1、第第4章章 压电陶瓷材料及应用压电陶瓷材料及应用Piezoelectric Ceramics 4.1 压电陶瓷的基本物理性能压电陶瓷的基本物理性能 1 压电效应与压电体压电效应与压电体 晶体的压电性晶体的压电性 正压电效应正压电效应 D=d X 逆压电效应逆压电效应 x=d E 晶体的压电效应是晶体的压电效应是应力和应变等机械量应力和应变等机械量与与电场电场强度和电位移强度和电位移（或（或极化强度极化强度）等电学量等电学量之间的之间的耦合效应耦合效应。压电性取决于晶体的对称性，压电性对晶压电性取决于晶体的对称性，压电性对晶体对称性的要求体对称性的要求无对称中心无对称中心Interrelatio
2、nship of piezoelectric and subgroups on the basis of symmetrySubgroupFerroelectricSpontaneously polarizedPolarization reversible10PyroelectricSpontaneously polarized20PiezoelectricPolarized under stress21Noncentrosymmetric11Centrosymmetric(non-piezoelectric)32SymmetryPoint Groups 只有只有20个点群的晶体具有压电性个点
3、群的晶体具有压电性 Category:Dielectrics Piezoelectrics Pyroelectrics Ferroelectrics 铁电陶瓷经极化处理后，才呈现压电效应。铁电陶瓷经极化处理后，才呈现压电效应。有序化增加：有序化增加：polycrystalline ferroelectric ceramics,poled ferroelectric ceramics,single-crystal ferroelectrics,single-domain single crystals 正压电效应正压电效应，电荷与，电荷与应力成比例，用介质应力成比例，用介质电位移电位移D和应力和
4、应力X表表达如下：达如下：式中式中D的单位为的单位为C/m2，X的单位为的单位为N/m2，d称为称为压电常数压电常数(C/N)。dXD 逆压电效应逆压电效应，其应变，其应变x与电场强度与电场强度E(V/m)的关系的关系 对于正、逆压电效应，对于正、逆压电效应，比例常数比例常数d在数值上在数值上相等相等dEx ExXDd/2 压电陶瓷的介电常数压电陶瓷的介电常数 各向同性的介质，各向同性的介质，E矢量与矢量与D矢量同向矢量同向 晶体具有各向异性晶体具有各向异性 E矢量与矢量与D矢量不同向矢量不同向 D1=11 E1+12 E2+13 E3 D2=21 E1+22 E2+23 E3 D3=31 E
5、1+32 E2+33 E3jiijiED31 Di=ij Ej (i,j=1,2,3)爱因斯坦求和惯例：爱因斯坦求和惯例：对重复下标求和对重复下标求和 可写为：可写为：(ij),ij张量元张量元，n阶张量的张量阶张量的张量元数量为元数量为3n 晶体的物理性质用张量表示，如介电常晶体的物理性质用张量表示，如介电常数是数是2阶张量阶张量333231232221131211旧坐标系，点旧坐标系，点P（x1,x2,x3)新坐标系，点新坐标系，点P（x1,x2,x3)新旧变换：新旧变换：xi=aij xjxi=aji xj 333231232221131211aaaaaaaaaaij 矢量变换同坐标变换
6、形式相似矢量变换同坐标变换形式相似 Pi=aij Pj Pi=aji Pj 333231232221131211aaaaaaaaaaij二阶张量二阶张量：联系两个矢量联系两个矢量 Pi=Tij Qj通过矢量通过矢量P和和Q的一系列变换，可得到的一系列变换，可得到 Tij和和Tij之间之间的变换的变换 Pi=aiK Pk Pk=Tkj Ql Ql=ajlQj Pi=aik Pk=aikTklQl=aikTklailQj或或 Pi=Tij Qj Tij=aikajlTkl 旧旧 新新 变换变换二阶张量的变换定律二阶张量的变换定律 张量是按坐标变换定义的，二阶张量的张量是按坐标变换定义的，二阶张量的
7、变换规律：变换规律：Tij=aik ajl Tkl 逆变换：逆变换：Tij=aki alj Tkl 矢量的变换相当于坐标的变换矢量的变换相当于坐标的变换 二阶张量的变换相当于坐标乘积的变换二阶张量的变换相当于坐标乘积的变换 三阶张量和四阶张量的变换相当于坐标三阶张量和四阶张量的变换相当于坐标的三重积和四重积的变换的三重积和四重积的变换 二阶对称张量：二阶对称张量：Tij=Tji张量的变换定律张量的变换定律:晶体的宏观物理性质都是用张量描述，受两种晶体的宏观物理性质都是用张量描述，受两种完全不同的对称性的制约：完全不同的对称性的制约：晶体学对称性晶体学对称性热力学关系热力学关系 晶体学对称性晶体
8、学对称性（点群）对宏观物理（点群）对宏观物理性质的影响性质的影响 诺埃曼诺埃曼(Neumann)法则法则晶体物理晶体物理性质的对称要素必须包含晶体点群性质的对称要素必须包含晶体点群的对称要素的对称要素 热力学关系热力学关系:赋予物理性质本身的固有对称性赋予物理性质本身的固有对称性对宏观物理性质的影响对宏观物理性质的影响要求描述晶体宏观要求描述晶体宏观物理性质的二阶以上张量都是对称张量，如物理性质的二阶以上张量都是对称张量，如 介电常数张量元介电常数张量元 ij=ji 应变应变 xij=xji 压电常数压电常数 dijk=dikj如：如：介电常数张量的对称性可从热力学讨论中得出介电常数张量的对称
9、性可从热力学讨论中得出晶体在电场作用下的能量增量晶体在电场作用下的能量增量 dW 为为 dW=EidDi因因 Di=ij Ej dW=ij EidEj注意到电场是保守力场，注意到电场是保守力场，dW 在数学上是一个全微分，在数学上是一个全微分，W/Ej=ij Ei,以及以及 W/Ei=ji Ej求二阶交叉偏微分求二阶交叉偏微分 2W/Ei Ej=ij 2W/Ej Ei=ji二阶偏微分的顺序可互换，二阶偏微分的顺序可互换，ij ji 对各向同性介质，对各向同性介质，ij 为标量为标量 对各向异性介质，对各向异性介质，ij 为二阶张量为二阶张量 热力学关系热力学关系介电常数为二阶对称张量，介电常数
10、为二阶对称张量，ij=ji 独立非零分量数独立非零分量数 9 6 晶体学对称性晶体学对称性独立非零分量数独立非零分量数与晶体的对称性有关与晶体的对称性有关总总 结结:333231232221131211ij 三斜晶系三斜晶系：特征对称要素为：特征对称要素为1次旋转轴次旋转轴 6个独立分量个独立分量 333231232221131211ij单斜晶系单斜晶系：共共3 个点群：个点群：2、m、2/m,特征对称要素为沿特征对称要素为沿x2轴的轴的 2 次轴次轴 利用利用二阶张量的变换相当于坐标乘积的变换二阶张量的变换相当于坐标乘积的变换，推出，推出4个独立非零个独立非零分量分量。xi =aij xj,
11、沿沿x2轴旋转轴旋转180o,相当于相当于:x1 -x1,x2 x2,x3 -x3 ij=aik ajl kl 相当于相当于 xi xj=aik ajl xk xl,如如:x1 x2 -x1 x2 12 -12 变换前后晶体的物理性质应该保持不变，变换前后晶体的物理性质应该保持不变，12 -12 12 0 得出得出4个独立的非零分量：个独立的非零分量：11，22，33，31 正交晶系正交晶系：三个点群：三个点群：222、mm2、mmm,特征对称特征对称要素为三条互相垂直的要素为三条互相垂直的2次轴次轴 11、22、33 三个独立非零分量三个独立非零分量 332211000000 四方、六方、三
12、方晶系四方、六方、三方晶系：特征对称要素为平：特征对称要素为平行于行于x3轴的轴的4、6、3 次轴，次轴，11 33 2个独立非零个独立非零分量分量 如：对于四方晶系，如：对于四方晶系，1 2,2 -1,3 3 11=22,33为非零分量，而为非零分量，而 12=23=31=0331111000000 立方晶系立方晶系：特征对称要素：特征对称要素：4个个3次轴，次轴，11 一个独立非零分量一个独立非零分量111111000000 极化的压电陶瓷的对称型相当于极化的压电陶瓷的对称型相当于 mm,相相当于当于6mm或或4mm 独立的介电常数独立的介电常数 2个：个：11=22,，333311110
13、00000 压电陶瓷的介电常数与机械边界条件有关：压电陶瓷的介电常数与机械边界条件有关：机械自由的介电常数机械自由的介电常数 Xij比机械夹持的比机械夹持的 xij大大 机械自由机械自由 应变应变（正压电效应）（正压电效应）产生次级压产生次级压电效应（附加的电效应（附加的D）3 压电陶瓷的弹性常数压电陶瓷的弹性常数 应力和应变张量都是二阶对称张量应力和应变张量都是二阶对称张量,Xij，xij 可以采用简化下标的形式表示可以采用简化下标的形式表示 111，22 2，33 3，23 4，31 5，12 6 广义虎克定律：广义虎克定律：xij=sijkl Xkl,或或 Xij=cijkl xkl s
14、ijkl和和cijkl分别为分别为弹性柔顺系数弹性柔顺系数和和弹性劲度系弹性劲度系数数四阶对称张量，独立非零分量四阶对称张量，独立非零分量 81 21个个 压电晶体的弹性常数与电学边界条件有关，压电晶体的弹性常数与电学边界条件有关，电学电学短路条件的弹性柔顺系数短路条件的弹性柔顺系数sijklE 大于电学开路的大于电学开路的 sijklD sE sD,cE cD 电学开路电学开路 D恒定恒定 内部电场内部电场 附加应变附加应变（次级压电效应）（次级压电效应）(附加应变使初级应变减小）附加应变使初级应变减小）电学短路电学短路 内电场不变，不产生附加应变内电场不变，不产生附加应变4 压电陶瓷的压电
15、常数压电陶瓷的压电常数 正压电效应正压电效应：Di=dijk Xjk dijk 压电常数，三阶对称张量压电常数，三阶对称张量 dijk=dikj，27 18个分量个分量 逆压电效应逆压电效应：xjk=djki Ei 用热力学可以证明逆压电常数与正压电常数相用热力学可以证明逆压电常数与正压电常数相等等 压电常数受热力学关系确定的对称性的约束，比如它压电常数受热力学关系确定的对称性的约束，比如它是三阶对称张量，它的后两个指标是对称的，是三阶对称张量，它的后两个指标是对称的，即即 dijk=dikj 受晶体所属点群对称性的影响受晶体所属点群对称性的影响,对称操作所对应的变换对称操作所对应的变换矩阵为
16、，矩阵为，则三阶张量的变换必满足下式：则三阶张量的变换必满足下式：变换前后的张量保持不变，变换前后的张量保持不变，mnpkpjnimijkdaaadmnpkpjnimijkijkdaaaddijaija 具有对称中心的晶类，即所属点群包含中心反演者，具有对称中心的晶类，即所属点群包含中心反演者，必不可能有压电效应必不可能有压电效应 中心反演对应的变换矩阵中心反演对应的变换矩阵 压电常数张量的任一个分量都有压电常数张量的任一个分量都有 100010001ijaijkijkdd0ijkd 极化的压电陶瓷的对称性为极化的压电陶瓷的对称性为 mm，类似于，类似于 6mm对称性，非零独立压电常数的数量减
17、少，对称性，非零独立压电常数的数量减少，压电常数只有压电常数只有d31=d32,d33,d15=d24 其压电常其压电常数矩阵是：数矩阵是：00000000000003332312415ddddd4.2 压电陶瓷的压电方程压电陶瓷的压电方程 压电方程是综合描述晶体的极化、弹性及机电压电方程是综合描述晶体的极化、弹性及机电之间压电耦合作用的方程组之间压电耦合作用的方程组。对不同的边界条件和不同的变量，得到不同的对不同的边界条件和不同的变量，得到不同的压电方程组压电方程组1 压电方程组压电方程组 在应力在应力X1和电场和电场E3作用下，作用下，压电陶瓷片发生形变压电陶瓷片发生形变 当当E3 0，X
18、1 0,弹性应变：弹性应变：x1(1)s11E X1 当当E3 0，X1 0,压电应变：压电应变：x1(2)d31 E3 当当E3 0，X1 0,总应变：总应变：x1 x1(1)x1(2)s11E X1 d31 E3 在电场在电场E3和应力和应力X1作用下，压电陶瓷片产生作用下，压电陶瓷片产生电位移电位移 当当E3 0，X1 0,产生的介电电位移：产生的介电电位移：D 3(1)=X33 E3 当当E3 0，X1 0,产生的压电电位移：产生的压电电位移：D 3(2)=d31 X1 当当E3 0，X1 0,产生的总电位移：产生的总电位移：D3 D 3(1)D 3(2)=X33 E3 d31 X1
19、压电方程组：压电方程组：D3 X33 E3 d31 X1 x1 s11E X1 d31 E3 对于一般情况：对于一般情况：Di=ijX Ej+di X x =dj Ej+s EX d-压电应变常数，压电应变常数，可简写为：可简写为：D=d X+X E x=sE X+d E 第一类压电方程组第一类压电方程组 第二类压电方程组第二类压电方程组 第三类压电方程组第三类压电方程组 第四类压电方程组第四类压电方程组 XsEdxXdEDEjjijXijixcEeXxeEDEjjijxijiXsDgxXgDEDjjijXijixcDhXxhDEDjjijxiji 边界条件边界条件：“短路短路”电学边界条件：
20、电学边界条件：R外外 R内内,电位移不变电位移不变“自由自由”机械边界条件：中间固定，应力为零，机械边界条件：中间固定，应力为零，变形自由变形自由“夹持夹持”机械边界条件：边缘固定，应变为零，机械边界条件：边缘固定，应变为零，压电陶瓷振子的四类边界条件压电陶瓷振子的四类边界条件 类型类型 名称名称 特点特点 第一类边界条件第一类边界条件机械自由机械自由 电学短路电学短路 dX=0 d x 0 dE=0 dD 0 第二类边界条件第二类边界条件机械夹持机械夹持 电学短路电学短路 dx=0 dX 0 dE=0 dD 0 第三类边界条件第三类边界条件机械自由机械自由 电学开路电学开路 dX=0 dx
21、0 dD=0 dE 0 第四类边界条件第四类边界条件机械夹持机械夹持 电学开路电学开路 dx=0 dX 0 dD=0 dE 0四类压电方程四类压电方程 种类种类 边界条件边界条件 自变量自变量 因变量因变量 主要压电常数主要压电常数 方程方程 一一 机械自由机械自由 应力应力 X 应变应变 x 压电应变常数压电应变常数 D=dX+XE 电学短路电学短路 电场电场 E 电位移电位移 D d S=sEX+dE 二二 机械夹持机械夹持 应变应变 x 应力应力 X 压电应力常数压电应力常数 D=ex+xE 电学短路电学短路 电场电场 E 电位移电位移 D e X=cEx-eE 三三 机械自由机械自由
22、应力应力 X 应变应变 x 压电电压常数压电电压常数 E=XD-gX 电学开路电学开路 电位移电位移 D 电场电场 E g x=gD+sDX 四四 机械夹持机械夹持 应变应变 x 应力应力 X 压电劲度常数压电劲度常数 E=xD-hx 电学开路电学开路 电位移电位移 D 电场电场 E h X=cDx-hD压电常数压电常数 压电常数是反映力学量（应力或应变）与电学压电常数是反映力学量（应力或应变）与电学量（电位移或电场）间相互耦合的线性响应系量（电位移或电场）间相互耦合的线性响应系数。数。压电应变常数压电应变常数 d-单位应力产生的电位移单位应力产生的电位移/单位电场引起的应变单位电场引起的应变
23、XiEiiExXDd 压电电压常数压电电压常数 g单位应力引起的电压单位应力引起的电压 压电应力常数压电应力常数 e单位电场引起的应力单位电场引起的应力 压电劲度常数压电劲度常数 h引起单位应变所需的电场引起单位应变所需的电场XiDiiDxXEgxiEiiEXxDexiDiiDXxEh 四种压电常数的关系四种压电常数的关系 d=X g=e sE e=x h=d cE g=X d=h sD h=x e=g cD x33 与与 X33机械自由机械自由 X0，E3 (逆压电效应）逆压电效应）压电应变压电应变 （次级压电效应）（次级压电效应）附加压电电位移附加压电电位移介质电位移：介质电位移：D(1)
24、3 =(1)33 E3压电应变：压电应变：x1 d31E3压电电位移：压电电位移：D(2)3=e31x1=e31d31E3机械自由条件下，机械自由条件下，E3引起的电位移引起的电位移D3=D(1)3+D(2)3=(1)33+e31d31)E3=X33 E3 X33=(1)33+e31d31机械夹持，不存在机械夹持，不存在D(2)3,D3=D(1)3 =(1)33 E3=x33 E3 X33=x33+e31d31 自由和夹持介电常数自由和夹持介电常数 开路和短路弹性柔顺常数和劲度常数开路和短路弹性柔顺常数和劲度常数 jixijXijdeiiDEdgssiiDEehcc4.3 压电陶瓷振子的谐振特
25、性与等效电路压电陶瓷振子的谐振特性与等效电路 压电振子是被覆有电极的压电体。压电振子是被覆有电极的压电体。交变电场交变电场 逆压电效应逆压电效应 机械振动机械振动 当当 fE=f固固，机械谐振机械谐振 输出电能输出电能谐振频率谐振频率 fr反谐振频率反谐振频率 fa压电振子的等效电路压电振子的等效电路压电振子在谐振频率附近，其阻抗特性和谐压电振子在谐振频率附近，其阻抗特性和谐振特性与振特性与 LC电路的阻抗特性和谐振特性相似电路的阻抗特性和谐振特性相似 极化的压电陶瓷，共有极化的压电陶瓷，共有5个非零压电常数，个非零压电常数，d31=d32,d33,d15=d24 E3 d33 /P(x3)的
26、的纵向振动纵向振动 d31、d32 P(x2,x3)的的横向振动横向振动 E1(or E2)d15、d24 绕绕x2或或x1轴的轴的剪切振动剪切振动4.4 压电阵子的振动模式压电阵子的振动模式(a)thickness and length(b)radial thickness shear(d)bender不同的振动模式不同的振动模式有不同的谐振频有不同的谐振频率表达式率表达式4.5 压电陶瓷的机电耦合系数压电陶瓷的机电耦合系数(electromechanical coupling factor)机电耦合系数机电耦合系数 k 是衡量压电体机电能量转换能力的是衡量压电体机电能量转换能力的重要参数。
27、重要参数。k2由机械能转换的电能输入的总机械能k2由电能转换的机械能输入的总电能或或 实际上，机电耦合系数实际上，机电耦合系数 k 是机电相互作用能是机电相互作用能 Uc 与机与机械能械能 Um 和介电极化能和介电极化能 Ue 的几何平均值之比的几何平均值之比 k=Uc/(UmUe)1/2 单位体积的弹性能、极化能和机电互作用能为单位体积的弹性能、极化能和机电互作用能为XXsUEm21jiXijeEEU21XEdUiic21EXiiisdk22几种振动模式压电振子的机电耦合系数几种振动模式压电振子的机电耦合系数 横向长度伸缩振动：横向长度伸缩振动：k231=d231/X33 sE11 纵向长度
28、伸缩振动：纵向长度伸缩振动：k233=d233/X33 sE33 厚度切变振动：厚度切变振动：k215=d215/X11 sE55 径向伸缩振动：径向伸缩振动：k2p=2d231/X33 (sE11-sE12)机电耦合系数有压电振子的特征频率计算，如机电耦合系数有压电振子的特征频率计算，如 k31 k31(2f/4fr)1/2，f fa-fr d31=k31(X33 sE11)1/2,fr=2L(sE11)1/2-14.6 机械品质因数机械品质因数（mechanical quality factor)压电振子谐振时每周期内单位体积贮存的机械能与损压电振子谐振时每周期内单位体积贮存的机械能与损耗
29、的机械能之比耗的机械能之比 Qm=4 C0R f-12耗的机械能谐振时振子每周期所损能谐振时振子储存的机械mQ小结 晶体的压电效应晶体的压电效应,压电效应与晶体结构对称性的关系压电效应与晶体结构对称性的关系,陶瓷陶瓷的压电性的压电性 压电体、铁电体、热释电体的基本特性及它们之间的关联压电体、铁电体、热释电体的基本特性及它们之间的关联 晶体的物理性质及其张量表示晶体的物理性质及其张量表示,不同边界条件下的介电和弹不同边界条件下的介电和弹性常数，极化压电陶瓷压电常数张量性常数，极化压电陶瓷压电常数张量 压电方程与压电常量（数）及其物理含义压电方程与压电常量（数）及其物理含义,压电陶瓷振子的压电陶瓷振子的振动模式及其谐振特性振动模式及其谐振特性 压电陶瓷的机电耦合系数、机械品质因数的含义压电陶瓷的机电耦合系数、机械品质因数的含义练习题1 利用张量变换证明（1）具有对称中心的晶体无压电性（2）432点群对称晶体无压电效应2 极化后压电陶瓷具有mm对称性（与四方晶系的4mm对称性类似），试利用张量变换推出其压电常数张量（非零压电分量d).3 利用张量变换推出 点群对称性晶体的压电常数张量（非零压电分量d).m24m24
