1、立新中学立新中学 禚度娥禚度娥例例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分分别指出二次项系数别指出二次项系数,一次项系数一次项系数,常数项常数项.(1)y=3(x-1)+1 (2)y=x+(3)s=3-2t (4)y=(x+3)-x (5)y=-x (6)v=10 r1x_x1_例例1：若函数：若函数 为二次函数，为二次函数，则则m的值为的值为 。22)2(mxmy你会用描点法画二次函数y=y=x2 2的图象吗的图象吗?观察观察y=y=x2 2的表达式的表达式,选择适当选择适当x值值,并计算并计算相应的相应的y y值值,完成下表：完成下表：x-3-3-2-2-
2、1-10 01 12 2 3 3y=y=x2 29 94 41 11 10 04 49 9xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点,连线连线y=x2 2?议一议议一议(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x0呢？(3)函数有最大值和最小值吗？当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？观察图象,回答问题：2xy xyO(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？2xy当当x0(在对称轴的在对称轴的右侧右侧)时时,y随着随着x的增大而的增大而增大增大.当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时
3、，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最低点是它的最低点,开口开口向上向上,并且向上无限并且向上无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.(1)二次函数二次函数y=-x2的图象是什么形状？的图象是什么形状？做一做做一做(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象(3)它与二次函数它与二次函数y=x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？xy=-x2x-3-2-10123y=-x2x-9-4-10-1-4-9在学中做在做中学做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-1
4、0-8-6-4-22-1描点描点,连线连线y=-=-x2 2?观察这两个图像，看看有什么异同2xy 2xyy=ax2(a0)a0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值xyOyxO向上向上向下向下(0,0)(0,0)y轴y轴当当x0时时（即在对称轴左侧）（即在对称轴左侧）y随着随着x的增大而增大。的增大而增大。当当x0时时（即在对称轴左侧）（即在对称轴左侧）y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,|a|越大,抛物线的开口就越小.做一做做一做(1)(1)抛物线
5、抛物线y=2xy=2x2 2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ,在对称轴在对称轴 侧侧,y,y随着随着x x的增大而增大；在对称轴的增大而增大；在对称轴 侧侧,y y随着随着x x的增大而减小的增大而减小,当当x=x=时时,函函数数y y的值最小的值最小,最小值是最小值是 ,抛物线抛物线y=2xy=2x2 2在在x x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外).).(0,0)y轴轴右右左左00上上试一试：试一试：2 2、函数、函数y=8xy=8x2 2的图象的开口的图象的开口 ，对称，对称轴是轴是 ，顶点是，顶点是 ；在；在对称轴的左侧，对称轴的左侧，y y随随x x的增大而的增大而 ，在
6、，在对称轴的右侧，对称轴的右侧，y y随随x x的增大而的增大而 ；3 3、函数、函数y=-3xy=-3x2 2的图象的开口的图象的开口 ，对称轴，对称轴是是 ，顶点是，顶点是 ；在对；在对称轴的左侧，称轴的左侧，y y随随x x的增大而的增大而 ，在对称，在对称轴的右侧，轴的右侧，y y随随x x的增大而的增大而 ；例例2.2.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中,画出二次函数画出二次函数y=xy=x2 2+1+1和和y=xy=x2 2 的的图像图像解解:先列表先列表然后描点画图然后描点画图,得到得到y=xy=x2 21,y=x1,y=x2 2的图像的图像.x.-2-1012y=x24101
7、4y=x2+1 5 2 1 2 5x.-2-1012y=x241014y=x2+1 8642-2-4y-10-5510 xOy=x2y=x2+15 2 1 2 5函数函数y=xy=x2 2+1+1的图象与的图象与y=xy=x2 2的的图象的位置有什么关系图象的位置有什么关系?函数函数y=x2+1的图的图象可由象可由y=x2的图的图象沿象沿y轴向轴向上上平移平移1个单位长度得到个单位长度得到.函数函数y=xy=x2 2+1+1的图象的图象与与y=xy=x2 2的图象的形的图象的形状相同吗状相同吗?相同相同1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5(1)(1)抛物线抛物线y
8、=xy=x2 2+1,y=x+1,y=x2 2的开口方向、的开口方向、对称轴、顶点各是什么对称轴、顶点各是什么?(2)(2)抛物线抛物线y=xy=x2 2+1+1 与抛物线与抛物线y=xy=x2 2有什么有什么关系关系?抛物线抛物线y=xy=x2 2+1:+1:开口向上开口向上,顶点为顶点为(0,1).(0,1).对称轴是对称轴是y y轴轴,抛物线抛物线y=xy=x2 2:开口向上开口向上,顶点为顶点为(0,(0,0 0).).对称轴是对称轴是y y轴轴,y=xy=x2 2+1+1y=xy=x2 2例例2.2.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中,画出二次函数画出二次函数y=xy=x2 2-2
9、-2和和y=xy=x2 2 的图像的图像解解:先列表先列表x x-3-3-2 -2 -1-10 01 12 23 3y=xy=x2 2-2-2y=xy=x2 27 72 2-1-1-2-2-1-12 27 79 94 41 10 01 14 49 9然后描点画图然后描点画图,得到得到y=xy=x2 2-2,y=x-2,y=x2 2的图像的图像.8642-2-4y-10-5510 xOx.-2-1012y=x241014y=x2-2y=x2y=x2-22 -1 -2 -1 2函数函数y=x2-2的图象的图象可由可由y=x2的图象的图象沿沿y轴向轴向下下平移平移2个单位长度得到个单位长度得到.函数
10、函数y=xy=x2 2-2-2的图象与的图象与y=xy=x2 2的图象的位置有什的图象的位置有什么关系么关系?函数函数y=xy=x2 2-2-2的图的图象与象与y=xy=x2 2的图象的的图象的形状相同吗形状相同吗?相同相同(1)(1)抛物线抛物线y=xy=x2 2-2,y=x-2,y=x2 2的开口方向、的开口方向、对称轴、顶点各是什么对称轴、顶点各是什么?(2)(2)抛物线抛物线y=xy=x2 2-2-2 与抛物线与抛物线y=xy=x2 2有什么有什么关系关系?抛物线抛物线y=xy=x2 2-2:-2:开口向上开口向上,顶点为顶点为(0,-2).(0,-2).对称轴是对称轴是y y轴轴,抛
11、物线抛物线y=xy=x2 2:开口向上开口向上,顶点为顶点为(0,(0,0 0).).对称轴是对称轴是y y轴轴,例例3.3.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中,画出二次函画出二次函数数y=-xy=-x2 2 和和y=-xy=-x2 2+3+3，y=-x y=-x2 2-2-2的图像的图像42-2-4-6-8y-10-5510 xOy=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数函数y=-x2-2的图的图象可由象可由y=-x2的图的图象沿象沿y轴向轴向下下平移平移2个单位长度得到个单位长度得到.函数函数y=-x2+3的图的图象可由象可由y=-x2的图的图象沿象沿y轴向轴向上上平移平移3个单位长度得
12、到个单位长度得到.图象向上移还是向下移图象向上移还是向下移,移多少个移多少个单位长度单位长度,有什么规律吗有什么规律吗?y=ax2+k(a0)a0a0开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值向上向上向下向下(0,k)(0,k)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。的增大而增大。当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。x=0时,y最小=kx=0时,y最大=k抛物线y=ax2+k(a0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.函数函数y=axy=ax2 2(a0)(a0)和函数和函数y=axy=ax2 2+k(a0)+k(a0)的图象形状的图
13、象形状 ，只是位置不同；，只是位置不同；当当k0k0时，函数时，函数y=axy=ax2 2+k+k的图象可由的图象可由y=axy=ax2 2的图象向的图象向 平移平移 个单位得个单位得到，当到，当k0k0,开口都向上开口都向上.w想一想想一想,在同一坐标系中作二次函数在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的图象的图象,会在什么位置会在什么位置?23xy 213xy在对称轴在对称轴(直线直线:x=1)左侧左侧(即即x1时时),函数函数y=3(x-1)2的值随的值随x的增大而增大的增大而增大,.w想一想想一想,在同一坐标系中作出二次函数在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+
14、1)y=3(x+1)2 2的图象的图象,它的增减性会是什么样它的增减性会是什么样?真知 从实践走来?1.1.在上面的坐标系中作出二次函数在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象的图象.它它与二次函数与二次函数y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的图象有什么关系？它是的图象有什么关系？它是轴对称图形吗轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么它的对称轴和顶点坐标分别是什么?2.x取哪些值时取哪些值时,函数函数y=3(x+1)2的值随的值随x值的增值的增大而增大大而增大?x取哪些值时取哪些值时,函数函数y=3(x+1)2的值随的值随x的增大而减少？的增大而
15、减少？w在同一坐标系中作出二次函数在同一坐标系中作出二次函数y=3xy=3x2 2,y=3(x-1),y=3(x-1)2 2和和y=3(x+1)2的图象的图象 w完成下表完成下表,并比较并比较3x3x2 2,3(x-1),3(x-1)2 2和和3(x+1)2的值的值,它们之间有什么关系它们之间有什么关系?x-4-3-2-10123423xy213 xy213 xy2712303122727123031227 27123031227 27 12 30312 27 图象是轴对称图形图象是轴对称图形.对称轴是平行于对称轴是平行于y轴的直线轴的直线:x=-1.顶点坐标顶点坐标是点是点(-1,0).二次
16、函数二次函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2与与y=3x2的图象形状的图象形状相同相同,可以看作是抛可以看作是抛物线物线y=3x2整体沿整体沿x轴轴向左平移了向左平移了1 个单位个单位.w1.1.函数函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的图象的图象与与y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的图的图象有什么关系象有什么关系?它是轴对称它是轴对称图形吗图形吗?它的对称轴和顶点它的对称轴和顶点坐标分别是什么坐标分别是什么?二次项系数相同二次项系数相同a0,开口都向上开口都向上.w想一想想一想,二次函数二次函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的图象的增减性会
17、怎样的图象的增减性会怎样?23xy213 xy213xy2.抛物线抛物线y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2和和y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2在在x轴轴的下方的下方(除顶点外除顶点外),它的开口向下它的开口向下,并且并且向下无限伸展向下无限伸展.23xy 213 xy213 xyy3.抛物线抛物线y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2在对称在对称轴轴(x=1)的左侧的左侧,当当x1时时,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.当当x=1时时,函数函数y的值最大的值最大(是是0);抛物线抛物线y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2在对称轴在对称轴(x=-1)的左侧的左侧,
18、当当x-1时时,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.当当x=-1时时,函函数数y的值最大的值最大(是是0).二次函数函数y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2,y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2和和y=-3xy=-3x2 2的图象的图象4.抛物线抛物线y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2可以看作是可以看作是抛物线抛物线y=-3xy=-3x2 2沿沿x轴向右平移了轴向右平移了1个单位个单位;抛物线抛物线y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2可以看可以看作是抛物线作是抛物线y=-3xy=-3x2 2沿沿x轴向左平移轴向左平移了了1个单位个单位.X=-1X=11.抛物线抛物线
19、y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2的顶点是的顶点是(1,0);对称对称轴是直线轴是直线:x=1;抛物抛物线线y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2的顶的顶点是点是(-1,0);对称轴是对称轴是直线直线:x=-1.1.抛物线抛物线y=a(x-y=a(x-h)h)2 2的顶点是的顶点是(h,0),对称轴是平行于对称轴是平行于y轴的直线轴的直线x=h.3.当当a0时时,在对称轴在对称轴(x=h)的左侧的左侧,y随着随着x的的增大而减小增大而减小;在对称轴在对称轴(x=h)右侧右侧,y随着随着x的增的增大而增大大而增大;当当x=h时函数时函数y的值最小的值最小(是是0).当当a0时时,抛抛
20、物线物线y=a(x-h)2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它它的开口向上的开口向上,并并且向上无限伸且向上无限伸展展;当当a0时时,向右移向右移 个单个单位位;当当h0)y=a(x-h)2(a0,向上向上X=0(0,0)当当x=0时时,y有最小值有最小值0 x0时时,y随随x的增大而的增大而增大增大a0,向下向下X=0(0,0)当当x=0时时,y有最大值有最大值0 x0时时,y随随x的增大而的增大而减小减小.y=ax+ka0,向上向上X=0(0,k)当当x=0时时,y有最小值有最小值kx0时时,y随随x的增大而的增大而增大增大a0,向下向下X=0(0,k)当当x=0时时,y有最大值
21、有最大值kx0时时,y随随x的增大而的增大而减小减小.a0,向上向上X=h(h,0)当当x=h时时,y有最小值有最小值0 x0时时,y随随x的增大而的增大而增大增大a0,向下向下X=h(h,0)当当x=h时时,y有最大值有最大值0 xh时时,y随随x的增大而的增大而减小减小.2.说出说出（1）抛物线）抛物线；式 形 +向上 -向下 式 形 +向左 -向右（2）二次函数二次函数与抛物线与抛物线如何由如何由抛物线抛物线 平移而来平移而来当当k0时，将抛物线时，将抛物线y=ax向上平移向上平移k个单位个单位,当当k0时，将抛物线时，将抛物线y=ax向右平移向右平移h个单位个单位,当当h0a0|a|越
22、大开口越小，反之开口越大越大开口越小，反之开口越大.返回向上向上向下向下x=h(h,k)x=h时时,有最小有最小值值y=kx=h时时,有最大有最大值值y=kxh时时,y随随x的增大而增大的增大而增大.xh时时,y随随x的增大而减小的增大而减小.x=h(h,k)1.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xy5y=2(x-1)2+1y=2x2+1y=2x2返回X=1练习练习1:指出下面函数的开口方向，对称指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。轴，顶点坐标，最值。1)y=2(x+3)2+5 2)y=4(x-3)2+7 3)y=-3(x-1)2-2 4)y=-5(x+2)2-6 练习
23、练习2:对称轴是直线对称轴是直线x=-2的抛物线是的抛物线是()A y=-2x2-2 B y=2x2-2 C y=-2(x+2)2-2 D y=-5(x-2)2-6C1)若抛物线若抛物线y=-x2向左平移向左平移2个单位个单位,再向下平再向下平移移4个单位所得抛物线的解析式是个单位所得抛物线的解析式是（）2)如何将抛物线如何将抛物线y=2(x-1)2+3经过平移得到抛经过平移得到抛物线物线y=2x24)2(2xy向右平移向右平移1个单位，向上平移个单位，向上平移3个单位个单位向左平移向左平移1个单位，向下平移个单位，向下平移3个单位个单位3）抛物线的顶点为抛物线的顶点为(3,5)此抛物线的此抛物线的解析式可设为解析式可设为()Ay=a(x+3)2+5 By=a(x-3)2+5Cy=a(x-3)2-5 Dy=a(x+3)2-5B 教科书教科书12页例页例3巳知函数巳知函数y=-1/2x、y=-1/2(x+1)、y=-1/2(x+1)-1的图像的图像(1)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=-1/2x 得到得到抛物线抛物线y=-1/2(x+1)和和 y=-1/2(x+1)-1
