1、1第十章第十章 群与环群与环主要内容主要内容l 群的定义与性质群的定义与性质l 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解l 循环群与置换群循环群与置换群l 环与域环与域2l 半群、独异点与群的定义半群、独异点与群的定义l 半群、独异点、群的实例半群、独异点、群的实例l 群中的术语群中的术语l 群的基本性质群的基本性质10.1 群的定义与性质群的定义与性质3半群、独异点与群的定义半群、独异点与群的定义定义定义10.1(1)设设V=是代数系统，是代数系统，为二元运算，如果为二元运算，如果 运算是运算是可可 结合的，则称结合的，则称V为为半群半群.(2)设设V=是半群，若是半群，若eS是关于是关于 运算
2、的单位元，则运算的单位元，则称称V 是是含幺半群含幺半群，也叫做，也叫做独异点独异点.有时也将独异点有时也将独异点V 记作记作 V=.(3)设设V=是独异点，是独异点，e S关于关于 运算的单位元，若运算的单位元，若 a S，a 1 S，则称，则称V是是群群.通常将群记作通常将群记作G.4实例实例例例1(1),都是半群，都是半群，+是普通加是普通加 法法.这些半群中除这些半群中除外都是独异点外都是独异点(2)设设n是大于是大于1的正整数，的正整数，和和都是半都是半 群，也都是独异点，其中群，也都是独异点，其中+和和分别表示矩阵加法和矩阵分别表示矩阵加法和矩阵 乘法乘法(3)为半群，也是独异点，
3、其中为半群，也是独异点，其中 为集合对称差运算为集合对称差运算(4)为半群，也是独异点，其中为半群，也是独异点，其中Zn=0,1,n 1，为模为模n加法加法 5例例2 设设G=e,a,b,c，G上的运算由下表给出，称为上的运算由下表给出，称为Klein四元群四元群 e a b ceabc e a b c a e c b b c e a c b a e 实例实例特征：特征：1.满足交换律满足交换律2.每个元素都是自己的逆元每个元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何两个元素运算结中任何两个元素运算结 果都等于剩下的第三个元素果都等于剩下的第三个元素6有关群的术语有关群的术语定义定义10.2 (1)
4、若群若群G是有穷集，则称是有穷集，则称G是是有限群有限群，否则称为无，否则称为无限群限群.群群G 的基数称为群的基数称为群 G 的的阶阶，有限群，有限群G的阶记作的阶记作|G|.(2)只含单位元的群称为只含单位元的群称为平凡群平凡群.(3)若群若群G中的二元运算是可交换的，则称中的二元运算是可交换的，则称G为为交换群交换群或或阿贝阿贝尔尔(Abel)群群.实例：实例：和和是无限群，是无限群，是有限群，也是是有限群，也是 n 阶群阶群.Klein四元群是四元群是4阶群阶群.是平凡群是平凡群.上述群都是交换群，上述群都是交换群，n阶阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成
5、的群是非交换群构成的群是非交换群.7定义定义10.3 设设G是群，是群，aG，nZ，则，则a 的的 n次幂次幂.mnnananeamnn,0)(0011群中元素的幂群中元素的幂群中元素可以定义负整数次幂群中元素可以定义负整数次幂.在在中有中有 2 3=(2 1)3=13=1 1 1=0 在在中有中有 (2)3=23=2+2+2=6 8元素的阶元素的阶定义定义10.4 设设G是群，是群，aG，使得等式，使得等式 ak=e 成立的最小正整数成立的最小正整数k 称为称为a 的阶，记作的阶，记作|a|=k，称，称 a 为为 k 阶元阶元.若不存在这样的正若不存在这样的正整数整数 k，则称，则称 a 为
6、为无限阶元无限阶元.例如，在例如，在中，中，2和和4是是3阶元，阶元，3是是2阶元，阶元，1和和5是是6阶元，阶元，0是是1阶元阶元.在在中，中，0是是1阶元，其它整数的阶都不存在阶元，其它整数的阶都不存在.9群的性质：幂运算规则群的性质：幂运算规则定理定理10.1 设设G 为群，则为群，则G中的幂运算满足：中的幂运算满足：(1)aG，(a 1)1=a(2)a,bG，(ab)1=b 1a 1(3)aG，anam=an+m，n,mZ(4)aG，(an)m=anm，n,mZ(5)若若G为交换群，则为交换群，则(ab)n=anbn.证证 (1)(a 1)1是是a 1的逆元，的逆元，a也是也是a 1的
7、逆元的逆元.根据逆元唯一根据逆元唯一性，等式得证性，等式得证.(2)(b 1a 1)(ab)=b 1(a 1a)b=b 1b=e,同理同理 (ab)(b 1a 1)=e，故故b 1a 1是是ab的逆元的逆元.根据逆元的唯一性等式得证根据逆元的唯一性等式得证.10群的性质：方程存在惟一解群的性质：方程存在惟一解定理定理10.2G为群，为群，a,bG，方程，方程ax=b和和ya=b在在G中有解且中有解且仅有惟一解仅有惟一解.例例3 设群设群G=，其中，其中 为对称差为对称差.解下列群方程：解下列群方程：a X=，Y a,b=b解解 X=a 1=a=a，Y=b a,b 1=b a,b=a 证证 a
8、1b 代入方程左边的代入方程左边的x 得得 a(a 1b)=(aa 1)b=eb=b所以所以a 1b 是该方程的解是该方程的解.下面证明惟一性下面证明惟一性.假设假设c是方程是方程ax=b的解，必有的解，必有ac=b，从而有，从而有 c=ec=(a 1a)c=a 1(ac)=a 1b 同理可证同理可证ba 1是方程是方程 ya=b的惟一解的惟一解.11群的性质：消去律群的性质：消去律定理定理10.3 G为群，则为群，则G中适合消去律，即对任意中适合消去律，即对任意a,b,cG 有有(1)若若 ab=ac，则，则 b=c.(2)若若 ba=ca，则，则 b=c.证明略证明略 12群的性质：元素的
9、阶群的性质：元素的阶定理定理10.4 G为群，为群，aG且且|a|=r.设设k是整数，则是整数，则(1)ak=e当且仅当当且仅当r|k(2)|a 1|=|a|13实例实例例例 5 设设G是群，是群，a,bG是有限阶元是有限阶元.证明证明(1)|b 1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|证证 (1)设设|a|=r，|b 1ab|=t，则有，则有 从而有从而有t|r.另一方面，由另一方面，由 a=(b 1)1(b 1ab)b 1可知可知 r|t.从而从而有有|b 1ab|=|a|.eebbbababbabbabbabbrrr 111111).()()(个个14实例实例(2)设设|ab|=r，|b
10、a|=t，则有，则有 由消去律得由消去律得(ab)t=e，从而可知，从而可知，r|t.同理可证同理可证 t|r.因此因此|ab|=|ba|.abaebbbaabbababaaababababtttt )().()().()()(11 个个个个1510.2 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解定义定义10.5 设设G是群，是群，H是是G的非空子集，的非空子集，(1)如果如果H关于关于G中的运算构成群，则称中的运算构成群，则称H是是G的的子群子群,记作记作HG.(2)若若H是是G的子群，且的子群，且H G，则称，则称H是是G的的真子群真子群，记作，记作HG.例如例如 nZ(n是自然数是自然数)是整
11、数加群是整数加群 的子群的子群.当当n1时时,nZ是是Z的真子群的真子群.对任何群对任何群G都存在子群都存在子群.G和和e都是都是G的子群，称为的子群，称为G的的平凡平凡子群子群.16子群判定定理子群判定定理1定理定理10.5（判定定理一）（判定定理一）设设G为群，为群，H是是G的非空子集，则的非空子集，则H是是G的子群当且仅当的子群当且仅当(1)a,bH有有abH(2)aH有有a 1H.证证 必要性是显然的必要性是显然的.为证明充分性，只需证明为证明充分性，只需证明eH.因为因为H非空，存在非空，存在aH.由条件由条件(2)知知a 1H，根据条件，根据条件(1)aa 1H，即，即eH.17子
12、群判定定理子群判定定理2定理定理10.6（判定定理二）（判定定理二）设设G为群，为群，H是是G的非空子集的非空子集.H是是G的子群当且仅当的子群当且仅当 a,bH有有ab 1H.证证 必要性显然必要性显然.只证充分性只证充分性.因为因为H非空，必存在非空，必存在aH.根据给定条件得根据给定条件得aa 1H，即，即eH.任取任取aH,由由e,aH 得得 ea 1H，即，即a 1H.任取任取a,bH，知，知b 1H.再利用给定条件得再利用给定条件得a(b 1)1H，即，即abH.综合上述，可知综合上述，可知H是是G的子群的子群.18子群判定定理子群判定定理3定理定理10.7（判定定理三）（判定定理
13、三）设设G为群，为群，H是是G的非空有穷子集，则的非空有穷子集，则H是是G的子群当且仅当的子群当且仅当 a,bH有有abH.证证 必要性显然必要性显然.为证充分性，只需证明为证充分性，只需证明 aH有有a 1H.任取任取aH,若若a=e,则则a 1=eH.若若ae，令，令S=a,a2,，则，则S H.由于由于H是有穷集，必有是有穷集，必有ai=aj（i1，由此得，由此得 a j i 1a=e 和和 a a j i 1=e 从而证明了从而证明了a 1=a j i 1H.19典型子群的实例典型子群的实例:生成子群生成子群定义定义10.6 设设G为群，为群，aG，令，令H=ak|kZ，则则H是是G的
14、子群，称为由的子群，称为由 a 生成的子群生成的子群，记作，记作.证证 首先由首先由a知道知道.任取任取am,al，则，则 am(al)1=ama l=am l根据判定定理二可知根据判定定理二可知G.实例：实例：例如整数加群，由例如整数加群，由2生成的子群是生成的子群是=2k|kZ=2Z中，由中，由2生成的子群生成的子群=0,2,4Klein四元群四元群 G=e,a,b,c的所有生成子群是：的所有生成子群是：=e,=e,a,=e,b,=e,c.20典型子群的实例典型子群的实例:中心中心C定义定义10.7 设设G为群为群,令令 C=a|aG xG(ax=xa)，则则C是是G的子群，称为的子群，称
15、为G的的中心中心.证证 eC.C是是G的非空子集的非空子集.任取任取a,bC，只需证明，只需证明ab 1与与G中所有的元素都可交换中所有的元素都可交换.xG，有，有 (ab 1)x=ab 1x=ab 1(x 1)1 =a(x 1b)1=a(bx 1)1=a(xb 1)=(ax)b 1=(xa)b 1=x(ab 1)由判定定理二可知由判定定理二可知CG.对于阿贝尔群对于阿贝尔群G，因为，因为G中所有的元素互相都可交换，中所有的元素互相都可交换，G的中的中心就等于心就等于G.但是对某些非交换群但是对某些非交换群G，它的中心是，它的中心是e.21典型子群的实例典型子群的实例:子群的交子群的交例例6
16、设设G是群，是群，H,K是是G的子群的子群.证明证明(1)HK也是也是G的子群的子群(2)HK是是G的子群当且仅当的子群当且仅当 H K 或或 K H22图1定义定义10.8 设设G为群为群,令令 L(G)=H|H是是G的子群的子群则偏序集则偏序集称为称为G的的子群格子群格子群格子群格实例：实例：Klein四元群的子群格如下：四元群的子群格如下：23陪集定义与实例陪集定义与实例定义定义10.9 设设H是是G的子群，的子群，aG.令令Ha=ha|hH称称Ha是子群是子群H在在G中的中的右陪集右陪集.称称a为为Ha的的代表元素代表元素.例例7 (1)设设G=e,a,b,c是是Klein四元群，四元
17、群，H=是是G的子群的子群.H所有的右陪集是：所有的右陪集是：He=e,a=H,Ha=a,e=H,Hb=b,c,Hc=c,b不同的右陪集只有两个，即不同的右陪集只有两个，即H和和b,c.24实例实例(2)设设A=1,2,3，f1,f2,f6是是A上的双射函数上的双射函数.其中其中 f1=,，f2=,f3=,，f4=,f5=,，f6=,令令 G=f1,f2,f6，则，则G 关于函数的复合运算构成群关于函数的复合运算构成群.考虑考虑G 的子群的子群H=f1,f2.做出做出 H 的全体右陪集如下：的全体右陪集如下：Hf1=f1 f1,f2 f1=H,Hf2=f1 f2,f2 f2=H Hf3=f1
18、f3,f2 f3=f3,f5,Hf5=f1 f5,f2 f5=f5,f3 Hf4=f1 f4,f2 f4=f4,f6,Hf6=f1 f6,f2 f6=f6,f4结论：结论：Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.25陪集的基本性质陪集的基本性质定理定理10.8 设设H是群是群G的子群，则的子群，则(1)He=H(2)aG 有有aHa证证 (1)He=he|hH =h|hH =H(2)任取任取 aG，由，由a=ea 和和 eaHa 得得 aHa26定理定理10.9 设设H是群是群G的子群，则的子群，则 a,bG有有 aHb ab 1H Ha=Hb陪集的基本性质陪集的基本性质证证 先证先证
19、aHb ab 1H aHb h(hHa=hb)h(hHab 1=h)ab 1H 再证再证 aHb Ha=Hb.充分性充分性.若若Ha=Hb，由，由aHa 可知必有可知必有 aHb.必要性必要性.由由 aHb 可知存在可知存在 hH 使得使得 a=hb，即，即b=h 1a 任取任取 h1aHa，（根据陪集的定义，（根据陪集的定义h1 H）则有）则有h1a=h1(hb)=(h1h)bHb 从而得到从而得到 Ha Hb.反之，任取反之，任取h1bHb，则有，则有h1b=h1(h 1a)=(h1h 1)aHa 从而得到从而得到Hb Ha.综合上述，综合上述，Ha=Hb得证得证.27定理定理10.10
20、设设H是群是群G的子群，在的子群，在G上定义二元关系上定义二元关系R：a,bG,R ab 1H则则 R是是G上的等价关系，且上的等价关系，且aR=Ha.陪集的基本性质陪集的基本性质证证 先证明先证明R为为G上的等价关系上的等价关系.自反性自反性.任取任取aG，aa 1=eH R 对称性对称性.任取任取a,bG，则，则 Rab 1H(ab 1)1Hba 1HR 传递性传递性.任取任取a,b,cG，则，则 RR ab 1Hbc 1H ac 1H R 下面证明：下面证明：aG，aR=Ha.任取任取bG，（，（p123等价类）等价类）baR R ab 1H Ha=Hb bHa（TH10.9）28推论推
21、论推论推论 设设H是群是群G的子群的子群,则则(1)a,bG，Ha=Hb 或或 HaHb=(2)Ha|aG=G 证明：由等价类性质可得证明：由等价类性质可得.定理定理10.11 设设H是群是群G的子群，则的子群，则 aG，H Ha 证明证明 略略 2910.4 环与域环与域 定义定义10.12 设设是代数系统，是代数系统，+和和是二元运算是二元运算.如果满足如果满足以下条件以下条件:(1)构成交换群构成交换群(2)构成半群构成半群(3)运算关于运算关于+运算适合分配律运算适合分配律则称则称是一个是一个环环.通常称通常称+运算为环中的运算为环中的加法加法，运算为环中的运算为环中的乘法乘法.环中加
22、法单位元记作环中加法单位元记作 0，乘法单位元（如果存在）记作，乘法单位元（如果存在）记作1.对任何元素对任何元素 x，称，称 x 的加法逆元为的加法逆元为负元负元，记作，记作 x.若若 x 存在乘法逆元的话，则称之为存在乘法逆元的话，则称之为逆元逆元，记作，记作x 1.30环的实例环的实例例例15(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和 乘法构成环，分别称为乘法构成环，分别称为整数环整数环Z，有理数环有理数环Q，实数环实数环R 和和复数环复数环C.(2)n(n2)阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构关于矩阵
23、的加法和乘法构 成环，称为成环，称为 n 阶实矩阵环阶实矩阵环.(3)集合的幂集集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环关于集合的对称差运算和交运算构成环.31定理定理10.16 设设是环，则是环，则(1)aR，a0=0a=0(2)a,bR，(a)b=a(b)=ab(3)a,b,cR，a(b c)=ab ac，(b c)a=ba ca(4)a1,a2,.,an,b1,b2,.,bmR(n,m2)babajnimjimjjnii 1111)()(环的运算性质环的运算性质 证证 (1)aR有有 a0=a(0+0)=a0+a0由环中加法的消去律得由环中加法的消去律得a0=0.同理可证同理
24、可证0a=0.(2)a,bR，有，有 (a)b+ab=(a+a)b=0b=0ab+(a)b=(a+(a)b=0b=0(a)b是是ab的负元的负元.由负元惟一性由负元惟一性(a)b=ab，同理，同理a(b)=ab 32 nijijniibaba11)(mjjimjjibaba11)(nimjjinimjjimjjniibababa111111)()(同理可证同理可证,b1,b2,.,bm有有 (4)证明思路：用归纳法证明证明思路：用归纳法证明 a1,a2,.,an 有有于是于是证明证明(4)33实例实例例例16 在环中计算在环中计算(a+b)3,(a b)2 解解 (a+b)3=(a+b)(a+
25、b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (a b)2=(a b)(a b)=a2 ba ab+b2 34特殊的环特殊的环定义定义10.13 设设是环是环(1)若环中乘法若环中乘法 适合交换律，则称适合交换律，则称R是是交换环交换环(2)若环中乘法若环中乘法 存在单位元，则称存在单位元，则称R是是含幺环含幺环(3)若若 a,bR，ab=0 a=0b=0，则称，则称R是是无零因子环无零因子环(4)若若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是是整环整环(5)设设R是整环，且是整环，且R中至
26、少含有两个元素中至少含有两个元素.若若 aR*，其中，其中 R*=R 0，都有，都有a1R，则称，则称R是是域域.35例例17(1)整数环整数环Z、有理数环、有理数环Q、实数环、实数环R、复数环、复数环C都是交换都是交换 环环,含幺环含幺环,无零因子环和整环无零因子环和整环.除了整数环以外都是域除了整数环以外都是域.(2)令令2Z=2z|zZ，则，则构成交换环和无零因子环构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环但不是含幺环和整环.(3)设设n Z,n 2,则则n阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘关于矩阵加法和乘 法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，法构成环，它
27、是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环也不是整环.实例实例36第十章第十章 习题课习题课主要内容主要内容l 半群、独异点与群的定义半群、独异点与群的定义l 群的基本性质群的基本性质l 子群的判别定理子群的判别定理l 陪集的定义及其性质陪集的定义及其性质l 循环群的生成元和子群循环群的生成元和子群l 环的定义与性质环的定义与性质l 特殊的环特殊的环37基本要求基本要求l 判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群l 熟悉群的基本性质熟悉群的基本性质l 能够证明能够证明G的子集构成的子集构成G的子群的子群l 熟悉陪集的定义和性质熟悉陪集
28、的定义和性质l 会求循环群的生成元及其子群会求循环群的生成元及其子群l 能判断给定代数系统是否为环和域能判断给定代数系统是否为环和域 38练习练习11.判断下列集合和运算是否构成半群、独异点和群判断下列集合和运算是否构成半群、独异点和群.(1)a 是正整数，是正整数，G=an|n Z,运算是普通乘法运算是普通乘法.(2)Q+是正有理数集，运算为普通加法是正有理数集，运算为普通加法.解解(1)是半群、独异点和群是半群、独异点和群(2)是半群但不是独异点和群是半群但不是独异点和群方法：根据定义验证，注意运算的封闭性方法：根据定义验证，注意运算的封闭性392.设设V1=,V2=,其中其中Z为整数集合
29、为整数集合,+和和 分别分别代表普通加法和乘法代表普通加法和乘法.判断下述集合判断下述集合S是否构成是否构成V1和和V2的子的子半群和子独异点半群和子独异点.(1)S=2k|k Z(2)S=2k+1|k Z解解(1)S关于关于V1构成子半群和子独异点，但是关于构成子半群和子独异点，但是关于V2仅构成子仅构成子 半群半群(2)S关于关于V1不构成子半群也不构成子独异点，不构成子半群也不构成子独异点，S关于关于V2构构 成子半群和子独异点成子半群和子独异点练习练习2403.设设Z18 为模为模18整数加群整数加群,求所有元素的阶求所有元素的阶.解：解：|0|=1,|9|=2，|6|=|12|=3,
30、|3|=|15|=6,|2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9,|1|=|5|=|7|=|11|=|13|=|17|=18,练习练习3说明：说明：l 群中元素的阶可能存在，也可能不存在群中元素的阶可能存在，也可能不存在.l 对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子.l 对于无限群，单位元的阶存在，是对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的阶可；而其它元素的阶可能存在，也可能不存在能存在，也可能不存在.（可能所有元素的阶都存在，但是（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）群还是无限群）.41有关群性质的证明方法
31、有关群性质的证明方法有关群的简单证明题的主要类型有关群的简单证明题的主要类型l 证明群中的元素某些运算结果相等证明群中的元素某些运算结果相等l 证明群中的子集相等证明群中的子集相等l 证明与元素的阶相关的命题证明与元素的阶相关的命题.l 证明群的其它性质，如交换性等证明群的其它性质，如交换性等.常用的证明手段或工具是常用的证明手段或工具是l 算律：结合律、消去律算律：结合律、消去律l 和特殊元素相关的等式，如单位元、逆元等和特殊元素相关的等式，如单位元、逆元等l 幂运算规则幂运算规则 l 和元素的阶相关的性质和元素的阶相关的性质.特别地，特别地，a为为1阶或阶或2阶元的充分必要阶元的充分必要条
32、件是条件是a 1=a.42证明方法证明方法l 证明群中元素相等的基本方法就是用结合律、消去律、单证明群中元素相等的基本方法就是用结合律、消去律、单位元及逆元的惟一性、群的幂运算规则等对等式进行变形位元及逆元的惟一性、群的幂运算规则等对等式进行变形和化简和化简.l 证明子集相等的基本方法就是证明两个子集相互包含证明子集相等的基本方法就是证明两个子集相互包含l 证明与元素的阶相关的命题，如证明阶相等，阶整除等证明与元素的阶相关的命题，如证明阶相等，阶整除等.证明两个元素的阶证明两个元素的阶r 和和 s 相等或证明某个元素的阶等于相等或证明某个元素的阶等于r，基本方法是证明相互整除基本方法是证明相互
33、整除.在证明中可以使用结合律、消在证明中可以使用结合律、消去律、幂运算规则以及关于元素的阶的性质去律、幂运算规则以及关于元素的阶的性质.特别地，可特别地，可能用到能用到a为为1阶或阶或2阶元的充分必要条件是阶元的充分必要条件是a 1=a.43练习练习55设设G为群，为群，a是是G中的中的2 阶元，证明阶元，证明G中与中与a可交换的元素构可交换的元素构成成G的子群的子群.证证 令令H=x|x G xa=ax,下面证明下面证明H是是G的子群的子群.首先首先e属于属于H，H是是G的非空子集的非空子集.任取任取x,y H，有，有 (xy 1)a=x(y 1a)=x(a 1y)1=x(ay)1 =x(y
34、a)1=xa 1y 1=xay 1=axy 1=a(xy 1)因此因此 xy 1属于属于H.由判定定理命题得证由判定定理命题得证.分析：分析：证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二.证明的步骤是：证明的步骤是：l 验证验证 H 非空非空l 任取任取 x,y H，证明，证明xy 1 H446.(1)设设G为模为模12加群加群,求求 在在G中所有的左陪集中所有的左陪集(2)设设 X=x|x R,x 0,1,在在X上如下定义上如下定义6个函数：个函数：f1(x)=x，f2(x)=1/x,f3(x)=1 x,f4(x)=1/(1 x),f5(x)=(x 1)/
35、x,f6(x)=x/(x 1),则则G=f1,f2,f3,f4,f5,f6关于函数合成运算构成群关于函数合成运算构成群.求子群求子群 H=f1,f2 的所有的右陪集的所有的右陪集.练习练习6解解(1)=0,3,6,9,的不同左陪集有的不同左陪集有3个，即个，即 0+=,1+=4+=7+=10+=1,4,7,10,2+=5+=8+=11+=2,5,8,11.(2)f1,f2有有3个不同的陪集，它们是：个不同的陪集，它们是：H，Hf3=f3,f5,Hf4=f4,f6.45证证 a,bZ有有a b,abZ,两个运算封闭两个运算封闭.任取任取a,b,cZ (a b)c=(a+b 1)c=(a+b 1)
36、+c 1=a+b+c 2 a (b c)=a (b+c 1)=a+(b+c 1)1=a+b+c 2 (ab)c=(a+b ab)c=a+b+c (ab+ac+bc)+abc a(bc)=a(b+c bc)=a+b+c (ab+ac+bc)+abc 与可结合，可结合，1为为 的单位元的单位元.2 a为为a关于关于 的逆元的逆元.Z关关于于 构成交换群构成交换群,关于关于构成半群构成半群.关于关于 满足分配律满足分配律.a(b c)=a(b+c 1)=2a+b+c ab ac 1 （ab)(ac)=2a+b+c ab ac 1构成构成环环练习练习1111.在整数环中定义在整数环中定义 和和两个运算两个运算,a,bZ 有有 a b=a+b 1,ab=a+b ab.证明证明构成环构成环
