1、114-2 光在球面上的折射光在球面上的折射一、介绍几个概念一、介绍几个概念 光线在两种折射率不同的透明介质所形成的球形分光线在两种折射率不同的透明介质所形成的球形分界面上发生一次折射后的规律，也称为界面上发生一次折射后的规律，也称为光在单球面上光在单球面上的折射的折射。物点与球心的连线称。物点与球心的连线称为主光轴为主光轴，在主光轴附，在主光轴附近并与主光轴夹角很小的光线，称为近并与主光轴夹角很小的光线，称为近轴光线，或傍近轴光线，或傍轴光线（结合公式讲解）。轴光线（结合公式讲解）。rin1n2S1OS2AC2 有一定关系的光线集合称为有一定关系的光线集合称为光束光束。从一点发出的光。从一点
2、发出的光线形成的光束，称为线形成的光束，称为同心光束，或单心光束同心光束，或单心光束。若光束经光学系统反射或折射后，变成会聚于一点若光束经光学系统反射或折射后，变成会聚于一点的光束，或者光束本身虽然不会聚于一点，但光线的的光束，或者光束本身虽然不会聚于一点，但光线的延长线相交于一点，这种反射或折射之后的光束延长线相交于一点，这种反射或折射之后的光束也称也称同心光束。同心光束。3 （a）图：来自实物发光点的光束，如果不改变）图：来自实物发光点的光束，如果不改变方向直接进入人眼，则该发光点作为光束的顶点能直方向直接进入人眼，则该发光点作为光束的顶点能直接被看到。（接被看到。（b）、（）、（c）图：
3、由于反射或折射改变了）图：由于反射或折射改变了光线的方向，则光束进入人眼时，光线的方向，则光束进入人眼时，人眼的感觉仍以直人眼的感觉仍以直接沿刚刚进入瞳孔的光线方向来判断光束发散顶点的接沿刚刚进入瞳孔的光线方向来判断光束发散顶点的位置因而认为该点有位置因而认为该点有“物物”存在。存在。对眼睛来说，对眼睛来说，“物物点点”和和“像点像点”都是进入瞳孔的发散光束的顶点。都是进入瞳孔的发散光束的顶点。无无论是实像论是实像P还是虚像还是虚像P，人眼看到的是，人眼看到的是P而不是实物而不是实物P。(d)4 光线本身不会聚于一点，其延长线也不相交于一光线本身不会聚于一点，其延长线也不相交于一点的光束，点的
4、光束，称为像散光束。称为像散光束。（光束单心性的破坏光束单心性的破坏）（d）图球面对光束折射有一定的范围，故对折射光）图球面对光束折射有一定的范围，故对折射光束的张角有一定的限制。因而对来自像点束的张角有一定的限制。因而对来自像点P在发散的在发散的光束的范围也有一定的限制。光束的范围也有一定的限制。5 折射光束经平面或球面折射后，其折射光束的折射光束经平面或球面折射后，其折射光束的单心性一般都要被破坏，光束中所有光线并不相较于单心性一般都要被破坏，光束中所有光线并不相较于单独的一点，而是相交于两条互相垂直的线段上。一单独的一点，而是相交于两条互相垂直的线段上。一条称为弧矢焦线，在折射图面内；另
5、一条称为子午焦条称为弧矢焦线，在折射图面内；另一条称为子午焦线，在垂直于折射图面内。线，在垂直于折射图面内。67 如果由物点发出的光束，经光学系统后仍为同心如果由物点发出的光束，经光学系统后仍为同心光束，则这个经过光学系统后的光束的心，称为光束，则这个经过光学系统后的光束的心，称为光光学系统对该物点所成的像点。学系统对该物点所成的像点。如果经光学系统后光线本身通过光束心，则该光如果经光学系统后光线本身通过光束心，则该光束心是物点的束心是物点的实像实像；如果经光学系统后光线延长线；如果经光学系统后光线延长线相交于一点，则该点是物点的相交于一点，则该点是物点的虚像。虚像。在在近轴光线近轴光线的情况
6、下，由物点发出的同心光束，的情况下，由物点发出的同心光束，经单球面折射后仍为同心光束，即对应于一个物点经单球面折射后仍为同心光束，即对应于一个物点可获得一个像点。可获得一个像点。89二、球面折射公式二、球面折射公式如图所示，如图所示，AOB是折射率分别为是折射率分别为n1和和 n2的两种介的两种介质的球面界面，质的球面界面，R为球面的曲率为球面的曲率半径，半径，O为曲率为曲率中心，中心，C为球面为球面rin1n2S1OS2ACSS2l1lRB顶点，顶点，CO的延长线为球面的主轴。通过主轴的平面称为主截的延长线为球面的主轴。通过主轴的平面称为主截面。主轴对于所有的主截面具有对称性。面。主轴对于所
7、有的主截面具有对称性。设设n2 n1，光线，光线从点光源从点光源S1发出发出,经球面经球面A点折射后与主轴交于点折射后与主轴交于S2,令：令：112212;S ClCSlS ASASS11在在S1AO和和AOS2 中中,应用余弦定理，并注意到：应用余弦定理，并注意到：121122122211122222121212221111222222coscos();()2()cos()2()cos=()2()cos()2()cosS ASS OlROSlRsRRlR RlsRlRR lRS ASn Sn SnRRlR RlnRlRR lR 以及：得到：则光线的光程为121211221122122 21
8、10112()sin2()sin0()()01=()S ASARddnR R lnR lRssn R ln lRssnnn lnlssRss当点 在球面上移动时，是常量，是位置的变量，根据费马原理：得：即：或写成：由此可见，由此可见，l2也和也和 的大小有关。从的大小有关。从S S1 1发出的单心光发出的单心光束经球面折射后，单心性被破坏。束经球面折射后，单心性被破坏。近轴条件（旁轴条件）近轴条件（旁轴条件）：值很小，在一级近似值很小，在一级近似下，下，coscos 1.所以下式可写成：所以下式可写成：122211211122222222122 21 1122121211221()2()cos
9、()()2()cos()1=()=sRRlR RlRRllsRlRR lRRlRlnnn lnlssRssnnnnnnnnllRllR代入中可得：采用后面符号法则：14C点是主光轴与球面的交点，称为球面的点是主光轴与球面的交点，称为球面的顶点顶点。S1C是物点到球面顶点的距离，称为是物点到球面顶点的距离，称为物距物距，用，用l1表示。表示。S2C是像点到球面顶点的距离，称为是像点到球面顶点的距离，称为像距像距，用，用l2表示。表示。我们规定我们规定线段正负线段正负如下：由折射点或反射点出发到如下：由折射点或反射点出发到被考察点所形成的线段的方向，若与入射光的传播方被考察点所形成的线段的方向，若
10、与入射光的传播方向相同，则取正值，若相反，则该线段取负值。向相同，则取正值，若相反，则该线段取负值。本书中单球面折射公式推导根据正弦定理应有：本书中单球面折射公式推导根据正弦定理应有：sinsin11iASOSrOSASsinsin22122211sinsinnnriOSASASOS旁轴条件）(,2211CSASCSAS15(1)物点若为实际物体时，物距一般取负值。物点若为实际物体时，物距一般取负值。(2)像距符号决定于像的位置：像和物处于折射面或像距符号决定于像的位置：像和物处于折射面或反射面的同侧，像距取负值；像和物处于折射面或反射面的同侧，像距取负值；像和物处于折射面或反射面的异侧，像距
11、取正值。反射面的异侧，像距取正值。但是在折射和反射这但是在折射和反射这两种情况下，对应于同样符号的像距，像的性质却两种情况下，对应于同样符号的像距，像的性质却不同：不同：正的像距，在折射的情况下代表实像，在反正的像距，在折射的情况下代表实像，在反射的情况下代表虚像。负的像距，在折射的情况下射的情况下代表虚像。负的像距，在折射的情况下代表虚像，在反射的情况下代表实像。代表虚像，在反射的情况下代表实像。(3)曲率半径的符号决定于曲率中心的位置。在凸曲率半径的符号决定于曲率中心的位置。在凸状球面的情况下，曲率半径取正值；在凹状球面的状球面的情况下，曲率半径取正值；在凹状球面的情况下，曲率半径取负值。
12、情况下，曲率半径取负值。根据这个规定，我们可以得到：根据这个规定，我们可以得到：16 任何满足近轴光线条件的同心光束在球面上折射任何满足近轴光线条件的同心光束在球面上折射后仍然保持同心性。后仍然保持同心性。这就是近轴光线的球面折射公式。这就是近轴光线的球面折射公式。可以看到，对于可以看到，对于折射率为折射率为n1和和n2的介质以及给定的界面曲率半径的介质以及给定的界面曲率半径R，像点的位置只依赖于物点的位置，或者说物点和像点像点的位置只依赖于物点的位置，或者说物点和像点之间存在一一对应的关系。之间存在一一对应的关系。122211nnRlllRl2122112121nlRnllnlRnllRnn
13、lnln121122rin1n2S1OS2AC按照上述规定，则有按照上述规定，则有17【注】【注】）公式右端仅与介质的折射率及球面的曲）公式右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来讲是一个不变量，定义此量为面来讲是一个不变量，定义此量为光焦度光焦度，用下式，用下式表示。表征球面的光学特征，单位表示。表征球面的光学特征，单位m-1。21nnR）如果发光点在）如果发光点在S点，它的像在点，它的像在S点。也就是说，点。也就是说，如果如果S和和S 之一为物，则另一点为其像，物点和像之一为物，则另一点为其像，物点和像点这种
14、关系称为点这种关系称为共轭共轭，相应的点称为，相应的点称为共轭点共轭点，相应，相应的光线称为的光线称为共轭光线共轭光线。物象共轭是光路可逆原理的。物象共轭是光路可逆原理的必然结果。必然结果。18）规定：入射光束在其中行进的空间称为）规定：入射光束在其中行进的空间称为物空间物空间，折射光束在其中行进的空间称为折射光束在其中行进的空间称为像空间像空间。）若对于单独一个球面来说，如光线自左向右传播，）若对于单独一个球面来说，如光线自左向右传播，则物空间在球面顶点的左方，像空间在球面顶点的右则物空间在球面顶点的左方，像空间在球面顶点的右方：此时物距方：此时物距l 0，得到实像；若光束在像空间发散，像距
15、，得到实像；若光束在像空间发散，像距l 0,得到得到虚像，虚像位置在物空间。虚像，虚像位置在物空间。）上式对凸状球面和凹状球面都是适用的，只需上式对凸状球面和凹状球面都是适用的，只需按照上面的规定调整球面曲率半径的符号就可以了。按照上面的规定调整球面曲率半径的符号就可以了。19）上式也可以用于描述光线在各种球面上的反）上式也可以用于描述光线在各种球面上的反射，这时除了应调整球面曲率半径的符号外，还需射，这时除了应调整球面曲率半径的符号外，还需令令n2=n1。物空间与像空间重合，且反射光线与。物空间与像空间重合，且反射光线与入射光线的传播方向恰恰相反。这种情况在数学处入射光线的传播方向恰恰相反。
16、这种情况在数学处理上可以认为像方介质的折射率等于物方介质折射理上可以认为像方介质的折射率等于物方介质折射率的负值。（仅在数学上有意义）率的负值。（仅在数学上有意义）也可以作为研究各种情况下折射和反射成像规也可以作为研究各种情况下折射和反射成像规律的基础。律的基础。）还可以用于描述光线在平面上的折射和反射，）还可以用于描述光线在平面上的折射和反射，因为平面可以认为是曲率半径无限大的球面。因为平面可以认为是曲率半径无限大的球面。凸面镜成像原理凸面镜成像原理；凹面镜成像原理凹面镜成像原理20三、高斯公式三、高斯公式 由由l2所确定的点表示了折射面的性质，称为所确定的点表示了折射面的性质，称为第二第二
17、主焦点主焦点，用，用F2 表示。表示。引入焦点焦距的概念后，可得球面折射的另一种形引入焦点焦距的概念后，可得球面折射的另一种形式，即高斯公式。式，即高斯公式。如果处于主光轴上的物点离开球面的距离为无限大，如果处于主光轴上的物点离开球面的距离为无限大，即即l1=，那么由它发出而投射到球面上的平行光线必，那么由它发出而投射到球面上的平行光线必定平行于主光轴。这时表示像点位置的像距应为定平行于主光轴。这时表示像点位置的像距应为 由球面顶点由球面顶点C到到F2 的距离，称为的距离，称为折射面的第二焦距折射面的第二焦距，若用若用f2 表示，则有表示，则有Rnnnl1222Rnnnf122221 折射面的
18、焦距决定于两种介质的折射率和界面的折射面的焦距决定于两种介质的折射率和界面的曲率半径。曲率半径。如果要使光线折射后所成的像点处于主光轴上并如果要使光线折射后所成的像点处于主光轴上并落在离开球面无限远处，即落在离开球面无限远处，即l2=，则物点必须放置，则物点必须放置在主光轴的在主光轴的F1点上，而球面顶点点上，而球面顶点C到到F1的距离可以的距离可以表示为表示为 F1点也是表示折射面性质的点，称为点也是表示折射面性质的点，称为第一主焦点第一主焦点，而而f1称为称为折射面的第一焦距折射面的第一焦距。焦点有实焦点和虚焦点之分。焦点有实焦点和虚焦点之分。实焦点实焦点是平行光线是平行光线经折射后相交的
19、一点；经折射后相交的一点；虚焦点虚焦点是平行光线经折射后是平行光线经折射后并不相交，而其延长线相交的一点。并不相交，而其延长线相交的一点。Rnnnlf121111212nnff 由以上两式，有由以上两式，有22 通过第一主焦点通过第一主焦点F1所作的垂直于主光轴的平面，称所作的垂直于主光轴的平面，称为为第一主焦面第一主焦面；通过第二主焦点；通过第二主焦点F2所作的垂直于主光所作的垂直于主光轴的平面，称为轴的平面，称为第二主焦面第二主焦面。如果近轴的平行光线并。如果近轴的平行光线并不平行于主光轴，则经球面折射后焦点并不处于主焦不平行于主光轴，则经球面折射后焦点并不处于主焦点上，但总处于主焦面上。
20、点上，但总处于主焦面上。即即高斯公式高斯公式，与近轴光线的球面折射公式完全等效。，与近轴光线的球面折射公式完全等效。112111222nnRlnnnRln12211lflf用用R/(n2n1)乘以公式乘以公式Rnnlnln121122等号两边，得等号两边，得23S1P1四、球面折射成像的作图法四、球面折射成像的作图法 如图，将一个有限大如图，将一个有限大小的物体放置在球面左小的物体放置在球面左侧，并与主光轴垂直。侧，并与主光轴垂直。物点物点P1发出的同心光束中有发出的同心光束中有三条光线三条光线是容易画出的：是容易画出的：按上面方法作图的必须条件是，物点发出的三条光线都必须是近轴光线。按上面方
21、法作图的必须条件是，物点发出的三条光线都必须是近轴光线。2O(1)平行于主光轴的光线折射后通过第二主焦点；平行于主光轴的光线折射后通过第二主焦点；(2)通过第一主焦点的光线折射后平行于主光轴；通过第一主焦点的光线折射后平行于主光轴；(3)通过球面曲率中心的光线沿原路径传播。通过球面曲率中心的光线沿原路径传播。123F2S2P2F1 这三条光线中任意两条的交点就是物点这三条光线中任意两条的交点就是物点P1的的像点像点P2，由由P2向主光轴作垂线，垂足向主光轴作垂线，垂足S2就是就是S1的像。的像。24五、球面折射的横向放大率五、球面折射的横向放大率 当横向放大率当横向放大率m为正值时为正像；当横
22、向放大率为正值时为正像；当横向放大率m为负值时为倒像。为负值时为倒像。若物体高度为若物体高度为y1，像像的高度为的高度为y2，则定义光，则定义光学系统学系统QQ 的的横向放大横向放大率率 若像的方向与物的方向相同，这种像称为若像的方向与物的方向相同，这种像称为正像；正像；若方向相反为，则称为若方向相反为，则称为倒像倒像。根据折射定律有根据折射定律有12yym 222111lynlyn122112lnlnyymS1P12Oy1C1123F2S2P2F1y22QQ25【例】一个折射率为【例】一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长的玻璃哑铃，长20cm,两端的两端的曲率半径为曲率半径为2cm。若在离哑铃左
23、端。若在离哑铃左端5cm处的轴上有一物处的轴上有一物点，试求像的位置和性质。点，试求像的位置和性质。解：哑铃左端解：哑铃左端的折射面为凸的折射面为凸球面按符号法球面按符号法则：则：R=2cm,l1=-5cm,n=1.6,n=1.0212121nnnnllR由：221.611.6 1=1652lcml由：得：因为像距为正，像和物在折射球面的两侧，所因为像距为正，像和物在折射球面的两侧，所以是实像。以是实像。26哑铃右端的折射面为凹球面按符号法则：哑铃右端的折射面为凹球面按符号法则：R=-2cm,l1=16cm-20cm=-4cm,n=1.0,n=1.6221.01.61.0 1.6=1042lc
24、ml由：得：最后的像是一个虚像，并落在哑铃中间。最后的像是一个虚像，并落在哑铃中间。27解得解得l2=120mm例例1 如图所示，一根折射率为如图所示，一根折射率为1.50的玻璃棒，其一的玻璃棒，其一端被磨成半径为端被磨成半径为20.0mm的半球面。若将它先后放在的半球面。若将它先后放在折射率为折射率为1.00的空气中和折射率为的空气中和折射率为1.33的水中，求在的水中，求在这两种情况下，在棒轴上距离顶点这两种情况下，在棒轴上距离顶点80.0mm处的物点处的物点的像距和像的横向放大率。的像距和像的横向放大率。解解 先求放在空气中的情形。先求放在空气中的情形。利用以上公式，带入数据，得利用以上
25、公式，带入数据，得说明像是倒立的实像，位于说明像是倒立的实像，位于C点右侧点右侧120mm处。处。0.2000.150.10.8000.150.12l00.1)0.80(50.112011221lnlnmOn1（空气；水）（空气；水）n2(玻璃玻璃)S1C80.0mm28现求放在水中的情形。这时像距现求放在水中的情形。这时像距l2应应由下式求得由下式求得表示像是正立的虚像，处于表示像是正立的虚像，处于C点左侧点左侧185mm处。处。解得解得l2=185mm，横向放大率为横向放大率为 0.2033.150.10.8033.150.12l05.2)0.80(50.1)185(33.11221lnlnm
