1、 本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问题的有力手段，是分析动力学的基础，在解决非自由质点题的有力手段，是分析动力学的基础，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。121 动力学普遍方程动力学普遍方程 122 拉格朗日方程拉格朗日方程 123 拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分 第十
2、二章第十二章 分析动力学基础分析动力学基础 iiiiiiiiamQaNFmM;,:设质点系有设质点系有n个质点个质点，第i个质点0 iQFFiNi12-1动力学普遍方程动力学普遍方程对于整个系统有 0)(1niiiNimiaF FF F0)(1niiiiNimiraF FF F用虚位移原理，对于整个系统有将 作为主动力处理，则：iQ0)(iiirQF解析式解析式：0)()()(iiiiiiiiiiiizzmZyymYxxmX 动力学普遍方程。动力学普遍方程。01niiNirF F 若质点系受有理想约束若质点系受有理想约束，在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的在理想约束的条件下，质
3、点系的各质点在任一瞬时受到的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。例例1 已知重A物重FP，均质圆轮重FC，半径r。绳A和定滑轮B质量不计，轮C作纯滚动。求重物的加速度。0)()(1IICIAPniiMcFAFFrFFIii021)(2rArargFAagFAagFFAPACAPP即 gFFFaCppA232解得 例例2 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为。试求三棱柱A的加速度。解解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。rrBeBrBeBBAmaQmaQ
4、QQQMaQ,由动力学普遍方程：0)sincos()cos(BrBeBArBeBAsQQQxQQQ 系统为二自由度，取互不相关的 为独立虚位移，且 ，所以 BAsx,mgQ0sincos0cosrrmamgmamamaMa解得：gmMma)sin(22sin 2 例例3 均质圆柱体质量均为m，半径均为R，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。设开始运动时细绳为铅直位置，求求圆柱B下落时质心的加速度。AgMBgMBgFBABamg02BggMhFhmg01AggMhFhmg0021、取有0021、取有0212Rag即（1）0211Rag即（2）（3）RRa21 解：解：取轮A和B的转角1、2 为广
5、义坐标，12-2拉格朗日方程拉格朗日方程 设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度 k=3n-s。以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。即第二类拉格朗日方程质点 。若取系统的一组广义坐标为 ，则iiirmM,:kqqq,21)()2,1()(),2,1(),(121bnitrqqrdtrdvanitqqqrrkjijjiiikii称 为广义速度广义速度。dtdqqjj kjjjiicniqqrr1)(),2,1(代入质点系动力学普遍方程，得：niniiiiiiniiiiidramrFramF111)(0)(kjjjQkjjjiinijiijiikjnijjiikjj
6、jiniiniiiqFqqzZqyYqxXqqrFqqrFrF11111111)()()(为广义力广义力 )()(1eqzZqyYqxXFjiijiijiinijQ0)()()(111111jjikjniiijQnijkjjiiikjjjQniiiiiqqrdtvdmFqqramqFramF则)(),2,1(01fkjqrdtvdmFjiniiijQ广义惯性力广义惯性力 广义惯性力可改变为用质点系的动能表示,因此)()(111jiniiijiiniijiniiiqrdtdvmqrvdtdmqrdtvdm为简化计算,需要用到以下两个关系式：jijijijiqvqrdtdqvqr ;下面来推导这两
7、个关系式：第一式只须将(b)式两边对 求偏导数即可得到。jq 第二式可比较(a)式先对ql求偏导数 再对t求导数与(b)式对ql求偏导数的结论得出。:,)()21()21()(1212111得式代入fqTqTdtdvmqvmqdtdqvvmqrvdtdmqrdtvdmjjniiijniijjiniiijiiniijiniiii),1,2,(kjFqTqTdtdjQjj拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。如果作用于质点系的力是有势力，则广义力 可用质点系的势能来表达。jQF),1,2,()(),1,2,()(11kjqUFqzzUqyyUqxxUkjqzZqyYqxXFjjQjiijii
8、jiinijiijiijiinijQ而拉氏方程为：),1,2,(kjqUqTqTdtdjjj引入拉格朗日函数：引入拉格朗日函数：L=T-U 则：),1,2,(0)(kjqLqLdtdjj保守系统的拉格朗日方程。保守系统的拉格朗日方程。1.判定质点系的自由度判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2.计算质点系的动能计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。，表示为广义速度和广义坐标的函数。3.计算广义力计算广义力 ，计算公式为：，计算公式为：
9、),1,2,(kjQj)(1jiijiijiinijqzZqyYqxXQ或jjjqWQ)(4.建立拉氏方程并加以整理，得出建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。个二阶常微分方程。5.求出上述一组微分方程的积分。求出上述一组微分方程的积分。应用拉氏方程解题的步骤：应用拉氏方程解题的步骤：若主动力为有势力，须将势能若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。表示为广义坐标的函数。例例3 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆O
10、A的运动方程。所受约束皆为完整、理想、定常的，可取OA杆转角 为广义坐标。rrRrvrRvAAA)(解解：图示机构只有一个自由度 2222222222222)(92121 )(2121)(21)(3121 212121rRgQPrrRrgQrRgQrRgPIvgQITAAAO0 ;)(9261;)(926122)()(TrRgQPTdtdrRgQPTMWQMW 代入拉氏方程：g)(92(6 0 )(926122rRQPMM rRgQP 积分，得：2122)(92(3CtCgtrRQPM22)(92(3gtrRQPM故：代入初始条件，t=0 时，得0 0,02100C C课堂练习：课堂练习：均质
11、圆轮质量为 ，绳子一端悬挂一质量为 的重物，另一端连接在铅垂的弹簧上。设弹簧的刚度系数为k，试建立系统的运动微分方程。1m2m221222212220)2(4121)(412121xmmxmRxRmxmJTxkxxxkxgmW)(02kxxWFxQ解：解：系统的动能为 广义力 xQFxTxTdtd)(0)2(21)2(212121xTxmmxTdtdxmmxT kxxmm )2(212102221xmmkx 代入拉格朗日方程 有关各项 得 或写成 例例4 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l，摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
12、解解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x,为广义坐标，x 轴 原点位于弹簧自然长度位置，逆时针转向为正。cos2 )sin()cos(222222l xlxllxvB系统动能：系统动能：cos21)(21 )cos2(2121212122222212222212221l xmlmxmml xlxmxmvmxmTB 系统势能系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点）cos2122glmkxU拉格朗日函数：拉格朗日函数：kxxLlmxmmxLglmkxl xmlmxmmUTL ,cos)(cos21cos21)(21 22122
13、2222221 sincos)(sinsin ,cossincos)(22222222222221 l xml xmlmLdtdglml xmLl xmlmLlmlmxmmxLdtd代入：0sin cos0sincos)(),1,2,(0)(22221glxkxlmlmxmmkjqLqLdtdjj 并适当化简得：kxxLlmxmmxLglmkxl xmlmxmmUTL ,cos)(cos21cos21)(21 221222222221 0sin cos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm 系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。0 0)(221glxkxlmxmm 上式为系统在
14、平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动的微分方程。若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 1o,cos 1,sin ，略去二阶以上无穷小量，则课堂练习：课堂练习：均质圆柱体质量均为m，半径均为R，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。设开始运动时细绳为铅直位置，求求圆柱B下落时质心的加速度。解：解：取轮A和B的转角1、2 为广义坐标，取取有即即（1）（2）（3）12-3 拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分 对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。一、能量积分一、能量积
15、分 设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L=T-U 中不显含t，则 jjkjjjkjjjkjjjkjjqqLqLdtdqqLdtdqqLqqLdtdL)()(11110)(1LqqLdtdjkjj)(1常数CLqqLjkjj广义能量积分。广义能量积分。保守系统的拉格朗日函数不显含时间t 时，保守系统的广义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为=0系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。)()(21常数CUTUTTLqqLjkjj二、循环积分二、循环积分 如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qr ,则该坐标称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。当 为系统的循环坐标时，必有)
16、(krqr0rqL于是拉氏方程成为0)(rrqLqLdtd )()(krCqLr常数 积分得：循环积分循环积分因L=T-U，而U中不显含 ，故上式可写成 )()(常数CPqTUTqqLrrrrrq Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。例例 5 楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重Q，半径为 r，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系
17、统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能量积分与循环积分。解：解：研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、定常约束，具有两个自由度。取广义坐标为x,s；各坐标原点均在初始位置。系统的动能系统的动能：)(cos 4321 )(2121)cos2(21212222222asxgQsgQxgQPrsrgQsxsxgQxgPT 系统的势能系统的势能：取水平面为重力势能零点。)()cossin(31brshQPhU拉格朗日函数：拉格朗日函数：)()cossin31 cos 4321 22crsQ(hPhsxgQsgQxgQPUTL 代入
18、保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方程。sin2cos23 0cos)(gxssQxQP （d）解得楔形体的加速度为解得楔形体的加速度为gQQPQx2sin232sin 拉格朗日函数L中不显含 t，故系统存在能量积分。122)cossin(31cos4321CrshQPhsxgQsgQxgQPLqqLjj当t=0时，x=s=0,代入上式中，得 0sx)cos(311rhQPhC)(0sincos4321 22f sQ sxgQs gQxgQP 由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故 x 为系统循环坐标，故有循环积分：2cosCsgQxgQPxTxLPx t=0时 ，故上式中C2=0，可得0 sx)(0cos)(gsQxQP （f)，(g)式即为系统的能量积分和循环积分。(f)式实际上是系统的机械能守恒方程。(g)式实质上是系统的动量在x方向守恒。
