1、1 1 1电信工程学院电信工程学院电信工程学院 分数阶分数阶FROURIER变换变换2 2 2电信工程学院电信工程学院电信工程学院 本小组人员 张陆勇 张风山 朱雪田 张咏梅 王春光 邓天乐 孙华明3 3 3电信工程学院电信工程学院电信工程学院分数阶分数阶FROURIER变换变换目标：FRFT 的本质特征之一：旋转不变性FRFT 的本质特征之二：FRFT的内涵FRFT特别适用于LFM信号的分析与处理FFT为FRFT的一个特例4 4 4电信工程学院电信工程学院电信工程学院相关术语FRFT:Fractional Fourier Transform广义Fourier变换:Fractional Fou
2、rier TransformSTFT:Short-Time Fourier TransformMSTFT:Modified Short-Time Fourier Transform WD:Wigner DistributionLFM:线调频信号 5 5 5电信工程学院电信工程学院电信工程学院主要内容 1 问题的提出 2 FRFT的基本概念 3 FRFT的基本性质 4 一些常见信号的FRFT 5 FRFT的计算方法 6 FRFT的二维表示 7 FRFT的应用 8 FRFT域内的算子 9 我的想法 6 6 6电信工程学院电信工程学院电信工程学院一.问题的提出信号的时频滤波 时域滤波 频域滤波 时频
3、域滤波7 7 7电信工程学院电信工程学院电信工程学院一.问题的提出有用信号为 高斯信号e-(t-4)2干扰为 线性调频信号e-jt2.8 8 8电信工程学院电信工程学院电信工程学院一.问题的提出信号:高斯包络的线调频信号(LFM)干扰为加性实值白噪声.9 9 9电信工程学院电信工程学院电信工程学院一.问题的提出LFM信号可广泛应用于各种信息系统通信雷达声纳地质勘探101010电信工程学院电信工程学院电信工程学院二.FRFT的基本概念 传统Fourier变换的定义及性质两个函数g(t)与G(w)为Fourier变换对 G(w)=g(t)e-jwtdt/2 g(t)=G(w)ejwtdw/2 G(
4、w)=F(g(t)F2(g(t)=FF(g(t)=g(-t)F3(g(t)=G(-w)F4(g(t)=FF3(g(t)=g(t)111111电信工程学院电信工程学院电信工程学院二.FRFT的基本概念分数阶的分数阶的Fourier变换的定义变换的定义Fourier变换可以看成时域与频域的关系，在时频平面上为旋转/2,我们定义一个实数=p/2,其中p为任意实数，那么是否存在旋转角度为的Fourier变换？旋转角度不为/2的整数倍的情况下,存在什么样的变换呢?如果存在,则我们称之为分数阶的Fourier变换.它应具有的基本性质:1.零旋转 R0=I2.与Fourier变换等价 R/2=F3.旋转相加
5、性 RR=R+4.恒等变换 R2=I121212电信工程学院电信工程学院电信工程学院二.FRFT的基本概念核概念及性质设p为任意实数,我们定义广义Fourier变换:其中核函数为:=p/2dttxutKutxFuXppp)(),()()()12(),(2),(,2cot1),()cot21csccot21(22nutnutnejutKtutujp若若若131313电信工程学院电信工程学院电信工程学院二.FRFT的基本概念核函数具有以下性质:1.互换性2.3.4.积分相加性（完备性）5.正交性),(),(tuKutKpp),(),(*utKutKpp),(),(utKutKpp),(),(),(
6、utKdzuzKztKqpqp)(),(),(*uudtutKutKpp141414电信工程学院电信工程学院电信工程学院二.FRFT的基本概念广义Fourier变换的两个特例1.以传统的Fourier变换为例,我们可 以看出,传统的Fourier变换为广义 Fourier变换的一个特例,在广义 Fourier变换中,令p=1即为传统的 Fourier变换.此时广义Fourier变换的核函数即为传统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数x(t),p=0=0核函数为(t-u)3.传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例
7、4.核函数为p的连续函数151515电信工程学院电信工程学院电信工程学院二.FRFT的基本概念dtutKtxuxFuXppp),()()()()12(),(2),(,)(2cot1csccot21cot2122nxtxntxndteetxejjuttjuj若若若161616电信工程学院电信工程学院电信工程学院二.FRFT的基本概念 方波的几种分数阶Fourier变换.实线:实部虚线:虚部171717电信工程学院电信工程学院电信工程学院二.FRFT的基本概念图(a):三角函数rect(x/2)*rect(x/2)的幅值（实线）和p=0.5的FRFT的幅值 （虚线）图(b):图(a)的相位，三角函
8、数 （实线），FRFT（虚线）图(c):有限长正旋函数 e j2x rect(x/20)的实部图(d):图(c):有限长正旋函数的 FRFT(p=0.5)的实部图(e):线性调频函数e-j2x2的 实部图(f):图(e)的FRFT (p=2arctan(-2)/+1)181818电信工程学院电信工程学院电信工程学院二.FRFT的基本概念信号重构:可逆无损失的变换，仅仅改变信号的形式，并不改变信号的内容，因而信号通过正变换由一个域变换到另一个域，而通过反变换又回到原始域。有的信号重构不需要条件,有的信号重构有时需要一定的条件。比如，（1）FFT与IFFT(无条件）G(w)=g(t)e-jwtdt
9、/2 g(t)=G(w)ejwtdw/2191919电信工程学院电信工程学院电信工程学院二.FRFT的基本概念（2）STFT:ISTFT:条件：(3)FRFT:IFRFT:FRFT为无条件的.)()(),(2*dtetttzftSTFTftjz dtdfetugftSTFTupfujz2)(),()(1)()(*dttgtdttxutKutxFuXppp)(),()()()duutKuXtxpp),()()(202020电信工程学院电信工程学院电信工程学院二.FRFT的基本概念传统Fourier变换的性质1.线性 Fanf(t)=an Ff(t)2.卷积定理 Ff(t)*g(t)=Ff(t)F
10、g(t)3.时域相关性定理 Rf1f2=f1()f2*(t-)d FRf1f2=Ff1(t)F*f2(t)4.时移特性 Ff(t-t0)=Ff(t)e-jwt05.频移特性 Ff(t)ejwt0=F(w-w0)6.尺度变换特性 Ff(at)=F(w/a)/|a|7.Parseval关系|f(t)|2dt=|F(f)|2df8.时域微分特性 Fdf(t)/dt=jwF(w)9.频域微分特性 F(-jw)f(t)=dF(w)/dw212121电信工程学院电信工程学院电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质线性性质 Fpc1f(t)+c2g(t)=c1Fpf(t)+c2Fpg(t)FRFT
11、为线性变换,因而它满足叠加原理,这是一个非常好的性质,我们知道Wigner-Ville分布由于它仅满足二次叠加原理，它的时频分布存在自频率分布（信号项）和互频率分布（交叉项），许多文章都在怎么消除掉交叉项提出看法，FRFT的线性叠加原理保证了仅有信号项，没有交差项，所以用它实现滤波具有更好的效果。222222电信工程学院电信工程学院电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质旋转相加性 FRFT可以反复地进行下去，直到满意为止。两个特例：pp+1对应FFT pp-1对应IFFTqpqpFFF232323电信工程学院电信工程学院电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质连续性 当p
12、1,p2,c1,c2 为任意实数时，FRFT满足连续性 Fc1p1+c2p2f(t)=Fc1p1Fc2p2f(t)=Fc2p2Fc1p1f(t)由旋转相加性，可见连续性显然。自成像 FRFT为p/4取余的恒等运算,因而p的取值范围可以为-2,+2或0,4.)()()(11111144tfFtfFFtfFpcpcpc242424电信工程学院电信工程学院电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质 卷积函数f和g在p分数阶的卷积称为分数阶卷积P域的卷积对应于p+1或p-1域的乘积 相乘函数f和g在p分数阶的乘积称为分数阶乘积P域的乘积对应于p+1或p-1域的卷积)(*)(*ppppppxgx
13、fgFfFgfgfgfppp11*)()(apppppxgxfgFfFgfgfgfppp*11252525电信工程学院电信工程学院电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质时移特性(FT:f(t-t0)=Ff(t)e-jwt0 )时间函数x(t)时延后，x(t-)的分数阶Fourier变换频移特性(FT:Ff(t)ejwt0=F(w-w0)时间函数x(t)乘以一个频移函数后的FRFT.sincossin22)cos()(jurjppeuXtxFcoscossin22)sin()(jurjpjvtpevuXetxF262626电信工程学院电信工程学院电信工程学院三.分数阶Fourier变
14、换的基本性质 尺度特性(FT:Ff(at)=F(w/a)/|a|)=arctan(c2tan)=q/2 时间函数x(t)的时间尺度发生变化时，FRFT的变化情况。在传统的Fourier变换中，时间变量t的变化只是使其频谱的频率变量w的其的尺度和幅度发生相应的变化，而在FRFT中，时间变量t的变化不仅使FRFT的变量u发生尺度和幅度的变化，更重要的是旋转角度也发生变化。)sinsin(cotcot1)()coscos1(cot22222cuxejcjctxFqujp272727电信工程学院电信工程学院电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质尺度特性的图示说明282828电信工程学院电信
15、工程学院电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质Parseval关系定理：Parseval等式成立的充要条件为E=en:nN 为Hilbert空间中的标准正交系。由FRFT核函数的性质可知，它显然满足定理中要求的条件，所以，在FRFT中，Parseval等式成立FRFT的能量保持性：信号x(t)的功率谱|X(w)|2 信号x(t)的分数阶功率谱|Xp(u)|2duuXdttxp22)()(292929电信工程学院电信工程学院电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质倍乘性 其中D=d/dt为微分算子微分性混合乘积律)()2sin()2cos()(tfFDpjpttftFpmm
16、p)()2cos()2sin()(tfFDppjttfDFpmmp)()2cos()2sin()2cos()2sin()2cos()2sin()()(22tfFDppjDptppjtptftDFPmmP303030电信工程学院电信工程学院电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质移位律指数律)2cos()()2cos(5.02sinpqtfFetfSFppqtpjqqp)()(qtftfSq)2sin()()2sin(5.02cospqtfFetfeFppqtpjqjqtp313131电信工程学院电信工程学院电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质分数阶Fourier变换的一
17、些典型性质323232电信工程学院电信工程学院电信工程学院四、一些常见信号的FRFT变换333333电信工程学院电信工程学院电信工程学院五.分数阶Fourier变换的计算方法 信号分解法(=p/2 =csc)步骤:1.将函数f(x)与线性调频函数相乘,得到g(x)2.将g(x)与一线性调频函数作卷积,得到g(x)3.将g(x)与线性调频函数相乘,得到f(x)的分数阶Fourier变换)()()2/tan(2xgexfxjpxdxgeAxgxxj)()(2)()()()2/tan(2xfexgxj343434电信工程学院电信工程学院电信工程学院五.分数阶Fourier变换的计算方法通过计算离散F
18、RFT的核矩阵,再利用FFT来计算离散FRFT。文献 B.Santhanam and J.H McClellan.The discrete rotational Fourier transform.IEEE transactions on Signal Processing,1996,42(4):994-998353535电信工程学院电信工程学院电信工程学院五.分数阶Fourier变换的计算方法利用矩阵的特征值和特征向量来计算离散FRFT文献1.Soo-Chang Pei,Min-Hung Yeh.Two dimentional discrete fractional Fourier tran
19、sformj.IEEE,Signal Processing,1998,67,99-1082.Soo-Chang Pei,Min-Huang Yeh and Chien-Cheng Tseng,Discrete fractional Fourier transform based on orthogonal projections.IEEE transactions on Processing,1999,47(5):1335-1347363636电信工程学院电信工程学院电信工程学院五.分数阶Fourier变换的计算方法快速FRFT算法 该算法避开特征值与特征向量的匹配问题,具有易理解,易实现,效
20、果好等优点,并且在改变分数阶幂时,不需要重新计算整个过程,只需计算一个对角矩阵.文献 平先军,陶然,周思永,王越 一种新的分数阶傅立叶变换快速算法 电子学报 2001(3)406-408373737电信工程学院电信工程学院电信工程学院六.FRFT的二维平面表示时频分布的历史和现状 时频分布的思想始于二十一世纪四十年代。1946年Gabor提出了Garbor变换，为时频领域的信号分析打下了理论基础。为更好的理解语音信号，R.K.Potter等在1947年首次提出了一种时频分布方法STFT,并将 其绝对值的平方称为“声音频谱图”，又称谱图。1948年，J.Ville将Wigner在1932年提出的
21、Wigner分布引入到信号处理领域，提出了著名 的Wigner-Ville分布 时频分布可以分为以下几类：线性时频表示：Gabor变换、STFT、小波变换、FRFTCohen类双线性时频分布：Wigner-Ville分布、采用核函数加权的Cohen类双线性时频分布仿射类双线性时间-尺度分布重排类双线性时频分布自适应最优核函数类时频分布参数化时频分布383838电信工程学院电信工程学院电信工程学院六.FRFT的二维平面表示时频分布的历史和现状 时频分布的应用客观地讲，各种时频分布的技术难分好坏，关键是适用何种类型的信号。小波变换：它以时间和尺度为参数，在时间-尺度平面的不同位置上，具有不同的分辨
22、率，因而是一种多分辨率分析方法。小波分析得益于小波基函数得完备性、自相似性和多分辨性。它能获得成的两个最重要原因是其拥有塔形快速算法和良好的时频局域特性，缺点是一旦母小波选择不好，应用效果会大受影响。参数化时频分布：从信号压缩和消除信号的交叉干扰角度考虑，它是比较好的方法，但求其基函数的参数，实非易事。Wigner-Ville分布及Cohen类双线性时频分布：可以用于分析窄带信号，不适于分析宽带信号及雷达、声纳信号仿射类双线性时间-尺度分布：适于分析宽带信号及雷达、声纳信号。一般说来，我们总是可以先用短时Fourier变换的谱图一试，因其运算速度最快；若需要较高的时频分布率，可以采用参数化的时
23、频分析方法。Hilbert语：“Wigner-Ville分布已成为时频分布领域会下金旦的母鸡”李衍达：“整个时频分布的历史，几乎就是一部与Wigner-Ville分布作斗争的历史”393939电信工程学院电信工程学院电信工程学院六.FRFT的二维平面表示研究方向：有没有单分量信号存在，它使得Wigner-Ville分布仅存在自项（“自时频分布”、“信号项”），而不产生交叉项（“互时频分布”）？参数化时频分布技术。如何能高效、鲁棒的估计出基函数的参数？快速算法。当数据仅为1024点时，除STFT、谱图和小波变换外，几乎所有其他时频分布的计算都令人难以接受。显然，实际问题中的数据要比1024点大得
24、多，若快速算法不解决，许多应用，特别是实时处理就无从谈起。时频分布密度函数的物理意义何在？如Wigner-Ville 分布的一阶频率矩即为信号的瞬时频率，但对其高阶矩，其物理意义是什么？404040电信工程学院电信工程学院电信工程学院六.FRFT的二维平面表示 Wigner Ville 分布的表示设时频坐标系（t,w)经过旋转=p/2后，变成新的坐标系(u,v)，新坐标系与旧坐标系的关系为：u=tcos +w sin v=-tsin +wcos 设信号z(t)的FRFT为Zp(u),z(t)的Wigner-Ville分布为W(t,w),则有下列关系：detzzetWjtj2*2)2()(2),
25、(dyeyuZyZetWvyjppuvj2*2)2()(2),(414141电信工程学院电信工程学院电信工程学院六.FRFT的二维平面表示时频分布在什么条件下，相对于分数阶Fourier变换具有旋转不变性？即对一般的Cohen类时频分布，对其核函数(u,v)有什么要求？由FRFT可以计算出Wigner-Ville分布，反之，我们由Wigner-Ville分布可以计算出FRFT。1.Z0(t)Wz(t,w)=W0(t,w)2.W0(t,w)W0(ucos-wsin,wcos+tsin)=Wp(u,v)3.Wp(t,w)Zp(u)=Wp(u,v)ejuvdv,=p/2)cossin,sin)cos
26、(),(vuvuvu424242电信工程学院电信工程学院电信工程学院六.FRFT的二维平面表示FRFT与STFT变换、谱图的关系 谱图直接是短时Fourier变换的模的平方,所以它也是修正短时Fourier变换的模的平方.上述有关修正短时Fourier变换的结果,我们可以得到如下结论:分数阶Fourier变换对谱图的作用等同于它对修正短时Fourier变换的作用,既有:用窗函数Hp计算的Zp的谱图是用窗函数h计算的谱图的旋转形式.dethzetMSTFTjtj)()(21),(*21dveHZetMSTFTjvtj)()(21),(*21dxeHxZetMSTFTjuxpuvj)()(21),
27、(*21434343电信工程学院电信工程学院电信工程学院七.FRFT的应用滤波与干扰的分离在时频(t,w)平面上存在耦合的许多信号,它们在旋转角合适的分数阶Fourier域或(u,v)平面上却不存在耦合问题,这使得原本在时域或频域难于解决的噪声与信号的分离在分数阶Fourier上变得很容易.444444电信工程学院电信工程学院电信工程学院七.FRFT的应用 利用分数阶Fourier恢复信号 有用信号为高斯信号e-(t-4)2,干扰为线性调频信号e-jt2.我们有以下结论:1.高斯信号在任何p域均为 高斯信号.2.线性调频信号在一定的p域 内会呈现出谱的高度聚集.3.利用结论1和2,我们总可以
28、找到合适的p值,对两个信号 作FRFT,在p域将两者明显 分开.454545电信工程学院电信工程学院电信工程学院七.FRFT的应用 分数阶滤波的实现 设输入为x(t),输出为y(t),系统工作过程如下；输入信号先用一个瞬时频率线性变化的指数函数进行向下调制，然后通过一个线性时不变滤波器，最后进行向上调制作为输出。推导后，得到 Yp(u)=Xp(u)G(Ucsc)其中G是冲激响应g的传统Fourier变换，因此G(Ucos)称为分数阶滤波的传递函数。464646电信工程学院电信工程学院电信工程学院七.FRFT的应用FRFT反变换Fourier反变换H(jw)系统函数Fourier变换474747
29、电信工程学院电信工程学院电信工程学院八.FRFT域的算子 令(t)为一信号，不同p值 的函数p(tp）代表同一信 号(t)的不同表示方法。定义四种不同的算子：乘法算子：Mpp(p)=pp(p)微分算子：相移算子：平移算子：ppppppxdxdjxM211 pppppppMjxTxxep1 ppxjppMjpppxexpexPpp552484848电信工程学院电信工程学院电信工程学院八.FRFT域的算子假设p为任意值，M p,M p+1与Mp,Mp+1的关系P,p相移算子与平移算子的关系11cossinsincosppppMMMM 2/cossin2/cossinsincossincos22pp
30、jppjpTPeTPeP 2/cossin2/cossincossincossin22ppjppjpTPeTPeT494949电信工程学院电信工程学院电信工程学院九.问题的思考在时频平面内,若信号为闭的凸集,且与噪声无交迭部分,那么总可以找到p并逐次滤波,更改p值,使之最终达到滤波目的.p值如何求?505050电信工程学院电信工程学院电信工程学院九.问题的思考信号:高斯包络的线 调频信号(LFM)干扰为加性实值白噪声.图(a):STFT图(b):Radon-STFT 变换图(c):调平后的时频 平面图(d):噪声滤除图(e):反向旋转时频 平面图(f):重构后的LFM图(f)中间为四阶最小均方
31、误差adaptive filter的结果.515151电信工程学院电信工程学院电信工程学院九.问题的思考 核函授的选取问题 基函数的选取非常重要。如果基函数与信号的主要成份相似，则只需要少数基函数的线性组合就能比较精确地表示信号，分解的结果将是稀疏的.相反,如果基函数的形状与信号的结构相去甚远,那么就需要用大量的甚至无穷多的基函数,才能足够精确地组装成原信号,信号地信息将弥散在太多的基函数上,不利于有效地表示信号.所以,在采用基函数分解法时,必须根据信号的局部结构特征选择基函数,以期用尽可能少的基函数来分解信号.Fourier分析的理念:它将一个函数表示成无穷多个最和谐的函数,即正弦函数的加权
32、和.由于这些正弦函数的频率是固定不变的,并且其波形是无始无终的,因之不难看出,Fourier分析只适用分析组成信号的频率不随时间变化的平稳信号，分析的结果也只能昭示一个信号是由多少个正弦波叠加而成分数阶的Fourier变换的该核函数（基函数）选取,对线调频信号特别有效,但对别其他特性的信号,用另外的核函数（基函数）是否更好呢?525252电信工程学院电信工程学院电信工程学院九.问题的思考对算法的思考 FFT算法有许多,而且不断的出现,那么FRFT是否也有类似的算法呢?如:滑动DFT算法 x-x(0),x(1),x(127)-又如:单道合成技术FFT算法,输入N点序列分为实部,虚部两部分,计算N/2点的FFT,再恢复出N点的FFT值.535353电信工程学院电信工程学院电信工程学院十.小结 1 问题的提出 2 FRFT的基本概念 3 FRFT的基本性质 4 一些常见信号的FRFT 5 FRFT的计算方法 6 FRFT的二维表示 7 FRFT的应用 8 FRFT域内的算子 9 我的想法545454电信工程学院电信工程学院电信工程学院欢迎大家多提宝贵意见
