1、Modern Control Engineering第第 4 章章 计算机控制系统辨识计算机控制系统辨识教材：教材：王万良，物联网控制技术，高等教育出版社，王万良，物联网控制技术，高等教育出版社，20162o 自动控制理论是基于被控对象的数学模型来分自动控制理论是基于被控对象的数学模型来分析和设计控制系统的。因此，建立系统的数学析和设计控制系统的。因此，建立系统的数学模型是现代控制理论研究的基本问题之一。模型是现代控制理论研究的基本问题之一。“系统辨识系统辨识”的任务是研究建立系统数学模型的任务是研究建立系统数学模型的方法。的方法。o 本章简要介绍系统辨识的基本概念、最小二乘本章简要介绍系统辨
2、识的基本概念、最小二乘参数估计方法和系统结构辨识方法。参数估计方法和系统结构辨识方法。第4章 计算机控制系统辨识3第4章 计算机控制系统辨识o 4.1 系统辨识的概念系统辨识的概念 o 4.2 线性静态模型的最小二乘参数估计线性静态模型的最小二乘参数估计o 4.3 线性动态模型的最小二乘参数估计线性动态模型的最小二乘参数估计o 4.4 最小二乘参数估计的递推算法最小二乘参数估计的递推算法o 4.5 线性系统的结构辨识线性系统的结构辨识o 4.6 闭环系统的可辨识性闭环系统的可辨识性o 4.7 MATLAB在系统辨识中的应用在系统辨识中的应用44.1 系统辨识的概念4.1.1 系统辨识的定义系统
3、辨识的定义 o建模的两大类方法：分析法和实验法。建模的两大类方法：分析法和实验法。o分析法建模是应用各种科学定律，根据系统中各个分析法建模是应用各种科学定律，根据系统中各个变量之间的因果关系，推导系统的数学模型。变量之间的因果关系，推导系统的数学模型。o系统辨识是在输入和输出信息的基础上，从一类系系统辨识是在输入和输出信息的基础上，从一类系统中确定一个与所观测系统等价的系统。统中确定一个与所观测系统等价的系统。o系统辨识定义包括三个要素：输入输出数据，模型系统辨识定义包括三个要素：输入输出数据，模型类，等价准则。类，等价准则。o系统辨识是按照一个等价准则，在模型类中选择一系统辨识是按照一个等价
4、准则，在模型类中选择一个与输入、输出数据拟合得最好的模型。个与输入、输出数据拟合得最好的模型。5（1）黑箱问题，也叫完全辨识问题：被辨识对象的基）黑箱问题，也叫完全辨识问题：被辨识对象的基本特性是完全未知的。本特性是完全未知的。（2）灰箱问题，又叫不完全辨识问题：在辨识前已知）灰箱问题，又叫不完全辨识问题：在辨识前已知道系统的一些基本特征。例如：已经知道系统是线性道系统的一些基本特征。例如：已经知道系统是线性的，其通频带大致是多少，不能确切知道的只是系统的，其通频带大致是多少，不能确切知道的只是系统的动态方程的阶次以及方程的系数值等。的动态方程的阶次以及方程的系数值等。o许多工程上的辨识问题属
5、于灰箱问题，系统辨识内许多工程上的辨识问题属于灰箱问题，系统辨识内容就简化成阶的辨识和参数估计问题了。容就简化成阶的辨识和参数估计问题了。4.1 系统辨识的概念64.1 系统辨识的概念4.1.2系统辨识的基本内容系统辨识的基本内容被控对象参数估计试验设计模型结构的确定模型验证物理定律验前信息最终模型输入输出7 4.2.1 参数估计问题参数估计问题4.2 线性静态模型的最小二乘参数估计系统参数 12,nx1x2xnyo若已知系统的输入输出关系为下列线性关系：若已知系统的输入输出关系为下列线性关系：nnxxxy2211设对输入、输出进行设对输入、输出进行m次观测得到的数据为次观测得到的数据为 x1
6、(i)，x2(i)，,xn(i)，y(i)，i=1,2,m。现在的问。现在的问题是：怎样根据这些观测数据估计系统的参数题是：怎样根据这些观测数据估计系统的参数n,2184.2.1 参数估计问题o 如果模型准确，测量数据也准确，则只要如果模型准确，测量数据也准确，则只要n组测量组测量数据，构成下列线性方程组，解线性方程组就可唯数据，构成下列线性方程组，解线性方程组就可唯一地确定系统参数一地确定系统参数n,21)()()()(2211ixixixiynni=1,2,n XY YX1)()2()1(nyyyYn21)()()()2()2()2()1()1()1(212121nxnxnxxxxxxxX
7、nnn94.2.1 参数估计问题o 如果模型不准确，测量数据也有误差，则如果模型不准确，测量数据也有误差，则m组观测数据组观测数据和系统参数间的关系可表示为和系统参数间的关系可表示为 i=1,2,m)()2()1(nyyyYn21)()()()2()2()2()1()1()1(212121nxnxnxxxxxxxXnnn)()()()()(2211ieixixixiynn XY“参数估计参数估计”的任务是用统计方法，从带有噪声的观测的任务是用统计方法，从带有噪声的观测数据中，按照某种准则估计出最接近实际值的参数。数据中，按照某种准则估计出最接近实际值的参数。104.2.2 最小二乘法的基本算法
8、最小二乘法是数学家高斯于最小二乘法是数学家高斯于1795年提出。利用它确定年提出。利用它确定天体星球的运行轨道参数。目前已应用到许多领域，天体星球的运行轨道参数。目前已应用到许多领域，成为参数估计中最基本最成熟的方法。成为参数估计中最基本最成熟的方法。高斯高斯（J.C.F.Gauss）（）（1777年年4月月30日日1855年年2月月23日），日），德国德国著名著名数学家数学家、物理学物理学家家、天文学家天文学家、大地大地测量学家。高斯被认为是测量学家。高斯被认为是最重要的最重要的数学数学家，并拥有数学家，并拥有数学王子王子的美誉。的美誉。卡尔卡尔弗里德里希弗里德里希高斯高斯18岁的高斯发现岁
9、的高斯发现了最小二乘法。通过对足够多的测量数了最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。性质的测量结果。114.2.2 最小二乘法的基本算法下面先以一个例子来介绍最小二乘法的基本原理下面先以一个例子来介绍最小二乘法的基本原理:xy如果没有误差，则只要测量一次输入输出数据即可如果没有误差，则只要测量一次输入输出数据即可确定系数，即确定系数，即 11/xy当存在噪声时，最小二乘法是使系统输出的估计值与当存在噪声时，最小二乘法是使系统输出的估计值与系统输出的实际测量值之差的平方和最小，即系统输出的实际测量值之差的平方和最小，即
10、miixiyJ12min)()(124.2.2 最小二乘法的基本算法对于任一个参数估计值对于任一个参数估计值 miixiyJ12)()(miixixiyJ1)()()(2当当 是最小二乘估计时，是最小二乘估计时，取得最小值取得最小值 JJ0)()()(21miixiyixmimiixiyix1120)()()(mimiixiyix121)()()(134.2.2 最小二乘法的基本算法下面讨论一般情况下面讨论一般情况 nnxxxy2211对上式描述的系统进行对上式描述的系统进行m次实验，则得到次实验，则得到m个方程式：个方程式：)1()1()1()1()1(2211exxxynn)2()2()2
11、()2()2(2211exxxynn)()()()()(2211memxmxmxmynnXY1)()2()1(mmyyyYnmX(m)x(m)x(m)x(2)x(2)x(2)x(1)x(1)x(1)xn21n21n21121nn1)()2()1(mmeee写成矩阵向量形式写成矩阵向量形式 144.2.2 最小二乘法的基本算法miTieJ12)(minXY)()(XYXYJT)(XYXYTTTXXYXXYYYTTTTTTXXYXYYTTTTT2为了求取为了求取 ，下面先给出矩阵微分的公式：，下面先给出矩阵微分的公式：Jnxfxfxfdxxdf21)(AXAXT)(AXXAXXT2)(154.2.
12、2 最小二乘法的基本算法XXYXJTT22022XXYXJTTYXXXTT若测量值构成的矩阵若测量值构成的矩阵 非奇异，则最小二乘估计非奇异，则最小二乘估计 XXTXXYXYYJTTTTT2YXXXTT1)(由于估计值是在取得足够数据后一次计算出来的，所由于估计值是在取得足够数据后一次计算出来的，所以称为一次完成法。以称为一次完成法。164.2.3 最小二乘法的性质1.最小二乘估计的无偏性最小二乘估计的无偏性)()()(11XXXXYXXXTTTTTTTTTTXXXXXXXXXX111)()()(E)(1TTXXXE数学期望（均值）为数学期望（均值）为 若若是均值不为是均值不为0的随机量，最小
13、二乘估计的随机量，最小二乘估计是有偏的。是有偏的。若若 与与X不相关且均值为不相关且均值为0，则，则 E174.2.3 最小二乘法的性质2.最小二乘估计的方差最小二乘估计的方差)(TEVar)()(11TTTTTXXXXXXE)()(11XXXXXXETTTT11)()(XXXEXXXTTTT令令R为残差向量的方差阵，即为残差向量的方差阵，即TER 11)()(XXRXXXXVarTTT若残差是均值为若残差是均值为0、方差为、方差为 的白噪声的白噪声 2IERT2121)()(XXXXXXVarTTT112)()(XXXXXXTTT12)(XXT的物理意义：代表了的物理意义：代表了RL估计误差
14、的方差的大小。估计误差的方差的大小。1)(XXT184.2.3 最小二乘法的性质3.最小二乘估计的一致性最小二乘估计的一致性所谓估计的一致性是指随着观测次数的增加，估计值以所谓估计的一致性是指随着观测次数的增加，估计值以概率收敛于真值。概率收敛于真值。1212)1()(XXmmXXVarTTFXXmTm11lim为非奇异矩阵，则为非奇异矩阵，则 如果如果0lim)1(limlim212FmXXmmmTmm可见：当数据取得足够多时，最小二乘估计误差的方可见：当数据取得足够多时，最小二乘估计误差的方差趋于差趋于0，估计是一致的。，估计是一致的。194.2.2 最小二乘法的基本算法若测量值构成的矩阵
15、若测量值构成的矩阵 非奇异，则最小二乘估计非奇异，则最小二乘估计 XXTYXXXTT1)(最小二乘法的基本算法：最小二乘法的基本算法：1)()2()1(mmyyyYnmX(m)x(m)x(m)x(2)x(2)x(2)x(1)x(1)x(1)xn21n21n21121nn204.2.4 应用举例应用举例例例4.1 建立水泥凝固时放出的建立水泥凝固时放出的热量与水泥成分之间关系的数热量与水泥成分之间关系的数学模型。学模型。水泥凝固时所释放出的热量，水泥凝固时所释放出的热量，取决于该水泥各种成分的含量，取决于该水泥各种成分的含量，设某种水泥的几种成分含量为设某种水泥的几种成分含量为x1，x2，x3，
16、x4，水泥凝固时，水泥凝固时放出的热量为放出的热量为y。设其模型和。设其模型和实验数据如下：实验数据如下：443322110 xaxaxaxaayx1x2x3x4序号x1x2x3x4y172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.421设有一常输入设有一常输入x0=1，则，则4.2.4 应用举例4433221100 xa
17、xaxaxaxay4.1093.1133.1043.745.78Y128681011296611120856111521529116062671XTTTYXXX1441.0,1019.0,5102.0,5511.1,4054.62)(143211441.01019.05102.05511.14054.62xxxxy水泥凝固时放出的热量与水泥成分关系的数学模型为水泥凝固时放出的热量与水泥成分关系的数学模型为 224.2.4 应用举例例例4.2 合成纤维抽丝工段，导丝盘速度对丝的质量影响很大，合成纤维抽丝工段，导丝盘速度对丝的质量影响很大，它和电流周波数有关，由生产记录得到的数据如表它和电流周波数
18、有关，由生产记录得到的数据如表8.2所示所示 周波数x49.250.049.349.049.049.549.849.950.250.2导丝盘速度y16.717.016.816.616.716.816.917.017.017.1图10.3 导丝盘速度与电流周波关系图16.550.0 50.249.849.649.449.2y16.716.917.149.0 x模型结构可以选择为模型结构可以选择为 bxay234.2.4 应用举例2.502.509.498.495.490.490.493.490.502.491111111111TX1.170.170.179.168.167.166.168.160
19、.177.16TY339.0049.0)(1YXXXbaTTxy339.0049.0导丝盘的速度和电流周波数的关系为导丝盘的速度和电流周波数的关系为 由最小二乘法得由最小二乘法得244.2.4 应用举例例例4.3 钢包容积和使用次数的数学模型。钢包容积和使用次数的数学模型。出钢时盛钢水的钢包在使用过程中，由于钢液和炉渣出钢时盛钢水的钢包在使用过程中，由于钢液和炉渣对耐火材料的侵蚀使其容积不断增大。经过实验，钢对耐火材料的侵蚀使其容积不断增大。经过实验，钢包容积（用所盛钢水的重量表示）与使用次数的数据，包容积（用所盛钢水的重量表示）与使用次数的数据，如表如表8.3所示：所示：x23456789y
20、6.428.209.589.509.7010.009.939.99x10111213141516y10.49 10.59 10.6010.8010.6010.9010.76254.2.4 应用举例图10.4 钢包使用次数与容积的实验数据散点图6.0121410864y7.08.09.02x1610.011.0取指数模型：取指数模型：xbaeyxbaylnlnxxaayy1,ln,lnxbay由最小二乘法得由最小二乘法得 1107.1,4578.2baxey11107.16791.11264.3 线性动态模型的最小二乘参数估计线性动态模型的最小二乘参数估计o 设系统由下列设系统由下列n阶差分方程
21、描述：阶差分方程描述：)()()()()1()(01kenkubkubnkyakyakynn)()()()()(11kekuqBkyqAnnqaqaqaqA221111)(nnqbqbbqB1101)(Tnnbbbaaa,1021)()()()1()(nkukunkykykxT)()()(kekxkyTNNNXY274.3 线性动态模型的最小二乘参数估计线性动态模型的最小二乘参数估计o 用矩阵形式表达为：用矩阵形式表达为：NNNXY1)()2()1(NNNnynynyY1)()2()1(NNNnenene)12()()()()1()2()2()2()1()1()1()1()()()2()1(n
22、NTTTNNuNnuNyNnyunuynyunuynyNnxnxnxX NNTNNNTNNnnkXYXYkeJ)(min1228由数学中的极值条件由数学中的极值条件4.3 线性动态模型的最小二乘参数估计线性动态模型的最小二乘参数估计0J NNTNNXYXYJNTNTNTNTNTNXXYXYY2022NTNNTNXXYXJNTNNTNYXXXNTNXX当当满秩，则离散模型参数的最小二乘法估计为满秩，则离散模型参数的最小二乘法估计为 NTNNTNYXXX1观测到观测到N个输入数据以后，根据上式求得参数的估计个输入数据以后，根据上式求得参数的估计值，所以称为一次完成法。值，所以称为一次完成法。29线
23、性动态模型的最小二乘参数估计一次完成法：线性动态模型的最小二乘参数估计一次完成法：讨论：讨论：一次完成算法用于系统辨识存在什么问题？一次完成算法用于系统辨识存在什么问题？4.3 线性动态模型的最小二乘参数估计线性动态模型的最小二乘参数估计NTNXX当当满秩，则离散系统参数的最小二乘法估计为满秩，则离散系统参数的最小二乘法估计为 NTNNTNYXXX11)()2()1(NNNnynynyY)12()()()()1()2()2()2()1()1()1()1()(nNNNuNnuNyNnyunuynyunuynyX30 4.4.1 基本递推算法基本递推算法 4.4 最小二乘参数估计的递推算法最小二乘
24、参数估计的递推算法NTNNTNNYXXX1当又获得了一组新的观测数据当又获得了一组新的观测数据)1(),1(NnuNny111111NTNNTNNYXXX)1(.)1(.)()1(1NnyYNnyNnynyYNN)1(.)1(.)()1(1NnxXNnxNnxnxXTNTTTN)1(NnxT)1(,),1(),1(,),(NuNnuNyNny314.4.1 基本递推算法基本递推算法)1()1()1()1(11NnyYNnxXNnxXNnxXNTTNTNTTNN)1()1()1()1(1NnyYNnxXNnxXNnxXNTNTNTN)1()1()1()1(1NnyNnxYXNnxNnxXXNTN
25、TNTN定义定义1NTNNXXPNTNNNPNnxKPP)1(11)1()1(1)1(1NnxPNnxNnxPKNTNN)1()1(11NTNNNNnxNnyK可得出最小二乘估计的递推公式：可得出最小二乘估计的递推公式：324.4.1 基本递推算法基本递推算法1NTNNXXPNTNNNPNnxKPP)1(11)1()1(1)1(1NnxPNnxNnxPKNTNN)1()1(11NTNNNNnxNnyK总结：最小二乘估计的递推公式总结：最小二乘估计的递推公式)1(NnxT)1(,),1(),1(,),(NuNnuNyNny讨论：讨论：最小二乘法基本递推算法用于系统辨识存在最小二乘法基本递推算法用
26、于系统辨识存在什么问题？什么问题？33o 带遗忘因子的递推最小二乘估计算法的基本思想：重视带遗忘因子的递推最小二乘估计算法的基本思想：重视当前数据，将过去的数据逐渐当前数据，将过去的数据逐渐“遗忘遗忘”掉。掉。4.4.2 带遗忘因子的递推算法带遗忘因子的递推算法)1(1NnyYYNN)1(1NnxXXNN)10()1()1(11NTNNNNnxNnyK)1()1()1(1NnxPNnxNnxPKNTNN)1()1()1(111NnxPNnxPNnxNnxPPPNTNTNNN）（TNuNnuNyNnyNnx)1()1()1()()1(34o 遗忘因子对参数估计结果很有影响遗忘因子对参数估计结果很
27、有影响:o 遗忘因子越小，遗忘越快，越重视当前数据，越能遗忘因子越小，遗忘越快，越重视当前数据，越能反映当前系统的变化，适合于参数变化速度相对于反映当前系统的变化，适合于参数变化速度相对于辨识速度较快的时变系统。辨识速度较快的时变系统。o 遗忘因子越大，越重视历史数据，得到更多的系统遗忘因子越大，越重视历史数据，得到更多的系统信息，辨识的模型精度较高，适合于参数变化速度信息，辨识的模型精度较高，适合于参数变化速度远低于辨识速度的慢时变系统。否则，由于没有充远低于辨识速度的慢时变系统。否则，由于没有充分利用老数据中所含的系统信息，辨识精度较低。分利用老数据中所含的系统信息，辨识精度较低。o 遗忘
28、因子一般在遗忘因子一般在0.950.995的范围内选取。当的范围内选取。当=1时，时，就表示没有就表示没有“遗忘遗忘”，式，式(8.36)就成为式就成为式(8.35)。4.4.2 带遗忘因子的递推算法带遗忘因子的递推算法35o 由观测数据根据某个准则辨识模型的阶次和滞后步由观测数据根据某个准则辨识模型的阶次和滞后步数的过程称为数的过程称为“定阶定阶”。o 定阶一般是按定阶一般是按“假设检验假设检验”的步骤反复进行：由的步骤反复进行：由低阶向高阶逐次假定系统的阶次，分别估计模型的低阶向高阶逐次假定系统的阶次，分别估计模型的参数，然后对得到的模型进行检验，以满足要求的参数，然后对得到的模型进行检验
29、，以满足要求的最低阶作为所确定的模型阶次。最低阶作为所确定的模型阶次。o 低阶模型对系统描述粗糙，但分析设计容易，而高低阶模型对系统描述粗糙，但分析设计容易，而高阶模型对系统描述精度高，但分析设计复杂，尤其阶模型对系统描述精度高，但分析设计复杂，尤其不利于在线辨识与自适应控制。不利于在线辨识与自适应控制。4.5 线性系统的结构辨识线性系统的结构辨识36 1性能指标最小定阶性能指标最小定阶o 对于给定的阶次对于给定的阶次n，最小二乘法是使性能指标，最小二乘法是使性能指标J取最小值条取最小值条件下，得到的参数估计。件下，得到的参数估计。o 给定不同的阶次给定不同的阶次n，可以得到不同的参数估计和相
30、应的性，可以得到不同的参数估计和相应的性能指标最小值。能指标最小值。o 当模型阶次当模型阶次n小于系统实际阶次时，随着小于系统实际阶次时，随着n的增加，性能指的增加，性能指标最小值将明显下降；当模型阶次标最小值将明显下降；当模型阶次n大于系统实际阶次后，大于系统实际阶次后，随着随着n的增加，性能指标最小值的下降并不显著。的增加，性能指标最小值的下降并不显著。o 可以取曲线下降开始变慢的值作为阶的估计。可以取曲线下降开始变慢的值作为阶的估计。o 一般用数理统计中一般用数理统计中“F检验检验”确定曲线下降是否明显，从确定曲线下降是否明显，从而确定模型的阶次。而确定模型的阶次。4.5.1 模型阶次的
31、确定模型阶次的确定374.5.1 模型阶次的确定模型阶次的确定2AIC准则定阶准则定阶对于对于ARMA(n,m)模型阶的估计是使模型阶的估计是使AIC值最小的模型阶次。值最小的模型阶次。若为零均值白噪声序列，若为零均值白噪声序列，AIC具有较简单的形式具有较简单的形式)1(2ln2mnNAICNJ)(2应用应用AIC准则定阶的具体步骤准则定阶的具体步骤1)依次取依次取n=1,2,；m=1,2；m n，用最小二乘法（或其它，用最小二乘法（或其它方法）估计参数值方法）估计参数值 ，并计算，并计算2)由式由式 计算计算AIC。3)找出使找出使AIC最小的最小的n，m作为模型的阶次。作为模型的阶次。)
32、(NNTNNXYXYJ)1(2ln2mnNAIC384.5.2 系统纯时滞的辨识考虑具有纯时滞考虑具有纯时滞d的系统模型：的系统模型：)()()()()1()(01kendkubdkubnkyakyakynn 1参数估计法参数估计法 先给定一个相当大的阶先给定一个相当大的阶 ，以便构造模型，以便构造模型来估计参数来估计参数 ，若得到的估计量，若得到的估计量 ,数值很小，而数值很小，而 ，(i=0,r-1)，则可认为，则可认为r就是纯时滞就是纯时滞d的估计量的估计量 。)(ndnn),1(,nibaii0b1rbirbbrd 394.5.2 系统纯时滞的辨识2 阶的检验法阶的检验法对任何一个设定
33、的阶数对任何一个设定的阶数n，假设不同的，假设不同的d值值d=0,1,2,，然后进行参，然后进行参数估计，比较估计的残数估计，比较估计的残差平方总和，以差平方总和，以J值最小值最小的的d做为时滞量的估计，做为时滞量的估计，因此要在定阶的同时搜因此要在定阶的同时搜索确定索确定d的大小。的大小。输 入 数 据，置 初 值入 口由 给 定 的 n,d进 行 参 数 估 计检 验 d 值检 验 n 值NNYYd =0n =1n =n +1d =d +1最 终 模 型404.6 闭环系统的可辨识性r被 控 对 象uG qF q()()11B qA q()()11C qA q()()11调 节 器ye)(
34、)()()()()()()()()()(11111111keqPqQkeqGqBqFqAqCqFky闭环系统可辨识的第一个条件是闭环稳定，否则，闭环系统可辨识的第一个条件是闭环稳定，否则，不不是平稳随机过程。因此下面设闭环系统是稳定的，由是平稳随机过程。因此下面设闭环系统是稳定的，由 得得)(ky)()()()()(11111qGqBqFqAqP414.6 闭环系统的可辨识性)()1)(1(11101111112211qgqggqbqbqfqfqaqaqpqpqpnnnnll比较上式两边的比较上式两边的 同次幂的系数，可得下列方程组同次幂的系数，可得下列方程组1qjjnjnjnjnjfpgbg
35、bfafafpggbgbafafafpgbgbafafpgba111133012213122122021121111011424.6 闭环系统的可辨识性写成矩阵形式为写成矩阵形式为*S0011001211021120110fgffggffggfgffggfgSnnbbaaa121nppfpfpfp212211*被控对象参数闭环可辨识的条件是调节器的阶次被控对象参数闭环可辨识的条件是调节器的阶次 或或 等于或大于被控对象的阶次等于或大于被控对象的阶次n。434.7 MATLAB在系统辨识中的应用 1.用用th=arx(z,nn)命令实现一次完成最小二乘法命令实现一次完成最小二乘法o th表示用表
36、示用Theta模型格式表示的估计模型。模型格式表示的估计模型。o z=y,u为对象的输入输出数据矩阵，其中为对象的输入输出数据矩阵，其中y为对象为对象的输出数据向量，的输出数据向量，u为对象的输入数据向量。为对象的输入数据向量。y、u均为列向量的形式。均为列向量的形式。o nn=na,nb,nk为模型的阶次和纯时滞大小。对于为模型的阶次和纯时滞大小。对于多输入情况，多输入情况，nb、nk均为行向量的形式。均为行向量的形式。442.用用thm=rarx(z,nn,adm,adg)或或thm,yhat,P,phi=rarx(z,nn,adm,adg,th0,p0,phi0)命令实现递推最小二乘法命
37、令实现递推最小二乘法oz=y,u为对象的输入输出数据矩阵，其中为对象的输入输出数据矩阵，其中y为对象的输出数据为对象的输出数据向量，向量，u为对象的输入数据向量。为对象的输入数据向量。y、u均为列向量的形式。均为列向量的形式。onn=na,nb,nk为模型的阶次和纯时滞大小。为模型的阶次和纯时滞大小。oadm,adg用于指定采用的递推最小二乘方法的类型。用于指定采用的递推最小二乘方法的类型。Adm=ff,adg=lam为采用具有遗忘因子为采用具有遗忘因子lam的递推最小二乘方法。的递推最小二乘方法。oyhat为输出的当前预测矩阵值。为输出的当前预测矩阵值。th0为指定模型参数的初始值。为指定模型参数的初始值。op为当前参数估计的协方差矩阵。为当前参数估计的协方差矩阵。p0为指定参数估计的协方差为指定参数估计的协方差矩阵初值。矩阵初值。ophi为当前的数据向量。为当前的数据向量。phi0为数据向量的初值。为数据向量的初值。psi为梯度为梯度向量。向量。othm为参数估计值矩阵，为参数估计值矩阵，thm的第的第k行为时刻行为时刻k的参数估计值。的参数估计值。4.7 MATLAB在系统辨识中的应用 45THE ENDModern Control Engineering
