1、第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理C0Cmvp11 1 动量矩动量矩(moment of momentum,Angular Momentum)OxzyAFBMO(F)rdFrFM)(OOxzyLO=MO(mv)rvrvMmmO)(OLAmvBddmvOLrLvLOOm,的面积OABOdmv2LyzxxOzFyFM)()(FFMxOxOxxmmMLLvMv)()(yzmvzmvyyOyOyymmMLLvMv)()(zxmvxmvzzOzOzzmmMLLvMv)()(xymvymvx/smkg2)()(iiiiiOOiOmmvrvMLL)(iixxmMLv)(iiyymMLv)(iizzmML
2、vMi:iiiirvmr,Mi :iiiiizrvmmM)()(v)(2iirm:)()(22iiiiiizzrmrmmMLv:)(2iizrmJzzJL 11 2 转动惯量转动惯量(Mass Moment of Inertia)2iizrmJ1.改变质量（密度）改变质量（密度）；)cmkg(mkg22转动惯量改变的一个实例转动惯量改变的一个实例2iizrmJmzdmrJ2),(zyxVzdVrzyxJ2),(质量均匀分布VzdVrJ2zC2/l2/l2121mlJzzrC221mrJzzizJJO圆盘杆OOOJJJxy矩形板xxJJ 2zzmJ21孔孔xxJJRadius of gyrati
3、on mJzzOxzyzx)(yOCMiiririyizix)(ixiyh2iizrmJ)(22iiiyxm2iizrmJ)(22iiiyxmiixx hyyii22)(hyxmJiiiz2222hhyyxmiiiiiiiiiimhymhyxm2222zJmh2?Ciimyym02mhJJzz2121mlJzzC2/l2/lz2mhJJzz222121lmml231mlreOC221mrJC2meJJCO2221memr)2(2122ermOOJL)2(2122ermSample Problem 1 dlOwmass of lever:m1mass of plate:m2 In this in
4、itial time,angular velocity equals ,compute angular momentum about axis pass through point O perpendicular to the surface.OLOPOJJJ2131lmJOL)83()2()2(21)2(222222222ldldmdlmdmdlmJJCPOP)83(3122221llddmlmJO)83(3122221llddmlmJLOOsolutionAARrmass of the homogeneous plate with yellow color:mr=R/3Compute JA
5、Sample Problem 2 solutionAIIAIAJJJ221212321mRRmRmJAI222222267)(21RmrRmrmJAII22216723RmRmJA3/Rr 9/12mm mmmmm891212222148746723mRRmRmJA11 3 质点的动量矩定理质点的动量矩定理vrvMLmmOO)(dtmddtdO)(vrLdtmdmdtd)(vrvrvdtdr0vvmFvdtmd)(Frvr)(mdtd)(FMLOOdtd（11-7）xyz)(FMLOOdtd（11-7）)(FxxMdtdL)(FyyMdtdL)(FzzMdtdL（11-8）（1）若：）若：0)
6、(FMO0dtdOL常矢量vrvMLmmOO)(（11-9）0FO始终过点FrmvFMOh恒恒矢矢量量vrvMmmO)(（2）若：）若：0)(FzM0dtdLz常量)(vmMLzz（11-10）0F轴z/F轴过zF)()(21vvmMmMzz11 4 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理iimviFiFiiiRFFF)()()(iOiOiROOidtdFMFMFML,OiOiOidtdMMLni,2,1OiOiOidtdMMLdtddtddtdOOiOiLLL0OiMOOiOdtdMML（11-11）xxixMdtdLMyyiyMdtdLMzzizMdtdLM（11-12）0OiOMM0dtd
7、OL常矢量iiiiiOOmmvrvML)(（11-13）0zizMM0dtdLz常量)(iizzmMLv（11-14）1ZF2ZF1yF2yF0)(izzMMFBBAAxJJL0)(BAxJJLBBAAJJ)(BAJJ BABBAAJJJJ221ats 1P2PEyFExFEzFDxFDyF0)(izMF0zLrdtdsrmJLz)(2atdtds0)(2ratrmJLz222rmJratm222rmJramzaallABCDzABCD 0)(ezM恒恒量量zL020122maamaLz22)sin(2lamLz022)sin(laaPPvRgWJLOOWRMe)(RvvRgWRJLOO)()
8、(ddeOMtLWRtvRgWRJOdd)()(22RgWJWRaOOm1m2BMrMass of the Chain Wheel:MMass of the Block A and B:m1 m2 suppose m1 m2Compute the acceleration of block A Sample Problem 7 solutionanalyze the forces and kinematics of the system,as the figure shown:2121MrJLOO21112rmrvmLO22223rmrvmLO221321)21(rmmMLLLLOOOOOm1
9、m2ABMW1W2FxFy Mga Om1m2ABMW1W2FxFy Mga grmgrmrmmMt21221)21(dd得：由)(ddeiOOtFMLgrmmrmmM)()21(21221rmmMgmm)21()(2121)21()(2121mmMgmmraSample Problem 7 solution221)21(rmmMLOgrmgrmiO21e)(FMOyFOxFPNFWvJvRgWLOsFsWRWMMNiOcossin)(Fs0cosNFWRWMMiOsin)(F)(iOOMdtdLFvRJRgW)(RWMdtdvRJRgWsin)()(sinRJRgWRWMdtdvaaabcd
10、abcd解：在解：在 dt 时间间隔内，水流时间间隔内，水流ABCD段的水流运动到段的水流运动到abcd时，时，所受的力以及他们对所受的力以及他们对O轴之矩：轴之矩：abcdABabCDcdABCDabcdzLLLLdL111222coscosrvdtqLrvdtqLVABabVCDcd)(ddezzMtL)coscos(111222rvrvqMVz)coscos(111222rvrvqMnMVzz115 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程1F2FnFzzzJL)()(izzzMdtJddtdLF)(izzMdtdJFzizzMMJ)(F（11-21a）zizzMMdtdJ)(F（11-
11、21b）zizzMMdtdJ)(22F（11-21c）zizzMMJ)(FzizzMMdtdJ)(FzizzMMdtdJ)(22F常数若zM常数0zM若0zM00|0ttzM0|0tt常数若zMzzJMOyFOxF)(iOOMJFsin22WadtdJO（1）0sin22OJWadtd（2）sin022OJWadtd（3）)sin(tJWaAO（4）WaJTO2（5）WaTJO22222agWWaTJCOFNFRfFFRtJNOdddtRfFdJtNO000RFfJtNO0 xyOyFOxFGO1FMRFMJO1（1）AW1FNFFaixAxFagWiyAyFagW1sinFFWagWNFWc
12、os0NFF（2）（3）（4）Ra（5）221RgGJOgRGWRWMa2)2()cos(sinM1M2 M1M2M2M1FFnFFn1111RFMJ2222MRFJ121221RRi)()(2122112211iJJiMMtnt060/211011)s/1(510060/150022111rFMJt222rFJt12122121rrzzk)1/s(5.22/15212kkrrk/,1212mN60.21)(1221JkJM58.90N1122222rJkrJFtABABFNFgm2ByFBxFFNFgm11FBA,AB1FrJAA（1）y011gmFamNAy（2）NFF（3）AAAJgrm
13、JFr111tAAA0tJgrmA112FrJBB（4）（5）BBBJgrmJFr212tBBB0tJgrmB210tJgrmB21（6）BArr21)(222111BAJrJrgmrtABABFNFgm2ByFBxFFNFgm11FABytAAA0tJgrmA11（4）21121rmJA22221rmJB)1(211mmgrtlg23,2312lmgmlOyOxFmglmFlm2022420mglmmgFFOyOxBCO45DnCCaa,mgnOFnOF45sin)(mgRMJiOOFOJmgR45sin22345sinmRmgRRg322222321mRmRmRJO0RCagRgR3232
14、02RanCCaiCFmainnCFma45cos32mgFgmO45sin0mgFnOmgFO62mgFnO22miriOyxzriyxzCvirCirCivvvivrLiiCm 0CiimmrririvrLiCm)(irCvvr iimirCvrvriiiimm miriOyxzriyxzCvirCii)(vrvMLiiiOOmmiCirrriiCiC)(vrvrvrrLiiiiiOmmmCivvmmiirvrLiiCm COmLvrLCCirCivvv)(iCirCiiiOmmvvrvrL iriiCiiimmmvrvrvr iC0 CCCiiCiimmmvrvrvr)(CC)(dddd
15、eiiCOmttFrLvrL)()(CCCCddddddeiieiCCtmtmtFrFrLvrvr0CCvv)(ddeiCCmmtFav)(dd)()(eiCeiiCtFMFrL)(dd)(eiCCtFMLCOmLvrLCCiCirrr)(dd)(eiCCtFMLconstCLOArc)(rb)(例例18 均质圆盘质量为2m，半径为r。细杆OA质量为m，长为l3r，绕轴O转动的角速度为、求下列三种情况下系统对轴O的动量矩：(a)圆盘与杆固结；(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度 逆 时针方向转动；(c)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度 顺 时针方向转动。OA解：解：(a)圆盘与杆固结22222222
16、2183)3(2)2(2131mrmrmrmrrmrmmlJO222mrJLOOCCCiiiiCiiiiCJrmrmm )(irrrvrLCOmLvrLCC解：解：(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度 逆 时针方向转动 刚体的平面运动可以分解为随质心（以刚体的平面运动可以分解为随质心（以质心为基点）的平动和绕质心的转动。质心为基点）的平动和绕质心的转动。CCOJmCCvrLmiriOyxzriyxzCvirC 先将前面质系动量矩的计算应用到刚体先将前面质系动量矩的计算应用到刚体平面运动中来：平面运动中来：OArb)(OArc)(b)0A22222211833)3)(2(3)2()(mrmrmrm
17、rrrmJmrmvmLJLLLAAAAOAO杆盘杆(c)2A222222222318)2(31833)3)(2(3)2()(mrmrmrmrmrmrmrrrmJmrmvmLJLLLAAAAOAO杆盘杆CCJL)(dd)()(eiCCCeiCMJJtmFFa)(dddd)(22)(22eiCCeiCMtJtmFFr F1F2FnOyxxyCD(e)R(e)iFFaiCme(e)r)()(ddddCiiCCCCMMJJttLF)(e)()(iiCCieyCiexCMJFymFxmF CFNmgaC00cossin)()()(eCCCyNeyCCxexMJmaFmgFmamamgFcos0sinmg
18、FgaNCCRaFRJFmgFmaFmgFCCNeyCex0cossin)()(cossin31sin32sin32mgFmgFRggaNCFNfFF 由由 得：得：tan31gf 满足纯滚的条件：满足纯滚的条件：FNmgaCNCNeyCexfFFFRJFmgFmaFmgF0cossin)()(cos2)cos(sinRfgfgaCcoscosmgfFmgFNCFFNmgaCFC 平板质量为m1，受水平力F 作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为f，平板上放一质量为m2的均质圆柱，它相对平板只滚动不滑动相对平板只滚动不滑动。求平板的加速度。FCFCF1FN1FN2F2FN2F2m1gm
19、2gaaCar211FFFamRFRmFamC2222221gmmfFRaaC)(2113)(2121mmgmmfFa例21 均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求求B下落时，质心下落时，质心C点的加速度。点的加速度。摩擦不计。解解：取A分析，受力如图。A作定轴转动，应用定轴转动的微分方程有AATJF rCTmamgFCBTJF r其中22ACJJmrOABCAFTmgFOxFOyOAFTmgBCDBaC取B分析，受力如图。B作平面运动。应用平面运动的微分方程有由运动学关系aDrA,，而由加速度合成定理有而由加速度合成定理有
20、()CDBABaarrgaC54D例例22 均质杆质量为m，长为l，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束反力。解解：以杆AB为研究对象，分析受力。yBCAmgxBCAFAFB杆作平面运动，设质心C的加速度为aCx、aCy，角加速度为。aCxaCy由刚体平面运动微分方程mgsincos(3)22CABllJFF(2)CyAmaFmg(1)CxBmaFBCAyx以C点为基点，则A点的加速度为tnACACACaaaat0sinCyACaa再以C点为基点，则B点的加速度为tnBCBCBCaaaat0cosCxCBaa
21、tsinsin(4)2CyAClaa tcoscos(5)2CxCBlaaaAaBaCxaCyatBCatAC在运动开始时,0,故 ,将上式投影到y 轴上，得an 0AC同理，将上式投影到 x轴上，得an 0BC联立求解(1)(5)式，并注意到2121mlJC可得3sin2gl23(1sin)4AFmg3sincos4BFmg注：亦可由坐标法求出(4)、(5)式：sin,cos22CCllxycos,sin22CCllxy 22sincos,cossin2222CCllllxy 运动开始时，故0cos,sin22CxCCyCllaxay BCAxyAxCB例例23 如图质量为m的均质杆AB用细
22、绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为。求B端绳断开瞬时，A端绳的张力。解解：取杆分析，建立如图坐标。有21sin122TlmlFAB作平面运动，以A为基点，则tntnCAACACAaaaaasinCxTmaFmg ABFTttCACAaaa因为断开初瞬时,vA0,0,故 ,an 0Aan 0CA将上式投影到x 轴上，得tsinCxCAaasin2Cxlasin1 3sinTmgFt2CAlaan CAat CAat Aan AAxCBaCxmg例例24 长 l，质量为m 的均质杆 AB 和 BC 用铰链 B 联接，并用铰链 A 固定，位于平衡位置。今在 C 端作用一水平力F，求此瞬时，两杆的角加
23、速度。解：解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分方程得21(1)3ABBxmlF lCBAFABFAxFBxFByaBWABFAyBC作平面运动，取B为基点，则tnGBGBGBaaaa将以上矢量式投影到水平方向，得t2lGxBGBABBCaaal(4)由(1)(4)联立解得630,77ABBCFFmlml t2,0nlBABGBBCGBalaa对BC由刚体平面运动的微分方程得GxBxmaFF(2)211222BCBxllmlFF(3)BGCBCFWaGxaGyatGBFByFBx例例25 行星齿轮机构的曲柄 OO1受力矩 M 作用而绕固定铅直轴 O 转动，并带动齿轮 O1在固定水平齿轮 O 上滚动如图所示。设曲柄 OO1为均质杆，长l、重 P；齿轮 O1为均质圆盘，半径 r、重 Q。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。解解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列出定轴转动微分方程 21(1)3PlMF lgOO1MO1OFnFRnRM由运动学关系，有1(4)arl联立求解(1)(4)，得26(29)MgPQ llQPQMT)92(3O1FnFTNaan1(2)QaFTg211(3)2QrTrg取齿轮O1分析，齿轮O1作平面运动MO1OFnFRnRThank you！
