1、2 单层的刚度与强度n层合板由许多单层板组成，所以，单层的刚度与强度是分析层合板刚度与强度的基础。n从力学的角度来分析复合材料宏观力学方法细观力学方法本章将讨论单层的刚度与强度，给出宏观力学分析方法的结果。2.1单层的正轴刚度n单层的正轴刚度是指单层在正轴（即单层材料的弹性主方向）上所显示的刚度性能。【由于单层厚度与其他尺寸相比较小，一般按平面应力状态进行分析。】n对于各向同性材料，表达其刚度的参数是工程弹性常数E、G、?，三者之间有如下关系：)1(2EG独立的弹性常数只有2个。2.1.1单层的正轴应力应变关系n单层在正轴下的平面应力状态只有1、2、12三个应力分量。本书讨论的复合材料限于在线
2、弹性与小变形情况下，所以材料力学中应变的叠加原理仍适用与复合材料。1、2、12符号：正面正向或负面负向均为正，否则为负。1，2 线应变，伸长为正，缩短为负。12：剪应变，与两个坐标方向一致的直角变小为正，变大为负。图21 单层的正轴及其应力分量)1(1)1(2Lv)2()2(21Tv1)1(11LE1)1(2LLE.(1)2)2(1TTE21)2(21TE.(2)由12引起的应变：12211LTG.(3)由2引起的应变：泊松比纵向?L 由纵向应力1 引起横向应变的耦合系数横向?Tn上标（1）、（2）代表应力,下标1、2代表方向。因此，由1引起的应变：n综合式（1）（3），利用叠加原理，即得单层
3、在正轴方向的应变-应力关系式：2121TLTEE2111TTLEE12121LTG.(4)1(1)1(2Lv)2(2)2(1Tv单层的正轴工程弹性常数一共有5个。可以证明前4个存在如下关系式：TLTLEE.(5)n因此，应变-应力关系式可写成矩阵形式：122112211110000LTGELEELETLTT 系数矩阵各分量可写成：LES111TES122TTES12LTGS166LLES21柔量分量用柔量分量表达的应力应变关系式：应力-应变关系式：1221662221121112210000QQQQQ模量分量 LmEQ 11TmEQ 22LTGQ 66LTEmQ12TLEmQ21其中 1)1(
4、TLmSij与Qij之间存在互逆关系 1ijijSQn可以证明，模量分量或柔量分量存在如下的对称关系式：Q21=Q12 ,S21=S12 因此,表述单层的正轴刚度可以用工程弹性常数（EL、ET、?L、GLT）、模量分量、柔量分量中的任意一组。实验法测EL、ET、GLT、?L，?T,?T可利用(5)式计算。实际复合材料工程中，经常碰到正方对称单层的情况，如1：1经纬交织布成型的玻璃钢其单层就是这种情况，此时，它的刚度参数存在如下关系：Q11=Q22 ,S11=S22 ，EL=ET 这种材料的工程弹性常数测3个就行了。单层为正交各向异性的材料时，工程弹性常数的限制条件：可利用上式限制条件来判断材料
5、的实验数据或正交各相异性的材料模型是否正确。LTTTLLLTTLTLTLEEvEEvGEEEEvv220或；、2.1.2 各种复合材料的单层正轴刚度参数例题：证明：12211221SSQQEETLTL，解：根据线弹性假设，单层在受到应力而引起应变时，单位体积所储存的弹性应变能1212221121W利用应力应变关系，212662222212112211121+21+21+21=QQQQQW）（将上式分别对1与2 求导，得，221121111)(21QQQw222121122)(21QQQw1221、微小地变为而当变形状态由12122211+ddd、则单位体积应变能增量为：12122211+=dd
6、ddw 由于w是1、2、12 的单值连续函数，所以这一增量可写成全微分形式：12122211dwdwdwdw比较上面两个dw式，12122211 www221121111)(21 QQQ222121122)(21 QQQ将它们与应力应变关系式（210）比较，212112122112)(21 )(21 QQQQQQTLTLEEvvSQQ S 122121122.2 单层的偏轴刚度2.2.1 应力转化与应变转化公式 单层的偏轴刚度参数由单层在偏轴下的应力应变关系所确定。正轴下的应力应变关系与偏轴下的应力应变关系可以相互转化。根据材料力学中推导应力转化公式的方法,推得由偏轴应力求正轴应力(称为应力正
7、转换)的公式，如下：式中 m=cos n=sin （为辅助角，偏 轴正轴，逆时针为正，顺时针为负。）上述转换公式（1）可经适当变化改为由正轴应力求偏轴应力（称为应力负转换）的公式：1212=m2 n2 2mn n2 m2 -2mn-mn mn m2-n2xyxy=m2 n2 2mn n2 m2 2mnmn mn m2n2xyxy1212同样，由偏轴应变求正轴应变（应变正转换）的公式（2-24）。图23 铺层角与偏轴应力分量=1212xyxy m2 n2 mn n2 m2 mn2mn 2mn m2n2由正轴应变求偏轴应变（称为应变负转换）的公式。2.2.2 单层的偏轴应力应变关系=m2 n2 2
8、mn n2 m2 2mnmn mn m2n2xyxy1212xyxy=m2 n2 mn n2 m2 mn2mn 2mn m2n21212xyxy=m2 n2 _2mn n2 m2 2mnmn mn m2n2Q11 Q12 0Q21 Q22 00 0 Q661212=m2 n2 _2mn n2 m2 2mnmn mn m2n2Q11 Q12 0Q21 Q22 00 0 Q66xyxy m2 n2 mn n2 m2 mn2mn 2mn m2n2简写成：Q11 Q12 Q16Q21 Q22 Q26Q61 Q62 Q66xyxy=xyxyQij（i，j=1，2，6）称为偏轴模量分量。Qij=Qji这里
9、，即偏轴模量仍具有对称性。同理S11 S12 S16S21 S22 S26S61 S62 S66xyxy=xyxySij（i，j=1，2，6）称为偏轴柔量分量，Sij =Sji 偏轴柔量分量与偏轴模量分量之间存在互逆关系。Qij =Sij-1见书中公式（2-32）（2-34）2.2.3 单层的偏轴模量采用倍角函数的三角恒等式,将偏轴模量公式简单化：Q11Q22Q12Q66Q16Q26=U1（Q）cos2 cos4U1（Q）cos2 cos4U4（Q）0 cos4U5（Q）0 cos4 0 1/2sin2 sin4 0 1/2sin2 sin4 1U2（Q）U3（Q）其中，U1（Q），U2（Q）
10、，U3（Q），U4（Q），U5（Q）称为单层正轴模量的线性组合，也为材料常数，表达式见（2-38），具体值可查表2-4。1、偏轴模量分量的常数项例如：Q11=U1（Q）+U2（Q）cos2+U3（Q）cos4=+Q11只有增加U1（Q）才能有效增加 Q11。在各向同性材料的情况下，Q11=U1(Q),因此常数项又具有相当各向同性材料模量。据此可以将常数项：U1（Q）称为复合材料的各向同性拉伸模量；U5（Q）称为复合材料的各向同性剪切模量。因此，为提高复合材料的刚度，需提高 U1（Q）与U5（Q）的值。2、偏轴模量分量的周期项幅值 U2（Q），U3（Q）是模量分量中周期项的幅值，U2（Q）大于
11、U3（Q）（表2-4），所以U2（Q）影响复合材料各向异性程度大些。3、偏轴模量分量之间的关系偏轴模量6个分量正轴模量4个分量 4、偏轴模量分量的估算值（P21参见18）为方便起见，用近视公式来估算偏轴模量分量（公式2-38中第一项），即：U1（Q）=3/8Q11U2（Q）=1/2Q11U3（Q）=U4（Q）=U5（Q）=1/8Q11)(22)(4)(1122211QQUUQQQ)(4)(51266QQUUQQ2.2.4 单层的偏轴柔量 同样，通过三角恒等式,将偏轴柔量公式简化为：S11S22S12S66S16S26=U1（S）cos2 cos4U1（S）cos2 cos4U4（S）0 cos
12、4U5（S）0 cos4 0 sin2 2sin4 0 sin2 2sin4 1U2（S）U3（S）其中，U1（S），U2（S），U3（S），U4（S），U5（S）称为单层正轴柔量的线性组合，也为材料常数，见表2-5。2.2.5 单层的偏轴工程弹性常数 单层的偏轴工程弹性常数是单层在偏轴下由单轴应力或纯剪应力确定的刚度性能参数。1、单层的偏轴工程弹性常数定义 可分别设：x0，y=xy=0；y0，x=xy=0；xy0，x=y=0。三种情况来定义单层的 偏轴工程弹性常数。第一种情况时，由偏轴应变应力关系式（2-30），可得：xxxyxxyxxxSSS61)(21)(11)(所以，单层的偏轴工程弹性
13、常数与柔量分量之间的关系：Sxxxxx11)(1E 轴向拉压弹性模量SSxxxyx1121)()(v泊松耦合系数SSxxxxyxxy1161)()(,拉剪耦合系数 反过来，可以写出以偏轴工程弹性常数表示偏轴柔量分量的关系式。类似地可求得第二种、第三种情况，书中公式（254）、（255）。由于柔量分量的对称性Sij=Sji,所以偏轴工程弹性常数具有如下关系式：xyyxyyyxyxyxxyxxxyyxyxGEGEEE,2、偏轴工程弹性常数的转换关系 由正轴工程弹性常数可求出偏轴工程弹性常数的转换关系：公式（258）。注意：注意：单层的各个偏轴工程弹性常数的最大值与最小值并不一定发生在材料主方向上，
14、要具体材料具体分析。极值分析是作出这种分析的一种重要方法。根据偏轴工程弹性常数随的变化曲线，可以简单地判断复合材料在单轴应力或纯剪应力时的变形形状。如图28。3、偏轴工程弹性常数与偏轴模量的关系 偏轴工程弹性常数是单轴应力或纯剪应力下定义的一些系数。偏轴模量是平面应力状态下应力应变关系中的一些系数。可以将单轴应力或纯剪应力看作平面应力状态的特殊情况，得到偏轴工程弹性常数与偏轴模量的关系式。例2.4 例2.61.最大应力失效准则2.3 单层的强度2.3.1 单层的基本强度 单层的4个工程弹性常数（EL，ET，VL，GLT）和5个基本强度（Xt，Xc，Yt，Yc，S），一般统称为复合材料的9个工程
15、常数。2.3.2 单层的失效准则 单层的失效准则是以判别单层在偏轴向应力作用或平面应力状态下是否失效的准则。1Xt （压缩时|1|Xc）2Yt （压缩时|2|Yc）|12|S 2.最大应变失效准则 LTsTcycTtytLcxcLtxtGSEYEYEXEX ，当单层在平面应力的任何应力状态下，单层正轴向的任何一个应力分量达到极限应力时，单层就失效。1 xt （|1|xc）2 Yt （|2|Yc）|12|s 同样，当单层在平面应力的任何应力状态下,单层正轴向的任何一个应变分量到达极限应变时，单层失效。根据材料线弹性假设，失效准则中的极限应变与基本强度的对应关系：根据上面的公式（2-80），可将最
16、大应变失效准则改写成用应力和基本强度表达的形式：SYYXXtTtTtLtL|)()(1212122121压缩时：压缩时：将上式与最大应力失效准则比较可知，最大应变失效准则中考虑了另一弹性主方向应力的影响。如果泊松耦合系数值很小，这一影响则很小。3、蔡希尔（Tsai-Hill)失效准则 单层的蔡希尔失效准则由下式表示：1)()()(2122212221SXYX 蔡希尔失效准则将基本强度X、Y、S联系在一个表达式中，考虑了它们之间的相互影响。但是，对于拉、压强度不同的材料，这一失效准则不能用一个表达式同时表达拉、压应力的两种情况。4、霍夫曼（Hoffman）失效准则1221221222121SYY
17、YYXXXXYYXXcttccttcctct对于拉、压强度不同的材料可用同一表达式给出。5、蔡胡（Tsai-Wu）失效准则 单层的蔡胡失效准则由下式表示：1222112666222221122111FFFFFF126212662211 11 11 1 1 1 ctctctctYYFXXFSFYYFXXF式中 当材料的拉、压强度相等时，蔡胡与蔡希尔失效判据相当，只是1 2项的系数不同，前者为2F12，后者为1/X2。所以蔡胡失效准则更具有普遍性，且考虑了1 2项系数的正确取值。2.3.3 单层的强度比方程1.强度比的定义 单层在作用应力下，极限应力的某一分量与其对应的作用应力分量之比值称为强度/
18、应力比，简称强度比，记为 R，即)6,2,1()(iRiai强度比R取值的含义：（1）R=表明作用的应力为零；（2）R1表明作用应力为安全值，R-1表明作用应力到单层失效时尚可增加的应力倍数；（3）R=1表明作用的应力正好达到极限值；（4）R1表明作用应力超过极限应力，所以没有实际意义。但设计计算中出现R1仍然是有用的，它表明必须使作用应力下降，或加大有关结构尺寸。2.强度比方程 利用强度比定义式，各种失效准则表达式均可变成其对应的强度比方程。蔡胡失效准则其对应的强度比方程为：01)()2(221122666222221122111RFFRFFFF 上式为一元二次方程，可对R求解。例题：2.7
19、 例题：2.82.4 单层的三维应力应变关系 前面讨论单层的刚度与强度都是基于单层为平面应力状态下的应力应变关系。本节将讨论单层的三维应力应变关系，以及它与平面应力状态下应力应变关系之间的联系。2.4.1 单层的一般三维应力应变关系 在线弹性、小变形的情况下，单层在任意符合右手螺旋规则的坐标系xyz下（图213），仿照平面应力状态下利用叠加原理得到应变应力关系，推广到具有三维应力状态的情况，得到单层的一般三维应变应力关系式：或简写成 S式中Sij称为三维柔量分量。图213 在任意坐标系xyz下的单层91)-(2 66656463626156555453525146454443424136353
20、4333231262524232221161514131211xyzxyzzyxxyzxyzzyxSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS反知，单层的一般三维应力应变关系式：或简写成 C式中Cij称为三维模量分量。显然，三维模量分量构成的矩阵与三维柔量分量构成的矩阵是互逆的，即 11 ,CSSC93)-(2 666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211xyzxyzzyxxyzxyzzyxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC模量分
21、量与柔量分量均称为弹性系数，在线弹性的情况下，jiijjiijSSCC 所以弹性系数实际为21个。2.4.2 单层的正轴三维应力应变关系 当xyz坐标系正好位于具有正交各向异性的单层的主方向上，将坐标轴x、y、z改为1，2，3，且1、2为单层面内主方向（约定1轴为刚度较大的主方向），3为垂直单层面的轴（图214），那么，一点处的线应变1、2、3只与该点处的正应力1、2、3有关，而与剪应力无关。同样，该点处的剪应变图214 在正轴坐标系123下的单层1、2、3分别仅与剪应力有关，而与正应力无关。所以单层正轴三维应变应力关系式为：或简写成 S式中Sij称为三维正轴柔量分量，三维正轴柔量分量的如下各
22、分量为零。056464536353426251424161514SSSSSSSSSSSSS97)-(2 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 123123321665544333231232221131211123123321SSSSSSSSSSSS若上述应变应力关系式改为用应变表示应力，即得单层的正轴三维应力应变关系式：式中Cij称为三维正轴模量分量，正轴模量分量与正轴柔量分量均称为正轴弹性系数。类似于式（295）与（296），有所以独立的正轴弹性系数为9个。100)-(2 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0
23、0 0 0 0 0 0 123123321665544333231232221131211123123321CCCCCCCCCCCC 103)-(2 102)-(2 S 11jiijjiijSSCCCSC2.4.3 横向各向同性单层的正轴三维应力应变关系式 单层中的无纬单层通常具有横向各向同性的性能，即垂直于纤维的平面为各向同性面（如图214的23面）。由于横向各向同性，所以)(2 232244665522331213SSSSSSSSS 因此，横向各向同性单层独立的正轴弹性系数减至为5个。横向各向同性单层的正轴三维应变应力关系式可写为：106)-(2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00
24、 0 )2(0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 12312332166662322333231232221131211123123321SSSSSSSSSSSSS2.4.4 单层的偏轴三维应力应变关系式 对于与单层面内主方向1、2成铺层角的x、y轴情况，此时Z轴与主方向3仍相同，则可以证明，三维的应变应力关系式为如下形式:110)-(2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6636261655454544363332312623222116131211xyzxyzzyxxyzxyzzyxSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS由于单层对3轴对称，单层在偏轴下
25、的弹性系数为13个。2.4.5 与平面应力状态的关系 单层按平面应力状态进行分析时，在偏轴下（z轴与主方向3仍相同），由公式（2111），得0zxyzz只考虑x、y、xy等面内应力分量。而应力应变关系式为：111)-(2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6636261655454544363332312623222116131211xyzxyzzyxxyzxyzzyxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 上式表明，单层的偏轴模量分量与三维的模量分量是不同的，存在式（2117）的关系式。由式（2111）得036333231xyzyxzCCCC)(13632313
26、3xyyxzCCCC代入式（2111）的x式中得xyxxxCCCCCCCCCCC)()()(63331316233313123321311将上式与偏轴应力应变关系比较，可知 6333131616233313121233131111CCCCQCCCCQCCCQxyyxxyxyyxyxyyxxSSSSSSSSS662616262212161211 但通过（2110）我们可以推导平面应力状态的柔量分量仍为Sij。2232)2(2)2(3322212)2(2)2(11222)2(222 1SSSSSE类似地，可推出1、3主方向上的拉压弹性模量及剪切弹性模量。例2.9 例2.10 2.4.6 单层的三维
27、工程弹性常数 单层的三维工程弹性常数是单层在三维情况下，由单轴应力或纯剪应力确定的刚度性能参数。以单层的正轴情况为例：232232222221221123123312 0 0 SSS）（）（）（可得，而，设例如：定义2轴的拉压弹性模量：习题n21 解：1212212211111GEEvEvE122112211000101GEEvEvE)(2 121166SSS12212222122100011011GvEvvEvvEvE2/)(121166CCC22解：APEvEvLLLL12APEvEvLLLL21因此，它们的直径变化相同。23解：（1）可通过柔量分量的表达式，转换，求Q（模量分量）。公式（
28、28）、（211）（2）利用数学方式，模量分量与柔量分量之间存在互逆关系。【Q】=【S】-121222112211SSSSQ21222111212SSSSQ21222111122SSSSQ66661SQ21222112211QQQQS21222111212QQQQS21222111122QQQQS66661QS24 答：（1）复合材料在线弹性与小变形情况下，材料力学中的应变叠加原理仍适合。（2）由公式（27）或（29）122112211110000LTGELEELETLTT25 答：Q11为模量分量，EL为纵向弹性模量。LTLTLLEQvvvvEQ1111 110 )1(26 解：平面应力状态
29、下，单层正轴应变应力关系式：122112211110000LTGELEELETLTTAPEvvAPEvEEvAPEAPEvEEAPEvLLTLLTTTLLLTTLL1)1(1 01 0 )1(12222即：图中：）中的变形小。图（又应取负值。1 E 21LTEPAPEvvAPEEvAPEvEAPEvETLTTLLTTLTTL1)1(1 01 0 )2(121111即：图中：28 证：设最大主应力方向为1、2方向，由应力转换公式（221），0 2 2 002212212222221221xyxyxymnmnnmmnmnmnmnmnnm由应变转换公式（224），Gmnmnnmmnmnmnmnmnn
30、mxyxyxy12222221221 0022同时，根据单层的正轴应变应力关系，可得，02112211110000GEEEE)1(2 )1(2 )1(2)1(11vEGvEmnGmnvEmnEvxyxyxy2-10 解：0)(21)(21)(21 )1(2211)(2LLTLQmEmEmEmEQQU0121)1(281 )1(24121181 )42(81 )2(222266122211)(3vEvEvvEvvEvEvEQQQQUQ212 解:偏轴柔量有6个分量，正轴柔量只有4 个分量。)(11266)(4)(11222114)(22sssUSSUUSSS偏轴工程弹性常数关系式见公式（257）
31、。GPaSGGGPaSEGPaSEGPaUUSEGPaUUSGGPaUUSExyxyxxSSxSSxySSx53.317.1717.1715.10)31.19(81.7511176.7)31.19(41.20614115.10)31.19(81.75111 13266)90()0(11)90(11)0()(3)(111)45()(3)(566)45()(3)(111)45(解：)90()0()45()0()90()45(xyxyxyxxxGGGEEE214 解：由偏轴工程弹性常数与柔量分量之间的关系：4cos2cos1 1)(3)(2)(111sssxxUUUESELTLLTTLTTLGEvEvSSGSESES代入上式，可求得又2112662211 1 1 1 LLTLxLTSSxEvEEESGSSSSSSSSUUE211411 )2(81)233(8111 ,45666612221166122211)(3)(10LTLLLTTLxLLLTTLxGEvGEEEEvGnmEnEmE )21(4141411 )21(1582 2452244）由公式（：方法215 解：.G=22=LT12yxahP和变公式，求得再由正轴应变求偏轴应 216 解：画出薄壁圆管受力图。x ，y ，xy=利用偏轴的应变应力关系式求出应变。要使圆管不发生轴向变形，需使x=0
