1、第第3讲讲 函数的表示方法函数的表示方法 江苏省通州高级中学江苏省通州高级中学主要内容主要内容一、聚焦重点一、聚焦重点二、廓清疑点二、廓清疑点函数定义域的确定函数定义域的确定.求作函数的图象求作函数的图象.三、破解难点三、破解难点利用函数解析式解决实际问题利用函数解析式解决实际问题.函数解析式的求法函数解析式的求法.基础知识基础知识 函数的三种表示方法函数的三种表示方法:(1)解析法解析法用等式来表示两个变量之间的用等式来表示两个变量之间的 函数关系函数关系.(2)列表法列表法用列表来表示两个变量之间的用列表来表示两个变量之间的 函数关系函数关系.(3)图象法图象法用图象来表示两个变量之间的用
2、图象来表示两个变量之间的 函数关系函数关系.基础知识基础知识 函数的三种表示方法的优点函数的三种表示方法的优点:函数关系清楚，容易从自变量的函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值；根据解析式便于值求出其对应的函数值；根据解析式便于研究函数的性质研究函数的性质(1)解析法解析法(2)列表法列表法 不通过计算就知道自变量取某些不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值值时函数的对应值 (3)图象法图象法直观形象地反映函数的变化直观形象地反映函数的变化.聚焦重点：聚焦重点：函数解析式的求法函数解析式的求法问题研究问题研究求函数解析式通常有哪些方法？求函数解析式通常有哪些方法？典型例题典型
3、例题1例例1 分别根据下列条件，求函数分别根据下列条件，求函数f(x)的解析式：的解析式：思路分析思路分析思路思路2 通过整体换元来处理通过整体换元来处理.思路思路1 设法将等式右边配凑为关于设法将等式右边配凑为关于 的形式的形式.1x 1(1)2().fxxxf x例例已已知知，求求求解过程求解过程221(1)(1)1()1.fxxf xx解解法法 由由已已知知，得得，21 1()1(1).xf xxx，222221,1,(1),()(1)2(1)1.1()1(1).xtx txtf tttttf xxx解解法法令令=，1(1)2().fxxxf x例例已已知知，求求回顾反思回顾反思（1）基
4、本策略：）基本策略：配凑、换元配凑、换元.（2）数学思想：）数学思想：整体代换整体代换.（3）思维误区：）思维误区：忽视函数的定义域忽视函数的定义域.例例1 f(x)是一次函数，且是一次函数，且ff(x)9x8，求求f(x).思路分析思路分析分析分析 设出一次函数设出一次函数f(x)的一般形式，代入已知的一般形式，代入已知等式，再根据多项式恒等的条件确定有关系数等式，再根据多项式恒等的条件确定有关系数.求解过程求解过程解解 设设f(x)axb(a0)，则，则 222.983,3,92;4.8.ffxafxba axbba xabba xabbxaaabbabb 由由，得得，或或f(x)3x2，
5、或，或f(x)3x4.例例1 f(x)是一次函数，且是一次函数，且ff(x)9x8，求求f(x).回顾反思回顾反思（1）基本策略：）基本策略：待定系数法待定系数法.（2）适用题型：）适用题型：已知函数类型，确定函数解析式已知函数类型，确定函数解析式.（3）解题关键：）解题关键：根据多项式恒等条件，建立系数根据多项式恒等条件，建立系数 满足的等量关系，联立求解满足的等量关系，联立求解.思路分析思路分析分析分析 已知等式中既含有已知等式中既含有f(x)又含有又含有f(x),能否设法将能否设法将f(x)消去？消去？以以x代代x！能否由已知等式得到关于能否由已知等式得到关于f(x)和和f(x)的又一个
6、关系？的又一个关系？例例1 已知已知 3f(x)2 f(x)2x5，求，求 f(x).求解过程求解过程解解 由已知由已知 3f(x)2 f(x)2x5 以以x代代x，得，得 3f(x)2 f(x)2x 5 3 2，解得，解得 f(x)2x1.例例1 已知已知 3f(x)2 f(x)2x5，求，求 f(x).回顾反思回顾反思（1）基本策略：）基本策略：解方程组，实施解方程组，实施消元消元.（2）数学思想：）数学思想：函数与方程思想函数与方程思想.（3）思维障碍：）思维障碍：无法找到另一个方程，思维受阻无法找到另一个方程，思维受阻.例例1 已知已知f(0)1，且对任意，且对任意x，yR，有，有 f
7、(xy)f(x)y(2xy1)，求，求f(x).思路分析思路分析思路思路1 令令y=0，得到，得到f(x)f(x).此路不通！此路不通！思路思路2 令令x=0，得到，得到f(y)f(0)y(y1)y2y1，则，则f(y)y2y1，即，即 f(x)x2x1.方法可行！方法可行！思路思路3 令令y=x，得到，得到f(0)f(x)x(2xx1)则则f(x)x2x1.更加简洁！更加简洁！赋值法！赋值法！回顾反思回顾反思基本方法：基本方法：配凑法，换元法，方程法，赋值法，配凑法，换元法，方程法，赋值法，待定系数法待定系数法.数学思想：数学思想：整体换元思想，函数与方程思想整体换元思想，函数与方程思想.思
8、维盲点：思维盲点：忽视由中间变量的取值范围确定函忽视由中间变量的取值范围确定函 数的定义域数的定义域.思维策略：思维策略：根据问题特点，灵活选择方法根据问题特点，灵活选择方法.求函数解析式方法小结：求函数解析式方法小结：廓清疑点：廓清疑点：函数定义域的确定函数定义域的确定典型例题典型例题222112()()f xfxxxxf x例例已已知知函函数数满满足足：，求求函函数数的的解解析析式式.思路分析思路分析22112()()f xfxxxxf x例例已已知知函函数数满满足足：，求求函函数数的的解解析析式式.方法可行，运算繁琐！方法可行，运算繁琐！1()(),()1txxtxxf tf x令令，从
9、从中中解解出出用用 表表示示，再再代代入入等等式式右右边边求求出出进进而而得得到到思思路路；思路思路2 等式右边配方，实施整体代换等式右边配方，实施整体代换.整体处理，更加快速！整体处理，更加快速！求解过程求解过程22112()()f xfxxxxf x例例已已知知函函数数满满足足：，求求函函数数的的解解析析式式.22112()2.fxxxxf xx解解配配方方，得得-，-思考思考1 解题是否就此结束？解题是否就此结束？定义域！定义域！思考思考2 函数定义域是函数定义域是xRx0，对吗？，对吗？错！错！求解过程求解过程 224022.()222.xtttf xxx 根根据据关关于于 的的方方程
10、程有有实实数数解解的的条条件件，得得，解解得得 或或-，2110.txxtxx解解令令，则则回顾反思回顾反思2.在本例中，求函数的定义域，实质就是确定中在本例中，求函数的定义域，实质就是确定中 间变量的值域，间变量的值域，“判别式法判别式法”是求函数值域的是求函数值域的重重 要方法之一要方法之一.3.要准确理解不同表达式中同一字母的不同含要准确理解不同表达式中同一字母的不同含 义，防止应理解错误而误求定义域义，防止应理解错误而误求定义域.1.定义域和对应法则是函数的两个本质要素，对定义域和对应法则是函数的两个本质要素，对 应法则相同而定义域不同，函数关系也不同，应法则相同而定义域不同，函数关系
11、也不同，因此，求函数的解析式，必须确定其定义域因此，求函数的解析式，必须确定其定义域.廓清疑点：廓清疑点：求作函数的图象求作函数的图象基础知识基础知识1.函数图象函数图象是函数关系的直观表示是函数关系的直观表示.函数函数y=f(x)图象就是点集图象就是点集(x，y)y=f(x)，xA所所 对应的几何图形对应的几何图形.2.作函数图象作函数图象通常有以下两种方法通常有以下两种方法:描点法：列表描点法：列表描点描点连线连线.变换法：利用已知函数（如：一次函数、二变换法：利用已知函数（如：一次函数、二 次函数、反比例函数等）的图象，通过平移、次函数、反比例函数等）的图象，通过平移、对称、伸缩等变换手
12、段，得到所作函数的图象对称、伸缩等变换手段，得到所作函数的图象.基础知识基础知识3.有些函数，在定义域的不同部分上，有着不有些函数，在定义域的不同部分上，有着不同的解析表达式同的解析表达式.有些函数，虽在定义域上有些函数，虽在定义域上具有统一的解析表达式，但函数关系隐晦，具有统一的解析表达式，但函数关系隐晦，为便于理解，常通过分类讨论转化为几个不为便于理解，常通过分类讨论转化为几个不同的部分来表示同的部分来表示.象这样的函数通常叫做象这样的函数通常叫做分分段函数段函数.需要注意的是，分段函数是一个函需要注意的是，分段函数是一个函数，而不是几个函数数，而不是几个函数.问题研究问题研究如何求作函数
13、的图象？又应注意哪些问题呢？如何求作函数的图象？又应注意哪些问题呢？典型例题典型例题3例例3 作出下列函数的图象：作出下列函数的图象：0211(1)(2)12(3)23.xyxxyxxyxx ；思路分析思路分析例例3 作出下列函数的图象：作出下列函数的图象：011(1).xyxx 思路思路1 通过取一些特殊点，采用描点法通过取一些特殊点，采用描点法.关注定义域！关注定义域！思路思路2 化为熟悉的函数，再作出图象化为熟悉的函数，再作出图象.化简函数式！化简函数式！0,0,1.10.01.2101.xxxxxx xxyxxxxx 解解由由即即函函数数定定义义域域为为且且且且O111yx求解过程求解
14、过程 011(1).xyxx 例例3 画出下列函数的图象：画出下列函数的图象：回顾反思回顾反思（1）求解步骤：）求解步骤：确定函数的定义域；确定函数的定义域；化简函数的解析式；化简函数的解析式；作出函数的图象作出函数的图象.（2）思维误区：）思维误区：不会化简，无从下手；不会化简，无从下手；范围有误，图象失真；范围有误，图象失真；忽视细节，作图粗糙忽视细节，作图粗糙.O111yx思路分析思路分析例例3 画出下列函数的图象：画出下列函数的图象：分析分析 求定义域：求定义域：去绝对值号！去绝对值号！化简函数式：化简函数式：(2)12.yxxR.分为以下三种情况进行讨论：分为以下三种情况进行讨论：x
15、2；2x1；x1.xyO求解过程求解过程例例3 画出下列函数的图象：画出下列函数的图象：(2)12.yxx3,2,1221,21,3,1.xyxxxxx 解解 2331回顾反思回顾反思（2）思想方法：）思想方法：分类讨论思想分类讨论思想.（1）解决策略：）解决策略：通过讨论，化为分段函数通过讨论，化为分段函数.（3）思维瑕点：）思维瑕点：在段与段的在段与段的“接头接头”处处理处处理粗粗 糙，该连不连，当断不断糙，该连不连，当断不断.不善于抓住一些特征点，未不善于抓住一些特征点，未 能使所作图象精细化能使所作图象精细化.2(3)23.yxx思路分析思路分析例例3 画出下列函数的图象：画出下列函数
16、的图象：思路思路1 通过分类讨论，化为分段函数通过分类讨论，化为分段函数.思路思路2 探究函数探究函数y=f(x)的图象与函数的图象与函数 y=f(x)的图象关系，利用图象变换法完成作图的图象关系，利用图象变换法完成作图.结论结论 函数函数y=f(x)在在x轴上方的图象不变，并将轴上方的图象不变，并将 其在其在 x 轴下方的图象向上翻折，即得所轴下方的图象向上翻折，即得所 作函数作函数y=f(x)的图象的图象.解解 作函数作函数y=x22x3=(x1)24的图象的图象.将函数将函数y=(x1)24在在x轴下方的图象沿轴下方的图象沿x轴轴向上翻折，即得到函数向上翻折，即得到函数 的图象的图象.2
17、23yxx解题过程解题过程xyOx=143134例例3 画出下列函数的图象：画出下列函数的图象：回顾反思回顾反思友情提醒：友情提醒：1.要熟练掌握一些常见函数的图象，如一次函要熟练掌握一些常见函数的图象，如一次函 数、反比例函数、二次函数等数、反比例函数、二次函数等2.作图前，应首先确定函数的定义域，以保证作图前，应首先确定函数的定义域，以保证 图象准确定位在对函数式进行变形过程中图象准确定位在对函数式进行变形过程中,要时刻关注定义域的变化，分清实线与虚线要时刻关注定义域的变化，分清实线与虚线,空心点和实心点空心点和实心点回顾反思回顾反思友情提醒友情提醒3.画图时要尽可能地作出能反映函数性质的
18、一画图时要尽可能地作出能反映函数性质的一 些特征点和特征线，如图象与坐标轴的交点些特征点和特征线，如图象与坐标轴的交点,双曲线的渐近线，抛物线的顶点、对称轴等双曲线的渐近线，抛物线的顶点、对称轴等,以确保所作图象尽可能地准确以确保所作图象尽可能地准确4.分段函数的图象，各部分有些分段函数的图象，各部分有些“相连相连”，有些，有些 “断裂断裂”，判断方法是：计算分界点处对应，判断方法是：计算分界点处对应函函 数值是否相等，相等则数值是否相等，相等则“连连”，不等则，不等则“断断”变式探究变式探究12_1_.yxx函函数数的的值值域域是是探探究究xyO2331 3 3 ，思路思路1 化为分段函数，
19、分别求出各分段区间上化为分段函数，分别求出各分段区间上 函数的取值范围，再求并集函数的取值范围，再求并集.思路自然，普遍适用思路自然，普遍适用 思路思路2 作出图象，观察结果作出图象，观察结果.借助图象，一目了然借助图象，一目了然 变式探究变式探究xyOx=11342322axxa已已探探究究知知实实数数 是是常常数数，则则方方程程的的解解有有几几个个？004204443aaaaa 答答 当当时时，无无解解；当当或或时时，解解；当当时时，解解；当当时时，解解.思路思路1 分别各种情况逐一讨论分别各种情况逐一讨论.思路思路2 作出图象，观察结果作出图象，观察结果.纷繁复杂，过程冗长纷繁复杂，过程
20、冗长数形结合，一看到底数形结合，一看到底回顾反思回顾反思方法归纳：方法归纳：1.图象法是研究函数性质的重要手段，如求函图象法是研究函数性质的重要手段，如求函 数值域等数值域等.随着学习的深入，函数图象的作随着学习的深入，函数图象的作 用将更加凸显用将更加凸显.2.方程方程f(x)=a的解的个数，等价于直线的解的个数，等价于直线y=a与函与函 数数 f(x)图象的交点个数，充分体现了数形结图象的交点个数，充分体现了数形结 合的数学思想合的数学思想破解难点：破解难点：利用函数解析式解决实际问题利用函数解析式解决实际问题例例4 某商场经营一批进价是每件某商场经营一批进价是每件30元的商品，在元的商品
21、，在市场试销中发现，此商品的销售价市场试销中发现，此商品的销售价 x(元元)与日销与日销售量售量 y(件件)之间有如下关系：之间有如下关系：根据表中信息，确定根据表中信息，确定y与与x的一个函数关系式；的一个函数关系式；设经营此商品的日销售利润为设经营此商品的日销售利润为 P 元，问：当销元，问：当销 售单价为多少元时，可获得最大日销售利润？售单价为多少元时，可获得最大日销售利润？典型例题典型例题4x3034404550y604830150步骤步骤1 在直角坐标系中在直角坐标系中描出数对描出数对(x，y)对应点对应点.10 xy20 30 40 50 60605040302010O例例4根据表
22、中信息，确定根据表中信息，确定y与与x的一个函数关系式；的一个函数关系式；思路分析思路分析x3034404550y604830150步骤步骤2 猜想猜想y关于关于x是是一次函数模型一次函数模型.步骤步骤3 检验猜想检验猜想.思路分析思路分析解解 设设yaxb，将，将(30,60)，(50,0)代入，得代入，得 30ab60,a3,50ab0.b150.y 3x150(30 x50).例例4根据表中信息，确定根据表中信息，确定y与与x的一个函数关系式；的一个函数关系式；x3034404550y604830150经检验，其他三点的坐标也满足上述关系经检验，其他三点的坐标也满足上述关系.例例4 设经
23、营此商品的日销售利润为设经营此商品的日销售利润为 P 元，问元，问:当销售单价为多少元时，可获最大日销售利润？当销售单价为多少元时，可获最大日销售利润？典型例题典型例题4日销售利润日销售利润 分析分析日销售量日销售量每件商品的利润每件商品的利润y3x150解解 P(3x150)(x 30)(x 40)2 300(30 x50)，x 30当当x40时，时，Pmax300.答：当销售单价为答：当销售单价为40元时，可获最大日销售利润元时，可获最大日销售利润.解决实际问题的一般流程：解决实际问题的一般流程：回顾反思回顾反思建模过程：建模过程：函数三种表示法的转化函数三种表示法的转化回答实际问题回答实
24、际问题实际应用问题实际应用问题解决数学问题解决数学问题建立数学模型建立数学模型表表 格格描描 点点 拟拟 合合列表法列表法图象法图象法解析法解析法总结提炼总结提炼知知 识：识：函数的表示法：列表法，图象法，解析法函数的表示法：列表法，图象法，解析法.1.确定函数解析式的方法：确定函数解析式的方法：配凑法、换元法、方程法、赋值法、配凑法、换元法、方程法、赋值法、待定系数法待定系数法.2.求作函数图象的方法：求作函数图象的方法：求定义域、化简函数式、作出图象求定义域、化简函数式、作出图象.方方 法：法：总结提炼总结提炼1.函数方程思想：如构造方程组求解析式，函数方程思想：如构造方程组求解析式，利用
25、函数图象研究方程解的个数利用函数图象研究方程解的个数.2.整体换元思想：如换元法求函数解析式整体换元思想：如换元法求函数解析式.3.分类讨论思想：如去绝对值号化简函数解分类讨论思想：如去绝对值号化简函数解 析式，含参数方程解的个数的讨论析式，含参数方程解的个数的讨论.4.数形结合思想：如由图象拟合函数，将方数形结合思想：如由图象拟合函数，将方 程解的问题转化为函数图象的交点问题程解的问题转化为函数图象的交点问题.数学思想：数学思想：再再 见见同步练习同步练习221.()1()11()12()().f xxfxxf xxxxf xfxx 根根据据下下列列条条件件求求函函数数的的解解析析式式：；2
26、.R2ax xa已已知知常常数数，试试讨讨论论方方程程=的的解解的的个个数数.同步练习同步练习3.某工厂产品的次品率某工厂产品的次品率p与日产量与日产量x（件）的关（件）的关 系如下表所示系如下表所示(xN，1x98)：试写出次品率试写出次品率p关于日产量关于日产量x的函数关系；的函数关系；若每生产一件正品盈利若每生产一件正品盈利300元，每生产一元，每生产一 件次品损失件次品损失100元，将该厂日盈利额元，将该厂日盈利额M （百元）表示成日产量（百元）表示成日产量x的函数的函数 x 1 2 3 4 98 p 1299297参考答案参考答案2211.()()2121().3f xf xxxxf xx ；23.(N,198)10083(N,198).100pxxxMx xxx ；
