1、材料化学第一章晶体的特性与点阵结构第二部分第二部分 晶体中的对称晶体中的对称一一 晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性二二 晶体的微观对称性晶体的微观对称性一、晶体学发展的历史一、晶体学发展的历史 西汉，西汉，韩诗外传韩诗外传“凡草木花多五出，雪花独六出凡草木花多五出，雪花独六出”第一部分第一部分 晶体学基础晶体学基础在微重力条件下生长的人胰岛素晶体的颗粒比地表环境下生长的晶体大得多在微重力条件下生长的人胰岛素晶体的颗粒比地表环境下生长的晶体大得多1669年，丹麦地质年，丹麦地质学家斯蒂诺，通过学家斯蒂诺，通过对石英晶体各种断对石英晶体各种断面的研究发现了晶面的研究发现了晶体学第一定律体学第一定律
2、晶面夹角定律。晶面夹角定律。石英晶体石英晶体1848年间，法国科学家年间，法国科学家布拉维布拉维推出推出14种点阵型式种点阵型式(布拉维格子布拉维格子)。1869年，俄国晶体学家年，俄国晶体学家加多林加多林用严密的数学方法推导出晶体用严密的数学方法推导出晶体外形的外形的32种对称类型，又称种对称类型，又称32点群，从而完成了点群，从而完成了晶体宏观对晶体宏观对称性称性的总结工作。的总结工作。1885-1890年间，费多罗年间，费多罗(俄国俄国)，熊夫利斯（德国）、巴罗，熊夫利斯（德国）、巴罗（英国）各自用不同的方法独立的推出（英国）各自用不同的方法独立的推出230个空间群个空间群。在在19世纪
3、最后十年中，经典晶体学（即几何晶体学）建立起世纪最后十年中，经典晶体学（即几何晶体学）建立起来了。来了。现代结晶学的开始现代结晶学的开始1895年伦琴在研究阴极射线引起的荧光现象时，意外的发现了X射线。1921年，劳厄为了解释晶年，劳厄为了解释晶体的体的X射线衍射图，从一维射线衍射图，从一维点阵对点阵对X射线的衍射出发，射线的衍射出发，推导出了决定晶体衍射方推导出了决定晶体衍射方向的向的劳厄方程劳厄方程1912 年在劳厄思想的指导年在劳厄思想的指导下，夫里德里希和克尼平下，夫里德里希和克尼平(德国德国)用用CuSO45H2O晶体晶体做光栅进行实验，得出了做光栅进行实验，得出了第一张第一张X射线
4、衍射图射线衍射图1913年，W.L布拉格用X射线衍射法测定了第一个晶体结构-NaCl晶体结构。1914年，W.H布拉格提出了衍射强度的定义和测量方法。X射线结构分析的建立，标志着经典晶标志着经典晶体学发展成为现代体学发展成为现代晶体学。晶体学。D-xylose isomerase 木糖木糖(戊醛糖戊醛糖)异构酶异构酶Yeast tRNA 酵母酵母,发酵粉发酵粉一种钴酸锂的晶体结构crystallum crystal 晶晶二、二、晶体的特性晶体的特性 晶体中的晶面、晶棱、角顶、结点及物理化学性质等在不同方向作有规律地重复。T/Kt/minT/Kt/min晶体晶体(a)与非晶体与非晶体(b)的熔点
5、曲线的熔点曲线(a)(b)5 各向异性各向异性同一晶体的不同部分具有相同的性质。晶体每一点上的物理效应和化学组成均相同。晶体在一定条件下能自发形成几何多面体的形状。由晶体的生长速度的各向异性产生的多面体的晶面数（F）、晶棱数（E）、和顶点数（V）相互之间的关系符合公式F+V=E+2思考：思考：如何理解晶体的各向异性和均匀性？如何理解晶体的各向异性和均匀性？其本质是什么？其本质是什么？三三 晶体结构晶体结构（一）（一）晶体结构的周期性晶体结构的周期性1.1.晶体的定义晶体的定义（1 1）.晶体晶体:内部粒子（原子、分子、离子）或粒子集团在空间内部粒子（原子、分子、离子）或粒子集团在空间按一定规律
6、周期性重复排列而成的固体。按一定规律周期性重复排列而成的固体。(a)周期性重复的内容周期性重复的内容(b)周期性重复的方式周期性重复的方式结构基元结构基元周期的大小周期的大小和方向和方向点点阵阵（2 2）.周期性：一定数量和种类的粒子在空间排列时，在一周期性：一定数量和种类的粒子在空间排列时，在一定的方向上，相隔一定的距离重复地出现。定的方向上，相隔一定的距离重复地出现。（3 3）.周期性结构的二要素：周期性结构的二要素：（二）（二）点阵结构与点阵点阵结构与点阵1.一维点阵结构与直线点阵一维点阵结构与直线点阵 1）实例）实例(a)NaCl晶体中沿某晶棱方向排列的一列离子晶体中沿某晶棱方向排列的
7、一列离子结构结构:564pm 结构基元结构基元:点阵点阵:(b).聚乙烯链型分子聚乙烯链型分子-CH2-CH2n-?pm结构结构:结构基元结构基元:点阵点阵:(c).石墨晶体中的一列原子石墨晶体中的一列原子结构结构:结构基元结构基元:点阵点阵:2)基本向量基本向量(素向量素向量)连结相邻两点阵点所得向量。连结相邻两点阵点所得向量。3)平移平移(translation)aT图形中所有点沿相同的方向平行移动相同的距离。图形中所有点沿相同的方向平行移动相同的距离。4)平移群平移群(translation group)一维平移群表示为：一维平移群表示为：amTmm=0,1,2,图形中全部平移操作的集合
8、。图形中全部平移操作的集合。aa a2a3a2a2.2.二维点阵结构与平面点阵二维点阵结构与平面点阵1)1)实例实例 (a)NaCl(a)NaCl晶体中平行于某一晶面的一层离子晶体中平行于某一晶面的一层离子 结构结构:结构基元结构基元:点阵点阵:(b)(b)石墨晶体中一层石墨晶体中一层C C原子原子结构：结构：结构基元：结构基元：点阵：点阵：x2)2)平面格子平面格子连结平面点阵中各点阵点所得平面网格连结平面点阵中各点阵点所得平面网格.2)2)平面格子平面格子连结平面点阵中各点阵点所得平面网格连结平面点阵中各点阵点所得平面网格.与平面点阵本质相同与平面点阵本质相同,绘制容易绘制容易,表达清楚表
9、达清楚.3)3)平面点阵单位平面点阵单位3)3)平面点阵单位平面点阵单位这些平行四边形称为平面点阵单位，这些平行四边形称为平面点阵单位，素单位，含素单位，含 x 4=1个点阵点个点阵点复单位，含复单位，含2个以上点阵点个以上点阵点顶点的点阵点为顶点的点阵点为4个格子共有，个格子共有，每个格子只含每个格子只含1个点阵点个点阵点棱上点为棱上点为2个格子共有，个格子共有，每个格子含每个格子含2个点阵点个点阵点可分为：可分为：4)二维平移群二维平移群:将素单位中将素单位中2个互不平行的边作为平面点阵的基本向量个互不平行的边作为平面点阵的基本向量,则两则两两连接该平面点阵中所有点阵点所得向量可用这两个基
10、本向两连接该平面点阵中所有点阵点所得向量可用这两个基本向量表示量表示:bnamTmm,n=0,1,2,.全部这些平移构成二维平移群：全部这些平移构成二维平移群：abbaba2ba3.3.三维点阵结构与空间点阵三维点阵结构与空间点阵1)1)实例实例:NaCl结构：结构：结构基元结构基元:Na+Cl-点阵：点阵：CsClCs+Cl-金属钠金属钠Na金属镁金属镁2Mg(2)空间点阵单位空间点阵单位:这些平行六面体称为空间点阵单位，这些平行六面体称为空间点阵单位，素单位，含素单位，含 1/8 x 8=1个点阵点个点阵点复单位，含复单位，含2个以上点阵点个以上点阵点体心体心(I)底心底心(C)面心面心(
11、F)可分为：可分为：(3)空间格子空间格子(晶格晶格):将空间点阵按选定平行六面体单位用直线划分将空间点阵按选定平行六面体单位用直线划分,可得空间可得空间格子，也称为晶格。格子，也称为晶格。abc(4)三维平移群三维平移群:cpbnamTmm,n,p=0,1,2,.3.点阵及其基本性质点阵及其基本性质（1）.点阵点阵:连结任意两点所得向量进行平移后能够复原连结任意两点所得向量进行平移后能够复原的一组点称为点阵的一组点称为点阵.XX（2）.点阵的二个必要条件点阵的二个必要条件:(a)点数无限多点数无限多 (b)各点所处环境完全相同各点所处环境完全相同不是点阵不是点阵不是点阵不是点阵点阵点阵(3)
12、.点阵与平移群的关系点阵与平移群的关系:(a)连结任意两点阵点所得向量必属于平移群连结任意两点阵点所得向量必属于平移群.(b)属于平移群的任一向量的一端落在任一点阵点时属于平移群的任一向量的一端落在任一点阵点时,其另一端必落在此其另一端必落在此点阵中另一点阵点上点阵中另一点阵点上.(4).点阵与点阵结构的关系点阵与点阵结构的关系:点阵是反映点阵结构周期性的科学抽象点阵是反映点阵结构周期性的科学抽象.点阵结构是点阵理论的实践依据和具体研究对象点阵结构是点阵理论的实践依据和具体研究对象.点阵结构点阵结构结构基元结构基元点阵点阵+点阵与点阵结构的关系可表示为：点阵与点阵结构的关系可表示为：点阵结构点
13、阵结构=点阵点阵+结构基元结构基元而而 点阵点阵=点阵结构点阵结构-结构基元结构基元+1.1.点阵点、直线点阵、平面点阵的指标点阵点、直线点阵、平面点阵的指标（1）.点阵点指标点阵点指标 u,v,w:op=ua+vb+wc;u,v,w 即为即为点阵点点阵点p的指标。的指标。如平面点阵中：如平面点阵中：a100110210220430b（三）（三）晶体结构参数晶体结构参数（2）.直线点阵直线点阵(或晶棱或晶棱)指标指标,u,v,w:用与直线点阵平行的向量表示用与直线点阵平行的向量表示,表明该直线点阵的取向表明该直线点阵的取向.ab1102101 10abbaba2ba（3）.平面点阵平面点阵(晶
14、面晶面)指标指标(h k l):1)定义定义:一平面点阵在三个晶轴上的倒易截数之比一平面点阵在三个晶轴上的倒易截数之比截长截长:截数截数:倒易截数倒易截数:倒易截数之比倒易截数之比:互质整数互质整数:晶面指标晶面指标:1:2:1a ab bc c2 1 22a b 2c 1 :1:(1 2 1)4a 2b 4c4 2 4 :1:2:1(1 2 1)6a 3b 6c 6 3 6 1/6 1/3 1/6 1/6:1/3:1/6 1:2:1(1 2 1)ra sb tc r s t 1/r 1/s 1/t 1/r:1/s:1/t h k l(h k l)2)意义意义:用来标记一组互相平行且间距相等用
15、来标记一组互相平行且间距相等的平面点阵面与晶轴的取向关系的平面点阵面与晶轴的取向关系.平面投影平面投影:ab(010)(110)(210)201(3)有理指数定理有理指数定理:倒易截数必为有理数倒易截数必为有理数,因而它们的比必可化为互质整数比。因而它们的比必可化为互质整数比。4)晶面指标的图形表示晶面指标的图形表示:斜射投影斜射投影:a ab bc c(001)a ab bc c(110)2.晶面间距晶面间距 d(h k l)(1).定义定义:晶面指标为晶面指标为(h k l)的一组平面点阵中相邻的两平面点阵面间的一组平面点阵中相邻的两平面点阵面间的垂直距离的垂直距离,记作记作d(h k l
16、)。ab(010)(110)(210)201(d(010)d(110)d(210)(2).意义：意义：每一种晶体物质都有一套特征的每一种晶体物质都有一套特征的d(h k l)，是晶体物相分析，是晶体物相分析的重要依据。的重要依据。3.几个计算公式几个计算公式:(1).两原子间距离两原子间距离(键长键长):p1-p2=|p1p2|=|(x2-x1)a+(y2-y1)b+(z2-z1)c|当当 =90时时,简化为简化为 p1-p2=(x2-x1)2a2+(y2-y1)2b2+(z2-z1)2c2(2).晶面夹角晶面夹角:当当a=b=c,=90时时:)222222)(212121(2121211-c
17、oslkhlkhllkkhh(3).晶面间距晶面间距,当当a=b=c,=90时时:222)(lkhahkld4.4.晶胞参数与原子坐标参数晶胞参数与原子坐标参数(1).(1).晶胞晶胞(Unit cell)空间格子将晶体结构截成的一个个大小、形状相等，包含等同空间格子将晶体结构截成的一个个大小、形状相等，包含等同内容的基本单位。内容的基本单位。晶胞与点阵单位对应晶胞与点阵单位对应各顶点为各顶点为8个晶胞共用个晶胞共用(2).晶胞二要素晶胞二要素(a)晶胞的大小与形状晶胞的大小与形状(b)晶胞所含内容晶胞所含内容-相应点阵单位的基本向量的大小和方向相应点阵单位的基本向量的大小和方向-晶胞内原子的
18、种类、数量、位置晶胞内原子的种类、数量、位置(3).晶胞参数晶胞参数 a,b,c;,(a)与基本向量相应的三个互不平行的棱长，分别用与基本向量相应的三个互不平行的棱长，分别用a,b,c表示。表示。(b)三个基本向量的夹角三个基本向量的夹角,=bc,=ac,=ab晶胞参数晶胞参数a，b，c;，(4).原子坐标参数原子坐标参数(原子分数坐标原子分数坐标)xj,yj,zj(a)晶轴系晶轴系:晶胞中三个互不平行的棱构成的天然合理的空晶胞中三个互不平行的棱构成的天然合理的空间坐标系。间坐标系。(b)晶胞内点晶胞内点P处原子的位置表示处原子的位置表示:op=xa+yb+zc x,y,z 即为原子的坐标即为
19、原子的坐标 分别以分别以a,b,c 为三个方向的单位为三个方向的单位,x,y,z 1,叫做原子分数坐标叫做原子分数坐标.abcopopxyz例例:A.CsClCl-:0,0,0;Cs+:1/2,1/2,1/2B.Mg晶胞内晶胞内2个原子个原子,顶点处原子顶点处原子 0,0,0;abc2/31/3晶胞内原子晶胞内原子 2/3,1/3,1/25.正当点阵单位与正当晶胞正当点阵单位与正当晶胞 一定的点阵结构对应的点阵是唯一的，一定的点阵结构对应的点阵是唯一的，点阵结构点阵结构点阵点阵而划分点阵单位的方式是多种多样的。而划分点阵单位的方式是多种多样的。平面格子的正当单位平面格子的正当单位划分平面格子的
20、规则划分平面格子的规则格子划分不能是任意的格子划分不能是任意的,应应在照顾对称性的条件下在照顾对称性的条件下,尽量选尽量选取含点阵点少的单位做正当点阵单位取含点阵点少的单位做正当点阵单位,相应的晶胞叫做正当相应的晶胞叫做正当晶胞晶胞.平面正当格子只有平面正当格子只有 4 种形状种形状 5 种型式种型式 a=b正方格子ab=90 a=b六方格子ab=120 a b 矩形格子ab=90 a b带心矩形格子ab=90 a b(一般)平行四边形格子ab 90 120 abababbaab为何无正方带心格子？为何无正方带心格子？为何无六方带心格子？为何无六方带心格子？为何无一般带心格子？为何无一般带心格
21、子？六方格子中心带点破坏了六方格子中心带点破坏了6重轴的对称性；正方和一般平行四边形重轴的对称性；正方和一般平行四边形可划成更小的格子；矩形划成更小的格子时则破坏了可划成更小的格子；矩形划成更小的格子时则破坏了4个角都是个角都是90度的规则性。所以平面点阵有且只有五种正当点阵型式。度的规则性。所以平面点阵有且只有五种正当点阵型式。按正当点阵单位的划分原则按正当点阵单位的划分原则-只有矩形带心格子是正当格子只有矩形带心格子是正当格子。格子中心点破坏了格子中心点破坏了6重轴对称重轴对称可取成更可取成更小的正方小的正方小格子不再是直角小格子不再是直角实为矩实为矩形格子形格子六方素格子、正方素格子、矩
22、形素格子、矩形带心格子和平行四边形格子。六方素格子、正方素格子、矩形素格子、矩形带心格子和平行四边形格子。空间点阵的七种类型、十四种型式空间点阵的七种类型、十四种型式(1)七种类型七种类型 7种对称类型对应种对称类型对应7个晶系个晶系(2)十四种点阵型式十四种点阵型式 素格子、复格子素格子、复格子,可能有可能有P,I,C,F 不可能有不可能有4个面带心，个面带心，应在照顾对称性的条件下应在照顾对称性的条件下,尽量选取含点阵点少的尽量选取含点阵点少的平行六面体单位平行六面体单位.按此规则划分出的格子称为正当按此规则划分出的格子称为正当格子格子.划分空间格子因遵守规则划分空间格子因遵守规则正当空间
23、格子只有正当空间格子只有 7 种形状种形状 14 种型式种型式.即七大即七大晶系，晶系，14种晶格种晶格The 14 possible BRAVAIS LATTICES note that spheres in this picture represent lattice points,not atoms!7 crystal 7 crystal ClassesClasses晶系边长夹角晶体实例立方晶系a=b=c=900NaCl三方晶系a=b=c=900Al2O3四方晶系a=bc=900SnO2六方晶系a=bc=900,=1200AgI正交晶系abc=900HgCl2单斜晶系abc=900,90
24、0KClO3三斜晶系abc 900CuSO45H2O简单立方简单立方P 体心立方体心立方I 面心立方面心立方F 一一 立方晶系立方晶系a=b=c =90四方四方I 四方四方P 二 四方晶系a=bc =90正交正交P 正交正交F 正交正交C 正交正交I 三 正交晶系abc =90六方六方H三方三方R四 六方晶系五 三方晶系a=bc =90,=120a=b=c =90 三斜三斜P 单斜单斜P 单斜单斜C 七 三斜晶系六 单斜晶系a b c,90a b c,=90,90倒易点阵倒易点阵 提出：提出：法线比晶面少了一维，空间想象容易。晶面的一个法线比晶面少了一维，空间想象容易。晶面的一个特征是空间取向
25、，另外一个特征是面间距离。只要特征是空间取向，另外一个特征是面间距离。只要考虑这两点，用一维的线代替二维的面，可以使问考虑这两点，用一维的线代替二维的面，可以使问题简化。题简化。实施；实施；对原先的点阵中的每一个平面作其法线，解决空间对原先的点阵中的每一个平面作其法线，解决空间取向问题，取法线的长度为面间距的倒数，解决面取向问题，取法线的长度为面间距的倒数，解决面间距离的问题。于是，这些法线端点的集合就构成间距离的问题。于是，这些法线端点的集合就构成了该点阵的倒易点阵。了该点阵的倒易点阵。整数定律整数定律点阵中通过若干阵点的平面称为点阵平面，晶体宏观外形上的每个晶面都和一族点阵平面平行，两者可
26、以用相同的指数来表示。整数定律就反映了点阵平面的这种统一关系。晶体上任意两晶面在三根坐标轴上所截对应截距的比值之晶体上任意两晶面在三根坐标轴上所截对应截距的比值之比为一简单整数比。比为一简单整数比。布拉威定律布拉威定律在晶体中，最可能出现和发展较快的晶面是格子面积较小（或面网密度较大）的晶面，这称为布拉威定律。二面角守恒定律二面角守恒定律晶面的形状和大小是随外界条件而变的，但同一种晶体的相应晶面间夹角（或晶棱间夹角）却不受外界条件影响而保持恒定的值，这称为二面角守恒定律。见课本图1-27一一 晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性（一）（一）对称的概念对称的概念 对称就是物体相同部分有规律的重复。对
27、称就是物体相同部分有规律的重复。对称性在日常生活中很常见，但对称的概念还有更深邃和对称性在日常生活中很常见，但对称的概念还有更深邃和更广泛的含义：更广泛的含义：变换中的不变性；建造大自然的密码；审变换中的不变性；建造大自然的密码；审美要素。对称的概念还在不断被科学赋予新意。美要素。对称的概念还在不断被科学赋予新意。第二部分第二部分 晶体中的对称晶体中的对称1 等同图形等同图形 具有对称性的物体的相应各部分叫做等同图形。相等图形 完全叠合 等同图形 左右形 互成镜像（手性）2 对称动作对称动作使对称图形中相同部分重复的操作，也叫对称操作。左右形3 对称图形的阶次对称图形的阶次 对称图形中所包含的
28、等同部分的数目称为对称图形的阶次。阶次的大小代表了对称性的高低。4 对称元素对称元素 在进行对称操作时所依据的几何元素（点、线、面），称为对称元素。（二）（二）宏观对称元素宏观对称元素 在对称动作进行的过程中，至少有一点保持不动的对称动作称为点动作，与点动作相应的对称元素称为宏观对称元素。宏观对称元素。1 反映面反映面 与反映面相应的对称动作是反映。反映面就是镜面，阶次为2，用P表示。对应体手性分子。2 对称中心对称中心对称中心C，阶次为2。动作为倒反。只可能在晶体中心，只可能一个。总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平行、同形等大。这是判断晶体有无对称中心的方法。倒反可引起
29、左右形。12CF2F13 3 对称轴对称轴 若在图形中可以找到一条直线L，绕此直线将图形旋转某一角度，可使图形复原，此直线称为旋转轴。对称轴Ln 操作为旋转。其中n 代表轴次，意指旋转360度相同部分重复的次数。旋转一次的角度为基转角，关系为：n=360/。4 反轴反轴 与反轴相应的对称动作是旋转旋转和倒反倒反组成的复合对称复合对称动作动作，用Ln 或Lin表示，先旋转或先倒反都可以。（两个或两个以上的动作连续进行，称为这些对称动作的复复合对称动作合对称动作。）对称性阶次，轴次为偶数时，与轴次一样，轴次为奇数时，是轴次的2倍。对称元素的组合对称元素的组合：一个图形中若同时具有两种或两种以上对称
30、元素的对称性，称为具有这些对称元素组合的对称性。反轴反轴 Lin 操作为操作为旋转旋转+倒反的复合操作。倒反的复合操作。具体的操作过程：具体的操作过程：Li 1=C Li 2=P Li 3=L3+C Li 4 Li 6=L3+PLi6=L3+PL3/Li6,P L3 值得指出的是，除值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：代替，其间关系如下：Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，Li6=L3+P 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留但一般我们在写晶体的对称要素时，保
31、留Li4 和和Li6，而其他旋转反轴就用简单对称要素代替。而其他旋转反轴就用简单对称要素代替。这是因为这是因为Li4 不能被代替，不能被代替，Li6在晶体对称分类在晶体对称分类中有特殊意义。中有特殊意义。但是，在晶体模型上找但是，在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容往往是比较困难的，因为容易误认为易误认为L2。我们不能用我们不能用L2代替代替Li4，就像我们不能用，就像我们不能用L2代替代替L4一样。一样。因为因为L4高于高于L2，Li4也高于也高于L2。在晶体模型上找对在晶体模型上找对称要素，一定要找出最高的。称要素，一定要找出最高的。（三）（三）对称元素和点阵的几何配置对称元素和点
32、阵的几何配置 点阵点是对称中心，旋转轴必然和点阵中的一组直线点阵相平行，而和一组平面点阵相垂直。证明见课本p22-23.（四）（四）晶体的对称性定律：晶体的对称性定律：由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有特点决定了晶体的对称轴只有n n=1=1，2 2，3 3，4 4，6 6这五种，不可这五种，不可能出现能出现n=n=5 5，n n 6 6的情况。的情况。为什么呢？为什么呢？1 1、直观形象的理解：直观形象的理解：垂直五次及高于六次的垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能对称轴的平面结构不能构成
33、面网，且不能毫无构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间间隙地铺满整个空间,即不能成为晶体结构。即不能成为晶体结构。2 2、数学的证明方法为：、数学的证明方法为：t=mt=mtt=2tsin(=2tsin(-90-90)+t=-2tcos)+t=-2tcos +t+t所以，所以，mt=-2tcos mt=-2tcos +t+t 2cos 2cos =1-m=1-m cos cos =(1-m)/2=(1-m)/2 -2 -2 1-m 1-m 2 2 m=-1,0,1,2,3 m=-1,0,1,2,3相应的相应的 0 0 或或2 2 ，/3,/3,/2/2，2 2 /3,/3,（但是，在准晶体中可
34、以有（但是，在准晶体中可以有5 5、8 8、1010、1212次次轴）轴）tttt宏观晶体对称要素宏观晶体对称要素（五）宏观对称元素的组合（五）宏观对称元素的组合 两个对称元素组合将产生第三个对称元素，对称元素组合是至少交于一点。对称元素组合不是任意的，必须符合对称元素的组合对称元素组合不是任意的，必须符合对称元素的组合定律；定律；当对称元素素共存时，也可导出新的对称元素。当对称元素素共存时，也可导出新的对称元素。1 反映面之间的组合反映面之间的组合 两个反映面相交，其交线为旋转轴，基转角为反映面相交角的2倍。推论推论：基转角为的旋转轴可以分解为两个反映面的连续动作，其夹角为/2。镜面与镜面的
35、组合镜面与镜面的组合两镜面相交，若交角为两镜面相交，若交角为 2 2/2/2n n，则其交线必为一个，则其交线必为一个Cn轴轴。ABQ例如例如 m1，m2夹角夹角 =2 2/2/2n nCD AOC COQ,QOD DOB即即:AOC=COQ,QOD=DOB AOB=2 =2/nAL(2/n)B推论推论：Cn轴与通过该轴和它平行的镜面相结合，一定存在轴与通过该轴和它平行的镜面相结合，一定存在n n个个镜面，镜面镜面，镜面间夹角为间夹角为2 2/2/2n n。m2m1 O2 反映面与旋转轴的组合反映面与旋转轴的组合（万花筒定理）（万花筒定理）当一个反映面穿过旋转轴Ln时，必有n个反映面穿过此旋转
36、轴。3 旋转轴与对称中心的组合旋转轴与对称中心的组合 若在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心。偶次旋转轴与对称中心的组合偶次旋转轴与对称中心的组合若偶次旋转轴上有一对称中心，则必有一镜面与旋转轴垂直，若偶次旋转轴上有一对称中心，则必有一镜面与旋转轴垂直，且交于对称中心且交于对称中心。i1 hC21推论推论：C2轴，轴，i 和和 h 三个对称元素中任意两个存在时，必有第三个三个对称元素中任意两个存在时，必有第三个对称元素同时存在。对称元素同时存在。4 旋转轴之间的组合（欧拉定理）旋转轴之间的组合（欧拉定理）两个旋转轴的适当组合产生第三个旋转轴。推论：1 两个二次轴相
37、交，交角为/2，则垂直这两个二次轴所定的平面，必有一基转角为的n次轴。2 一个二次轴和一个n次旋转轴垂直相交，则有个n二次轴同时与n次轴相交，且相邻两二次轴的夹角为n次轴基转角的一半。旋转轴与旋转轴的组合旋转轴与旋转轴的组合交角为交角为 2 2/2/2n n 的的2 2个个C2轴相结合，其交点上必出现一个垂直于轴相结合，其交点上必出现一个垂直于这这2个个 C2轴的轴的Cn轴，且垂直于轴，且垂直于Cn，通过交点的平面内必有，通过交点的平面内必有n n个个C2轴。轴。推论推论：Cn轴与垂直于它的轴与垂直于它的C2轴相结合，在垂直于轴相结合，在垂直于Cn轴的平面内必有轴的平面内必有n n个个C2轴轴
38、,相邻两轴间夹角为相邻两轴间夹角为2 2/2/2n n。2 2/2x2/2x2C3C2C2C22 2/2x3/2x3（六）（六）32个对称型（点群）及其推导个对称型（点群）及其推导 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称对称型型 或或 点群点群。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。操作时称点群。为什么叫点群？为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。数学中群
39、的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有3232个。那么，这个。那么，这3232个对称型怎么推导出来？个对称型怎么推导出来？A A类对称型（高次轴不多于一个）的推导：类对称型（高次轴不多于一个）的推导：1 1）对称轴）对称轴L Ln n单独存在，可能的对称型为单独存在，可能的对称型为L L1 1；L L2 2；L L3 3；L L4 4；L L6 6 。5 5个个2 2）对称轴与对称轴的组合。在这里
40、我们只考虑）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑L Ln n与垂与垂直它的直它的L L2 2的组合。根据前面所述对称要素组合规律的组合。根据前面所述对称要素组合规律L Ln n L L2 2L Ln nnLnL2 2，可能的对称型为：，可能的对称型为：（L L1 1L L2 2=L L2 2）；）；L L2 22 2L L2 2=3=3L L2 2；L L3 33 3L L2 2；L L4 44 4L L2 2；L L6 66 6L L2 2 4 4个个 如果如果L L2 2与与L Ln n斜交有可能斜交有可能出现多于一个的高次轴，出现多于一个的高次轴，这时就不属于这时就不属于A类对称型了。
41、类对称型了。3）对称轴）对称轴Ln与垂直它的对称面与垂直它的对称面P的组合。考虑到组的组合。考虑到组合规律合规律Ln(偶次偶次)PLn(偶次偶次)PC，则可能的对称型为：，则可能的对称型为：（L1P=P）；）；L2PC；（；（L3P=Li6）；）；L4PC；L6PC。3个个4）对称轴）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规与包含它的对称面的组合。根据组合规律律Ln PLnnP，可能的对称型为：，可能的对称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。4个个 5）对称轴）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直称面的组合。垂直Ln
42、的的P与包含与包含Ln的的P的交线的交线必为垂直必为垂直Ln的的L2，即，即Ln P P=Ln P P=LnnL2(n+1)P（C）（C只在有偶次轴垂只在有偶次轴垂直直P的情况下产生）的情况下产生），可能的对称型为：，可能的对称型为：(L1L22P=L22P）；）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；）；L44L25PC；L66L27PC。3个个6 6）旋转倒反轴单独存在。可能的对称型为：）旋转倒反轴单独存在。可能的对称型为：L Li i1 1=C C；L Li i2 2=P P；L Li i3 3=L L3 3C C；L Li i4 4；L Li i6 6=
43、L L3 3P P。5个个7）旋转倒反轴）旋转倒反轴Lin与垂直它的与垂直它的L2（或包含它的（或包含它的P）的）的组合。根据组合规律，当组合。根据组合规律，当n为奇数时为奇数时LinnL2nP，可能，可能的对称型为：的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；）；Li33L23P=L33L23PC；1个个 当当n为偶数时为偶数时 Lin(n/2)L2(n/2)P，可能的对称型为：，可能的对称型为：（Li2L2P=L22P）；）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。2个个 这样推导出来的对称型共有这样推导出来的对称型共有27个，见表。个，见表。还有还有5个是个是B类（高次轴多于一个
44、）对称型。类（高次轴多于一个）对称型。L Ln nL Ln nnL L2 2Ln P(C)Ln nPLn nL L2 2(n+1)P(C)L Li in nL Li in n nL L2 2 nPL Li in n n/2L L2 2 n/2PL L1 1L Li in n=CL L2 23L3L2 2L2 PCL2 2P3L L2 2 3PCL Li i2 2=PL L3 3L L3 33L L2 2L3 3PL Li in n=L L3 3 C L3 3L L2 2 3PCL L4 4L L4 44L L2 2L4 PCL4 4PL4 4L L2 2 5PCL Li i4 4L Li i4
45、 4 2L2 2PL L6 6L L6 66L L2 2L6 PCL6 6PL6 6L L2 2 7PCL Li i6 6=L L3 3 PL Li i6 6 3L L2 2 3P=L L3 3 3L L2 2 4P以上32种宏观对称类型就是晶体的32种点群。七个晶系按晶体的 32个对称类型，将晶体划分为七大晶系。不同晶系中的标准单胞选择规则不同晶系中的标准单胞选择规则晶系晶系标准单胞选择标准单胞选择变通单胞选择变通单胞选择三斜三斜晶轴间交角尽可能接近直角，但晶轴间交角尽可能接近直角，但90。容许轴间交角容许轴间交角=90 单斜单斜Y轴平行于唯一的二次轴或垂直于镜面，轴平行于唯一的二次轴或垂直
46、于镜面，角尽可能接近直角。角尽可能接近直角。同标准选择，但同标准选择，但Z轴代替轴代替Y轴，轴，角代替角代替 角。角。正交正交晶轴选择平行于三个相互垂直的晶轴选择平行于三个相互垂直的2次轴（或次轴（或垂直于镜面）。垂直于镜面）。无无四方四方Z轴总是平行于唯一的轴总是平行于唯一的4次旋转（反演）轴，次旋转（反演）轴，X和和Y轴相互垂直，并都与轴相互垂直，并都与Z轴成直角。轴成直角。无无六方六方/三方三方Z轴总是平行于唯一的轴总是平行于唯一的3次或次或6次旋转（反演）次旋转（反演）轴，轴，X和和Y轴都垂直于轴都垂直于Z轴，并相互间交角轴，并相互间交角为为120 。在三方晶系，三次轴选为在三方晶系，
47、三次轴选为初基单胞的对角线，则初基单胞的对角线，则a=b=c,90。立方立方晶轴总选为平行于三个相互垂直的晶轴总选为平行于三个相互垂直的2次轴或次轴或4次轴，而四个三次轴平行于平行于立方晶胞次轴，而四个三次轴平行于平行于立方晶胞的体对角线。的体对角线。无无P16 晶体的定向晶体的定向晶体学点群的对称元素方向及国际符号晶系晶系第一位第一位第二位第二位第三位第三位点群点群可能对称可能对称元素元素方向方向可能对称可能对称元素元素方向方向可能对称可能对称元素元素方向方向三斜三斜1,1任意任意无无无无1，1单斜单斜2,m,2/mb无无无无2,m,2/m正交正交2，ma2，mb2，mc222,mm2,mm
48、m四方四方4,4，4/mc无，无，2，ma无，无，2，m底对底对角线角线4,4，4/m，422，4mm,42m,4/mmm三方三方3,3c无，无，2，ma无无3,3,32,3m,3m六方六方6,6,6/mc无，无，2，ma无，无，2，m底对底对角线角线6,6,6/m,622,6mm,62m,6/mmm立方立方2,m,4,4a3,3体对体对角线角线无，无，2，m面对面对角线角线23,m3,432,43m,m 3m 点群符号点群符号点群的国际符号点群的国际符号 使用的符号（三类对称要素）：使用的符号（三类对称要素）：对称面：以 m m 表示；对称轴：以轴次数表示，1 1、2 2、3 3、4 4、6
49、 6；倒转轴：在轴次数上加“-”，如（C C）、m m（）、。表示方式：表示方式：由规定方向（不超过三个）上存在的对称要 素构成，按规定方向的顺序依次排列表达。1234632个对称型见表。个对称型见表。自然界出现概率高的是一些对称程度高的晶体，自然界出现概率高的是一些对称程度高的晶体，而功能晶体材料要求是一些对称程度低的。所而功能晶体材料要求是一些对称程度低的。所以需要人工晶体。以需要人工晶体。总结：总结：1)对称要素：对称要素：P,Ln,C,Lin；2)对称要素组合：对称要素组合：4个定理；个定理；3)对称型：要学会用组合定理判断正确与否；对称型：要学会用组合定理判断正确与否；4)晶体的对称
50、分类：晶体的对称分类：3个晶族，个晶族，7个晶系，个晶系，32个晶类。个晶类。二二 晶体的微观对称晶体的微观对称性性 前面我们学习了晶体宏观对称性理论前面我们学习了晶体宏观对称性理论,现在将从宏观进入微观现在将从宏观进入微观,探讨晶体结构内部微观对称探讨晶体结构内部微观对称.要注意宏观与微观的对比要注意宏观与微观的对比.(一一)、内部对称元素宏观对称元素与平移对称结合产生、内部对称元素宏观对称元素与平移对称结合产生 的晶体内部结构特有的对称元素；的晶体内部结构特有的对称元素；(二二)、空间群与宏观晶体的点群对应；、空间群与宏观晶体的点群对应；(三三)、等效点系与宏观晶体的单形对应。、等效点系与
