1、vuf Txyyx ,Txyyx ,1iN fN e1iN第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法1 JUN 20 200309:49:49ELEMENTS第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法1 JUN 20 200309:52:34ELEMENTS第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法wvufTzxyzxyzyxTzxyzxyzyx第四章第四章 空间问题有限单
2、元法空间问题有限单元法4321eiiiiwvuzyxzyxwzyxzyxvzyxzyxu121110987654321),(),(),(121第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法44434214343332132423221214131211 zyxuzyxuzyxuzyxu（四个方程、四个未知量）（四个方程、四个未知量）第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法616144444333332222211111uzdycxbauzdycxbauzdycxbauzdycxbaVu444333222111)1(zyxzyxzyxaaii443322111111)1(zyzyz
3、ybbii443322111111)1(zxzxzxccii111)1(443322111yxyxyxddii444333222111111161zyxzyxzyxzyxV 4,3,2,1 61izdycxbaVNiiiii 44332211uNuNuNuNu 44332211vNvNvNvNv 44332211wNwNwNwNw形函数形函数yx0324z1P 443322114433221144332211wNwNwNwNvNvNvNvNuNuNuNuNwvuf eNf 432143214321000000000000000000000000NNNNNNNNNNNNN形函数矩阵形函数矩阵第四
4、章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx eB 4321BBBBB 第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法)4,3,2,1(00000000061000000000rbdcdbcdcbVxNzNyNzNxNyNzNyNxNBrrrrrrrrrrrrrrrrrrr第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法 eBDD 4321SSSSBDS第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法 1221012210012210001000110001112111称对ED第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法
5、)4,3,2,1(00062222221111113rbAdAcAdAbAcAdcAbAdAcbAdAcAbVABDSrrrrrrrrrrrrrrrrr 211361,1221,1321EAAA第四章第四章 空间问题有限单元法空间问题有限单元法 VBDBdVBDBkTVTee 0 eeeRk PNdsPNdVGNRTSTVTee第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法8151801801btxyzt/2t/2中面第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法0zwz第五章第五章 板
6、壳问题有限单元法板壳问题有限单元法0zuxw0zvywyxfxwzu,1yxfywzv,2第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法xwzuywzvABABwzxuOKK第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法x=Xxz yXyz xy2Xxyzz=yz=zx 022xwzxux22ywzyvyyxwzyuxv22xy第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法xyzabced22xwx22ywyyxwxy2 zzTxyyx2第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法22222ywxw1zEx22222xwyw1
7、zEyyxw1z2Exy DzD第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法yxzyxxzxxyzyzyxy02tzzx02tzzywxtzE2222412zxwytzE2222412zy第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法wxtzE2222412zxwytzE2222412zy第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法Zyxyzxzzz02tzzqtzz2wtztz-vEt4223121)1(6z第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法wtztz-vEt4223121)1(6zxyzt/2t/2中面第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法wtz
8、tz-vEt4223121)1(6zqtzz2qwEt423)1(12)1(1223vEtDqwD 4第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法xyzxzxyyxyzyx22ttxxdzzMdzzMxyttxy22dzQxzxtt22dzzMytty22dzzMyxttyx22dzQyzytt22第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法xyzMxyMyxMyQMxxQy第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法xyzxzxyyxyzyx第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法 DdzzMMMMttxyyx22 211111212233ooooEtDtD Mh
9、z312 DzD第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法z=yz=zx 0 ATAttTAttTVTdAMzdAzzdAU21dD21d21dV2122222AdAyxwyxqV),(),(dAyxwyxqdAMVUATA),(),(21第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法TxyyxTyxwfywxwyx,Txyyx第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法Te4321)4,3,2,1(iwyixiii第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法31231131029283726524321aaaaaaaaaaaawbyax,其中：第五章第五章 板壳问题有
10、限单元法板壳问题有限单元法)3322(1212311210928653aaaaaaaabbwywx)3232(131221129827542aaaaaaaaaawxwy eiiiyiyixixiiiiNNNNwNw4141第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法)4,3,2,1(iNNNNyixiii8)1)(1)(1(8)1)(1)(1(8)2)(1)(1(200200220000iyiixiiaNbNN4,3,2,1,00ibyaxii其中：4321NNNNN 形函数矩阵形函数矩阵形函数形函数第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法总势能总势能为为3 3次完全多项式，故
11、满足次完全多项式，故满足完备性完备性要求要求 dAyxwyxqdAMVUATA),(),(21其最高阶导数其最高阶导数p=2p=2，完备性完备性要求位移模式为要求位移模式为2 2次完全多项式次完全多项式31231131029283726524321aaaaaaaaaaaaw矩形薄板单位的位移：矩形薄板单位的位移：第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法能量泛涵中位移函数最高阶导数能量泛涵中位移函数最高阶导数p=2p=2，协调性协调性要求位移模式要求位移模式在相邻单元的交界面上有在相邻单元的交界面上有0-10-1阶的连续导数阶的连续导数问题问题以右图为例，考察两相邻单以右图为例，考察两
12、相邻单元在元在3434边位移是否协调：边位移是否协调：由于由于3434边上边上 为常数，所以为常数，所以w w为为 的的三次方程，含三次方程，含4 4个未知量，可通过个未知量，可通过结点位移分量：结点位移分量：jxjixijiywywww,求解未知量，从而唯一确定位移求解未知量，从而唯一确定位移w,w,保证了两单元之间挠度和转角保证了两单元之间挠度和转角 的连续的连续 x第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法xwy对于转角：对于转角：)3232(131221129827542aaaaaaaaaaw3434边上边上 为常数，为常数，仍为仍为 的三次方程，含的三次方程，含4 4个未知量
13、，而此时仅有：个未知量，而此时仅有：yjyjiyixwxw,两个求解条件，所以无法完全确定三次方程，也就无法保证在两个求解条件，所以无法完全确定三次方程，也就无法保证在3434边上两单边上两单元有相同的元有相同的y第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法以上分析表明，矩形板单元的挠度和切向转角可满足协调性要求，以上分析表明，矩形板单元的挠度和切向转角可满足协调性要求，而法向转角则不能满足协调性要求，这种单元也称为非协调元，而法向转角则不能满足协调性要求，这种单元也称为非协调元，对于非协调元，只有能通过分片试验，也可收敛于精确解。对于非协调元，只有能通过分片试验，也可收敛于精确解。第五
14、章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法将将已经得到单元几何方程为：已经得到单元几何方程为：eyiyixixiiiiNNNwNw41 zzTxyyx222xwx22ywyyxwxy2将带入上式：将带入上式：eeBBBBB4321第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法)123()123()433(0)31)(1()1(3)1)(31(0)1(34222222iiiiiiiiiiiiiiiiiabababababzB)4,3,2,1(i第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法 eBDD 4321SSSSBDS第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法利用变分原理
15、，得平衡方程：利用变分原理，得平衡方程：已经得到单元势能：已经得到单元势能：dAyxwyxqdADVUeeATAeee),(),(21 eAeTATeeeeNdAyxqdABDBVUee),(21将前面的分析结果带入上式：将前面的分析结果带入上式：0 eeeRk 第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法0 eeeRk 1111 dabdBDBdABDBkTATeeeATeqdANRddNabqdabdqNRTTe 1111011110第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法0w0nw0sw0w0sw0nw第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法3102928372
16、6524321yaxyayxaxayaxyaxayaxaa392283726524321)(yaxyyxaxayaxyaxayaxaaw第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法392283726524321)(yaxyyxaxayaxyaxayaxaaw利用面积坐标三个分量不相互独立的特性，可解决该问题：利用面积坐标三个分量不相互独立的特性，可解决该问题：321321932112383212237321322632112253212214332211212121212121LLLLLaLLLLLaLLLLLaLLLLLaLLLLLaLLLLLaLaLaLaw第五章第五章 板壳问题有限
17、单元法板壳问题有限单元法利用结点的位移参数条件可确定利用结点的位移参数条件可确定w w中中的广义坐标，得到：的广义坐标，得到：eiiiiyiyixixiiiNNNNwNw3131)3,2,1(iNNNNyixiii 321NNNN 形函数矩阵形函数矩阵第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法)21()21()21()21(32132123212213132132123212213123122132122111LLLLLcLLLLLcNLLLLLbLLLLLbNLLLLLLLLLNyx)1321(形函数形函数试证明试证明9 9自由度三角形薄板单元为非协调元自由度三角形薄板单元为非协调元
18、第五章第五章 板壳问题有限单元法板壳问题有限单元法试推导试推导9 9自由度三角形薄板单元的自由度三角形薄板单元的1 1）应变矩阵）应变矩阵2 2）应力矩阵）应力矩阵3 3）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵30.LL例：例：四边简支正方形薄板 mesh)(44 30.mesh)(44 LL受均布荷载q及中心集中荷载P两种工况作用，分别用矩形单元和三角形单元计算最大挠度作业：1.1.证明常应变四面体单元是完备协调单元。证明常应变四面体单元是完备协调单元。2.2.在薄板弯曲时，为什么能用中面挠度函数在薄板弯曲时，为什么能用中面挠度函数w w来确定任一点的来确定任一点的位移与应力？任一点的位移与应力如何用位移与应力？任一点的位移与应力如何用w w来表示？来表示？3.3.试证明试证明9 9自由度三角形薄板单元为非协调元。自由度三角形薄板单元为非协调元。4.4.试推导试推导9 9自由度三角形薄板单元的刚度矩阵。自由度三角形薄板单元的刚度矩阵。
