1、1阵的输出也可按同样方式分为阵的输出也可按同样方式分为:()()()()Tdins tW Xs ts ts t(2.201)因此因此,阵输出端的需要信号功率阵输出端的需要信号功率,干扰功率和热噪音干扰功率和热噪音功率分别为功率分别为:222111(),(),()222ddiinnPE s tPE s tPE s t(2.202)-(2.204)定义阵输出端的总的不需要功率定义阵输出端的总的不需要功率 为为:uPuinPPP(2.205)采用最佳准则来调整加权采用最佳准则来调整加权,以使下面的量最大以使下面的量最大:dduinPPSINRPPP(2.206)首先假设阵接收的需要信号是首先假设阵接
2、收的需要信号是“窄带窄带”的的,则需要信则需要信号矢量可写为号矢量可写为:ddXaU(2.207)2()exp()ddddaA tjtt其中其中 a 表征需要信号的幅度和时间依赖关系的比例因表征需要信号的幅度和时间依赖关系的比例因子子.而矢量而矢量 则包含阵元间的相移和阵元方向图则包含阵元间的相移和阵元方向图.dU式中式中,为幅度调制为幅度调制,为相位调制为相位调制.()dA t()dt(2.212)122()()exp().()exp()ddddNddNffjUfj(2.213)而而 为空间相位差因子为空间相位差因子.若第若第i个阵元方向图为个阵元方向图为 ,则则:dU()if式中式中 为阵
3、元为阵元1与阵元与阵元i 之间的相位移之间的相位移.di为了在矢量为了在矢量 中分离出阵元间的相移中分离出阵元间的相移 ,窄带的假设是必要窄带的假设是必要的的.对一个到达的信号对一个到达的信号,两阵元间的相对相移为频率的函数两阵元间的相对相移为频率的函数.若若需要信号是宽带的需要信号是宽带的,则对该宽带内的不同频率则对该宽带内的不同频率,阵元间的相移阵元间的相移将不同将不同.窄带假设意味着在整个带宽内窄带假设意味着在整个带宽内 实质上为常数实质上为常数.dUdidi3阵输出的需要信号为阵输出的需要信号为:()TTddds tW XaW U(2.214)因此因此,输出的需要信号功率为输出的需要信
4、号功率为:22211()22TdddPE s tE aW U(2.215)现在来看不需要的输出信号功率现在来看不需要的输出信号功率 .假设信号矢量假设信号矢量 和和 是统计独立的零均值随机过程是统计独立的零均值随机过程,则则:uP,diXXnX*()()()()TTTTddiinnE X XE XXE X XE XX din注意注意 可以写为可以写为:du(2.216)(2.217)而式中而式中:uin(2.218)对于给定的加权矢量对于给定的加权矢量 ,阵输出端的不需要信号阵输出端的不需要信号 为为:()us t()()()()()TTuininins ts ts tWXXXXW(2.219
5、)W4因此因此,不需要的输出功率为不需要的输出功率为:2*11()()()22TTTuinininPE WXXE WXXXXW(2.220)*1()()2TTiinnWE X XE XXW1()2inWW12uWW因而因而,阿普尔鲍姆阵阿普尔鲍姆阵要寻求最大的量为要寻求最大的量为:22221212TTddduuuE aW UW UPSINRE aPWWWW(2.221)-Applebaum 准则准则52.2.2 最佳加权矢量最佳加权矢量研究阿普尔鲍姆阵的第一步就是研究阿普尔鲍姆阵的第一步就是要证明式要证明式(2.221)的比值的比值最大的加权矢量为最大的加权矢量为:1*udWU(2.222)式
6、中式中 为任意比例常数为任意比例常数.证明证明:首先对加权矢量进行坐标首先对加权矢量进行坐标旋转旋转,令令:WAV(2.223)因为因为 ,故可以故可以得到得到:()AVV A12uuPV AAV(2.224)选择选择A使得使得 ,uAAI可以可以得到得到:1()uAA又又因为因为 ,代入式代入式(2.224)中中:*()()TuininE XXXX式式中中A为为 矩阵矩阵,为元素是为元素是 的的 列矢量列矢量.NN1N ivV(2.230)6*1()()2TuininPV A E XXXXAV*1()()2TTTTTininE V AXXV AXX*1()()2TTTininE VYYVYY
7、(2.231)式式中中,TTiinnYA X YA X因此因此,变换变换 可以视为将可以视为将实际接收的信号实际接收的信号 和和 变变换成新信号换成新信号 和和 .如图如图2.27所示所示.TAiXnXiYnY图图2.27 变换变换TA因而因而,阵的输出信号可用矢阵的输出信号可用矢量量 对对 和和 加权得到加权得到.变变换换 与加权矢量与加权矢量 结合等效结合等效于于 中原来的加权矢量中原来的加权矢量 ViYnYTAVWAVW7又因为又因为:*()()TuininAAE YYYYI(2.234)所以变换所以变换 使总的不需要信号矢量使总的不需要信号矢量 的各分量之间的各分量之间互不相关互不相关
8、.TAinYY经同样变换之后得到需要信号矢量为经同样变换之后得到需要信号矢量为:TTddddYA XaA UaZ(2.235)式中式中:TddZA U因此因此,阵的输出需要信号为阵的输出需要信号为:()TTddds tV YaV Z (2.237)而输出的需要信号功率为而输出的需要信号功率为:22211()22TdddPE s tE aV Z(2.238)因而可以得到因而可以得到:22TdduV ZPSINRE aPV V (2.239)(2.236)8现在将要证明当按下式选取现在将要证明当按下式选取 时时,式式(2.239)可以获得最大可以获得最大比值比值:*optdVVZ(2.240)式中
9、式中 为任意常数为任意常数.为此为此,利用许瓦兹不等式利用许瓦兹不等式:2222111NNNTdidiididdiiiV Zv zvzV VZ Z (2.241)式中式中 和和 分别为分别为 和和 的分量的分量.将不等式代入式将不等式代入式(2.239)得到得到:ivdizVdZ22ddddduPV VZ ZSINRE aE aZ ZPV V (2.242)然而然而,若若 ,则由式则由式(2.239)可得可得:*dVZ22222*()()dddddTuddPZ ZSINRE aE aZ ZPZ Z (2.243)所以所以,对于式对于式(2.240)所示的所示的 值值,SINR 能够达到最能够达
10、到最大容许值大容许值.VV9此时此时,变换变换 后采用的加权矢量后采用的加权矢量 等效于由下式给出等效于由下式给出的加权矢量的加权矢量:TAoptV*optoptdWWAVAZ(2.244)将将 代入式代入式 中中,并利用式并利用式 就可以得就可以得到到:TddZA U1()uAA*1*optdudWAA UU(2.245)这就是式这就是式(2.222)所要求的结果所要求的结果.dZ102.2.3 阿普尔鲍姆阵阿普尔鲍姆阵反馈环反馈环根据式根据式(2.222)所表示的最佳加权矢量所表示的最佳加权矢量,阿普尔鲍姆阵利阿普尔鲍姆阵利用如图用如图2.28所示的反馈环作为自适应环来产生阵的加所示的反馈
11、环作为自适应环来产生阵的加权矢量权矢量 .optW图图2.28 阿普尔鲍姆阵阿普尔鲍姆阵图中图中,G 为增益常为增益常数数,为低通滤波为低通滤波器的时间常数器的时间常数,而而s 表示频率表示频率.变量变量 为为 的第的第 j 个元素个元素.*dju*dU11为了证明图为了证明图2.28的环路能够产生正确的稳态阵加的环路能够产生正确的稳态阵加权权 ,需先确定对该环路的需先确定对该环路的 的微分方程的微分方程.如图如图2.28所示的那样所示的那样,令低通滤波器的输出用令低通滤波器的输出用 表示表示.则则 满足方程满足方程:optWjwjm*()()jjjdmmx t s tdt(2.246)因为因
12、为 与与 有下列关系有下列关系:jwjm*jdjjwGum(2.247)所以有所以有:/jdjjmuwG(2.248)1/jjwdmdtG dt(2.249)将上面两式代入式将上面两式代入式(2.246)中中,便得到关于便得到关于 的微分方程的微分方程:jw*()()jjdjidwwux t s tG dtG(2.250)将该微分方程写成矢量形式将该微分方程写成矢量形式:*()ddWWUX s tG dtG(2.251)jm12最后最后,代入代入 并进行整理得到并进行整理得到:()Ts tX W*1TddWIX XWUG dtG(2.252)假设加权矢量的响应速度比假设加权矢量的响应速度比 起
13、伏的速度低几个起伏的速度低几个数量级数量级,则有下列近似则有下列近似:*TX X*()TTX XE X X(2.253)所以加权的微分方程变为所以加权的微分方程变为:*1ddWIWUG dtG(2.254)因此因此,这个环所对应的稳态加权矢量为这个环所对应的稳态加权矢量为:1*1dWIUG(2.255)若环增益足够大若环增益足够大,上式可近似为上式可近似为:1*dWU(2.256)13注意到这个加权矢量涉及的是注意到这个加权矢量涉及的是 ,而不是式而不是式(2.222)中中的的 .这个差别是不重要的这个差别是不重要的,原因有以下两点原因有以下两点:.可以证明可以证明,与与 等效等效,二者只差一
14、个标量二者只差一个标量常数常数,所以两者将给出同样的所以两者将给出同样的SINR.1*dU.作为一个实际因素作为一个实际因素,阿普尔鲍姆阵的主要兴趣在于阿普尔鲍姆阵的主要兴趣在于脉冲雷达系统的应用脉冲雷达系统的应用.在脉冲雷达系统中在脉冲雷达系统中,需要信号存需要信号存在的时间只占总时间的很小的一部分在的时间只占总时间的很小的一部分,因而它对因而它对 的贡的贡献可以忽略献可以忽略.例如例如,若雷达的工作比为若雷达的工作比为0.001,则需要信号则需要信号脉冲的存在时间仅占总是的脉冲的存在时间仅占总是的0.1%.通常通常,阵的信号仅由阵的信号仅由干扰和噪音组成干扰和噪音组成.这时这时,.u11u
15、1*udU142.2.4 变型的变型的阿普尔鲍姆阿普尔鲍姆环环若在图若在图2.28的环路结构中作一点小的变动的环路结构中作一点小的变动,便可消去便可消去1/G项项.实际上实际上,若用图若用图2.29的环代替图的环代替图2.28的环的环,便有便有:图图2.29 阿普尔鲍姆环的另一种形式阿普尔鲍姆环的另一种形式15*()()idjjdwkux t s tdt(2.258)相应的矢量形式为相应的矢量形式为:*()ddWkUX s tdt(2.259)代入代入 ,并加以整理得到并加以整理得到:()Ts tX W*TddWkX X Wk Udt(2.260)或利用近似式或利用近似式 得到得到:*()TT
16、X XE X X*ddWk Wk Udt(2.261)此环产生的稳态加权矢量为此环产生的稳态加权矢量为:1*dWU(2.262)它并不需要它并不需要G 必须是足够大的限制条件必须是足够大的限制条件.162.2.5 操纵矢量操纵矢量假设在图假设在图2.29中所示的环路中用矢量中所示的环路中用矢量 代替代替 ,则则阵加权满足的微分方程为阵加权满足的微分方程为:*T*dU*dWk Wk Tdt(2.271)则稳态的加权矢量为则稳态的加权矢量为:1*WT(2.272)假设没有信号入射到阵上假设没有信号入射到阵上.信号信号 中仅含有热噪音中仅含有热噪音,上式中上式中 简化为简化为:()ix t2I(2.
17、273)此时此时,由式由式(2.272)所表示的稳态加权矢量为所表示的稳态加权矢量为:*2/WT(2.274)所以在没有信号到来时所以在没有信号到来时,加权矢量与加权矢量与 仅差一个标量因子仅差一个标量因子.当当没有信号入射到阵上时没有信号入射到阵上时,称阵处于静止状态称阵处于静止状态.此时此时,阵的方向图阵的方向图由由 决定决定,并将此方向图称为阵的静态方向图并将此方向图称为阵的静态方向图.显然显然,可以选择可以选择 来得到需要的阵的静态方向图来得到需要的阵的静态方向图.*T*T*T172.2.6 LMS阵和阵和阿普尔鲍姆阵的关系阿普尔鲍姆阵的关系LMS阵和阿普尔鲍姆阵的关系很简单阵和阿普尔鲍姆阵的关系很简单.阿普尔鲍姆阵阿普尔鲍姆阵的加权满足式的加权满足式(2.271):*dWk Wk Tdt(2.275)LMS阵的加权满足式阵的加权满足式(2.86):(2.276)若若 ,则两个阵的性能将完全一样则两个阵的性能将完全一样.由于由于 和和 只差一个标量因子只差一个标量因子,基于最小均方误差信号基于最小均方误差信号的的LMS阵的稳态加权同样也产生最大阵的稳态加权同样也产生最大SINR.*TS1*dUdWk WkSdt1*udU
