1、第第1章章 动态系统的状态空间描述动态系统的状态空间描述1.1 1.1 引言引言1.2 1.2 动态系统的状态空间模型动态系统的状态空间模型 1.3 1.3 动态系统数学模型变换动态系统数学模型变换 1.4 1.4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述 1.5 MATLAB1.5 MATLAB在系统数学模型变换中的应用在系统数学模型变换中的应用 20世纪世纪60年代年代,人们将状态空间的概念引入控人们将状态空间的概念引入控制理论，产生了以状态空间描述为基础制理论，产生了以状态空间描述为基础,最优控制最优控制为核心的现代控制理论。为核心的现代控制理论。系统动态特性的状态空间系统动态特性的
2、状态空间描述由两个数学方程组成描述由两个数学方程组成，一个是反映系统内部状，一个是反映系统内部状态变量和输入变量间因果关系的态变量和输入变量间因果关系的状态方程状态方程;另一个另一个是表征系统内部状态变量及输入变量与输出变量转是表征系统内部状态变量及输入变量与输出变量转换关系的换关系的输出方程输出方程。建立动态系统的状态空间模型是状态空间分建立动态系统的状态空间模型是状态空间分析和综合的基本问题和前提析和综合的基本问题和前提,本章本章1.21.2节节在介绍状在介绍状态空间分析法基本概念的基础上，讨论动态系统态空间分析法基本概念的基础上，讨论动态系统状态空间表达式建立问题状态空间表达式建立问题;
3、1.3节节介绍动态系统数介绍动态系统数学模型的等效变换学模型的等效变换,包括状态向量的线性变换与包括状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型状态空间表达式标准型、系统的、系统的高阶微分方程描高阶微分方程描述化为状态空间描述述化为状态空间描述、系统的传递函数描述、系统的传递函数描述化为化为状态空间描述状态空间描述、由、由系统状态空间表达式求系统状态空间表达式求传递函传递函数阵数阵;1.21.3节以连续系统为研究对象节以连续系统为研究对象,1.4节节讨讨论论离散系统的状态离散系统的状态空间模型空间模型;1.5节节介绍应用介绍应用MATLAB进行系统模型变换进行系统模型变换。1.2.1 状态空间的基
4、本概念状态空间的基本概念1.2.2 动态系统状态空间表达式的一般形式动态系统状态空间表达式的一般形式1.2.3 状态空间模型的图示状态空间模型的图示 1.2.4 由系统机理建立状态空间模型示例由系统机理建立状态空间模型示例 1.系统的基本概念系统的基本概念 2.动态系统的两类数学描述动态系统的两类数学描述 3.系统状态空间描述的基本概念系统状态空间描述的基本概念 系统系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。功能的整体。静态系统静态系统:对于任意时刻对于任意时刻t t，系统的输出惟一地取决于，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类
5、系统称为静态系统。静态系统同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。数方程。动态系统动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与对任意时刻，系统的输出不仅与t t时刻的输时刻的输入有关，而且与入有关，而且与t t时刻以前的累积有关时刻以前的累积有关(这种累积在这种累积在t t0 0(t(t0 0t)t)时刻以初值体现出来时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系，这类系统称为动态系统。由于统。由于t t0 0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统
6、。动态系统的输入、输出关系系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。为微分方程。(1)外部描述外部描述 外部描述通常称为输入、输出描述外部描述通常称为输入、输出描述，这种，这种描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应，显然这种描述回避了表征系统内部的动态应，显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程即把系统当成一个过程即把系统当成一个“黑匣黑匣”，认为系统的，认为系统的内部结构和内部信息全然不知，系统描述直接内部结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系。反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系。考察图1
7、-4所示的n级RC网络。图中虚线框内为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。图1-4 n级RC网络 buyayayaynnnn)1(1)1(1)(（1-3）系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为式(1-3)所示的高阶线性常系数微分方程,即(2)内部描述内部描述 状态空间描述是内部描述的基本形式，这种描述是基，这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程于系统内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程组成组成:一个是反映系统内部状态变量一个是反映系统内部状态变量x1,x2,xn 和输入变量和输入变量u1,u2,ur间因果关系的
8、数学表达式间因果关系的数学表达式，称为称为状态方程状态方程，其数其数学表达式的形式对于连续时间系统为一阶微分方程组，对学表达式的形式对于连续时间系统为一阶微分方程组，对于离散时间系统为一阶差分方程组于离散时间系统为一阶差分方程组;另一个是表征系统内部状态变量另一个是表征系统内部状态变量x1,x2,xn及输入变量及输入变量u1,u2,ur与输出变量与输出变量y1,y2,ym 转换关系的数学表达式，转换关系的数学表达式，称为称为输出方程输出方程,其数学表达式的形式为代数方程其数学表达式的形式为代数方程。重新考察图1-4的电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组 x)1(12222221111
9、1111dd11dd11ddncnncnnncncccccuCRuCRtuuCRuCRtuuCRuCRtu（1-4）及及cnLLuRRRy0(1-5)在已知输入u的情况下，解方程式（1-4）、式（1-5）,不仅可求出输出响应y，而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此,式（1-4）、式(1-5)是图1-4所示电网络系统的一种完全描述。(1)(1)动态系统的状态动态系统的状态 动态系统的状态是完全地描述动态系统运动态系统的状态是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系以用该时刻系
10、统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。统运动信息的集合为状态。(2)(2)状态变量状态变量 定义定义完全表征完全表征动态系统时间域运动行为的动态系统时间域运动行为的信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号符号x1(t),),x2(t),),xn(t)表示，且它们相互独立表示，且它们相互独立（即（即变量的数目最小变量的数目最小）。【例1-1】确定图确定图1-51-5所示电路的状态变量所示电路的状态变量。图1-5 RLC电路 要惟一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初
11、始电压uC(t0)，或者说uC(t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC(t)和i(t)是该电路的状态变量。(3)状态向量 设x1(t),x2(t),xn(t)是系统的一组状态变量，把这些状态变量看做向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为)()()(1txtxtnx (4)状态空间 以x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。(5)(5)状态轨迹状态轨迹 状态向量的端点在状态空间中的位置代表状态向量的端点在状态空间中的位置代表了某一特定时刻系统的状态。系统的状态是时了某一特定时刻系统的状态。系统的状态
12、是时间间t的函数。在不同时刻，系统状态不同，则的函数。在不同时刻，系统状态不同，则随着随着t的变化的变化,状态向量的端点不断移动，其移状态向量的端点不断移动，其移动的路径就称为系统的状态轨迹。动的路径就称为系统的状态轨迹。(6)状态方程状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的一个一阶微分方程组入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系连续系统统)或一阶差分方程组（离散系统）或一阶差分方程组（离散系统）,称为状态称为状态方程。方程。【例1-2】建立图1-5所示RLC电路的状态方程。取电容上的电压uC(t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根
13、据电路原理有)()()(d)(d)(d)(dtututRittiLtittuCcc(1-6)将式（1-6）中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为)(1)()(1d)(d)(1d)(dtuLtiLRtuLttitiCttucc(1-7)式（1-7）即为图1-5所示电路的状态方程,并将其写成向量-矩阵形式，即)(10)()(110d)(dd)(dtuLtituLRLCttittucc(1-8)式（1-8）可简写为)(),(21tixtuxc21xxx21d)(dxxttxx令，记，uBAxx(1-9)式中,LRLC110AL10B,(7)输出方程 在指定系统输
14、出的情况下，该输出与状态变量及输入在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量及输入变量间的函数关系式称为系统的输出方程。变量间的函数关系式称为系统的输出方程。例1-2中，若指定uC(t)为输出，且输出一般用y(t)表示，则输出方程为 1)()(xtutyc(1-10)将式(1-10)写成写成向量-矩阵形式,得)()(01)(titutyc2101xxy或(1-11)式（1-11）可简写成 Cxy(1-12)式中,01 C。(8)状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。图1-5所示电路,若uC(t)为输出,取x1=uC(t),x2=i(t
15、)作为状态变量,则其状态空间表达式为 2121210110110 xxyuLxxLRLCxx(1-13)(9)工程问题中状态变量的选取动态系统需用微分方程描述是因为动态系统含动态系统需用微分方程描述是因为动态系统含有储能元件有储能元件,因而因而,动态系统是一个能存储输入动态系统是一个能存储输入信息的系统。对同一系统的任何一种不同的状信息的系统。对同一系统的任何一种不同的状态空间表达式而言态空间表达式而言,其其状态变量的数目是惟一的,必等于系统的阶数,即系统中独立储能元件的个数。在具体工程问题中，可选取独立储能元件。在具体工程问题中，可选取独立储能元件的能量方程中的物理变量作为系统的状态变量。的
16、能量方程中的物理变量作为系统的状态变量。状态变量不一定是物理可测量的，有时仅有数学状态变量不一定是物理可测量的，有时仅有数学意义而无任何物理意义。在具体工程问题中，为了意义而无任何物理意义。在具体工程问题中，为了实现状态的反馈控制，以选择容易测量的量作为状实现状态的反馈控制，以选择容易测量的量作为状态变量为宜，例如态变量为宜，例如,选择机械系统中的线（角）位选择机械系统中的线（角）位移和线（角）速度作为状态变量，电路中电容上的移和线（角）速度作为状态变量，电路中电容上的电压和流经电感的电流作为状态变量。电压和流经电感的电流作为状态变量。设单输入单输出线性定常n阶连续系统，n个状态变量为x1(t
17、),x2(t),xn(t),其状态方程的一般形式为 （1-23）ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111输出方程的一般形式为 Duxcxcxcynn2211(1-24)则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为Duxxxcccyubbbxxxaaaaaaaaaxxxnnnnnnnnnnn2121212121222211121121(1-25)式(1-25)简记为 DuyuCxBAxx(1-26)式中,T21nxxxx为n维状态向量;nnnnnnaaaaaaaaa212222111211A称为系统矩阵或状态矩阵;nbb
18、b21B称为输入矩阵或控制矩阵；21ncccC称为输出矩阵或观测矩阵；D是标量，反映输出与输入的直接关联。对于有对于有r个输入个输入u1,u2,ur,m个输出个输出y1,y2,ym的多输人的多输人多输出多输出n阶线性定常连续系统，状态方程的一般形式为阶线性定常连续系统，状态方程的一般形式为 rnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111(1-27)输出方程的一般形式为输出方程的一般形式为 rmrmmnmnmmmrrnnrrnnudududxcxcxc
19、yudududxcxcxcyudududxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111(1-28)则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为rmrmmrrnmnmmnnmrnrnnrrnnnnnnnnuuudddddddddxxxcccccccccyyyuuubbbbbbbbbxxxaaaaaaaaaxxx212122221112112121222211121121212122221112112121222211121121(1-29)式式(1-29)简记为简记为)(DC,B,A,即即 DuCxyBuAxx(1-30)式中式中,T21nxxxx是n维状
20、态向量;T21myyyy是m维输出向量;T21ruuuu是r维输入向量;nnnnnnaaaaaaaaa212222111211Ann维系统矩阵(或状态矩阵);是nrnnrrbbbbbbbbb212222111211B是rn维输入矩阵(或控制矩阵);mnmmnnccccccccc212222111211Cnm维输出矩阵;是mrmmrrddddddddd212222111211Drm是维输入输出关联矩阵 (或直接传递矩阵)。式式(1-30)为多输人多输出线性定常连续系统的状态空间为多输人多输出线性定常连续系统的状态空间表达式表达式,其特征是系数矩阵的各元素均为常数。若其特征是系数矩阵的各元素均为常
21、数。若A、B、C、D矩阵中的某些元素或全部元素是时间矩阵中的某些元素或全部元素是时间t的函数，对应的系统的函数，对应的系统称为线性时变连续系统，其向量称为线性时变连续系统，其向量-矩阵方程形式的状态空间矩阵方程形式的状态空间表达式为表达式为 uDxCyuBxAx)()()()(tttt（1-31）式中式中,)()()()()()()()()()(212222111211tatatatatatatatatatnnnnnnA)()()()()()()()()()(212222111211tbtbtbtbtbtbtbtbtbtnrnnrrB)()()()()()()()()()(2122221112
22、11tctctctctctctctctctmnmmnnC)()()()()()()()()()(212222111211tdtdtdtdtdtdtdtdtdtmrmmrrD,用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即),(),(),(2121212122212111tuuuxxxfxtuuuxxxfxtuuuxxxfxrnnnrnrn(1-32),(),(),(2121212122212111tuuuxxxgytuuuxxxgytuuuxxxgyrnnmrnrn(1-33)用向量用向量 矩阵表示矩阵表示,则为则为),(),(t
23、tuxGyux,Fx（1-34）式中,F、G均为向量函数均为向量函数 由于式(1-32)、式(1-33)或式（1-34）中显含时间t,其所描述的系统为非线性时变系统。若式(1-32)、式(1-33)或式（1-34）中不显含时间,则为非线性定常系统,其状态空间表达式的一般形式为),()(uxGyux,Fx(1-35)1.1.结构图结构图 线性系统状态空间表达式可用结构图来表示。式线性系统状态空间表达式可用结构图来表示。式(1-30)(1-30)所描述的系统结构图如图所描述的系统结构图如图(1-7)(1-7)，它形象地表明了系统输人，它形象地表明了系统输人与输出的因果关系与输出的因果关系,状态与输
24、入、输出的组合关系。在结构状态与输入、输出的组合关系。在结构图中图中,每一方块的输入、输出关系规定为每一方块的输入、输出关系规定为 输出向量输出向量=(方块所示矩阵方块所示矩阵)(输入向量输入向量)图1-7 线性定常系统结构图 2 状态模拟状态模拟图图 在状态空间分析法中，常采用模拟计算机仿真在状态空间分析法中，常采用模拟计算机仿真中的模拟图来表示系统的状态空间表达式。绘制这中的模拟图来表示系统的状态空间表达式。绘制这种图形常用到种图形常用到3类元件：积分器、加法器、比例器。类元件：积分器、加法器、比例器。绘制步骤是：绘制步骤是：积分器的数目应等于状态变量数积分器的数目应等于状态变量数,将积将
25、积分器画在适当位置分器画在适当位置(积分器用内含积分符号的方框表积分器用内含积分符号的方框表示示)，各积分器的输出表示相应的某个状态变量，各积分器的输出表示相应的某个状态变量;然后然后根据状态方程和输出方程所表达的运算关系根据状态方程和输出方程所表达的运算关系,画出对画出对应的加法器和比例器应的加法器和比例器;最后用带箭头的传输线将各元最后用带箭头的传输线将各元件连接起来。件连接起来。由于图中采用符号来表示实际的积分由于图中采用符号来表示实际的积分器、加法器、比例器，而积分器的输出表示的是某器、加法器、比例器，而积分器的输出表示的是某个状态变量，故又称这种状态空间表达式的模拟结个状态变量，故又
26、称这种状态空间表达式的模拟结构图为状态模拟图构图为状态模拟图(或状态变量图或状态变量图)。【例1-3】3 3阶系统的状态空间表达式为阶系统的状态空间表达式为21xx 32xx uxxxx321323122xxy试画出其模拟结构图试画出其模拟结构图(状态变量图状态变量图)。解 该系统有3个状态变量，对应3个积分器的输出，而每个积分器的输入量就是对应状态变量的导数。该系统的状态变量图如图1-8所示。图1-8 例1-3系统的状态变量图 动态系统均含有储能元件，能量的动态系统均含有储能元件，能量的变化伴随有系统的运动变化。因此变化伴随有系统的运动变化。因此,可根可根据支配系统运动的物理定律，建立动态据
27、支配系统运动的物理定律，建立动态系统的状态方程，在指定系统的输出后系统的状态方程，在指定系统的输出后即可列写系统的输出方程。即可列写系统的输出方程。【例1-4】图图1-9所示为带有输入滤波器的有源比所示为带有输入滤波器的有源比例、积分（例、积分（PI）调节器电路图，）调节器电路图，ur为调节器的输为调节器的输入，入，u0为调节器的输出，建立其状态空间表达式。为调节器的输出，建立其状态空间表达式。图1-9 调节器电路图 解 （1）选择状态变量）选择状态变量 该调节器含有两个独立的储能元件C0,C1,可选电容C0,C1上的电压UC0,UC1作为状态变量,电压和电流为关联参考方向。（2 2）利用电路
28、基本理论，建立原始方程）利用电路基本理论，建立原始方程对于A点左边回路,有 10iiituCicdd000001RuicrcuiRu00(1-36),(1-37)(1-38),(1-39)将式（1-36）、式（1-37）、式（1-38）代入式（1-39）并整理,得 rccuutuCR00002dd(1-40)对于A点右边回路,有 00111ddRuituCiccf(1-41)（3）导出状态方程和输出方程 将式(1-40)和式(1-41)中状态变量的一阶导数写在方程的左边，其余项写在方程的右边,得 01010000001dd12ddccrccuCRtuuCRuCRtu以一阶微分方程组表示的状态方
29、程为 由图1-9知,输出变量方程为 1001111110ccccfuuRRuRiuRiu(1-43)(1-42)(4)列写状态空间表达式 将式(1-42)、式(1-43)写成向量-矩阵形式并合起来，则得向量-矩阵形式的状态空间表达式,即 1001000101000101010102ddddccrccccuuRRuuCRuuCRCRtutu(1-44)01201,uyuuuxuxrcc令 由式(1-44)可得状态空间表达式的一般式,即 210100211000211010102xxRRyuCRxxCRCRxx(1-45)若引入 01021000CRCRA0100CRB101RRC则有状态空间表达
30、式的简洁形式,即,CxyBuAxx(1-46)【例1-5】考察图1-10电路，取电压源e为输入变量，R1上的电压为输出变量,建立该电网络的状态空间表达式,电压和电流为关联参考方向。图1-10 例1-5图 网络中只含有电容C、电感L两个独立储能元件，选电容端电压uC、流经电感的电流iL作为状态变量。解 （1）选取状态变量（2）利用电路基本定理列原始方程 回路:etiLiiRLLCdd)(0（1-47）回路:tiLtuCRuLCcdddd1(1-48)代入式(1-47),得 tuCiCCdd将etiLituCRLLCdd)dd(0(1-49)（3）导出状态变量的一阶微分方程组 cLCLLCutiL
31、tuCReiRtiLtuCRdddddddd100(1-50)（4）导出状态方程和输出方程 将状态变量的一阶导数看成待定量，用解代数方程方法求解式(1-50)即可求出状态方程。将式(1-50)写成向量-矩阵形式的方程,即 euiRtutiCRLCRLcLcL01100dddd010(1-51)解之,得向量-矩阵形式的状态方程 eCRLCRLuiRCRLCRLtuticLcL01100dddd1100110eCRRLRRRuiCRRCRRRLRRRLRRRRcL)(1)()(1)()()(10101101001001010(1-52)输出方程为 eRRuRRiRRRRtuCRucLcR)(1)(
32、1)(dd1010100111eRRRuiRRRRRRRcL1011011010(1-53)(5)列写状态空间表达式 将式(1-52)和式(1-53)合起来即为状态空间表达式,若令,21cLuxix1,Ruyeu则可得状态空间表达式的一般式,即 uRRRxxRRRRRRRyuCRRLRRRxxCRRCRRRLRRRLRRRRxx101211011010101012110100100101021)(1)()(1)()()(1-54)【例1-6】图1-11所示的机械平移系统模型，滑块M1、M2的质量分别是M1、M2；弹簧K1、K2的弹性系数分别为K1、K2、;阻尼器B阻尼系数为B。试建立以外力f为
33、输入，滑块M1、M2的位移y1、y2为输出的状态空间表达式(忽略静摩擦与滑动摩擦)。图 1-11 机械平移系统 图1-11中的滑块 M1、M2和弹簧K1、K2为相互独立的储能元件，故滑块M1、M2的速度 、及弹簧的伸长量1v2v21yy、可选作该系统的状态变量。2211yyyy由图1-11可得 ufvxvxyxyx,24132211令 图1-11系统的状态空间表达式为 432121243212222221112121432100100001100010000100 xxxxyyuMxxxxMBMBMKMKMBMBMKMKKxxxx(1-61)【例1-7】图1-12所示为电枢控制的他励直流电动机
34、拖动示意图，励磁电流if恒定,通过调节电枢供电电压ua实现调速。其中R,L分别为电枢回路的电阻和电感；e为电枢反电势;J为电动机轴上的等效总转动惯量；T为电动机电磁转矩,Tz为折合到电动机轴上的总负载转矩,B为电动机轴上的粘性摩擦系数。图1-12 他励直流电动机拖动 试建立以电枢电压ua、总负载转矩Tz为输入，电动机轴的转速n为输出的状态空间表达式。解（1）选择状态变量 因电感L和转动惯量J为独立的储能元件,故可选相应的电枢回路电流i和电动机轴转速n这两个相互独立的变量为状态变量。（2）列写原始的运动方程 aueRitiLddzGGzTnBtnJTBtJTdddd(1-62)(1-63)式中,
35、为电动机轴的角速度)s/rad(BBJJGG602,602iKiCTTT根据电机学,电机的电磁转矩及感应电动势分别为 nKnCeee(1-64)(1-65)式中,eeTTCKCK,为直流电动机每极合成磁通,TCeC、分别是转矩常数、电动势常数（3）导出状态方程和输出方程 整理式(1-62)式(1-65),得以一阶微分方程组表示的状态方程为 zGGGGTaeTJnJBiJKtnuLnLKiLRti1dd1dd(1-66)输出方程为 ny(1-67)(4)列写状态空间表达式 令 nxix21、由式(1-66)和式(1-67)得向量-矩阵形式的状态空间表达式为 212121101001xxyTuJL
36、xxJBJKLKLRxxzaGGGGTe(1-68)131 状态向量的线性变换与状态空间状态向量的线性变换与状态空间 表达式标准表达式标准型型132 系统的高阶微分方程描述化为状系统的高阶微分方程描述化为状 态空间描述态空间描述133 系统的传递函数描述化为状态空系统的传递函数描述化为状态空 间描述间描述134 系统的传递函数阵系统的传递函数阵 状态向量的线性变换状态向量的线性变换 系统的特征值系统的特征值系统特征值的不变性系统特征值的不变性 状态空间表达式化为对角线标准型状态空间表达式化为对角线标准型 状态空间表达式化为约当状态空间表达式化为约当(Jordan)标准型标准型 1.21.2节已
37、阐述过节已阐述过,给定线性定常系统的状态空间给定线性定常系统的状态空间表达式不具有惟一性表达式不具有惟一性,选取不同的状态变量选取不同的状态变量,便会有便会有不同的状态空间表达式。所任意选取的两个状态向不同的状态空间表达式。所任意选取的两个状态向量量 x和和 x之间实际上存在线性非奇异变换关系之间实际上存在线性非奇异变换关系,即即 xTx 或 xTx1(1-76)式中,T为线性非奇异变换矩阵为线性非奇异变换矩阵,1T为T的逆阵。的逆阵。而对应而对应 x和和x的两种状态的两种状态 空间表达式的矩阵与该非奇异变换矩阵空间表达式的矩阵与该非奇异变换矩阵T有确定关系。有确定关系。设给定系统在状态向量
38、下的状态空间表达式为 xDuCxyBuAxx(1-77)若引入式(1-76)所示的线性非奇异变换(称为对系统进行T变换变换),将 变换为 ,xx则系统在新的状态 x向量 下的状态空间表达式可将式(1-76)代入原状态空间表达式(1-77)得到,即 uDxCDuxCTyuBxABuTxATTx11(1-78)式中,DDCTCBTBATTA,11 n阶线性定常系统 DuCxyBuAxx 的特征值即为其系统矩阵A的特征值,即特征方程 0 AI(1-79)的根。其中,A为 实数方阵,I为 单位矩阵,nnnnnnnnaaa111AI称为系统的特征多项式。设 i是n阶方阵A的一个特征值，若存在一个ipn维
39、非零向量，满足 0pIApApiiiii)(或(1-80)则称 为方阵A对应于特征值对应于特征值 的特征向量。ipi 系统经线性非奇异变换后，其特征多项式不变，即系统特征值不变。下面给出这一结论的证明。不失一般性,设式(1-77)所示系统引入式(1-76)所示的线性非奇异变换,则变换后系统的特征多项式为)()()()(111111AIAITTTAITTAITATTTTATTIAI(1-81)对于线性定常系统 Cx yBuAxx(1-82)若系统的特征值 互异，则必存在非奇异变换矩阵T,经 n,21xTxxTx1或的线性变换，可将状态空间表达式变换为对角线标准型，即 002111xCxCTyuB
40、xBuTxATTxn(1-83)式中,(i=1,2,3,n)是系统矩阵A的n个互异特征值;由式i(1-80)求出对应于特征值i的特征向量 则变换矩阵T由A的特征向量 ipnppp,21构造,即(i=1,2,3,n)npppT21(1-84)且 (1-85)iii pAp),2,1(ni 以上讨论是在A矩阵为任意形式时进行的,下面对A矩阵为“友矩阵”这一标准型的情况进行讨论。若n阶方阵A的的形状为 1211000 01000010aaaannnA(1-86)其特征多项式为 nnnnaaa111AI(1-87)数学上称形如式(1-86)的矩阵为相伴矩阵或友矩阵。友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为
41、1;最后一行的元素与其特征多项式的系数有一一对应关系(如式(1-86)和式(1-87)所示);而其余元素均为零。可以证明，若n阶方阵A为友矩阵,且有n个互异特征值 n,21,则以下列范德蒙德(Vandermonde)矩阵T T为变换矩阵,可将A阵化为对角线矩阵，即 1121121111nnnnnT(1-88a)n00211ATT(1-88b)式(1-88b)中,A为式(1-86)所示的 维友矩阵,且其n个特征值 互异,T为式为式(1-88a)所示的范德蒙德矩阵。nnn,21 当n阶系统矩阵A具有重特征值时，可以分两种情况讨论。一种情况是A阵有重特征值，但A仍然有n个独立的特征向量，则可将A化为
42、对角线型矩阵。另外一种情况是n阶系统矩阵A不但具有重特征值，而且其独立特征向量个数少于n，这时,经线性变换，可将A变换为约当标准型。设n阶系统矩阵A具有m重特征值 ，其余 个特征值 为互异特征值，且A对应于m重特征值 的独立特征向量只有一个，则A经线性变换可化为约当标准型J,即 1)(mn nmm,211nm00001111111ATTJ(1-89)上式J中用虚线示出一个对应m重特征值 的m阶约当块 ,m阶约当块 是主对角线上的元素为m重特征值 、主对角线上方的次对角线上的元素均为1、其余元素均为零的 子矩阵,即 11J1J1mmmm11110011J(1-90)可以证明式(1-89)中的非奇
43、异变换矩阵T为 nmmpppppT121(1-91)式中,为m重特征值 对应的特征向量;1p1 为其余 个互异特征值 对应的特征向量;nmpp1)(mn nmm,21 则为m重特征值 对应的广义特征向量,即满足 mpp21 111112112111nnnmmmmmmpAppApppApppAppAp(1-92a)整理式(1-92a)得 )()()()()(1111121110pAI0pAIppAIppAI0 pAInnmmmm(1-92b)以上关于系统矩阵A经线性变换化为约当标准型J的讨论仅仅是针对A矩阵的m重特征值 对应的独立特征向量只有一个的情况进行的。应该指出,若A矩阵的m重特征值 的独
44、立特征向量个数为l(1lm),则A矩阵的约当标准型应有l个约当块与其m重特征值 对应。更为特殊的情况，n阶系统矩阵A具有m重特征值 ，其余 个特征值 为互异特征值,但若m重特征值 对应的独立特征向量个数为m,则应有m个一阶约当块与其m重特征值 对应,这时约当型就成为对角线标准型。1)(mn nmm,2111111 在经典控制理论中，对线性定常系统常采用在经典控制理论中，对线性定常系统常采用常微分方程和传递函数来描述系统输入和输出关常微分方程和传递函数来描述系统输入和输出关系。系。在现代控制理论中在现代控制理论中,由描述系统输入、输出动由描述系统输入、输出动态关系的微分方程或传递函数建立系统状态
45、空间态关系的微分方程或传递函数建立系统状态空间表达式的问题称为表达式的问题称为实现问题实现问题,要求所求得的状态空要求所求得的状态空间表达式既保持原系统的输入、输出关系不变，间表达式既保持原系统的输入、输出关系不变，又揭示出系统的内部关系。又揭示出系统的内部关系。当单输入单输出线性定常连续系统的输入量中不含导数项时,描述该系统微分方程的一般形式为 buyayayaynnnn1)1(1)(（1-93）根据微分方程理论，若给定初始条件 0)0(),0(),0()1(tyyyn及则系统微分方程的解是唯一的,即该系统在 时的行为是完全确定的。故可选取 )(tu0t时的输入，)1(21,nnyxyxyx
46、这n个变量作为状态变量，将式(1-93)式化为 111221113221xybuxaxaxaxaxxxxxxxnnnnnnn(1-94)则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为 CxBAxxyu(1-95)式中 0001,000100001000010121121CBAxbaaaaxxxxnnnnn，其中,A矩阵为友矩阵。与式(1-94)对应的系统模拟结构图(状态变量图)如图1-14所示。图1-14 式(1-93)系统模拟结构图(状态变量图)(与式(1-94)对应)从输入、输出的关系看，图1-15所示的结构图与图1-14的结构图是等效的。图1-15式(1-93)系统的另一种模拟结构图(状态变量
47、图)(与式(1-96)对应)对应于图1-15,式(1-93)系统的另一种状态空间表达式为 nnnnnnnnnxxxxbyuxxxxaaaaxxxx1211211211210001000100001000010（1-96）【例1-12】设系统的微分方程为:uyyyy67135 求系统的状态空间表达式。,解 选取 yyy,为状态变量，即 yxyxyx 321,则由系统的微分方程得状态空间表达式,即 13213322165137xyuxxxxxxxx其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为3213213210016005137100010 xxxyuxxxxxx 当单输入单输出线性定常连续系统的输入量
48、中含有导数项时,描述该系统微分方程的一般形式为 ububububyayayaynnnnnnnn1)1(1)(01)1(1)(（1-97）在这种情况下，不能选用)1(,nyyy作为状态变量，否则状态方程中包含有输入信号u的导数项，它可能导致系统在状态空间中的运动出现无穷大的跳变。为了避免这种情况的产生，通常选用输出y和输入u及它们的各阶导数组成状态变量，以保证状态方程中不含u的导数项。方法一 若选取如下一组状态变量 uuuyxuuuyxuuuyxuuyxuyxnnnnnnnnnn1)2(1)1(0)1(2)3(1)2(0)2(1210310201 (1-98)式中,为n个待定系数。对式(1-98
49、)求导，可得 110,nuuuyxuxuuuyxuxuuyxuxuyxnnnnnnnnnnnn 1)1(1)(0)(1-2)2(1)1(0)1(1231021201 （1-99）由微分方程式(1-97)及式（1-98）所确定的y的各阶导数与状态变量之间的关系，可得 ububububuauuauuuauuuaxaxaxaxaububububyayayayaynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1)1(1)(001012)3(1)2(021)2(1)1(011211211)1(1)(01)2(2)1(1)()()()(将上式代入式（1-99）中最后一行，可得 )()()()()(02
50、21101322111)2(021122)1(0111)(00112211uaaabuaaabuaabuabubxaxaxaxaxnnnnnnnnnnnnnnnnn(1-100)令式(1-100)中u的各阶导数的系数为零,可确定n个待定系数 110,n为 01322111021122011100aaabaababbnnnnn（1-101）且令式（1-100）中u的系数为 ,即 n02211aaabnnnnn(1-102)则式(1-100)成为 (1-104)uxaxaxaxaxnnnnnn112211则式(1-97)的向量-矩阵形式的状态空间表达式为 uxxxxyuxxxxaaaaxxxxnn
