1、2第三讲 条件概率与事件的独立性 本讲要点本讲要点 1.理解条件概率的概念理解条件概率的概念 2.理解事件独立性的概念理解事件独立性的概念 3.理解伯努利定理理解伯努利定理 4.应用上述概念与定理解决简单问题应用上述概念与定理解决简单问题3 在事件在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率就称发生的概率就称为为条件概率条件概率，记作，记作P(A|B).一般地一般地 P(A|B)P(A)例：掷一颗均匀骰子，例：掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点问假设事先知道抛出的是偶数点则事件问假设事先知道抛出的是偶数点则事件A发生的概率发生的概率1()6P A 4掷骰子
2、掷骰子 分析：已知事件分析：已知事件B发生，此时试验所发生，此时试验所有可能结果就变少了有可能结果就变少了，即样本空间减缩，即样本空间减缩了了 P(A|B)即在新的样本空间下求即在新的样本空间下求A发生发生的概率的概率 1,2,3,4,5,62,4,6 1()3P A B()()P ABP B5P(A)=3/10，又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正件正品中有品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品.现从这现从这10件中任取件中任取一件，记一件，记 B=取到正品取到正品A=取到一等取到一等 品品，P(A|B)37()()P ABP B()()()
3、P ABP A BP B事实上，可以证明：6 若事件若事件B已发生已发生,则样本空则样本空间发生变化，间发生变化，则事件则事件A在在新的样本空间中概率就是新的样本空间中概率就是设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(A)0,则称则称 (1)()(|)()P ABP A BP BBAAB 条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.B()()()P ABP A BP B7例 子 1.某地区一年内刮风的概率是 ,下雨的概率是 ，既刮风又下雨的概率是 求:(1)在刮风的条件下，下雨的概率.(2)在下雨的条件下，刮风的概率.分析：设A=刮风
4、 B=下雨4152151104(),15P A 2()15P B 1()10P AB 8 由条件概率的定义得到：()P A B()P B A()()P ABP A1 1531048()()P ABP B1 15310249课 堂 练 习 某人有一笔资金，他投入基金的概率是0.6，购买股票的概率是0.3，两项都投资的概率是0.2.（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率有多大？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率有多大？132310条件概率的性质条件概率的性质(自行验证自行验证);0|,:1 ABPB对对于于任任意意的的事事件件非非负负性性 2 :|1;PA规范性 123 :,B B 可数可
5、加性设是两两互斥事件 则有 11iiiiABPABP.所有在第二讲中证明的性质对条件概率都成立11课后证明 假设 证明：12BB 1212()()()P BB AP B AP B A12乘 法 公 式 由条件概率公式可以推出 我们把上面的式子称为乘法公式.利用乘法公式可以计算两个事件同时发生利用乘法公式可以计算两个事件同时发生的概率的概率 乘法公式可以推广：乘法公式可以推广：假设有假设有n个事件个事件 ，（，（n2）,且且()()()P ABP B P A B()()P A P B A12,nAAA12()0nP A AA13 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行,5个个球迷好不容
6、易才搞到一张入场券球迷好不容易才搞到一张入场券.大家大家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的什么也没其余的什么也没写写.将它们放在一起将它们放在一起,让让5个人依次抽取个人依次抽取.14“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”这两个人谁更对呢？为什么？大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会的机会都都一样大一样大.”15我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽
7、到入场券”i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P()4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”16因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未个人未抽到，抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5计算得：计算得：17)|()|()()()(2131213213AAAPA
8、APAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的解答这就是有关抽签顺序问题的解答.同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第第2个人都没有抽到个人都没有抽到.因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率都是的概率都是1/5.抽签原理问题抽签原理问题.通常成为通常成为18即即 P(A|B)=P(A)显然事件显然事件B的的发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的概率发生的概率,这时这时称事件称事件A、B独立独立.事件的独立性事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点，B=第一次掷出
9、第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 19定 义 如果事件A,B的发生不相互影响，则称事件A,B相互独立.若A,B相互独立，则有 定理：A,B相互独立 ()P B AP B()()()P ABP AP B()P A BP A定理由乘法原理，可以推出.这是一个常用的公式20 例例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见,P(AB)=P(A)P(B)由于由于 P(A)=4/52=1/13,故故 事件事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是
10、否独立？是否独立？解解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,事实上，判断事件的独立性通常靠经验。用公式判断通常比较复杂，也没有必要。21 由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的概率，的概率，故认为故认为A、B独立独立.甲、乙两人向同一目标射击甲、乙两人向同一目标射击,记记 A=甲命中甲命中,B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）22思 考 事件A与B互不相容与A和B相互独立是一回事吗？如图事件A与B相互独立吗？AB结论：若结论：若A与与B独立，
11、且独立，且P(A)0,P(B)0,则则A、B不互不相容不互不相容若若A、B互不相容，且互不相容，且P(A)0,P(B)0,则则A与与B不独立不独立23推 广 若 相互独立，则有如下的公式成立12,nA AA121()()nniiP A AAP A24 例：例：三人独立地去破译一份密码，已知各人能三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？人能将密码译出的概率是多少？解解 将三人编号为将三人编号为1，2，3，所求为所求为 记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3 1
12、23P AAA 已知已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 1231231P AAAP AAA 2512)(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)6.05343325413 1231231P AAAP AAA 26 这一讲，我们介绍了条件概率的这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，并且同时发生的概率的乘法公式，并且介绍了事件的独立性，他们在计算介绍了事件的独立性，他们在计算概率时经常使用，需要牢固掌握概率时经常使用，需要牢固掌握.27
