1、子空间的定义子空间的定义子空间的交与和子空间的交与和目录 下页 返回 结束 子空间的直和子空间的直和子空间的定义子空间的定义 定义定义 7 数域数域 P 上线性空间上线性空间 V 的一个非空子的一个非空子集合集合W 称为称为 V 的一个的一个线性子空间线性子空间(或简称或简称子空间子空间),如果如果 W 对于对于 V 中所定义的加法和数量乘法两种运中所定义的加法和数量乘法两种运算也构成数域算也构成数域 P 上的线性空间上的线性空间.首页 上页 下页 返回 结束 二、非空子集构成子空间的条件二、非空子集构成子空间的条件设设 W 是是 V 的子集合的子集合.因为因为 V 是线性空间是线性空间.所所
2、以对于原有的运算，以对于原有的运算，W 中的向量满足线性空间定中的向量满足线性空间定义中的八条规则义中的八条规则中的规则中的规则 1),2),5),6),7),8)是显是显然的然的.为了使为了使 W 自身构成一线性空间自身构成一线性空间,主要的条件主要的条件是要求是要求 W 对于对于 V 中原来运算的封闭性中原来运算的封闭性,以以及规则及规则 3)与与 4)成立成立.即即 1.W 对数量乘法运算封闭，即若对数量乘法运算封闭，即若 W,k P,则则 k W.2.W 对加法运算封闭，即若对加法运算封闭，即若 W,W，则则 +W.首页 上页 下页 返回 结束 3.0 W.4.若若 W,则则 -W.不
3、难看出不难看出 3,4 两个条件是多余的两个条件是多余的,它们已经包它们已经包含在条件含在条件 1 中中,作为作为 k=0 与与-1 这两个特殊情形这两个特殊情形.因此因此,我们得到我们得到 定理定理 2 如果线性空间如果线性空间 V 的非空子集合的非空子集合 W 对对于于 V 的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么W就是一个子空间就是一个子空间.即：设即：设W是线性空间是线性空间V的一个非空子集的一个非空子集.如果如果1)(W对加法封闭对加法封闭)2)(W对数量乘积封闭对数量乘积封闭),;WW 设设则则,.W kPkW设设则则则则W是是V的一个子空间的一
4、个子空间.首页 上页 下页 返回 结束 既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上以应用到线性子空间上.因为在线性子空间中不可能比在整个空间中有因为在线性子空间中不可能比在整个空间中有更多数目的线性无关的向量更多数目的线性无关的向量.所以所以,任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数的维数.,.VWVW k lPklW 线线性性空空间间 的的一一个个非非空空子子集集作作成成 的的子子空空间间都都有有定理定
5、理2可改写成可改写成:首页 上页 下页 返回 结束 例例1 在线性空间中，由单个的零向量所组成在线性空间中，由单个的零向量所组成的的子集合是一个线性子空间，它叫做子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间零子空间.例例2 线性空间线性空间 V 本身也是本身也是 V 的一个子空间的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时候叫做个子空间有时候叫做平凡子空间平凡子空间，而其它的线性子，而其它的线性子空间叫做空间叫做非平凡子空间非平凡子空间.例例3 在全体实函数组成的空间中在全体实函数组成的空间中,所有的实所有的实系系数多项式组成一个子空间数
6、多项式组成一个子空间.例例4 P x n 是线性空间是线性空间 P x 的子空间的子空间.首页 上页 下页 返回 结束 1111221211222211220,0,05nnnnnsssnnPa xa xa xa xa xaxa xa xa x 在在线线性性空空间间中中，齐齐次次线线性性方方组组例例程程的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的次线性方程组的解空间解空间.解空间的基就是方程组解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于的基础解系，它的维数等于 n-r,其中其中 r 为系数矩为系数矩阵的秩阵的秩.首页 上页 下页 返回 结
7、束 12.6n nPnWnWP 数数域域 上上全全体体 级级对对称称矩矩阵阵所所成成之之集集和和全全体体 级级反反对对称称矩矩阵阵所所成成之之集集都都 例例作作成成的的子子空空间间1,A BWAA BB证证 设设则则于于是是()ABABAB1.ABW所所以以,kP 又又设设于于是是()kAkAkA1.kAW 所所以以1.n nWP 故故是是的的子子空空间间2,A BWAA BB 设设则则于于是是首页 上页 下页 返回 结束()()ABABABAB 2.ABW所所以以,kP 又又设设于于是是()()()kAkAkAkA 2.kAW 所所以以2.n nWP 故故是是的的子子空空间间例例7 证明集合
8、证明集合W=(0,x2,x3,xn)|x2,x3,xn R 是是 Rn 的子空间，并求它的一组基，确定它的维的子空间，并求它的一组基，确定它的维.解解 任取任取 1=(0,a2,a3,an)W,1=(0,b2,b3,bn)W,首页 上页 下页 返回 结束 10k R 为任意实数为任意实数.因为因为 1+1=(0,a2+b2,a3+b3,an+bn)W,k 1=(0,ka2,ka3,kan)W,即即 W 对加法和数量乘法都是封闭的，所以对加法和数量乘法都是封闭的，所以W 是是 Rn的子空间的子空间.取取e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),.en=(0,0,0,1).首页 上页 下
9、页 返回 结束 11显然显然 e2,e3,en W,且线性无关，又因为且线性无关，又因为 W 中中任一向量任一向量 =(0,a2,a3,an)，有，有 =a2 e2+a3 e3+an en ，所以所以e2,e3,en 即为即为 W 的一组基的一组基,W 的维是的维是n 1.(,)|WaaaPP3 31313不不是是例例8 8 的的子子空空间间.(,)(,).aaaaW事事实实上上有有2 132 262 132 26首页 上页 下页 返回 结束 12三、生成子空间三、生成子空间 设设 1,2,r 是是线性空间线性空间 V 中一组中一组向量，向量，这组向量所有可能的线性组合这组向量所有可能的线性组
10、合 k1 1+k2 2+kr r所成的集合是非空的所成的集合是非空的,而且对两种运算封闭而且对两种运算封闭,因而是因而是 V 的一个子空间，这个子空间叫做的一个子空间，这个子空间叫做由由 1,2,r 生成的子空间生成的子空间,记为记为L(1,2,r).关于向量组生成的子空间，有关于向量组生成的子空间，有 1)设设 W 是是 V 的一个子空间的一个子空间,且且 W 包含包含 1,2,r 则则首页 上页 下页 返回 结束 13L(1,2,r)W.2)设设 V 是一个有限维线性空间是一个有限维线性空间,W 是是 V 的一个的一个子空间子空间,则则 W 也是有限维的也是有限维的.设设 1,2,r是是
11、W 的一组基，就有的一组基，就有 W=L(1,2,r).首页 上页 下页 返回 结束 定理定理3 1)两个向量组生成相同子空间的充分两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价必要条件是这两个向量组等价.2)L(1,2,r)的维数等于向量组的维数等于向量组 1,2,r 的秩的秩.证证 1)设设 1,2,r 与与 1,2,s是两是两个向量组个向量组.如果如果L(1,2,r)=L(1,2,s),那么每个向量那么每个向量 i (i=1,2,r)作为作为 L(1,2,s)中的向量都可以被中的向量都可以被 1,2,s 线性表出线性表出;首页 上页 下页 返回 结束 同样每个向量同样每个向量
12、j (j=1,2,s)作为作为 L(1,2,r)中的向量也都可以被中的向量也都可以被 1,2,r 线性表线性表出，因而这两个向量组等价出，因而这两个向量组等价.如果这两个向量组等价如果这两个向量组等价,那么凡是可以被那么凡是可以被 1,2,r 线性表出的向量都可以被线性表出的向量都可以被 1,2,s线性表出，反过来也一样，因而线性表出，反过来也一样，因而L(1,2,r)=L(1,2,s).2)设向量组设向量组 1,2,r 的秩是的秩是 s,而而 1,2,s(s r)是它的一个极大线性无关组是它的一个极大线性无关组.因因首页 上页 下页 返回 结束 为为 1,2,r 与与 1,2,s 等价，所以
13、等价，所以L(1,2,r)=L(1,2,s).由定理由定理1 1,2,s 就是就是 L(1,2,r)的一的一组基，因而组基，因而 L(1,2,r)的维数就是的维数就是 s.首页 上页 下页 返回 结束 定理定理 4 设设 W 是数域是数域 P 上上 n 维线性空间维线性空间 V 的一的一个个 m 维子空间维子空间,1,2,m 是是 W 的一组基的一组基,那么那么这组向量必定可扩充为整个空间的基这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就也就是说在是说在V 中必定可以找到中必定可以找到 n-m 个向量个向量 m+1,m+2,n,使得使得 1,2,n 是是 V 的一组基的一组基.证证 对维数差对维数差
14、n-m 作归纳法作归纳法,当当 n-m=0时时,定理显然成立，因为定理显然成立，因为 1,2,m 已经是已经是 V的基的基.现在假设现在假设 n-m=k 时定理成立时定理成立,我们考虑我们考虑n-m=k+1的情形的情形.既然既然 1,2,m 还不是还不是 V 的基，它又是线的基，它又是线首页 上页 下页 返回 结束 性无关的，性无关的，1,2,m 线性表出，线性表出，,m ,m+1 必定是线性无关的必定是线性无关的(参看第参看第 3 节中的节中的由定理由定理3,子空间子空间L(1,2,m,m+1)是是 m+1 维的维的.因为因为 n-(m+1)=(n-m)-1=k,由归纳法假设，由归纳法假设，
15、L(1,2,m,m+1)的基的基 1,2,m,m+1那么在那么在 V 中必定有一个向量中必定有一个向量 m+1不能被不能被把把 m+1 添加进去添加进去 1,2,第三个结论第三个结论.)可以扩充为整个空间的基可以扩充为整个空间的基.根据归纳法原理根据归纳法原理,定理得证定理得证.首页 上页 下页 返回 结束 例例9 在在 P 4 中中,求向量求向量 i(i=1,2,3,4)生生成的成的子空间的基与维数子空间的基与维数.1234(1,1,0,1),(0,1,2,4),(2,1,2,2),(0,1,1,1).解解 由定理由定理3知知,向量组向量组 1,2,3,4 的任一极的任一极大无关组都是由它生
16、成的子空间大无关组都是由它生成的子空间L(1,2,3,4)的的基基,而向量组而向量组 1,2,3,4 的秩即为子空间的维数的秩即为子空间的维数.下面用矩阵的初等行变换下面用矩阵的初等行变换,求向量组求向量组 1,2,3,4 的秩和一个极大无关组的秩和一个极大无关组.首页 上页 下页 返回 结束 20令令123410201111(,)02211421A 10200110.00010000 行变换行变换所以子空间所以子空间 L(1,2,3,4)的基为的基为 1,2,4,维数为维数为 3.首页 上页 返回 结束 21子空间的交子空间的交1212,.5,V VVVVV 如如果果是是线线性性空空间间 的
17、的两两个个定定理理 子子空空间间则则它它们们的的交交也也是是 的的子子空空间间1212120,0,0,.VVVVVV 证证 首首先先由由可可知知所所以以121,VVV 其其次次 对对，则则2,V12.VV 于于是是2,V 121,V VVV因因是是 的的子子空空间间 所所以以有有12,kVkV 1212,VVkPVV 又又若若，则则有有12.kVV 于于是是首页 上页 下页 返回 结束 22子空间的交的运算规律子空间的交的运算规律:1)交换律交换律 V1V2 =V2V1；2)结合律结合律 (V1V2)V3 =V1(V2V3).由结合律，我们可以定义多个子空间的交：由结合律，我们可以定义多个子空
18、间的交：121,ssiiVVVV 12121212|,.,VVVVV VV V 称称且且为为交交简简空空间间的的称称的的交交.它也是子空间它也是子空间.首页 上页 下页 返回 结束 12.VVV故故是是 的的子子空空间间 23二、子空间的和二、子空间的和 定义定义8 设设 V1,V2 是线性空间是线性空间 V 的两个子空间的两个子空间,所谓所谓 V1 与与 V2 的的和和，是指由所有能表示成，是指由所有能表示成 1+2，而而 1 V1，2 V2 的向量组成的子集合，记的向量组成的子集合，记作作 V1+V2，即，即V1+V2=|=1+2,1 V1,2 V2 首页 上页 下页 返回 结束 2412
19、12,.6,V VVVVV 如如果果是是 的的两两个个子子空空 间间 则则它它们们的的和和也也是是定定的的子子空空间间理理121112221212,VVVV 其其次次有有使使得得1212()()于于是是 1122()()121000,.VVVV 证证 首首先先因因所所以以12111222,V VVVV因因是是 的的子子空空间间 故故有有12.VV于于是是首页 上页 下页 返回 结束 25121211221212|,.VVVVVVVV 称称为为和和空空间间,简简,的的和和的的称称注：注：12121212(1),VVVVVVVV 或或但但 或或12121212 (2),.VVVVVVVV一一般般地
20、地,与与的的并并集集不不作作成成子子空空间间另另外外显显然然有有 1212(3).VVVV 注注意意区区别别与与的的构构造造特特点点 121212 ().kkkkVV同同样样12.VVV 故故是是 的的子子空空间间首页 上页 下页 返回 结束 26子空间的和的运算规律子空间的和的运算规律1)交换律交换律 V1+V2 =V2+V1；2)结合律结合律 (V1+V2)+V3 =V1+(V2+V3).由结合律，我们可以定义多个子空间的和：由结合律，我们可以定义多个子空间的和：121ssiiVVVV 的向量组的子空间的向量组的子空间.它是由所有表示成它是由所有表示成 1+2+s ,i Vi(i=1,2,
21、s)首页 上页 下页 返回 结束 27三、子空间的交与和的性质三、子空间的交与和的性质 1.设设 V1,V2,W 都都是子空间，那么由是子空间，那么由W V1 与与W V2可推出可推出W V1V2;而由而由W V1与与W V2可可推出推出 W V1+V2.2.对于子空间对于子空间V1,V2,以下三个论断是等价的以下三个论断是等价的:1)V1 V2；2)V1 V2=V1；3)V1+V2=V2.首页 上页 下页 返回 结束 281211212,01,.VVVVVVVVV 在在三三维维几几何何空空间间 中中 用用表表示示一一条条通通过过原原点点的的直直线线表表示示一一张张通通过过原原点点而而且且与与
22、垂垂直直的的平平面面 则则而而的的和和是是整整个个空空间间例例1V2VO 2 1 12121122|,.VVVVV首页 上页 下页 返回 结束 29 例例2 设设 V1=L(1,2),V2=L(1,3)是是 R3 两两个不同的个不同的 2 维子空间，求维子空间，求 V1 V2 和和 V1+V2，并指，并指它们的几何意义它们的几何意义.解解因为因为 V1 和和 V2 是两个不同的子空间，所以是两个不同的子空间，所以 1,2,3 线性无关，线性无关，从而从而 V1=V2 与题设矛盾与题设矛盾.于是由子空间的交与和于是由子空间的交与和的定义可得的定义可得V1V2=L(1),V1+V2=L(1,2,3
23、)=R3.否则否则 3 可由可由 1,2 线性表示线性表示其几何意义是：其几何意义是：V1=L(1,2)是向量是向量 1,2 所所确定的平面，确定的平面，V2=L(1,3)是向量是向量 1,3 所确定所确定首页 上页 下页 返回 结束 30的平面，的平面，个个 3 维空间维空间.V1V2 是这两个平面的交线，是这两个平面的交线，V1+V2是整是整xoyz 1 2 3V1V2V1V2首页 上页 下页 返回 结束 31例例3 设设 V1,V2 分别是分别是 P 3 中齐次方程组中齐次方程组1111221211222211220,0,0nnnnsssnna xa xa xa xa xaxa xa x
24、a x 1111221211222211220,0,0nnnntttnnb xb xb xb xb xb xb xb xb x 与与首页 上页 下页 返回 结束 3211112211122111122111220,0,0,0nnsssnnnntttnna xa xa xa xa xa xb xb xb xb xb xb x 的解空间的解空间.首页 上页 下页 返回 结束 的解空间，那么的解空间，那么V1V2 就是齐次方程组就是齐次方程组3312121212 ,(,)(,)(,.4)ststVLLL 例例在在一一个个线线性性空空间间 中中 有有11221122()()ssttkkklll1212
25、(,)(,)stLL 证证 11221122ssttkkklll1212(,).stL 12121212(,)(,)(,).ststLLL 所所以以 首页 上页 下页 返回 结束 34四、维数公式四、维数公式12121212,()()()(7)V VVVVVVVV 如如果果是是线线性性空空间间 的的两两个个子子空空间间 则则维维维维数数公公 定定式式理理维维 维维维维1212121212,.,.mV Vn n VVmVV 证证 设设的的维维数数分分别别是是的的维维数数是是取取的的一一组组基基 ，首页 上页 下页 返回 结束 120,.mm 如如果果这这个个基基是是空空集集 下下面面的的讨讨论论
26、中中，不不出出现现 但但讨讨论论同同样样能能进进行行3511211212,mmnmV 将将，扩扩充充为为的的基基 ，221212,.mnmV 也也可可以以扩扩充充为为的的基基 ，1212121212,.mnmnmVV 下下证证 ，是是的的一一组组基基121121221212(,),(,)mnmmnmVLVL 因因为为 ，首页 上页 下页 返回 结束 361212121212 (,)mnmnmVVL 所所以以，12121212,mnmnm 下下证证 ，线线性性无无关关.设设1122111111 0mmnmnmnmnmkkppqq1122111111 mmnmnmnmnmkkppqq 令令 首页
27、上页 下页 返回 结束 3712,VV由由第第一一个个等等式式而而由由第第二二个个等等式式221112.nmnmqqVV 于于是是 12,.m 即即 可可以以被被，线线性性表表示示1122,mmlll 令令 则则221122110mmnmnmlllqq于于是是 2121,mnm 因因线线性性无无关关 得得21210,mnmlllqq 0,因因而而从从而而有有首页 上页 下页 返回 结束 38121212()()()()VVVVmnmnmm 于于是是 维 维维维12nn 12()()VV维维维维1111110mmnmnmkkpp111,mnm 由由于于线线性性无无关关 又又得得1110mnmkk
28、pp 1212121212,.mnmnmVV 这这就就证证明明了了，线线性性无无关关 因因而而它它是是的的一一组组基基首页 上页 下页 返回 结束 39从维数公式可以看到从维数公式可以看到,和的维数往往要比维数和的维数往往要比维数的和来得小的和来得小.例如，在三维几何空间中，两张通例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于维数之和却等于 4.由此说明这两张平面的交是由此说明这两张平面的交是一维的直线一维的直线.首页 上页 下页 返回 结束 40 推论推论 如果如果 n 维线性空间维线性空间 V 中两个子空间中
29、两个子空间 V1,V2 的维数之和大于的维数之和大于 n,那么那么 V1,V2 必含有非零的公必含有非零的公共向量共向量.证证由假设由假设维维(V1+V2)+维维(V1V2)=维维(V1)+维维(V2)n.但因但因 V1+V2 是是 V 的子空间而有的子空间而有维维(V1+V2)n,所以所以维维(V1V2)0.这就是说，这就是说，V1V2 中含有非零向量中含有非零向量.首页 上页 下页 返回 结束 4141123212123121212,(,),(,),(1,2,1,3),(1,1,2,1),(1,3,0,5),(1,0,4,2),(0,5,9,14),5,VP VLVLVV VV 设设其其中
30、中求求的的维维例例数数与与基基.解解因为因为V1+V2=L(1,2,3)+L(1,2)=L(1,2,3,1,2),所以向量组所以向量组 1,2,3,1,2 的一个极大无关组就的一个极大无关组就首页 上页 下页 返回 结束 42是是 V1+V2 的一组基的一组基.把向量组把向量组 1,2,3,1,2 中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵 A，对，对A进行初等行变换，化成行最简形：进行初等行变换，化成行最简形：123121111021305(,)12049315214A 行变换行变换1020101103.0001400000 首页 上页 下页 返回 结束 43由
31、由 A 的行最简形矩阵的行最简形矩阵10201011030001400000 1,2,1 线性无关，且线性无关，且 2=1-3 2+4 1.于是于是 1,2,1 是是 V1+V2 的一组基，维的一组基，维(V1+V2)=3；又由又由A的的行最简形知行最简形知 1,2 是是V1 的一组基的一组基,维维(V1)=2,维维(V1V2)=维维(V1)+维维(V2)-维维(V1+V2)=2+2-3=1.1,2 是是V2 的一组基，维的一组基，维(V2)=2.所以所以首页 上页 下页 返回 结束 44由由 2=1-3 2+4 1 得得 1-3 2=-4 1+2=(-4,-5,7,6)V1V2.于是于是(-
32、4,-5,7,6)是是 V1V2 的一组基的一组基.首页 上页 返回 结束 45子空间的直和子空间的直和 子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊情子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊情形形.定义定义9 设设 V1,V2 是线性空间是线性空间 V 的子空间的子空间,如果如果和和V1+V2 中每个向量中每个向量 的分解式的分解式 =1+2 1 V1,2 V2,是唯一的，这个和就称为直和是唯一的，这个和就称为直和,记为记为 V1 V2.31211212,RVVVV VVV 在在中中 用用表表示示过过原原点点的的直直线线表表示示一一个个 过过原原点点且且与与垂垂直直的的平平面面 则则的的 和和 例例
33、如如是是直直和和.首页 上页 下页 返回 结束 46二、直和的充分必要条件二、直和的充分必要条件 定理定理8 和和 V1+V2 是直和的是直和的充要条件充要条件是等式是等式 1+2=0,1 V1,2 V2,只有在只有在 1,2 全为零向量时才成立全为零向量时才成立.证证定理的条件实际上就是：定理的条件实际上就是：零向量的分零向量的分解解式是唯一的式是唯一的.因而这个条件显然是必要的因而这个条件显然是必要的.下面来下面来证这个条件的充分性证这个条件的充分性.设设 V1+V2，它有两个分解式它有两个分解式 =1+2=1+2，1,1 V1,2,2 V2.于是于是首页 上页 下页 返回 结束 47(1
34、-1)+(2-2)=0,其中其中 1-1 V1,2-2 V2.由定理的条件，有由定理的条件，有 1-1=0,2-2=0,即即 1=1,2=2.这就是说，向量这就是说，向量 的分解式是唯一的的分解式是唯一的.1212.0VVVV 和和为为直直和和的的是是 充充要要条条件件 推推 论论证证先证充分性先证充分性.假设有等式假设有等式证明零向量的分解式唯一证明零向量的分解式唯一.1+2=0,1 V1,2 V2,首页 上页 下页 返回 结束 48那么那么 1=-2 V1 V2.由题设由题设 V1V2=0，得得 1=2=0.这就证明了这就证明了V1+V2 是直和是直和.再证必要性再证必要性.任取向量任取向
35、量 V1V2.于是零向于是零向量可以表示成量可以表示成0=+(-)，V1,-V2.因为是直和，所以因为是直和，所以 =-=0.这就证明了这就证明了V1V2=0.首页 上页 下页 返回 结束 491V2VO 2 1 首页 上页 下页 返回 结束 3121121231212 ,0,.RVVVV VVVVVVVR 在在中中 用用表表示示过过原原点点的的直直线线表表示示一一个个过过原原点点且且与与垂垂直直的的平平面面 则则的的和和是是直直和和.有有 例例1 1 5012121212,|,|2,0.n nVPVAVAAVAVAAVVVVVVVV 设设则则有有 例例 所所 以以 ,.n 这这说说明明任任意
36、意一一个个 级级矩矩阵阵都都可可以以表表成成一一个个对对称称矩矩阵阵和和一一个个反反对对称称矩矩阵阵的的和和 且且表表法法是是唯唯一一的的首页 上页 下页 返回 结束 51 定理定理9 设设 V1,V2是是V 的子空间的子空间,令令 W=V1+V2,则则 W=V1 V2的的充要条件充要条件为为 维维(W)=维维(V1)+维维(V2).证证 因为因为维维(W)+维维(V1V2)=维维(V1)+维维(V2),而由前面定理而由前面定理 8 的推论知的推论知 V1+V2 为直和的充要条为直和的充要条件是件是V1V2=0，这是与维这是与维(V1V2)=0等价的等价的,也就与维也就与维(W)=维维(V1)
37、+维维(V2)等价等价.定理得证定理得证.首页 上页 下页 返回 结束 5212121212,0 .3 nnnV VxxxxxxPVV设设分分别别是是齐齐次次线线性性方方程程组组与与的的解解 空空间间明明 ,例例证证首页 上页 下页 返回 结束 12112201nnxxxVnxxxV 证证 因因的的解解空空间间的的维维数数是是,而而的的解解空空间间的的维维数数是是1 1.11212(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)(1,1,1).nVV 取取的的一一组组基基和和的的一一组组基基则则因因5312()()(1)1()nVVnnP 维维维维维维12 .nPVV故故111110
38、01001010011 121,.nnP 知知线线性性无无关关 从从而而构构成成的的一一组组基基12 .nPVV于于是是又又因因54三、直和补三、直和补 定理定理10 设设 U 是线性空间是线性空间 V 的一个子空间，的一个子空间，那么一定存在一个子空间那么一定存在一个子空间 W 使使 V=U W.这时这时W 叫做叫做 U 的的直和补空间直和补空间(简称简称直和补直和补),显显然然U 也是也是W 的直和补的直和补.12,mU 证证 设设，是是 的的一一组组基基V的的一一组组基基:将将它它扩扩充充为为1212,.mmmn ，12(,),mmnWL，.W则则即即满满足足要要求求令令首页 上页 下页
39、 返回 结束 55311 ,(),(1,1,1),.4 VPULUW设设求求 的的 直直和和补补 例例解解要求直和补要求直和补 W，即要求即要求 W 的一组基的一组基.只需只需把把 U 的基扩充为的基扩充为 P 3 的基的基.取取e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),因向量组因向量组 1,e1,e2 线性无关，所以它即为线性无关，所以它即为 P 3 的基的基,于是取于是取 e1,e2 为为 W 的一组基，即的一组基，即 W=L(e1,e2).3PUW则有则有首页 上页 下页 返回 结束 56四、子空间的直和概念的推广四、子空间的直和概念的推广 定义定义10 设设 V1,V2,Vs 都是线
40、性空间都是线性空间 V 的的子空间子空间.如果和如果和 V1+V2+Vs 中每个向量中每个向量 的的分解式分解式 =1+2+s ,i Vi(i=1,2,s)是唯一的，这个和就称为直和是唯一的，这个和就称为直和.记为记为 V1 V2 Vs .和两个子空间的直和一样，我们有和两个子空间的直和一样，我们有首页 上页 下页 返回 结束 57 定理定理11 设设 V1,V2,Vs 都是线性空间都是线性空间V 的的子空间，则下面这些条件是等价的：子空间，则下面这些条件是等价的：2)零向量的表法唯一；零向量的表法唯一；4)维维(W)=维维(Vi).1);iWV 是是直直和和3)0(1,2,);ijj iVVis 首页 上页 下页 返回 结束 582s 例例如如当当的的情情形形121211221212121212,(1)(2),0,0,0.(3)0.(4)()()().V VVWVVVVVVVVVV 设设是是 的的两两个个子子空空间间 则则下下述述结结论论等等价价：是是直直和和.若若,且且则则 维维维维维维首页 上页 返回 结束
