1、向量法求二面角的大小向量法求二面角的大小北京市房山区教师进修学校北京市房山区教师进修学校卢寒芳卢寒芳四、教学过程的设计与实施四、教学过程的设计与实施一、教学一、教学背景背景的分析的分析二、教学目标的确定二、教学目标的确定三、教学方法的选择三、教学方法的选择五、教学效果评价与反思五、教学效果评价与反思一、教学一、教学背景背景的分析的分析u本节课教学内容选自人教高中数学本节课教学内容选自人教高中数学B版选修版选修21第第 三章第三章第2.4节节“二面角及其度量二面角及其度量”的第的第2课时课时u二面角二面角是立体几何的重要概念之一是立体几何的重要概念之一它是学生在它是学生在 学习异面直线所成的角，
2、直线与平面所成的角之学习异面直线所成的角，直线与平面所成的角之 后，又重点研究的一种空间角后，又重点研究的一种空间角u课标要求课标要求：能用向量方法解决面面夹角的计算问能用向量方法解决面面夹角的计算问 题，体会向量方法在研究几何问题中的作用题，体会向量方法在研究几何问题中的作用一、教学一、教学背景背景的分析的分析u利用向量利用向量方法方法求解立体几何问题求解立体几何问题是将逻辑推理转化是将逻辑推理转化 为向量的代数运算为向量的代数运算.三步曲：空间向量表示几何元素三步曲：空间向量表示几何元素利用向量运算研利用向量运算研 究几何元素间的关系究几何元素间的关系把运算结果转化成相应的几把运算结果转化
3、成相应的几 何结论何结论.u用到用到数形结合、类比转化等数学思想和方法数形结合、类比转化等数学思想和方法，有助，有助 于于提高学生的思维能力提高学生的思维能力一、教学一、教学背景背景的分析的分析已学习：二面角及二面角的二面角及二面角的平面角平面角的的概念概念会：建立空间直角坐标系 进行向量坐标运算 求求平面的法向量平面的法向量已掌握：用向量用向量求解求解线线线线角、线面角、线面角角的的方法方法二二、教学目标的确定教学目标的确定1通过类比异面直线通过类比异面直线所成的角所成的角、直线与直线与平面所成角的解决平面所成角的解决方法方法，得到用向量得到用向量求二面角求二面角大小大小的方的方法，并能用之
4、解决法，并能用之解决有关问题，体会向有关问题，体会向量方法在研究几何量方法在研究几何问题中的作用问题中的作用3通过经历向量法求通过经历向量法求二面角大小的推导二面角大小的推导过程，培养大胆探过程，培养大胆探索精神，提高学习索精神，提高学习立体几何的兴趣立体几何的兴趣2在探究用向量法求二在探究用向量法求二面角大小的过程中，面角大小的过程中，体会数形结合、类比体会数形结合、类比转化的数学思想，进转化的数学思想，进一步提高空间想象能一步提高空间想象能力、分析问题和解决力、分析问题和解决问题的能力问题的能力重点和难点重点和难点重点重点:用用法法向量向量夹角夹角求二面角求二面角的方的方 法法的探究及应用
5、的探究及应用难点难点:二面角与两个半平面的法向二面角与两个半平面的法向 量夹角的关系量夹角的关系二二、教学、教学目标目标的的确定确定多媒体辅助多媒体辅助三三、教学方法的选择教学方法的选择教师启发引导教师启发引导学生自主探究学生自主探究四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施2探究方法探究方法1温故知新温故知新3实践操作实践操作4归纳总结归纳总结1温故知新温故知新四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施lABO如何度量二面角如何度量二面角l的大小的大小温故知新温故知新温故知新温故知新四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施异面直线所成的角异面直线所成的角|1v2v21,vv2v
6、1v21,vv四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施温故知新温故知新直线与平面所成的角直线与平面所成的角 nBana,22,na anan直线的方向向量为直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为 通过复习二面角平面角的知识，类比线线角、线通过复习二面角平面角的知识，类比线线角、线面角的解决方法，自然引出用向量探究二面角的面角的解决方法，自然引出用向量探究二面角的大小大小.四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施温故知新温故知新设计意图设计意图四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施2探究方法探究方法1温故知新温故知新3实践操作实践操作4归纳总结归纳总结2探究方法探究
7、方法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施探究方法探究方法lAOBOBOA,二面角OBOAAOB,问题问题1：二面角的平面角二面角的平面角 能否转化成向量的夹角？能否转化成向量的夹角？AOB四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施探究方法探究方法12,n n 二面角从平面角出发，引导从平面角出发，引导学生发现二面角的求解可由学生发现二面角的求解可由向量的夹角来确定，向量的夹角来确定，从而从而调动学生探究这一问题调动学生探究这一问题的积极性的积极性.四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施探究方法探究方法设计意图设计意图四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施探究方法探
8、究方法问题问题2：求直线和平面所成的角求直线和平面所成的角可可转化成直线的方向向量与转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，平面的法向量的夹角，那么那么二面角的大小与两个半二面角的大小与两个半平面的法向量有平面的法向量有没有没有关系？关系？anl1n2n 探究方法探究方法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施思考：法向量的夹角与二面角平面角的关系思考：法向量的夹角与二面角平面角的关系四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施探究方法探究方法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 21,nn 121212coscos,nnn nn n 探究方法探究方法四四、教学过程的设计与
9、实施教学过程的设计与实施 21,nn121212coscos,nnn nn n 根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.通过教师引导和学生的交流讨论，培养学生的空通过教师引导和学生的交流讨论，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索的精神；间想象
10、能力、逻辑思维能力和乐于探索的精神；通过实物教具、板书画图、课件演示，帮助学生通过实物教具、板书画图、课件演示，帮助学生理解法向量夹角与二面角大小的关系理解法向量夹角与二面角大小的关系四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施探究方法探究方法设计意图设计意图探究方法探究方法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 问题问题3：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？时候互补？再次演示课件再次演示课件探究方法探究方法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 进一步探究法向量的夹角与二面角大小的关系，进一步探究法向量的夹角与
11、二面角大小的关系，结合规律加深学生对这一难点内容的理解结合规律加深学生对这一难点内容的理解四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施探究方法探究方法设计意图设计意图2探究方法探究方法1温故知新温故知新3实践操作实践操作4归纳总结归纳总结3实践操作实践操作四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施实践操作实践操作已知已知ABCD 是直角梯形是直角梯形,DAB=ABC=90,SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=1，求平面求平面SAB与与SCD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 21AD本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不本题的特点
12、是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性求解立体几何问题的优越性四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施实践操作实践操作设计意图设计意图四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施实践操作实践操作已知已知ABCD 是直角梯形是直角梯形,DAB=ABC=90,SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=1，求平面求平面SAB与与SCD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 21AD实践操作实践操作四四、教学过程
13、的设计与实施教学过程的设计与实施实践操作实践操作四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施通过通过对对无棱二面角无棱二面角问题的解决，问题的解决，使学生经历从建立使学生经历从建立坐标系到探究法向量的坐标及角的取值的过程，较坐标系到探究法向量的坐标及角的取值的过程，较好地掌握如何利用法向量的夹角求二面角大小的方好地掌握如何利用法向量的夹角求二面角大小的方法法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施实践操作实践操作设计意图设计意图实践操作实践操作四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写
14、出点与向量的坐标；）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的 夹角；夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或 钝角，得出问题的结果钝角，得出问题的结果明确向量法的解题步骤，培养学生概括、总结的明确向量法的解题步骤，培养学生概括、总结的能力和意识能力和意识四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施实践操作实践操作设计意图设计意图实践操作实践操作四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点Q是是
15、BC的中点，求二面角的中点，求二面角ADQA1的余弦值的余弦值 巩固练习：巩固练习：2探究方法探究方法1温故知新温故知新3实践操作实践操作4归纳总结归纳总结4归纳总结归纳总结四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施归纳总结归纳总结数形结合数形结合类比转化类比转化两个两个思想思想四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施一个步骤一个步骤两种方法两种方法半平面内分别垂直于棱的向量的夹角半平面内分别垂直于棱的向量的夹角两个平面的法向量的夹角求解两个平面的法向量的夹角求解用法向量求二面角大小的步骤用法向量求二面角大小的步骤引导学生对所学的数学知识、思想方法进行小结，引导学生对所学的数学知识、
16、思想方法进行小结，有利于学生对已有的知识结构加深理解。有利于学生对已有的知识结构加深理解。四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施归纳总结归纳总结设计意图设计意图归纳总结归纳总结1、如图所示、如图所示，正方体正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为棱长为1 ，试用多种方法求二面角试用多种方法求二面角A1BDC1的余弦值的余弦值2、P111练习练习A第第3题题，练习练习B第第2题题四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施五、教学效果的评价与反思五、教学效果的评价与反思学习效果评价设计学习效果评价设计项目项目A A（优秀）（优秀）B B（良好
17、）（良好）C C（合格）（合格）个人个人评价评价同学同学评价评价教师教师评价评价旧知识掌握情况旧知识掌握情况牢固牢固比较牢固比较牢固一般一般课前预习情况课前预习情况自己主动完成自己主动完成依照同学才完成依照同学才完成不能完成不能完成独立思考积极程度独立思考积极程度积极积极较积极较积极一般一般交流讨论情况交流讨论情况有交流讨论有交流讨论有交流有交流没有交流没有交流参与学习的积极性参与学习的积极性很高很高比较高比较高一般一般本节课的掌握情况本节课的掌握情况好好较好较好不好不好课后作业完成情况课后作业完成情况独立完成独立完成与同学合作完成与同学合作完成不能完成不能完成五、教学效果的评价与反思五、教学效果的评价与反思1、以课标为中心，加强知识形成过程的教学。、以课标为中心，加强知识形成过程的教学。2、几何画板演示、实物教具和传统板书教学有效结合几何画板演示、实物教具和传统板书教学有效结合。3、在教师的引导下，学生的主体性得到了充分体现。、在教师的引导下，学生的主体性得到了充分体现。4、注重提高学生的思维能力和数学思想方法的渗透。、注重提高学生的思维能力和数学思想方法的渗透。教学反思教学反思教学反思教学反思五、教学效果分析五、教学效果分析
