1、1轴对称及空间问题有限元法轴对称及空间问题有限元法2一一.轴对称问题的定义轴对称问题的定义 工程中有一类结构，它们的几何形状、约束条件及作用的荷载都对称于某一固定轴(可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果)，其力学分析称为轴对称问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。1.离散化 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果，因此轴对称问题分析可在子午面内划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所得“圆环形单元”对物体进行离散。因此可用的单元与平面问题一样。2.应力和应变 对轴对称问题进行分析一般取柱坐标系，对称轴为Z轴，径向为r 轴，环向为轴。xyzzr),(zrPuw 对称面上任一点p
2、只会在该对称面上发生位移，即所有的应力、应变和位移只是z和r的函数，而与坐标无关。那么轴对称问题就可转化为二维平面问题来进行研究。但因与平面问题有区别，常称二维半问题。3xyabzp如图所示的受均布内压作用的长圆筒，通过z轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性，轴对问题共有4个应力分量：Trzzr其中表示沿半径方向的正应力，称为径向应力；表示沿 方向的正应力，称为环向应力或切向应力；表示沿方向的正应力，称为轴向应力；表示在圆柱面上沿方向作用的剪应力。rzrz4同样，轴对称问题共有4个应变分量：Trzzr其中表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；表示沿方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变；表
3、示沿方向的正应变，称为轴向正应变；表示沿和方向的剪应变。rzzr在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移 u 和轴向位移 w，两个位移分量表示为，Tuwdxyzzr),(zrPuw基本方程基本方程1.平衡方程平衡方程00zzrzrzrzrrXrrzXzr5 rzrzuruurAANqBqwwzuwzr 2.几何方程几何方程000000000 xyzxyyzzxuxxvyywuzzvuvwyxyxvwzyzywuxzzx 62.物理方程物理方程 10111011(1)(1)(12)1011120002(1)rzrzDED7 轴对称单元的特点(与平面三角形单元的区别)l
4、轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；l 节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；l 单元边界是一回转面；l 应变分量 中出现了 ，即应变不是常量；且应变矩阵在r-0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。rur轴对称结构轴对称结构zj abriijmmdc8轴对称问题的有限元法轴对称问题的有限元法1.1.离散化离散化 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果，因此轴对称问题分析可在子午面内划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所得“圆环形单元”对物体进行离散。因此可用的单元与平面问题一样。2.2.单元分析单元分析(rm,zm)uiwii(ri,zi)j
5、(rj,zj)mrzOujumwjwm 参照平面问题的三角形单元位移函数，轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为，123456urzwrz123456uxyxy912312ijmiijmjijmmaaaubbbuAcccu45612ijmiijmjijmmaaawbbbwAcccw其中：其中：mmjjiizrzrzrA11121ijmmjar zz rijmbzzimjcrrjmii mar zz rjmibzzjimcrrmijj iarzz rmijbzzmjicrr1()(,)2ssssNab rc zsi j mA形函数：形函数：10 000000iiijmjijmjmmuwNNNu
6、uqNNNwwuw dN用矩阵表示的单元位移为：单元应变：单元应变：将单元位移函数带入几何方程得：)(21mmjjiiubububAru)(21mmjjiiufufufAru其中，其中，(,)sssssac zfbsi j mrr)(21mmjjiiwcwcwcAzw)(21mmjjiiucucucAzu)(21mmjjiiwbwbwbArw用几何矩阵表示单元的应变：BqijmBBBB001(,)02ssssssbfsi j mcAcbB由于在是坐标 r、z 的函数，分量在单元中不为常量，其它三个应变分量在单元中仍为常量。几何矩阵 不再是常数，轴对称三角形单元内的应变也不全为常量。sfB12单
7、元应力：单元应力：由弹性矩阵 D 和几何矩阵 B 可以得到应力矩阵 S，并计算出单元内的应力分量，ijmSDBSSS其中：其中：111122(1)(,)()2(1)(1 2)sssssssssssssbfAcAbfAcEsi j mA bfcAA cA bSDB式中：式中：11A21 22(1)A由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 代替 B 矩阵中的变量，将单元中的r和z近似地当作常量，并且分别等于 。1()3cijmrrrrr1()3cijmzzzzzcczr,cczr,13经过简化，就可以把各个单元近似地当作常应变单元。(,
8、)sscsssccac zfbsi j mrr001(,)02ssssssbfsi j mcAcbB111122(1)(,)()2(1)(1 2)sssssssssssssbfAcAbfAcEsi j mA bfcAA cA bSDB143.3.单元刚度矩阵单元刚度矩阵 有了单元应力场和应变场，可以利用虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度矩阵单元刚度矩阵的分块矩阵为，单元刚度矩阵的分块矩阵为，2eTrdrdzKB DB2(,)Tspsprdrdzs pi j mKB DB由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 代替 B 矩阵中的变量
9、。)(31mjicrrrr)(31mjiczzzzcczr,r z 实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。15应变矩阵变成：其中：单元刚度矩阵的近似表达式为：2TcreKB DB单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为：12121222()()()Tspcspspspspspspspspspspspspspsprb bf fA b ff bA c cA b cf cA c bA c bc fA b cc cA b bKB DBijmBBBB001(,)20ssssccssssbabc zrsi j mAccbB(,)sssssac zfbs
10、i j mrr164.4.总刚度矩阵集成总刚度矩阵集成求出了每一个三角形单元的刚度矩阵后，按照平面问题介绍的总刚矩阵的集成方法，就可以得到结构的总刚矩阵。5.5.等效节点载荷计算等效节点载荷计算计算轴对称问题的等效节点载荷与平面问题的有所不同，因为周对称结构的子午面上的一个节点是关于对称轴中心对称的圆环，故当计算集中力、表面力和体积力时，应在整个环上积分。（1）集中力移置）集中力移置 集中力为集中力为Tppxpyfff 06 22 1022eTLpTipripzjprjpzmprmpzFr NfrN fN fN fN fN fN f0r-集中力作用点的径向坐标。集中力作用点的径向坐标。17（2
11、）体积力移置）体积力移置 2eFNf rdrdz 0f若体积力为重，则单位体积的力为若体积力为重，则单位体积的力为为密度度为密度度如果单元离开对称轴较远（如果单元离开对称轴较远（）可认为将）可认为将1/3的自重的自重移置到每个节点上。移置到每个节点上。单元自重移置到节点单元自重移置到节点i，j，m上的等效节点载荷为上的等效节点载荷为 3eiriizciFFAFrr(i，j，m)mjirrrr18若体积力为惯性离心力，则单位体积的力为若体积力为惯性离心力，则单位体积的力为 20rf单元离心力移置到节点单元离心力移置到节点i，j，m上的等效节点力上的等效节点力 2292150eircij mizA
12、Frrr rFF(i，j，m)设rz平面上单元ijm的ij边有线性分布的径向表面力，在节点i,j的 集 度 分 别 为 ，i j 边 的 边 长 l。此 时 有，于是节点i的等效节点载荷为(3)分布面力移置分布面力移置ipjpjjiirNpNpp0zp30(,)60TeijijijiemlFprrp rri jF190jp 若若 306060TeiiijeTijijemplFrrplFrrR，则得，则得 6.6.约束处理和求解线性方程组约束处理和求解线性方程组20二二.空间问题的有限元法空间问题的有限元法 P P P P 如果物体的形状、尺寸和边界条件不具备某种特殊性，不能简化为平面问题和轴对
13、称问题处理，则必须作为空间问题来分析。与平面问题和轴对称问题相比，空间问题的计算要复杂的多。单元为块体形状。常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。214 4结点四面体单元：结点四面体单元：是空间问题最简单的单元，也是常应变、常应力单元，可以类似平面问题三结点三角形单元进行分析。8 8结点长方体单元结点长方体单元：可以类似平面四结点矩形单元进行分析。8 8结点直边六面体单元结点直边六面体单元：可以类似平面四结点任意四边形等参元分析。2020结点曲边六面体单元：结点
14、曲边六面体单元：等参单元,可以类似平面八结点曲边四边形等参元进行分析。轴对称单元轴对称单元：一平面单元绕一对称轴旋转形成的空间问题。只需在rz平面划分网格，就像平面问题xy平面中的网格一样，这样这类空间问题可以得到简化。（环向位移等于零）221.1.四结点四面体单元分析四结点四面体单元分析1）位移函数）位移函数 单元结点位移向量 eTTTTTijmnTiiijjjmmmnnnqqqqqu v w uv w u v w u v w123456789101112uxyzvxyzwxyz单元位移函数xzyijmn23将节点坐标代入位移函数1234123412341234iiiijjjjmmmmnnn
15、nuxyzuxyzuxyzuxyznnmmjjiiuNuNuNuNu 由此可解出代定常数1 4再代回到式单元位移函数的第1式，可得位移函数u:),()(61nmjizdycxbaVNiiiii其中：24111111111jnjmjjinnmmjjinnmmjjinnnmmmjjjiyxyxyxdzxzxzxczyzyzybzyxzyxzyxannnmmmjjjiiizyxzyxzyxzyxV1111编号约定：当沿编号约定：当沿i,j,m的方向转动的方向转动时，时，n在大拇指所指的方向在大拇指所指的方向25采用同样的方法，可得nnmmjjiivNvNvNvNvnnmmjjiiwNwNwNwNw
16、eudvNqw :nmjiNNNNN 形函数),(000000nmjiINNNNNiiiii子矩阵：单元位移：262 2）单元应变）单元应变将单元中位移代入上式 TxyzxyyzzxTuvwuvvwwuxyzyxzyxz edNq eeijmnB qBB BBq),(00000000061nmjibdcdbcdcbVBiiiiiiiiii273 3）单元应力）单元应力 D Txyzxyyzzx 应力分量：Txyzxyyzzx 应变分量：)1(22100000)1(2210000)1(221000111111)21)(1()1(称对ED弹性矩阵弹性矩阵D:28代入单元应变计算公式，整理后:eSq
17、BDS 其中其中S为应力矩阵，且：为应力矩阵，且：nmjiSSSSS),(00062222221111113nmjidAdAcAdAbAcAdcAbAdAcbAdAcAbVABDSiiiiiiiiiiiiiiiii子矩阵：)21)(1()1()1(2211321EAAA常量常量294)4)单元刚度矩阵单元刚度矩阵VBDBkT分块矩阵的形式 nnnmnjnimnmmmjmijnjmjjjiinimijiikkkkkkkkkkkkkkkkk1212vTdVBDBk30式中子矩阵krs为33的矩阵:2121231221212122 ()()36()Trsrsr sr sr sr sr sr sr sr sr sr sr sr sr sr sr sr sr sr sr sr sr skBD B VbbA ccddAbcAcbAbdAddAAcbAbcccA ddbbAcdAdcVAdbAbdAdcAcdddA bb cc),(nmjisr5)等效结点荷载等效结点荷载 体积力与表面力的计算公式与平面三角形单元公式 相似，可以采用静力等效原则静力等效原则简化计算。eTvvVFNfdVeTssSFNfdSdVtdxdydStdl平面问题：
