移反应接近或等于2倍静位移。倍静位移。 周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应综周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应综 合得到。合得到。 非线性问题叠加原理不适用，非线性问题叠加原理不适用，Duhamel积分不能用，积分不能用， 要进行时程分析来求数值解。要进行时程分析来求数值解。 利用三角函数和指数函数的关系，将荷载利用三角函数和指数函数的关系，将荷载Fourier级级 数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式， 则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响 应函数叠加得到。这种方法称频域法。第六章将介绍。应函数叠加得到。这种方法称频域法。第六章将介绍。 3.4 几点结论与讨论几点结论与讨论
